安徽省芜湖市2021--2022学年人教版九年级上学期期末考试数学试卷（PDF版，含答案）

九上期末试卷
一、选择题（本大题共 10 道小题）
1
1. 抛物线 y＝ x2 2 2，y＝x，y＝－x 的共同性质是：
2
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的个数有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2.如图，动点 M，N 分别在直线 AB 与 CD 上，且 AB//CD，∠BMN 与∠MND 的平分线相交于点 P，若以 MN 为直
径作⊙O，则点 P与⊙O 的位置关系是（ ）
器
图
A．点 P在⊙O 外 B．点 P在⊙O内
C．点 P在⊙O 上 D．以上都有可能
y ax2
辑
3. 抛物线 ＝ +bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与 x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称
轴是直线 x 2＝1．下列结论中：①abc＜0；②2a+b＝0；③方程 ax +编bx+c＝2 有两个不相等的实数根；④2抛物线与 x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；⑤若点FA（m，n）在该抛物线上，则 am +bm+c≤a+b+c．其中正确的有（ ）
A．5个 B．P4 个 DC．3 个 D．2个4. 抛物线 y=ax2+bx－3 过点（2，4），则代数式 8a+4b+1 的值为（ ）A.－2 B.2 C.15 D.－15
2
5. 二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示，则点 在第___象限( )
云A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
风
6. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点 C为圆心，以 2.5 cm 为半径画圆，则⊙C与直
线 AB的位置关系是( )
1 / 7
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
7.如图，已知 AB是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，且∠BCD＝30°，CD＝4 ．则图中阴影部分的面
积 S 阴影＝( )
器
A．2π B． π C． π D． π
8. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I是△ABC 的内心，∠AIC＝124°，点 E在 AD 的延辑长线上，则∠CDE
的度数为( )
F编
A．56° B．62° C．68° D．78°
9.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，以点 A为D圆心，AD为半径，画圆弧 DE得到扇形 DAE(阴影部分，点 E在
对角线 AC 上)．若扇形 DAE 正P好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是( )
云
风A． B．1 C． D．210. 二次函数 y＝－(x－1) ＋5，当 m≤x≤n且 mn＜0时，y的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n的值为( )
5 3 1
A. B. 2 C. D.
2 2 2
二、填空题（本大题共 4道小题）
2 / 7
2
11. 在 x + +4=0 的横线上添加一个关于 x的一次项，使方程有两个相等的实数根.
3
y y ax212. 如图，已知函数 =－ 与 = +bx（a>0，b>0）的图象交于点 P，点 P的纵坐标为 1，则关于 x的方
x
3
2
程 ax +bx+ =0 的解为_______.
x
2 2
13.函数 y＝(m ﹣3m+2)x +mx+1﹣m，则当 m＝ 时，它为正比例函数；当 m＝ 时，它为一次函数；器
当 m 时，它为二次函数．
14.如图，在平面直角坐标系中，点 P1的坐标为( ， )，将线段 OP1绕点 O按顺时针方辑向旋转 45°，再
将其长度伸长为 OP1的 2倍，得到线段 OP2；又将线段 OP2绕点 O按顺时针方向旋转 45°，长度伸长为 OP2
的 2倍，得到线段 OP3；如此下去，得到线段 OP4，OP5，…，OPn(n 为正整编数)，则点 P2020的坐标是 ．F
三、解答题（本大题共 9道小题） D
x y 2,
15. 解方程组： 2
x 2xy 3yP2 0.
m 2
16.关于 x 的云一元二次方程 x m 3 x m 1 0 有两个实数根4
(1)求 m 的取值范围；
风(2)若 m 为正整数，求此方程的根.
2
17.已知抛物线 y1=ax +bx+c 过点 A(1,0)，顶点为 B，且抛物线不经过第三象限.
（1）使用 a、c表示 b;
3 / 7
（2）判断点 B所在象限，并说明理由；
c
（3）若直线 y2=2x+m 经过点 B，且与该抛物线交于另一点 C ,b 8 ,求当 x≥1时 y1的取值范围.
a
18. 如图，AC 是⊙O的直径，PA 切⊙O于点 A，点 B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.
（1）求证：PB 是⊙O的切线；
（2）若⊙O 的半径为 2，求弦 AB及 PA，PB 的长.
器
19.在平面直角坐标系中，△ABC 的点坐标分别是 A(2，4)、B(1，2)、C(5，3)，如图：辑
(1)以点(0，0)为旋转中心，将△ABC 顺时针转动 90°，得到△A1B1C1，编在坐标系中画出△A1B1C1，写出 A1、B1、C1的坐标；(2)在(1)中，若△ABC 上有一点 P(m，n)，直接写出对应点 P1的坐标．
(3)作出△ABC 关于点 O 的中心对称图形△A2B2C2．
PD
F
云
20.将正面分别写有数字 1，2，3 的三张卡片(卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同)洗匀后，
风背面朝上放在桌面上．甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 a，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上；再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 b，组成数对(a，b)．
(1)请写出数对(a，b)所有可能出现的结果；
4 / 7
2
(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽取一次卡片，按照得到的数对计算 ab 的值，若
ab2的值为奇数则甲贏；ab2的值为偶数则乙贏．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
21. A、B 两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序
也不确定．两人采取了不同的乘车方案： 器
A 无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适
度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： 辑
(1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
(2)你认为 A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性编大？为什么？
DF
22.一个不透明的盒子中装有两个P红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．
(1)从中随机摸云出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．
(2)从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能
风配成紫色的概率 ．
5 / 7
23. 如图，已知△ABC 内接于⊙O，点 C 在劣弧 AB 上(不与点 A，B 重合)，点 D 为弦 BC 的中点，DE⊥BC，
DE 与 AC 的延长线交于点 E.射线 AO与射线 EB 交于点 F，与⊙O交于点 G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG
＋∠EBA＝γ.
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近．似．数据
α 30° 40° 50° 60°
β 120° 130° 140° 150°
γ 150° 140° 130° 120°
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE 的面积为△ABC 的面积的 4倍，求⊙O半径的长．
器
辑
DF
编
P
云
风
6 / 7
九上期末试卷-讲评卷
一、选择题（本大题共 10 道小题）
1
y x2 y x2 y x21. 抛物线 ＝ ， ＝ ， ＝－ 的共同性质是：
2
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以 y 轴为对称轴；④都关于 x
轴对称．其中正确的个数有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
1 2 2 2
【答案】B 【解析】抛物线 y＝ x，y＝x，y＝－x 的共同性质是：
2
序号 逐项分析 正误器
1 2 2 2
抛物线 y＝ x，y＝x 都是开口向上，但抛物线 y＝－x 的开
① 2 ×
口向下，错误 辑
② 三条抛物线都是以(0，0)为顶点，正确 √
③ 三条抛物线都是以 y轴为对称轴，正确 √
④ 三条抛物线都关于 y轴对称，错误 ×
2.如图，动点 M，N 分别在直线 AB与FCD 上，编且 AB//CD，∠BMN 与∠MND 的平分线相交于点 P，若以 MN 为直径作⊙O，则点 P与⊙O的位
置关系是（ ）
PD
图
A．点 P在云⊙O外 B．点 P在⊙O内C．点 P在⊙O上 D．以上都有可能
风【答案】 C 点拨：∵AB∥CD，∴∠BMN+∠MND=180°，
∵∠BMN 与∠MND 的平分线相交于点 P，
1 / 17
1 1
∴∠PMN= ∠BMN，∠PNM= ∠MND，
2 2
∴∠PMN+∠PNM=90°.
∴∠MPN=180°－（∠PMN+∠PNM）=180°－90°=90°.
1
∴以 MN为直径作⊙O时，OP= MN=⊙O 的半径，
2
∴点 P 在⊙O 上．故选 C．
3. 抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与 x轴的一个交点坐标为器
（4，0），抛物线的对称轴是直线 x＝1．下列结论中：①abc＜0；②2a+b＝0；
2
③方程 ax +bx+c＝2 有两个不相等的实数根；④抛物线与 x轴的另一个交点坐
2
标为（﹣2，0）；⑤若点 A（m，n）在该抛物线上，则 am +bm+c辑≤a+b+c．其
中正确的有（ ）
编
A．5 个 B．4 个 CF．3个 D．2个【答案】A
解：抛物线开口向下，则 a＜0，对称轴在 y轴的右侧，a、b异号，所以 b＞0，
抛物线与 y轴交在正半轴，c＞0，D因此 abc＜0，故①正确；
对称轴 x＝1，即﹣ ＝1，也就是 2a+b＝0，因此②正确；
2
抛物线 y＝ax +bx+c（a≠P0）的图象与直线 y＝2有两个不同交点，因此方程
ax2+bx+c＝2 有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线的对云称轴为直线 x＝1，与 x轴的一个交点为（4，0），根据对称性可得与 x轴的另一个交点为（﹣2，0），因此④正确；
2 2
风当 x＝1时，y＝a+b+c 的值最大，当 x＝m时，y＝am +bm+c，因此 am +bm+c≤a+b+c，故⑤正确．综上所述，正确的结论有①②③④⑤，
2
4. 抛物线 y=ax +bx－3 过点（2，4），则代数式 8a+4b+1 的值为（ ）
2 / 17
A.－2 B.2 C.15 D.－15
【答案】【答案】C
2
5. 二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示，则点 在第___象限( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
器
【答案】D 辑
6. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点 C为圆心，以 2.5 cm
为半径画圆，则⊙C与直线 AB 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
【答案】 A 【解析】如解图，在 Rt△ABFC 中，AC编＝4，BC＝3，由勾股定理得1 1AB＝5.过 C 作 CD⊥AB 于 D，则 S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CD，解得 CD＝2.4<2.5，∴2 2
直线 AB 与⊙C相交．
PD解图
7.如图，已云知 AB 是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，且∠BCD＝30°，CD＝4 ．则图中阴影部分的面积 S 阴影＝( )
风
A．2π B． π C． π D． π
【答案】解：∵AB 是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，
3 / 17
∴CE＝ED＝2 ，
又∵∠DCB＝30°，
∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∠ODE＝30°，
∴OE＝2 2，OD＝2OE＝4，
∴S 阴影＝S 扇形 BOD﹣S△DOE+S△BEC 2×2 ．
故选：B． 器
8. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I是△ABC 的内心，∠AIC＝124°，点 E
在 AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为( ) 辑
A．56° B．62° C．68°编D．78°
【答案】解：∵点 I是△ABC 的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA， F
∵∠AIC＝124°，
∴∠B＝180°﹣(∠BAC+∠ACB) D
＝180°﹣2(∠IAC+∠ICPA)＝180°﹣2(180°﹣∠AIC)
＝68°，
又四边形云ABCD 内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，
故选：C．
风9.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，以点 A为圆心，AD 为半径，画圆弧 DE 得到扇
形 DAE(阴影部分，点 E在对角线 AC 上)．若扇形 DAE 正好是一个圆锥的侧面
展开图，则该圆锥的底面圆的半径是( )
4 / 17
A． B．1 C． D．
【答案】解：设圆锥的底面圆的半径为 r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°， 器
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr ， 辑
解得 r ．
答：该圆锥的底面圆的半径是 ．
故选：D． 编
2
10. 二次函数 y＝－(x－1) ＋5，当 m≤x≤Fn 且 mn＜0 时，y的最小值为 2m，最
大值为 2n，则 m＋n的值为( )
5 3 1
A. B. 2 C. D.
2 2 2 D
【答案】D 【解析】结P合题意，先画草图如解图，由题意可知，m<0，n>0，根据 y 2的最小值为 2m，得 2m＝－(m－1) ＋5 ，则 m＝－2，根据 y的最大值为 2n，1
得出 2n＝5，则 n＝2.5，∴m＋n＝ ，故选 D.
云 2
风
二、填空题（本大题共 4道小题）
5 / 17
2
11. 在 x + +4=0 的横线上添加一个关于 x的一次项，使方程有两个相等
的实数根.
【答案】4x(或-4x，只写一个即可) [解析]一元二次方程有两个相等的实根，
则 b2 2-4ac=b -16=0，解得 b=±4，所以一次项为 4x 或-4x.
3 2
12. 如图，已知函数 y=－ 与 y=ax +bx（a>0，b>0）的图象交于点 P，
x
P 2
3
点 的纵坐标为 1，则关于 x的方程 ax +bx+ =0 的解为_______.
x 器
辑
【答案】 x=－3 编
2
13.函数 y＝(m ﹣3m+2)x2+mx+1﹣m，则当 m＝F时，它为正比例函数；当 m＝时，它为一次函数；当 m 时，它为二次函数．
2
【答案】解：m﹣3m+2＝0，
则(m﹣1)(m﹣2)＝0， D
解得：m1＝1，m2＝2，
故 m≠1且 m≠2时，它为P二次函数；当 m＝1或 2时，它为一次函数，当 m＝1
时，它为正比例函数；
故答案为：云1；1 或 2；m≠1 且 m≠2
风14.如图，在平面直角坐标系中，点 P1的坐标为( ， )，将线段 OP1绕点 O按顺时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为 OP1的 2倍，得到线段 OP2；又将线段OP2绕点 O按顺时针方向旋转 45°，长度伸长为 OP2的 2倍，得到线段 OP3；如
此下去，得到线段 OP4，OP5，…，OPn(n 为正整数)，则点 P2020的坐标
是 ．
6 / 17
【答案】解：∵点 P1的坐标为( ， )，将线段 OP1绕点 O按逆时针方向旋转
45°，再将其长度伸长为 OP1的 2倍，得到线段 OP2；
∴OP1＝1，OP2＝2， 器
∴OP 3 43＝4，如此下去，得到线段 OP4＝2，OP5＝2…，
∴OP n﹣1n＝2 ，
由题意可得出线段每旋转 8次旋转一周， 辑
∵2020÷8＝252…4，
∴点 P2020的坐标与点 P4的坐标在同一直线上F，正好在编y 轴的负半轴上，∴点 P 20192020的坐标是(0，﹣2 )．2019故答案为：(0，﹣2 )．
三、解答题（本大题共 9道小题）
x y P2, D15. 解方程组： x2 2xy 3y2 0.
x－y＝2， ①
【答案】解：
x2 2－2xy－3y ＝0， ②
方程①变形为 y＝x－2. ③
2 2
把③代入②云，得 x－2x(x－2)－3(x－2) ＝0.x2整理，得 －4x＋3＝0.
解这个方程，得 x
风 1
＝1，x2＝3.
将 x1＝1，x2＝3代入③，分别求得 y1＝－1，y2＝1.
x1＝1， x2＝3，
所以原方程组的解为 或
y1＝－1 y2＝1.
16.关于 x m的一元二次方程 x2 m 3 x m 1 0有两个实数根
4
(1)求m 的取值范围；
(2)若m 为正整数，求此方程的根.
7 / 17
m
0 4 9
【答案】解：(1) 则m 且m 0；

m 3
2 4 m m 5 1 0
4
1
(2)m 1时，原方程为 x2 2x 0，则 x 0或 8。
4
2
17.已知抛物线 y1=ax +bx+c 过点 A(1,0)，顶点为 B，且抛物线不经过
第三象限. 器
（1）使用 a、c 表示 b;
（2）判断点 B所在象限，并说明理由； 辑c
（3）若直线 y 2=2x+m 经过点 B，且与该抛物线交于另一点 C ,b 8 ,
a
求当 x≥1 时 y1的取值范围. 编
【答案】 解：（1）把点 A（1,0）的F坐标代入函数解析式即可得到b=－a－c.
（2）若 a＜0，则抛物线开口D向下，抛物线必过第三象限，所以 a＜0不成立.
当 a>0 时，抛物线开P口向上，B在第四象限.理由如下：由题意，
ax2 bx 2+ +c=0 可变形为 ax －(a+c)x+c=0，
解得 x1=1云,x c2= ,a≠c，a
所以抛物线与 x 轴有两个交点.又因为抛物线不经过第三象限,所以
风a>0，且顶点在第四象限; c（3）由（2）知抛物线与 x 轴两个交点为 A（1，0）与（ ，0）.a
8 / 17
c
∵直线 y2=2x+m 与该抛物线交于点 B、点 C ( ,b+8)，∴点 C就是抛a
2
物线与 x 轴的一个交点，即 b+8=0，b=－8，此时－a－c=－8，y1=ax
4 ac 16
－8x+c，抛物线顶点 B 的坐标为（ ， ）.
a a
把 B、C两点坐标代入直线解析式 y2=2x+m，得 ac+2c=24.
又 a+c=8，解得 a=c=4（与 a≠c矛盾，舍去）或 a=2，c=6.
2
∴y1=2x －8x+6，B（2，－2）. 器
画出上述二次函数的图象(如答图)，观察图象知，当 x≥1 时，y1的
最小值为顶点纵坐标－2，且无最大值. 辑
编
∴当 x≥1 时，y1的取值范围是 y1≥－F2.
答图
点拨：二次函数的问题通常都D是求解析式、求对称轴、求顶点坐标、
求最值以及与其他知识的综合等，本题基本上综合了上述各种问题，
解题的方法就是牢牢P抓住二次函数的对称轴的求法，顶点坐标的求
法，以及云最值的求法.
18. 如图，AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O于点 A，点 B 是⊙O 上的一点，
风且∠BAC=30°，∠APB=60°.
（1）求证：PB 是⊙O的切线；
9 / 17
（2）若⊙O的半径为 2，求弦 AB 及 PA，PB 的长.
【答案】（1）证明：连接 OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°.∴
∠AOB=180°－30°－30°=120°.∵PA切⊙O于点 A,∴OA⊥PA,∴∠
OAP=90°. 器
∵四边形的内角和为 360°，
∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°. 辑
∴OB⊥PB.
又∵点 B 是⊙O上的一点， 编
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：连接 OP.∵PA、PB 是⊙O 的F切线，∴PA=PB，∠OPA=
1
∠OPB= ∠APB=30°.
2
在 Rt△OAP 中，∠OAPP=90°，D∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=4，∴PA= OP 2 OA2 = 42 22 =2 3 .
∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2 3 .
云
风19.在平面直角坐标系中，△ABC 的点坐标分别是 A(2，4)、B(1，2)、C(5，3)，如图：(1)以点(0，0)为旋转中心，将△ABC 顺时针转动 90°，得到△A1B1C1，在坐标系
中画出△A1B1C1，写出 A1、B1、C1的坐标；
(2)在(1)中，若△ABC 上有一点 P(m，n)，直接写出对应点 P1的坐标．
10 / 17
(3)作出△ABC 关于点 O的中心对称图形△A2B2C2．
【答案】解：(1)如图所示，△A 器1B1C1即为所求，A1(4，﹣2)、B1(2，﹣1)、C1(3，
﹣5)；
(2)若△ABC 上有一点 P(m，n)，则对应点 P1的坐标为(n，﹣m)．
(3)如图所示，△A2B2C2即为所求． 辑
编
DF
20.将正面分别写有数字P1，2，3 的三张卡片(卡片的形状、大小、质地、颜色等
其他方面完全相同)洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲从中随机抽取一张卡片，
记该卡云片上的数字为 a，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上；再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 b，组成数对(a，b)．
(1)请写出数对(a，b)所有可能出现的结果；
风(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽取一次卡片，按照得2 2到的数对计算 ab 的值，若 ab 的值为奇数则甲贏；ab2的值为偶数则乙贏．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】解：(1)如图所示：
11 / 17
2
(2)由树状图知，共有 9种等可能结果，其中 ab 的值为奇数的有 1、9、3、27
2
这 4种结果，ab 的值为偶数的有 4、2、8、18、12 这 5 种结果， 器
所以甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ，
∵ ，
∴这个游戏不公平． 辑
编
21. A、B 两人去茅山风景区游玩，已知每天F某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不D确定．两人采取了不同的乘车方案：A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒P适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：(1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
(2)你认为云A、B 两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？【答案】解：(1)列表：
风
12 / 17
三辆车按出现的先后顺序共有 6种不同的可能；
(2)A 采用的方案使自己乘上等车的概率 ；B采用的方案使自己乘上等车的器
概率 ，
因为 ， 辑
所以 B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大．
22.一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．编这些球除颜色外都相同．
(1)从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．
①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝F球，第二次摸到红球的概率；
②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．
(2)从中随机摸出一个球P，记下颜D色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．【答案】解：(1)根据题意画图如下：
云
风①共有 9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有 2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是 ；
②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有 4种情况，
则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 ；
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故答案为： ；
(2)根据题意画图如下：
器
共有 6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有 4种，
则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ；
故答案为： ． 辑
23. 如图，已知△ABC 内接于⊙O，点 C 在劣弧 AB 上编(不与点 A，B 重合)，点 D为弦 BC 的中点，DE⊥BC，DE 与 AC 的延长线F交于点 E.射线 AO 与射线 EB 交于点F，与⊙O交于点 G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.(1)点点同学通过画图和测量得到以下近．似．数据α 30°D40° 50° 60°120 130 150β 140°° ° °150 140 120γ 130°° ° °
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
(2)若γ＝135°，CD＝3P，△ABE 的面积为△ABC 的面积的 4倍，求⊙O半径的长．
云
风【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为 90°和圆内接四边形的对角和为 180°即可得出β＝
90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和
定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以
得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、
△BEC、△ABG 都是等腰直角三角形，由 CD 的长，可得出 BE 和 CE 的长，再由题
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干条件△ABE的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE
中求出 AB 的长，再利用勾股定理在△ABG 求出 AG 的长，即可求出半径长．
①
(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α
证明：如解图①，连接 BG，
∵AG 是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，
∴α＋∠BGA＝90°，
又∵四边形 ACBG 内接于⊙O，
∴β＋∠BGA＝180°，
∴β－α＝90°，
即β＝90°＋α；
②∵D是 BC 的中点，且 DE⊥BC，
∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EAG＋∠EBA＝γ，
∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，
∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，
∴2∠ECB＋α＝γ，
∴2(180°－β )＋α＝γ，
由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；
(2)如解图②，连接 BG，
②
∵γ＝135°，γ＝180°－α，
∴α＝45°，β＝135°，
∴∠AGB＝∠ECB＝45°，
∴△ECD 和△ABG 都是等腰直角三角形，
又∵△ABE 的面积是△ABC 的面积的 4倍，
∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，
∵CD＝3，∴CE＝3 2，AC＝ 2，∴AE＝4 2，(10 分)
∵∠BEA＝90°，
2 2 2 2
∴由勾股定理得，AB＝ BE ＋AE ＝ （3 2）＋（4 2）＝ 50＝5 2，(11 分)
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∴AG＝ 2AB＝ 2×5 2＝10，
∴r＝5.
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