湖北省部分名校2021-2022学年高二上学期12月联考数学试题（Word版含答案）

湖北省部分名校2021-2022学年高二上学期12月联考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一、二章占50%，选择性必修第一册第三章，选择性必修第二册第四章数列4.1占50%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线绕原点顺时针旋转后所对应的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，F，G分别为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若直线与互相平行，则（ ）
A．4 B． C． D．
6．已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上一点，，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知斜率为1的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，的中点为P，若直线的斜率为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知双曲线的焦距为，实轴长为，则（ ）
A．C的虚轴长为8 B．C的虚轴长为4
C．C的渐近线方程为 D．C的渐近线方程为
10．已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，平面平面，，，，E是棱上的动点（除端点外），F，M分别为的中点，则（ ）
A．平面 B．直线与所成角的余弦值为
C． D．当E是棱的中点时，直线与所成角的余弦值为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为k的直线与椭圆交于P，Q两点，若为钝角，则k的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线被圆截得的弦长为_____________．
14．如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，宽，高，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为____________．
15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，且，M为的中点，则点B到平面的距离为____________．
16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，下图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，5，12，22称为五边形数，则三角形数的第7项为____________，五边形数的第8项为______________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在①原点到直线l的距离取得最大值，②直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
已知直线l过点．
（1）当____________时，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆相切，求直线l的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面．
（1）若，求；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）已知抛物线经过的三个顶点，且点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的倾斜角互补，求直线的斜率．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面和平面都垂直于平面，E，F分别为的中点直线与相交于O点．
（1）证明：与不垂直．
（2）求平面与平面夹角的大小．
21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，为直角三角形，过点的直线l与椭圆交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若的中点的横坐标为，求．
22．（12分）已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为2，O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为．
（1）求双曲线C的标准方程．
（2）平面上有一点，证明：的角平分线与双曲线C相切．
高二数学考试参考答案
1．C 直线的斜率为，倾斜角为，所以绕原点顺时针旋转后所对应的直线的倾斜角为，斜率为．
2．D 因为．所以，
，，．
3．B 将抛物线的方程化为标准形式，即，故其焦点坐标为．
4．C ．
5．B 因为直线与互相平行，所以，得．
当时，两直线重合，不符合题意；当时，符合题意．
6．D 因为，所以．因为，所以，，
故椭圆C的标准方程为．
7．B 圆C的圆心为，设C关于直线对称的点为，则解得故圆C关于直线对称的圆的方程为，即．
8．A 设，则
两式相减得，所以．
因为，，所以．
因为，，所以，故．
9．BC 因为，所以，所以C的虚轴长为4，故A项错误，B项正确．
因为，所以双曲线C的渐近线方程为，故C项正确，D项错误．
10．AC 直线l的方程可整理为，由得,则直线l过定点．因为点与A，B不共线，所以满足条件的直线l过线段的中点或与直线平行．当直线l过线段的中点时，得；当直线l与直线平行时，则，解得．
11．AB 设的中点为O，连接，则两两垂直，以所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．
设，则．
因为，平面的一个法向量为，
所以，所以平面，故A正确；
因为，所以，所以不垂直，故C不正确；
设直线与所成的角为，因为，所以，故B正确；
设直线与所成的角为，当E是棱的中点时，．因为，，所以，即直线与所成角的余弦值为，故D不正确．
12．ABD 设直线方程为，
联立方程组得，
则．
因为为钝角，所以．
因为
，所以．
因为当时，P，Q，三点共线，不符合题意，所以，故选ABD．
13． 因为圆C的圆心为，半径为4，所以圆心到直线l的距离，故直线l被圆C截得的弦长为．
14． 设这条抛物线的方程为，由图可知B点的坐标为，
所以，得，故这条抛物线的准线方程为．
15． 因为，，所以直线两两垂直以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．
设平面的法向量为，则令，得，所以点B到平面的距离．
16．28；92 三角形数的第1项为1，第2项为，第3项为，第4项为，…，因此第7项为．五边形数的第1项为，第2项为，第3项为，第4项为，…，因此，第8项为．
17．解：（1）若选择①，
因为原点到直线l的距离取得最大值， 2分
所以．
因为直线的斜率为， 3分
所以l的斜率， 4分
故直线l的方程为，即． 5分
若选择②，
若直线l过原点，则其斜率为， 2分
此时直线l的方程为，即． 3分
若直线l不过原点设其方程为， 4分
由，得，此时直线方程为．
故直线l的方程为或． 5分
（2）当l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意； 6分
当l的斜率存在时，设直线l的方程为，
则，解得， 8分
此时，直线l的方程为． 9分
故直线l的方程为或． 10分
18．解：因为平面平面，，且平面平面， 1分
所以平面． 3分
分别以的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以． 4分
（1）因为，且， 5分
所以， 6分
故． 8分
（2）设平面的法向量为，
因为，所以令，得． 10分
因为，所以， 11分
故直线与平面所成角的正弦值为． 12分
19．解：（1）因为抛物线过点，
所以，即抛物线C的方程为． 3分
（2）设，则 5分
两式相减得，所以． 8分
因为直线的倾斜角互补，则的斜率存在，
所以， 10分
所以，故． 12分
20．（1）证明：因为平面平面，且，所以平面，所以．同理可得，故直线两两垂直，则以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，． 3分
设，因为，， 4分
所以，得． 5分
因为，， 6分
所以，故与不垂直． 7分
（2）解：设平面的法向量为，
因为，
所以令，得． 9分
设平面的法向量为，
因为，，所以
令，得． 11分
因为，所以平面与平面的夹角为． 12分
21．解：（1）因为为直角三角形，所以，从而． 1分
当直线l垂直于x轴时，，所以椭圆经过点， 2分
所以． 3分
所以， 4分
故椭圆C的标准方程为． 5分
（2）法一：设直线l的方程为， 6分
联立方程组得， 7分
则． 8分
因为，所以． 10分
因为， 11分
所以． 12分
法二：设，，的中点为． 6分
联立方程组得，整理得． 8分
因为直线l过点，所以． 9分
由，得，故．
将直线l的方程代入椭圆C的方程，得，
则，． 10分
故． 12分
22．（1）解：因为焦点到其渐近线的距离为，所以． 1分
因为， 2分
所以， 3分
故双曲线C的标准方程为． 4分
（2）证明：由（1）知， 5分
所以． 6分
设的角平分线与x轴的交点为，
则，解得， 7分
所以的角平分线与x轴的交点为， 8分
所以的角平分线所在的直线方程为． 9分
联立方程组得． 11分
因为，所以直线与双曲线C相切，即的角平分线与双曲线C相切． 12分