上海市浦东新区2021-2022学年高二上学期期末质量测试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 上海市浦东新区2021-2022学年高二上学期期末质量测试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 449.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-12 13:58:13 | ||
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文档简介
浦东新区2021-2022学年高二上学期期末质量测试数学试卷 2021年12月
考生注意：
1、答卷时间90分钟，满分100分；
2、请在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．已知定直线，定点，则直线与点确定的平面有 个(请填写个数)．
2. 已知球的半径为1，则此球的表面积为 ．
3. 在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则 “取出的球是白球”为 现象（填“随机”或“确定性”）．
4. 已知随机事件A和B不可能同时发生，若，，则 ．
5. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．
6. “若直线平面,则直线与平面内无数条直线垂直”是 命题．（请用“真”，“假”填空）
7. 已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的体积为
8. 2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为 ．
9. 作直线和平面，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 组(请填写个数)A组：“”和“”；B组：“为异面直线”和“”；
C组：“或”和“与相交”.
10. 已知随机事件发生的概率满足，小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判断中正确的是 ．(请填写序号)
①小华一定猜错；②小华和小明猜对的可能性一样大；③小明猜对的可能性更大；④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大．
11． 已知棱长为4的正方体，动点M在正方体表面上，且满足，则以下结论中正确的是： (请填写序号)
①满足条件的点M有且只有6个；②满足条件的点M都在同一个平面上；
③点M的轨迹长度为.
12. 如图，在中，已知，D是斜边AB上任意一点（不含端点）沿直线CD将折成直二面角，当 时，折叠后A、B两点间的距离最小．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13．下列调查方式合适的是（ ）
A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
14．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
15．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列三个结论：
（1）甲的成绩的极差是29；
（2）乙的成绩的众数是21；
（3）乙的成绩的中位数是18．
则这三个结论中，错误结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（筹）的概率为．乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.（本题满分10分）独立地重复抛掷硬币2次，若每次抛掷硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，回答以下两个问题：
（1）现将“独立地重复抛掷硬币2次”作为一次试验，若用分别表示正面朝上和反面朝上,例如用表示某次试验的结果是第一次正面朝上，第二次反面朝上，请用符号写出“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间；
（2）已知在某次试验中第一次抛掷的结果是正面朝上；某同学说“第二次抛掷硬币正面朝上的可能性小于反面朝上的可能性”请问该同学的表述是否正确？（不需要写出理由）
解
18．（本题满分10分）已知某圆柱底面半径和母线长都是3．
（1）求出该圆柱的表面积和体积；
（2）若圆锥与该圆柱底面半径、高都相等，求圆锥的侧面积．
19．（本题满分10分）如图，在正方体中．
（1）求异面直线和所成的角的余弦值；
（2）求证：直线平面．
解：
解：
20．（本题满分10分）2020年1月8日，在“不忘初心、牢记使命”主题教育总结大会上，习总书记指出：“要把学习贯彻党的创新理论作为思想武装的重中之重，同学习党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史结合起来。”为了提高思想认识，某校开展了“学史明鉴、牢记使命”知识竞赛活动，从950名参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）现将全体参赛学生成绩编号为001--950，使用附图提供的“随机数表”从第二行的第三个数开始从左往右抽，请写出前3个被抽到样本编号；
（2）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）．
21．（本题满分12分，第1问6分，第2问6分）
材料1：三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面；正方体有8个顶点，12条棱，6个面；三棱柱有个6顶点，9条棱，5个面；...，通过观察发现：这些几何体的顶点数、棱数及面数都满足简单的规律：；在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，其顶点数、棱数及面数都满足多面体欧拉公式．所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）．正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角(多面角是指有公共端点且两两不共线的条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形,例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角)都是全等的多面角．例如，正四面体的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体分别如图所示．
我们可以看到，正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交，每一条棱处有两个面相交．
材料2：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家，C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形；
（1）阅读上述材料，请用数学符号表示简单多面体的顶点数、棱数及面数，并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式（不需要证明）；
（2）请结合上述材料，在下面两个问题中选择一个回答，并写出解答过程. （选择问题1分，解答过程正确5分；两个问题都选择，不给分）
问题1：请问C60的分子结构模型中，有几个五边形？
问题2：简单多面体中是否存在正16面体？如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状；如果不存在，请说明理由.
参考答案
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．已知定直线，定点，则直线与点确定的平面有 1 个(请填写个数)．
2. 已知球的半径为1，则此球的表面积为 ．
3. 在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则 “取出的球是白球”为 随机 现象（填“随机”或“确定性”）．
4. 已知随机事件A和B不可能同时发生，若，，则P（B）＝ ．
5. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 0.98 ．
6. “若直线平面,则直线与平面内无数条直线垂直”是 真 命题．（请用“真”，“假”填空）
7. 已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的体积为
8. 2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为 0.128 ．
9. 作直线和平面，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 1 组(请填写个数)A组：“”和“”；B组：“为异面直线”和“”；
C组：“或”和“与相交”.
10. 已知随机事件发生的概率满足，小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判读中正确的是 ③ ．(请填写序号)
①小华一定猜错；②小华和小明猜对的可能性一样大；③小明猜对的可能性更大；④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大．
11． 已知棱长为4的正方体，动点M在正方体表面上，且满足，则以下结论中正确的是： ② ③ (请填写序号)
①满足条件的点M有且只有6个；②满足条件的点M都在同一个平面上；
③点M的轨迹长度为.
12. 如图，在中，已知，D是斜边AB上任意一点（不含端点）沿直线CD将折成直二面角，当 时，折叠后A、B两点间的距离最小．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13．下列调查方式合适的是（ C ）
A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
14．空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角（ C ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
15．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列三个结论：
（1）甲的成绩的极差是29；
（2）乙的成绩的众数是21；
（3）乙的成绩的中位数是18．
则这三个结论中，错误结论的个数为（B ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（筹）的概率为．乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ A ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.（本题满分10分）独立地重复抛掷硬币2次，若每次抛掷硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，回答以下两个问题：
（1）现将“独立地重复抛掷硬币2次”作为一次试验，若用分别表示正面朝上和反面朝上,例如用表示某次试验的结果是第一次正面朝上，第二次反面朝上，请用符号写出“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间；
（2）已知在某次试验中第一次抛掷的结果是正面朝上；某同学说“第二次抛掷硬币正面朝上的可能性小于反面朝上的可能性”请问该同学的表述是否正确？（不需要写出理由）
解：（1）
说明：本题6分，如果没有写集合但是元素都表示正确的情况下建议给4分；其它情况题组长酌情处理；
不正确
说明：本题4分
18．（本题满分10分）已知某圆柱底面半径和母线长都是3．
（1）求出该圆柱的表面积和体积；
（2）若圆锥与该圆柱底面半径、高都相等，求圆锥的侧面积
解：（1）；
说明：本题6分，面积和体积各3分；答案正确满分，答案不正确但公式正确每个2分；其它情况题组长酌情处理；
（2）
说明：本题4分；答案正确满分，答案不正确但公式正确2分；其它情况题组长酌情处理；
19．（本题满分10分）如图，在正方体中．
（1）求异面直线和所成的角的余弦值；
（2）求证：直线平面．
解：（1）因为,所以就是异面直线和所成的角或其补角.所以异面直线和所成的角为,所以异面直线和所成的角的余弦值为.
说明：本题5分，答案正确满分；答案不正确时找到角并表达正确给3分；题组长酌情处理；
（2）连接,因为，所以四边形为平行四边形，所以；在平面外，在平面内；所以直线平面
说明：本题5分；有辅助线作图或文字表述2分，得出“”2分，结论1分；其它情况题组长酌情处理；
20．（本题满分10分）2020年1月8日，在“不忘初心、牢记使命”主题教育总结大会上，习总书记指出：“要把学习贯彻党的创新理论作为思想武装的重中之重，同学习党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史结合起来。为了提高思想认识，某校开展了“学史明鉴、牢记使命”知识竞赛活动，从950名参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）现将全体参赛学生成绩编号为001--950，使用附图提供的“随机数表”从第二行的第三个数开始从左往右抽，请写出前3个被抽到样本编号；
（2）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）．
解:（1）580;438;908
说明：本题5分，写对1个给1分，写对2个给3分，全部写对给5分；顺序错了不扣分；其它情况题组长酌情处理；
（2）；
说明：本题5分，写对给2分，写对给3分；其它情况题组长酌情处理；
21．（本题满分12分，第1问6分，第2问6分）
材料1：三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面；正方体有8个顶点，12条棱，6个面；三棱柱有个6顶点，9条棱，5个面；...，通过观察发现：这些几何体的顶点数、棱数及面数都满足简单的规律：4+4-6=8+6-12=6+5-9=2；在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，其顶点数、棱数及面数都满足多面体欧拉公式．所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）．正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角(多面角是指有公共端点且两两不共线的条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形,例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角)都是全等的多面角．例如，正四面体的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体分别如图所示．
我们可以看到，正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交，每一条棱处有两个面相交．
材料2：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家，C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形；
（1）阅读上述材料，请用数学符号表示简单多面体的顶点数、棱数及面数，并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式（不需要证明）；
（2）请结合上述材料，在下面两个问题中选择一个回答，并写出解答过程. （选择问题1分，解答过程正确5分；两个问题都选择，不给分）
问题1：请问C60的分子机构模型中，有几个五边形？
问题2：简单多面体中是否存在正16面体？如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状；如果不存在，请说明理由.
解: （1）设多面体的顶点数为,棱数为,面数为;
则多面体欧拉公式为
说明：本题6分；具体给分方式题组长酌情处理；
（2）问题1：设C60的分子机构模型中，有个五边形, 个五边形
则: ,所以有12个五边形
问题2：设多面体的顶点数为,棱数为,面数为;每个面都是正边形,每个顶点为端点都有条棱.
则,
,不可能都大于4
时, 得 正四面体、正六面体、正十二面体
时, 得 正四面体、正八面体、正二十面体
说明：本题6分；如果两个都选了，按选第一个批改但如果回答错误，选题的1分不给；具体给分方式题组长酌情处理.
11 / 11
考生注意：
1、答卷时间90分钟，满分100分；
2、请在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．已知定直线，定点，则直线与点确定的平面有 个(请填写个数)．
2. 已知球的半径为1，则此球的表面积为 ．
3. 在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则 “取出的球是白球”为 现象（填“随机”或“确定性”）．
4. 已知随机事件A和B不可能同时发生，若，，则 ．
5. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．
6. “若直线平面,则直线与平面内无数条直线垂直”是 命题．（请用“真”，“假”填空）
7. 已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的体积为
8. 2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为 ．
9. 作直线和平面，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 组(请填写个数)A组：“”和“”；B组：“为异面直线”和“”；
C组：“或”和“与相交”.
10. 已知随机事件发生的概率满足，小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判断中正确的是 ．(请填写序号)
①小华一定猜错；②小华和小明猜对的可能性一样大；③小明猜对的可能性更大；④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大．
11． 已知棱长为4的正方体，动点M在正方体表面上，且满足，则以下结论中正确的是： (请填写序号)
①满足条件的点M有且只有6个；②满足条件的点M都在同一个平面上；
③点M的轨迹长度为.
12. 如图，在中，已知，D是斜边AB上任意一点（不含端点）沿直线CD将折成直二面角，当 时，折叠后A、B两点间的距离最小．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13．下列调查方式合适的是（ ）
A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
14．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
15．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列三个结论：
（1）甲的成绩的极差是29；
（2）乙的成绩的众数是21；
（3）乙的成绩的中位数是18．
则这三个结论中，错误结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（筹）的概率为．乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.（本题满分10分）独立地重复抛掷硬币2次，若每次抛掷硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，回答以下两个问题：
（1）现将“独立地重复抛掷硬币2次”作为一次试验，若用分别表示正面朝上和反面朝上,例如用表示某次试验的结果是第一次正面朝上，第二次反面朝上，请用符号写出“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间；
（2）已知在某次试验中第一次抛掷的结果是正面朝上；某同学说“第二次抛掷硬币正面朝上的可能性小于反面朝上的可能性”请问该同学的表述是否正确？（不需要写出理由）
解
18．（本题满分10分）已知某圆柱底面半径和母线长都是3．
（1）求出该圆柱的表面积和体积；
（2）若圆锥与该圆柱底面半径、高都相等，求圆锥的侧面积．
19．（本题满分10分）如图，在正方体中．
（1）求异面直线和所成的角的余弦值；
（2）求证：直线平面．
解：
解：
20．（本题满分10分）2020年1月8日，在“不忘初心、牢记使命”主题教育总结大会上，习总书记指出：“要把学习贯彻党的创新理论作为思想武装的重中之重，同学习党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史结合起来。”为了提高思想认识，某校开展了“学史明鉴、牢记使命”知识竞赛活动，从950名参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）现将全体参赛学生成绩编号为001--950，使用附图提供的“随机数表”从第二行的第三个数开始从左往右抽，请写出前3个被抽到样本编号；
（2）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）．
21．（本题满分12分，第1问6分，第2问6分）
材料1：三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面；正方体有8个顶点，12条棱，6个面；三棱柱有个6顶点，9条棱，5个面；...，通过观察发现：这些几何体的顶点数、棱数及面数都满足简单的规律：；在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，其顶点数、棱数及面数都满足多面体欧拉公式．所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）．正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角(多面角是指有公共端点且两两不共线的条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形,例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角)都是全等的多面角．例如，正四面体的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体分别如图所示．
我们可以看到，正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交，每一条棱处有两个面相交．
材料2：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家，C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形；
（1）阅读上述材料，请用数学符号表示简单多面体的顶点数、棱数及面数，并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式（不需要证明）；
（2）请结合上述材料，在下面两个问题中选择一个回答，并写出解答过程. （选择问题1分，解答过程正确5分；两个问题都选择，不给分）
问题1：请问C60的分子结构模型中，有几个五边形？
问题2：简单多面体中是否存在正16面体？如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状；如果不存在，请说明理由.
参考答案
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．已知定直线，定点，则直线与点确定的平面有 1 个(请填写个数)．
2. 已知球的半径为1，则此球的表面积为 ．
3. 在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则 “取出的球是白球”为 随机 现象（填“随机”或“确定性”）．
4. 已知随机事件A和B不可能同时发生，若，，则P（B）＝ ．
5. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 0.98 ．
6. “若直线平面,则直线与平面内无数条直线垂直”是 真 命题．（请用“真”，“假”填空）
7. 已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的体积为
8. 2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为 0.128 ．
9. 作直线和平面，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 1 组(请填写个数)A组：“”和“”；B组：“为异面直线”和“”；
C组：“或”和“与相交”.
10. 已知随机事件发生的概率满足，小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判读中正确的是 ③ ．(请填写序号)
①小华一定猜错；②小华和小明猜对的可能性一样大；③小明猜对的可能性更大；④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大．
11． 已知棱长为4的正方体，动点M在正方体表面上，且满足，则以下结论中正确的是： ② ③ (请填写序号)
①满足条件的点M有且只有6个；②满足条件的点M都在同一个平面上；
③点M的轨迹长度为.
12. 如图，在中，已知，D是斜边AB上任意一点（不含端点）沿直线CD将折成直二面角，当 时，折叠后A、B两点间的距离最小．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13．下列调查方式合适的是（ C ）
A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
14．空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角（ C ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
15．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列三个结论：
（1）甲的成绩的极差是29；
（2）乙的成绩的众数是21；
（3）乙的成绩的中位数是18．
则这三个结论中，错误结论的个数为（B ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（筹）的概率为．乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ A ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.（本题满分10分）独立地重复抛掷硬币2次，若每次抛掷硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，回答以下两个问题：
（1）现将“独立地重复抛掷硬币2次”作为一次试验，若用分别表示正面朝上和反面朝上,例如用表示某次试验的结果是第一次正面朝上，第二次反面朝上，请用符号写出“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间；
（2）已知在某次试验中第一次抛掷的结果是正面朝上；某同学说“第二次抛掷硬币正面朝上的可能性小于反面朝上的可能性”请问该同学的表述是否正确？（不需要写出理由）
解：（1）
说明：本题6分，如果没有写集合但是元素都表示正确的情况下建议给4分；其它情况题组长酌情处理；
不正确
说明：本题4分
18．（本题满分10分）已知某圆柱底面半径和母线长都是3．
（1）求出该圆柱的表面积和体积；
（2）若圆锥与该圆柱底面半径、高都相等，求圆锥的侧面积
解：（1）；
说明：本题6分，面积和体积各3分；答案正确满分，答案不正确但公式正确每个2分；其它情况题组长酌情处理；
（2）
说明：本题4分；答案正确满分，答案不正确但公式正确2分；其它情况题组长酌情处理；
19．（本题满分10分）如图，在正方体中．
（1）求异面直线和所成的角的余弦值；
（2）求证：直线平面．
解：（1）因为,所以就是异面直线和所成的角或其补角.所以异面直线和所成的角为,所以异面直线和所成的角的余弦值为.
说明：本题5分，答案正确满分；答案不正确时找到角并表达正确给3分；题组长酌情处理；
（2）连接,因为，所以四边形为平行四边形，所以；在平面外，在平面内；所以直线平面
说明：本题5分；有辅助线作图或文字表述2分，得出“”2分，结论1分；其它情况题组长酌情处理；
20．（本题满分10分）2020年1月8日，在“不忘初心、牢记使命”主题教育总结大会上，习总书记指出：“要把学习贯彻党的创新理论作为思想武装的重中之重，同学习党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史结合起来。为了提高思想认识，某校开展了“学史明鉴、牢记使命”知识竞赛活动，从950名参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）现将全体参赛学生成绩编号为001--950，使用附图提供的“随机数表”从第二行的第三个数开始从左往右抽，请写出前3个被抽到样本编号；
（2）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）．
解:（1）580;438;908
说明：本题5分，写对1个给1分，写对2个给3分，全部写对给5分；顺序错了不扣分；其它情况题组长酌情处理；
（2）；
说明：本题5分，写对给2分，写对给3分；其它情况题组长酌情处理；
21．（本题满分12分，第1问6分，第2问6分）
材料1：三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面；正方体有8个顶点，12条棱，6个面；三棱柱有个6顶点，9条棱，5个面；...，通过观察发现：这些几何体的顶点数、棱数及面数都满足简单的规律：4+4-6=8+6-12=6+5-9=2；在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，其顶点数、棱数及面数都满足多面体欧拉公式．所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）．正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角(多面角是指有公共端点且两两不共线的条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形,例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角)都是全等的多面角．例如，正四面体的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体分别如图所示．
我们可以看到，正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交，每一条棱处有两个面相交．
材料2：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家，C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形；
（1）阅读上述材料，请用数学符号表示简单多面体的顶点数、棱数及面数，并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式（不需要证明）；
（2）请结合上述材料，在下面两个问题中选择一个回答，并写出解答过程. （选择问题1分，解答过程正确5分；两个问题都选择，不给分）
问题1：请问C60的分子机构模型中，有几个五边形？
问题2：简单多面体中是否存在正16面体？如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状；如果不存在，请说明理由.
解: （1）设多面体的顶点数为,棱数为,面数为;
则多面体欧拉公式为
说明：本题6分；具体给分方式题组长酌情处理；
（2）问题1：设C60的分子机构模型中，有个五边形, 个五边形
则: ,所以有12个五边形
问题2：设多面体的顶点数为,棱数为,面数为;每个面都是正边形,每个顶点为端点都有条棱.
则,
,不可能都大于4
时, 得 正四面体、正六面体、正十二面体
时, 得 正四面体、正八面体、正二十面体
说明：本题6分；如果两个都选了，按选第一个批改但如果回答错误，选题的1分不给；具体给分方式题组长酌情处理.
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