南阳市部分学校2021-2022学年高三上学期12月联考
理数试题
一、单选题（每小题5分，共60分）
1.若集合}，，则（ ）
A. B. C. D.
2．若复数满足：（为虚数单位），则等于（ ）
A． B． C． D．
3、函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
5. 在等差数列中，，则（ ）
A．-18 B．-6 C．8 D．12
6.设奇函数在R上存在导数，且在上，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7. A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 是棱长为2的正方体, 分别为的中点，过的平面截正方体的截面面积为 （ ）
A． B． C． D．
9. 在的展开式中，的系数是14，则的系数是（ ）
A. 28 B．56 C．112 D． 224
10.设实数满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11、中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（ ）
A．7 B． C． D．
12．过双曲线C：(a＞0，b＞0)的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知， ，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是
14.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且两门课程至少要选1门，则学生甲共有__________种不同的选法.
15.已知是函数在内的两个零点，则____________.
16. 已知函数，若存在实数，满足，且，则的最小值为______．
三、解答题（共70分）
17.（12分）已知等差数列的前项和为，且，.数列满足.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证.
18.（12分）据悉，我省将从2022年开始进入“”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如下表：
选考物理 选考历史 总计
男生 40 50
女生
总计 30
（1）补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；
（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.（12分） 如图3，在直角梯形ABCD中，，且现以AD为一边向外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图4．
（1）求证：平面BEC；
（2）求证：平面BDE；
（3）求CD与平面BEC所成角的正弦值．
20.（12分）已知椭圆C：1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（﹣3，0），B（3，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究△BMO与△NMO的面积之比是否为定值．
21、（12分）
选做题，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（10分）
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于不同的两点.
(1)求曲线C的参数方程；
(2)若点P为直线与x轴的交点，求的取值范围
23．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|（a∈R）．
（1）当a＝4时，解不等式f（x）＜8；
（2）记关于x的不等式f（x）≤2|x﹣3|的解集为M，若[﹣4，﹣1] M，求a的取值范围．
高三理数 1南阳市部分学校2021-2022学年高三上学期12月联考
理数答案
1-5CDAAA 6-10BBCDA 11-12AD
13. 14.16
15. 16.
17.(1)设公差为，
由题可知： …………………………（2分）
当时，， ………………………………（3分）
当时， ， ……………………（5分）
………………………………（6分）
（2）
………………………………（7分）
………………………………（10分）
………………………………（12分）
18.（Ⅰ）根据题意补全22列联表,如下:
选考物理 选考历史 总计
男生 40 10 50
女生 30 20 50
总计 70 30 100
根据表中数据,可得=≈4.762>3.841,
故有95%的把提认为“选考物理与性别有关.”
6分
（Ⅱ）X的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 随机变量x服从二项分布,
由题意,可得学生选考历史的概率为,且X~B(3,)，
P(X=0)==, P(x=1)==,
P(X=2)=()'=, P(X=3)==.
x的分布列为
X 0 1 2 3
P
期望E（x）=3×=.
19.(1)取EC中点N，连接MN，BN，在中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以，且
由已知，， 所以，且．
所以四边形ABNM为平行四边形． 所以．
又因为平面BEC，且平面BEC， 所以平面BEC． 3分
(Ⅱ)证明：在正方形ADEF中，
又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ADEF，
所以平面ABCD，又平面ABCD，所以．
在直角梯形ABCD中，，，可得
在中，， 所以 所以．
又，ED，平面BDE．所以平面BDE． 7分
作平面BEC于点H，连接CH，则为所求的角
由知，，又平面BDE，且平面BDE，可得，
所以，又因为平面ABCD，BD，平面ABCD，
则，，计算可得，结合，
，
又．所以，
所以
20.（Ⅰ）由题意，a＝3，又e，∴c，则b．
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），则．
∴直线AP的方程为，
取x＝4，可得点E（4，）， ∵直线BE的斜率为，
∴直线l的方程为， 又直线PB的方程为，
联立直线l与PB的方程，消去y得，
∴，① ∵，∴，
代入①解得点N的横坐标，即N点轨迹方程为： ……（10分）
∴．
故△BMO与△NMO的面积之比为4：7． ………………………………（12分）
21、(1)的定义域为，．
令，方程的判别式△，
（ⅰ）当△≤0，即-1≤a≤1时，恒成立，
即对任意，，
所以在上单调递增．
（ⅱ）当△，即或．
①当时，恒成立，即对任意，，
所以在上单调递增．
②当时，由，解得，．
所以当时，；当时，；当时，，
所以在上，，
在上，，
所以函数在和上单调递增；
在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
22.(1)由曲线C的极坐标方程，得，即，
则，所以曲线C的参数方程为(为参数).
(2)将｛代入曲线C的直角坐标方程，
整理得.设方程的两个实根分别为，，
则，所以，与同号，
由参数t的几何意义，可得，
，
所以
所以的取值范围为.
23．（1）a＝4时，f（x）＝|x﹣4|+2|x+1|，
不等式可转化为， …………………………（2分）
若f（x）＜8，
或或 ………………………………（3分）
解得：﹣2＜x＜﹣1或﹣1≤x＜2或x∈ ， ………………………………（4分）
综上，不等式的解集是（﹣2，2）． ………………………………（5分）
（2）若[﹣4，﹣1] M，f（x）≤2|x﹣3|，
即当x∈[﹣4，﹣1]时，|x﹣a|+2|x+1|≤2|x﹣3|恒成立，……………………………（6分）
∵在[﹣4，﹣1]上，x+1≤0，x﹣3≤0，
∴|x+1|＝﹣x﹣1，|x﹣3|＝3﹣x，
∴f（x）≤2|x﹣3|等价于|x﹣a|≤8，即﹣8≤x﹣a≤8，………………………………（8分）
∵当x∈[﹣4，﹣1]时该不等式恒成立，
∴， ………………………………（9分）
解得﹣9≤a≤4．
即a的范围是[﹣9，4]． ………………………（10分）
高三理数答案 1
