3.3 几何概型 (Word含答案)
文档属性
| 名称 | 3.3 几何概型 (Word含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 326.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-14 12:01:08 | ||
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文档简介
3.3 几何概型
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在平面区域 内随机投入一点 ，则点 的坐标 满足 的概率为
A. B. C. D.
2. 四边形 为长方形，，， 为 的中点，在长方形 内随机取一点，取到的点到 的距离大于 的概率为
A. B. C. D.
3. 在平面区域 内随机投入一点 ，则点 的坐标 满足 的概率为
A. B. C. D.
4. 如图，在圆心角为直角的扇形 中，分别以 为直径作两个半圆．在扇形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. C. D.
5. 已知事件“在矩形 的边 上随机取一点 ，使 的最大边是 ”，发生的概率为 ，则
A. B. C. D.
6. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 ，． 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 ，，，则
A. B. C. D.
7. 在 中，，，，在 边上任取一点 ，则 为钝角三角形的概率为
A. B. C. D.
8. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是
A. B. C. D.
9. 刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心 ，圆 的半径为 ，现随机向圆 内段放 粒豆子，其中有 粒豆子落在正十二边形内（，），则圆周率的近似值为
A. B. C. D.
10. 在区间 上随机取两个数 ，，记 为事件“ ”的概率， 为事件“ ” 的概率， 为事件“ ”的概率，则
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 ，由下往上的六个点： 的横、纵坐标分别对应数列 的前 项，如下表所示：
按如此规律下去，则 ．
12. 在平面直角坐标系 中，设 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 的点构成的区域， 是到原点的距离不大于 的点构成的区域，向 中随机投一点，则所投的点落入 中的概率是 ．
13. 向面积为 的 内任投一点 ，那么 的面积小于 的概率是 ．
14. 数轴上有四个间隔为 的点依次记为 ，，，，在线段 上随机取一点 ，则 点到 ， 两点的距离之和小于 的概率为 ．
15. 甲、乙两人相约12：00~13：00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等 分钟后便离去，那么两人能会面的概率是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 飞机向一个边长为 的正方形急救区域空投急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 与 的水池，当急救品落在水池内及距离水池 范围内时，发放急救物品无效，假设急救物品落在正方形区域内任一点是随机的（不考虑落在正方形之外的情况），求发放急救物品无效的概率．（水池任一点离正方形边长的距离都大于）．
17. 设 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点 与 连结，求弦长超过半径的 倍的概率．
18. 向面积为 的 内任投一点 ，则随机事件" 的面积小于 "的概率为多少
答案
第一部分
1. A 【解析】画出平面区域，如图，阴影部分符合 ，其面积为：，正方形面积为 ，故所求概率为：．
2. B 【解析】长方形面积为 ，以 为圆心， 为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为 ，因此取到的点到 的距离小于 的概率为 ，故取到的点到 的距离大于 的概率为 ．
3. A 【解析】画出平面区域，如图，阴影部分符合 ，其面积为 ，正方形面积为 ，故所求概率为 .
4. A 【解析】设两个半圆的交点为点 ，连接 、 、 ，如图所示，则 ，所以 、 、 三点共线，且 ，所以阴影部分的面积等于扇形 中弓形 的面积，设 ，则扇形 的面积为 ，阴影部分的面积为 ，故所求概率为 ．
5. D
【解析】由于满足条件的概率为 ，且点 在边 上运动，根据图形的对称性，当点 在靠近点 的 边的 分点时，（当点 超过点 向点 运动时，）．
设 ，过点 作 交 于点 ，则 ．
在 中，因为
即 ，所以 ．
6. A
7. C 【解析】过点 作 ，垂足为 ，则 ；
过点 作 ，交 于点 ，则 ，，易知当点 在线段 和 上时（不包括线段端点 ，，）， 为钝角三角形，故所求概率为 ．
8. A 【解析】观察这个图可知，大正方形的边长为 ，总面积为 ，而阴影区域的边长为 ，面积为 ，故飞镖落在阴影区域的概率为 ．
9. C 【解析】由几何概型中的面积型可得：，
所以 ，即 ．
10. B
第二部分
11.
【解析】，，，，，，，，，这个数列的规律是奇数项为 偶数项为 ，故 ，，故 ．
12.
【解析】．
13.
【解析】如图所示：
在 、 上分别取点 、 ，使得 ，且 ，则当点 位于图中阴影部分时，满足题意，所以所求概率为阴影部分面积和整个三角形面积的比，即 ．
14.
【解析】设 的中点是 ， 的中点是 ，则 在 上时满足条件，
故 点到 ， 两点的距离之和小于 的概率 ．
15.
【解析】在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线 ，直线 ， 轴， 轴围成一个正方形区域 ．
设甲 时 分到达会面地点，乙 时 分到达会面地点，
这个结果与平面上的点 对应，于是试验的所有可能结果就与 中的所有点一一对应．
由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于何概型．
甲、乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地点的时间差不超过 分钟，即 ，因此，图中的阴影区域 就表示“甲、乙能会面”．
容易求得 的面积为 ，即 ， 的面积为 ，由几何概型的概率计算公式得，“甲、乙能会面”的概率为 ．
第三部分
16. 落在水池内及距离水池 范围内，即长为 ，宽为 的矩形，面积为 平方米．
而正方形区域面积为 平方米．
所以发放急救物品无效的概率为 ．
17. 连结圆心 与 点，作弦 使 ，这样的点 有两点，分别记为 与 ．
仅当 在劣弧 上取点时，
此时
因此，所求的概率为
18. 点 在 内任一点是等可能的，符合几何概型的条件．分别取 ， 上的点 ，，使得 ，，则当点 在四边形 内时（不包括线段 ）， 的面积小于 ，因此所求概率为
第1页（共1 页）
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在平面区域 内随机投入一点 ，则点 的坐标 满足 的概率为
A. B. C. D.
2. 四边形 为长方形，，， 为 的中点，在长方形 内随机取一点，取到的点到 的距离大于 的概率为
A. B. C. D.
3. 在平面区域 内随机投入一点 ，则点 的坐标 满足 的概率为
A. B. C. D.
4. 如图，在圆心角为直角的扇形 中，分别以 为直径作两个半圆．在扇形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. C. D.
5. 已知事件“在矩形 的边 上随机取一点 ，使 的最大边是 ”，发生的概率为 ，则
A. B. C. D.
6. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 ，． 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 ，，，则
A. B. C. D.
7. 在 中，，，，在 边上任取一点 ，则 为钝角三角形的概率为
A. B. C. D.
8. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是
A. B. C. D.
9. 刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心 ，圆 的半径为 ，现随机向圆 内段放 粒豆子，其中有 粒豆子落在正十二边形内（，），则圆周率的近似值为
A. B. C. D.
10. 在区间 上随机取两个数 ，，记 为事件“ ”的概率， 为事件“ ” 的概率， 为事件“ ”的概率，则
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 ，由下往上的六个点： 的横、纵坐标分别对应数列 的前 项，如下表所示：
按如此规律下去，则 ．
12. 在平面直角坐标系 中，设 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 的点构成的区域， 是到原点的距离不大于 的点构成的区域，向 中随机投一点，则所投的点落入 中的概率是 ．
13. 向面积为 的 内任投一点 ，那么 的面积小于 的概率是 ．
14. 数轴上有四个间隔为 的点依次记为 ，，，，在线段 上随机取一点 ，则 点到 ， 两点的距离之和小于 的概率为 ．
15. 甲、乙两人相约12：00~13：00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等 分钟后便离去，那么两人能会面的概率是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 飞机向一个边长为 的正方形急救区域空投急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 与 的水池，当急救品落在水池内及距离水池 范围内时，发放急救物品无效，假设急救物品落在正方形区域内任一点是随机的（不考虑落在正方形之外的情况），求发放急救物品无效的概率．（水池任一点离正方形边长的距离都大于）．
17. 设 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点 与 连结，求弦长超过半径的 倍的概率．
18. 向面积为 的 内任投一点 ，则随机事件" 的面积小于 "的概率为多少
答案
第一部分
1. A 【解析】画出平面区域，如图，阴影部分符合 ，其面积为：，正方形面积为 ，故所求概率为：．
2. B 【解析】长方形面积为 ，以 为圆心， 为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为 ，因此取到的点到 的距离小于 的概率为 ，故取到的点到 的距离大于 的概率为 ．
3. A 【解析】画出平面区域，如图，阴影部分符合 ，其面积为 ，正方形面积为 ，故所求概率为 .
4. A 【解析】设两个半圆的交点为点 ，连接 、 、 ，如图所示，则 ，所以 、 、 三点共线，且 ，所以阴影部分的面积等于扇形 中弓形 的面积，设 ，则扇形 的面积为 ，阴影部分的面积为 ，故所求概率为 ．
5. D
【解析】由于满足条件的概率为 ，且点 在边 上运动，根据图形的对称性，当点 在靠近点 的 边的 分点时，（当点 超过点 向点 运动时，）．
设 ，过点 作 交 于点 ，则 ．
在 中，因为
即 ，所以 ．
6. A
7. C 【解析】过点 作 ，垂足为 ，则 ；
过点 作 ，交 于点 ，则 ，，易知当点 在线段 和 上时（不包括线段端点 ，，）， 为钝角三角形，故所求概率为 ．
8. A 【解析】观察这个图可知，大正方形的边长为 ，总面积为 ，而阴影区域的边长为 ，面积为 ，故飞镖落在阴影区域的概率为 ．
9. C 【解析】由几何概型中的面积型可得：，
所以 ，即 ．
10. B
第二部分
11.
【解析】，，，，，，，，，这个数列的规律是奇数项为 偶数项为 ，故 ，，故 ．
12.
【解析】．
13.
【解析】如图所示：
在 、 上分别取点 、 ，使得 ，且 ，则当点 位于图中阴影部分时，满足题意，所以所求概率为阴影部分面积和整个三角形面积的比，即 ．
14.
【解析】设 的中点是 ， 的中点是 ，则 在 上时满足条件，
故 点到 ， 两点的距离之和小于 的概率 ．
15.
【解析】在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线 ，直线 ， 轴， 轴围成一个正方形区域 ．
设甲 时 分到达会面地点，乙 时 分到达会面地点，
这个结果与平面上的点 对应，于是试验的所有可能结果就与 中的所有点一一对应．
由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于何概型．
甲、乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地点的时间差不超过 分钟，即 ，因此，图中的阴影区域 就表示“甲、乙能会面”．
容易求得 的面积为 ，即 ， 的面积为 ，由几何概型的概率计算公式得，“甲、乙能会面”的概率为 ．
第三部分
16. 落在水池内及距离水池 范围内，即长为 ，宽为 的矩形，面积为 平方米．
而正方形区域面积为 平方米．
所以发放急救物品无效的概率为 ．
17. 连结圆心 与 点，作弦 使 ，这样的点 有两点，分别记为 与 ．
仅当 在劣弧 上取点时，
此时
因此，所求的概率为
18. 点 在 内任一点是等可能的，符合几何概型的条件．分别取 ， 上的点 ，，使得 ，，则当点 在四边形 内时（不包括线段 ）， 的面积小于 ，因此所求概率为
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