《等差数列》教学设计-人教A版高中数学必修5
文档属性
| 名称 | 《等差数列》教学设计-人教A版高中数学必修5 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 41.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-13 20:15:00 | ||
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文档简介
《等差数列》教学设计
一、教材分析：
1.教材的地位和作用：
等差数列是在学生学习了数列的有关概念和了解了数列的通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步加深和拓展，同时也为后面学习等比数列提供了学习对比的依据。同时，等差数列作为一种特殊的数列与函数思想密不可分，有着广范的应用。
2.学情分析
对于高二的学生，知识经验已经比较丰富了，具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力. 学生有能力通过一些特例得出等差数列的概念，进一步探究推导出等差数列的通项公式，用等差数列知识解决实际问题。
3.教学目标分析
认知目标：使学生掌握等差数列定义及通项公式，能运用定义及通项公式解决一些实际问题。
能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理能力以及计算能力，初步掌握数学建模思想方法并能运用。
情感目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
4.教学重点、难点：
重点：等差数列的概念，等差数列通项公式的推导过程及应用，
体会等差数列和一次函数之间的联系
难点：等差数列通项公式的推导过程中体现出的数学思想方法
二、教法、学法分析：
教法：本节课采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
学法：在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
三、教学过程：
1.创设情景
情境1：姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6 000，第二天：6 500，第三天：7 000，第四天：7 500，
第五天：8 000，第六天：8 500，第七天：9 000.
得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9 000.
情境2：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：1682，1758，1834，1910，1986，（ ）
你能预测出下一次的大致时间吗？
情境3:通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
高度 1 2 3 4 5 6 7 ... 9
温度 28 21.5 15 8.5 2 -4.5 -11 ...
情境4:在现实生活中，我们经常这样数数， 从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0, 5,10,15,20….
情境5: 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体组成数列(单位：kg)：48，53，58，63.
设计意图：给出等差数列的现实背景，让学生切实感受到等差数列是现实生活中大量存在的数列模型. 通过观察，给了学生一定的思考和探索的空间，让他们自己通过观察、归纳、猜想等认识到等差数列的特性.
探究等差数列定义
观察这些数列，你能发现什么？
1. 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
2. 1682，1758，1834，1910，1986，2062
3. 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
4. 0, 5, 10, 15, 20…
5. 48，53，58，63.
共同特点： 以上5个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数
设计意图：引导学生逐一观察它们的特征，并进行概括. 一方面引导学生观察相邻两项间的关系，另一方面要通过对这5个数列的具体探索，让学生发现这些数列的共同特征，进一步规纳出等差数列的定义。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
提问：定义中有哪些关键字？
设计意图：学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环. 因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力.
练习：下面几个数列是等差数列吗？
（1） 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
（2） 5，5，5，5，5，5，…
（3）
设计意图：引入概念以后，通过练习让学生加深对定义的理解
探究等差数列通项公式
你能求出该数列的通项公式吗？
(1). 1，4，7，10，13，16，( ),( )……
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，让学生分组讨论{an }的通项公式，进而归纳出数列{an }的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,
则据其定义可得：
a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------累加法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an – an-1=d
将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 an– a1= (n-1) d
即 an= a1+(n-1) d （1）
当n=1时，（1）也成立，
所以对一切n∈，上面的公式都成立
因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。
在累加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。
利用等差数列概念启发学生写出n-1个等式。
对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。
在这里通过该知识点引入累加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求
4.探究等差数列与一次函数之间的关系。由此说明等差数列是关于正整数n一次式，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。
5.应用举例
设计意图：这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。
例1 在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d.
练习：1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
3. -20是不是等差数列0，-3.5，-7…中的项？
6.能力提升：设梯子的最高一级宽33，最底一级宽110，中间还有10级，已知各级宽度成等差数列，求中间各级的宽度。
设置此题的目的：1.加强同学们对应用题的综合分析能力。2.通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法。
7.课堂小结
8.作业布置
等差数列的定义
（3）（3）
例2 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
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一、教材分析：
1.教材的地位和作用：
等差数列是在学生学习了数列的有关概念和了解了数列的通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步加深和拓展，同时也为后面学习等比数列提供了学习对比的依据。同时，等差数列作为一种特殊的数列与函数思想密不可分，有着广范的应用。
2.学情分析
对于高二的学生，知识经验已经比较丰富了，具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力. 学生有能力通过一些特例得出等差数列的概念，进一步探究推导出等差数列的通项公式，用等差数列知识解决实际问题。
3.教学目标分析
认知目标：使学生掌握等差数列定义及通项公式，能运用定义及通项公式解决一些实际问题。
能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理能力以及计算能力，初步掌握数学建模思想方法并能运用。
情感目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
4.教学重点、难点：
重点：等差数列的概念，等差数列通项公式的推导过程及应用，
体会等差数列和一次函数之间的联系
难点：等差数列通项公式的推导过程中体现出的数学思想方法
二、教法、学法分析：
教法：本节课采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
学法：在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
三、教学过程：
1.创设情景
情境1：姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6 000，第二天：6 500，第三天：7 000，第四天：7 500，
第五天：8 000，第六天：8 500，第七天：9 000.
得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9 000.
情境2：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：1682，1758，1834，1910，1986，（ ）
你能预测出下一次的大致时间吗？
情境3:通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
高度 1 2 3 4 5 6 7 ... 9
温度 28 21.5 15 8.5 2 -4.5 -11 ...
情境4:在现实生活中，我们经常这样数数， 从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0, 5,10,15,20….
情境5: 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体组成数列(单位：kg)：48，53，58，63.
设计意图：给出等差数列的现实背景，让学生切实感受到等差数列是现实生活中大量存在的数列模型. 通过观察，给了学生一定的思考和探索的空间，让他们自己通过观察、归纳、猜想等认识到等差数列的特性.
探究等差数列定义
观察这些数列，你能发现什么？
1. 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
2. 1682，1758，1834，1910，1986，2062
3. 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
4. 0, 5, 10, 15, 20…
5. 48，53，58，63.
共同特点： 以上5个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数
设计意图：引导学生逐一观察它们的特征，并进行概括. 一方面引导学生观察相邻两项间的关系，另一方面要通过对这5个数列的具体探索，让学生发现这些数列的共同特征，进一步规纳出等差数列的定义。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
提问：定义中有哪些关键字？
设计意图：学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环. 因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力.
练习：下面几个数列是等差数列吗？
（1） 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
（2） 5，5，5，5，5，5，…
（3）
设计意图：引入概念以后，通过练习让学生加深对定义的理解
探究等差数列通项公式
你能求出该数列的通项公式吗？
(1). 1，4，7，10，13，16，( ),( )……
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，让学生分组讨论{an }的通项公式，进而归纳出数列{an }的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,
则据其定义可得：
a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------累加法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an – an-1=d
将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 an– a1= (n-1) d
即 an= a1+(n-1) d （1）
当n=1时，（1）也成立，
所以对一切n∈，上面的公式都成立
因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。
在累加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。
利用等差数列概念启发学生写出n-1个等式。
对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。
在这里通过该知识点引入累加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求
4.探究等差数列与一次函数之间的关系。由此说明等差数列是关于正整数n一次式，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。
5.应用举例
设计意图：这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。
例1 在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d.
练习：1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
3. -20是不是等差数列0，-3.5，-7…中的项？
6.能力提升：设梯子的最高一级宽33，最底一级宽110，中间还有10级，已知各级宽度成等差数列，求中间各级的宽度。
设置此题的目的：1.加强同学们对应用题的综合分析能力。2.通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法。
7.课堂小结
8.作业布置
等差数列的定义
（3）（3）
例2 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
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