河北省省级联测2022届高三上学期1月第五次联考数学试题（Word版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 河北省省级联测2022届高三上学期1月第五次联考数学试题（Word版含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 669.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-12 16:10:00 | ||
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文档简介
河北省省级联测2021-2022第五次考试
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，，，，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数在点处的切线方程是，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（ ）
A. B. C. D.
5.数列1，，，，，，，，，，…的第2021项为（ ）
A. B. C. D.
6.阿基米德（公元前287年——公元前212年），百科式科学家、数学家，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球.”阿基米德在做数学研究时，有一个有趣的问题：一个边长为2的正方形内部挖了一个内切圆，现以过该内切圆的圆心且平行于正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体，则该旋转体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知①若，，则；
②若，，，，则；
③若，，且，则的最小值为.
上面不等式中正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知函数为函数的导函数，满足，，，，则下面大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数a的可能取值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10将函数的图象变换为函数的图象，则所做的变换可以是（ ）
A.向左平移 B.向右平移
C.向右平移 D.向右平移
11.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（ ）
A. B. C.2 D.3
12.已知点O是的外心，，，，则下列正确的是（ ）
A.若，则的外接圆面积为
B.若，则
C.若，则
D.当，时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分.
13.已知向量，，若两个向量共线，则______.
14.过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为______.
15.若多项式，则______；______.
16.已知四边形中，，，三角形沿折起，使得二面角为120°，则此空间四边形外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
某教育集团向社会招聘一些管理型教师，现对应聘者所考虑的主要因素进行调查，所得统计结果如下表所示：
男性 女性
薪资 10 16
职位 10 4
（1）是否有95%的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；
（2）应聘需要通过两轮测试，才能成功应聘.第一轮测试有三道试题，答对两道以上视为通过；第二轮测试共有两道试题，全部答对视为通过.应聘者小张在第一轮中每道试题答对的概率为，在第二轮中每道试题答对的概率为，求小张通过应聘的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19.（本小题满分12分）
已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
20.（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面为等腰梯形，点E为与的交点，其中，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆P焦点分别是和，直线与椭圆P相交所得的弦长为1.
（1）求椭圆P的标准方程；
（2）将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q，在椭圆Q上存在A，B，C三点，且坐标原点为的重心，求的面积.
22.（本小题满分12分）
设函数在处的切线经过点.
（1）求t的值，并且讨论函数的单调区间；
（2）当时，时，不等式恒成立，求b的取值范围.
省级联测2021—2022第五次考试
高三数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B C B B C A CD AD BC BD
1.C解析：根据题意，，，故选C.
[命题意图]该题主要考查集合的运算，补集，考查数学运算能力，
2.B解析：根据题意，若，则，必要性成立，因为，不能得到，充分性不成立，故选B.
[命题意图]该题主要考查不等式与充要条件，对学生的逻辑能力进行考查.
3.B解析：根据题意，在直线上，可得，，所以，故选B.
[命题意图]该题主要考查导数的几何意义与应用，切线问题.
4.C解析：根据题意，小明得分的分布列为
0 5 10 15
所以小明答完这3道题的得分期望为，故选C.
[命题意图]该题主要考查随机事件的分布列与期望.
5.B解析：注意到，而，，故选B.
[命题意图]该题主要考查数列的基本规律，数列的求和.
6.B解析：根据题意可得，该旋转体为一个圆柱去掉一个内切球，所以该旋转体的体积，故选B
[命题意图]该题主要考查空间几何体，旋转体的体积问题，实际问题的建模.
7.C解析：①利用基本不等式可得，正确；②，不正确；③，则，所以，故选C.
[命题意图]该题主要考查基本不等式的综合应用.
8.A解析：根据题意，，变换可得：，分析可得，，，，，，，所以函数在上单调递增，所以，即，故选A.
[命题意图]该题主要考查三角函数导数的综合应用.
9.CD解析：∵复数在第二象限，所以，故选CD.
[命题意图]该题主要考查复数的周期性，复平面上复数的位置.
10.AD解析：函数可变换为，又因为，所以可以向左平移，也可以向右平移，故选AD.
[命题意图]该题主要考查三角函数的图象与变换.
11.BC解析：根据题意：抛物线的焦点为，直线过抛物线的焦点，所以，或，或2，故选BC.
[命题意图]该题主要考查直线与抛物线的综合应用，有关抛物线的焦点弦的性质.
12.BD解析：根据题意：因为点O是的外心，所以，，对于选项A，若，利用余弦定理可得：，所以的外接圆的半径为，所以该外接圆的面积为，故A不对；对于选项B、C，当时，根据余弦定理可得，，，，可得选项B正确，选项C不正确；对于选项D，当，时，可得，，所以，故D正确.
[命题意图]该题主要考查三角形中外心，有关向量综合问题.
13.解析：由题意，.
[命题意图]该题主要考查向量中共线问题.
14.解析：根据题意，双曲线渐近线方程为，所以要求的双曲线方程为，又过点，代入方程可得，因此双曲线方程为.
[命题意图]该题主要考查利用双曲线的性质求方程.
15.16 30解析：根据题意：令，，令，，所以，
所以.令，，所以.
[命题意图]该题主要考查多项式展开，二项式展开.
16.解析：由题意可得：如图所示，三角形的外心为的中点M，等边三角形的外心为N，分别过点M、N做平面和平面的垂线，交点为该图形的外接球的球心O，根据分析，，可得，又，所以，所以.
[命题意图]该题主要考查几何体外接球问题.
17.解：（1）根据题意，，当时，，两式作差可得：a，
可得数列为等比数列，令时，，
所以的通项公式为.
因为，所以为等差数列.因为，，所以公差.
故.
（2）由（1）可知，
，
.
作差可得：
计算可得：.
（注：不化简若正确得满分）
[命题意图]该题主要考查求解数列的通项公式，差比数列求和的错位相减法.
18.解：（1）补充的2×2列联表如下表：
男性 女性 总计
薪资 10 16 26
职位 10 4 14
总计 20 20 40
，
∴有95%以上的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”
（2）根据题意，小张通过应聘的概率为.
（注：得出得2分，得出得2分）
[命题意图]该题主要考查统计案例中概率问题与独立性检验问题.
19.解：（1）因为，
由正弦定理可得，
，
，，
可得：.
（2）由正弦定理知：，
，，
，
因为故，
所以，
故的取值范围为..
[命题意图]该题主要考查解三角形问题，正，余弦定理.
20.解：（1）根据题意，分析等腰梯形，因为，，，
可得，，
所以，，，所以，，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因为，，取的中点，连接，，
所以，，
可得：平面，所以，
又，所以平面，，
因此，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
根据分析，平面的法向量可以为，
，，
所以，令，可得，
所以，二面角的余弦值.
[命题意图]该题主要考查立体几何中面面垂直，二面角.
21.解：（1）根据题意，，,
，计算可得：，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知椭圆Q的方程为，
当直线斜率存在时，设方程为：，，，，
联立可得：，
则
又坐标原点为的重心，所以
由可知
将代入椭圆方程可得：，化简可得：，
又O到直线的距离为：，则，
易知原点O为的重心，所以，当直线斜率不存在时，根据坐标关系可得：.
综上所述，的面积为.
[命题意图]该题主要考查直线与椭圆综合性问题.
22.解：（1）因为，则，
所以，故切线方程为，所以，.故.
若，则当时，，；当时，，.
若，则当时，，；当时，，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）设，所以，
①当时，，当且仅当时等号成立，所以在R上单调递增，而，所以对时，.
②当时，若x满足，即时，，而，因此时，.
综上，b的取值范围为.
[命题意图]该题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与不等式的综合应用.
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，，，，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数在点处的切线方程是，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（ ）
A. B. C. D.
5.数列1，，，，，，，，，，…的第2021项为（ ）
A. B. C. D.
6.阿基米德（公元前287年——公元前212年），百科式科学家、数学家，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球.”阿基米德在做数学研究时，有一个有趣的问题：一个边长为2的正方形内部挖了一个内切圆，现以过该内切圆的圆心且平行于正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体，则该旋转体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知①若，，则；
②若，，，，则；
③若，，且，则的最小值为.
上面不等式中正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知函数为函数的导函数，满足，，，，则下面大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数a的可能取值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10将函数的图象变换为函数的图象，则所做的变换可以是（ ）
A.向左平移 B.向右平移
C.向右平移 D.向右平移
11.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（ ）
A. B. C.2 D.3
12.已知点O是的外心，，，，则下列正确的是（ ）
A.若，则的外接圆面积为
B.若，则
C.若，则
D.当，时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分.
13.已知向量，，若两个向量共线，则______.
14.过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为______.
15.若多项式，则______；______.
16.已知四边形中，，，三角形沿折起，使得二面角为120°，则此空间四边形外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
某教育集团向社会招聘一些管理型教师，现对应聘者所考虑的主要因素进行调查，所得统计结果如下表所示：
男性 女性
薪资 10 16
职位 10 4
（1）是否有95%的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；
（2）应聘需要通过两轮测试，才能成功应聘.第一轮测试有三道试题，答对两道以上视为通过；第二轮测试共有两道试题，全部答对视为通过.应聘者小张在第一轮中每道试题答对的概率为，在第二轮中每道试题答对的概率为，求小张通过应聘的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19.（本小题满分12分）
已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
20.（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面为等腰梯形，点E为与的交点，其中，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆P焦点分别是和，直线与椭圆P相交所得的弦长为1.
（1）求椭圆P的标准方程；
（2）将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q，在椭圆Q上存在A，B，C三点，且坐标原点为的重心，求的面积.
22.（本小题满分12分）
设函数在处的切线经过点.
（1）求t的值，并且讨论函数的单调区间；
（2）当时，时，不等式恒成立，求b的取值范围.
省级联测2021—2022第五次考试
高三数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B C B B C A CD AD BC BD
1.C解析：根据题意，，，故选C.
[命题意图]该题主要考查集合的运算，补集，考查数学运算能力，
2.B解析：根据题意，若，则，必要性成立，因为，不能得到，充分性不成立，故选B.
[命题意图]该题主要考查不等式与充要条件，对学生的逻辑能力进行考查.
3.B解析：根据题意，在直线上，可得，，所以，故选B.
[命题意图]该题主要考查导数的几何意义与应用，切线问题.
4.C解析：根据题意，小明得分的分布列为
0 5 10 15
所以小明答完这3道题的得分期望为，故选C.
[命题意图]该题主要考查随机事件的分布列与期望.
5.B解析：注意到，而，，故选B.
[命题意图]该题主要考查数列的基本规律，数列的求和.
6.B解析：根据题意可得，该旋转体为一个圆柱去掉一个内切球，所以该旋转体的体积，故选B
[命题意图]该题主要考查空间几何体，旋转体的体积问题，实际问题的建模.
7.C解析：①利用基本不等式可得，正确；②，不正确；③，则，所以，故选C.
[命题意图]该题主要考查基本不等式的综合应用.
8.A解析：根据题意，，变换可得：，分析可得，，，，，，，所以函数在上单调递增，所以，即，故选A.
[命题意图]该题主要考查三角函数导数的综合应用.
9.CD解析：∵复数在第二象限，所以，故选CD.
[命题意图]该题主要考查复数的周期性，复平面上复数的位置.
10.AD解析：函数可变换为，又因为，所以可以向左平移，也可以向右平移，故选AD.
[命题意图]该题主要考查三角函数的图象与变换.
11.BC解析：根据题意：抛物线的焦点为，直线过抛物线的焦点，所以，或，或2，故选BC.
[命题意图]该题主要考查直线与抛物线的综合应用，有关抛物线的焦点弦的性质.
12.BD解析：根据题意：因为点O是的外心，所以，，对于选项A，若，利用余弦定理可得：，所以的外接圆的半径为，所以该外接圆的面积为，故A不对；对于选项B、C，当时，根据余弦定理可得，，，，可得选项B正确，选项C不正确；对于选项D，当，时，可得，，所以，故D正确.
[命题意图]该题主要考查三角形中外心，有关向量综合问题.
13.解析：由题意，.
[命题意图]该题主要考查向量中共线问题.
14.解析：根据题意，双曲线渐近线方程为，所以要求的双曲线方程为，又过点，代入方程可得，因此双曲线方程为.
[命题意图]该题主要考查利用双曲线的性质求方程.
15.16 30解析：根据题意：令，，令，，所以，
所以.令，，所以.
[命题意图]该题主要考查多项式展开，二项式展开.
16.解析：由题意可得：如图所示，三角形的外心为的中点M，等边三角形的外心为N，分别过点M、N做平面和平面的垂线，交点为该图形的外接球的球心O，根据分析，，可得，又，所以，所以.
[命题意图]该题主要考查几何体外接球问题.
17.解：（1）根据题意，，当时，，两式作差可得：a，
可得数列为等比数列，令时，，
所以的通项公式为.
因为，所以为等差数列.因为，，所以公差.
故.
（2）由（1）可知，
，
.
作差可得：
计算可得：.
（注：不化简若正确得满分）
[命题意图]该题主要考查求解数列的通项公式，差比数列求和的错位相减法.
18.解：（1）补充的2×2列联表如下表：
男性 女性 总计
薪资 10 16 26
职位 10 4 14
总计 20 20 40
，
∴有95%以上的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”
（2）根据题意，小张通过应聘的概率为.
（注：得出得2分，得出得2分）
[命题意图]该题主要考查统计案例中概率问题与独立性检验问题.
19.解：（1）因为，
由正弦定理可得，
，
，，
可得：.
（2）由正弦定理知：，
，，
，
因为故，
所以，
故的取值范围为..
[命题意图]该题主要考查解三角形问题，正，余弦定理.
20.解：（1）根据题意，分析等腰梯形，因为，，，
可得，，
所以，，，所以，，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因为，，取的中点，连接，，
所以，，
可得：平面，所以，
又，所以平面，，
因此，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
根据分析，平面的法向量可以为，
，，
所以，令，可得，
所以，二面角的余弦值.
[命题意图]该题主要考查立体几何中面面垂直，二面角.
21.解：（1）根据题意，，,
，计算可得：，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知椭圆Q的方程为，
当直线斜率存在时，设方程为：，，，，
联立可得：，
则
又坐标原点为的重心，所以
由可知
将代入椭圆方程可得：，化简可得：，
又O到直线的距离为：，则，
易知原点O为的重心，所以，当直线斜率不存在时，根据坐标关系可得：.
综上所述，的面积为.
[命题意图]该题主要考查直线与椭圆综合性问题.
22.解：（1）因为，则，
所以，故切线方程为，所以，.故.
若，则当时，，；当时，，.
若，则当时，，；当时，，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）设，所以，
①当时，，当且仅当时等号成立，所以在R上单调递增，而，所以对时，.
②当时，若x满足，即时，，而，因此时，.
综上，b的取值范围为.
[命题意图]该题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与不等式的综合应用.
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