(共17张PPT)
24.2.2 直线和圆的位置关系(第1课时)
本课是在研究点和圆的位置关系之后,进一步研究由点组成的直线和圆的位置关系.
内容说明
学习目标: 1.理解直线和圆相交、相切、相离等概念; 2.理解直线和圆相交、相切、相离的判定方法和性
质.
学习重点: 利用圆心到直线的距离与半径的关系判别直线和圆的位置关系.
1.情境引入
1.情境引入
1.情境引入
l
O
2.直线和圆的位置关系
这条直线叫做圆的割线,公共点叫直线和圆的交点.
直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切.
直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.
这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.
l
O
l
O
A
l
O
A
B
2.直线和圆的位置关系(图形特征)
1.能否根据基本概念判断直线和圆的位置关系?
直线 l 和⊙O 没有公共点 直线 l 和⊙O 相离.
直线 l 和⊙O 只有一个公共点 直线 l 和⊙O 相切.
直线 l 和⊙O 有两个公共点 直线 l 和⊙O 相交.
2.是否还有其他的方法判断直线和圆的位置关系?
用公共点的个数来判断直线和圆的位置关系.
2.直线和圆的位置关系(图形特征)
1.直线和圆相离 d>r;
2.直线和圆相切 d=r;
3.直线和圆相交 d<r.
相离
相切
l
O
相交
l
O
A
l
O
A
B
d
r
d
r
d
r
当直线和圆相离、相切、相交时,d 与 r 有何关系?
直线和圆的位置关系的识别与特征:
小结:利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来 识别直线和圆的位置关系.
2.直线和圆的位置关系(数量特征)
直线和圆的位置关系 相 交 相 切 相 离
图 形
公共点个数
公共点名称 -
直线名称 -
距离 d 与半径 r 的关系
l
O
d
r
l
O
A
B
d
r
l
O
A
d
r
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
d<r
d=r
d>r
没有
3.归纳小结
练习1 圆的直径是 13 cm,如果直线和圆心的距离 分别是 ① 4.5 cm;② 6.5 cm;③ 8 cm,那么直线和圆分 别是什么位置关系?有几个公共点?
4.练习
练习2 已知⊙A 的直径为 6,点 A 的坐标为(-3, -4),则⊙A 与 x 轴的位置关系是_____,⊙A 与 y 轴的位置关系是______.
相离
相切
y
x
A
-3
-4
O
4.练习
例 Rt△ABC,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm, 以 C 为圆心,r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系? 为什么? (1)r=2 cm;(2)r=2.4 cm;(3)r=3 cm.
分析:
根据直线和圆的位置关系 的数量特征,应该用圆心到直 线的距离 d 与半径 r 的大小进 行比较;
关键是确定圆心 C 到直线 AB 的距离 d,这个距离是多少 呢?怎么求这个距离?
C
B
A
d
d=2.4 cm
D
4.练习
即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4cm.
(1)当 r = 2 cm 时,∵ d >r,∴ ⊙C 与 AB 相离.
(2)当 r = 2.4 cm 时,∵ d = r,∴ ⊙C 与 AB 相切.
(3)当 r = 3 cm 时,∵ d <r,∴ ⊙C 与 AB 相交.
解:过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D.
根据三角形面积公式有
CD · AB=AC · BC
在 Rt△ABC 中, AB= (cm)
∴ CD= (cm).
4.练习
练习3 已知⊙O 到直线 l 的距离为 d,⊙O 的半径 为 r,若 d、r 是方程 x 2 - 7x + 12 = 0 的两个根,则直线 l 和⊙O 的位置关系是______________.
相交或相离
4.练习
1.直线和圆的位置关系有三种:相离、相切和相交.
2.识别直线和圆的位置关系的方法:
(1)一种是根据定义进行识别:
直线 l 和⊙O 没有公共点 直线 l 和⊙O 相离;
直线 l 和⊙O 只有一个公共点 直线 l 和⊙O 相切;
直线 l 和⊙O 有两个公共点 直线 l 和⊙O 相交.
(2)另一种是根据圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系来进行识别:
d >r 直线 l 和⊙O 相离;
d =r 直线 l 和⊙O 相切;
d <r 直线 l 和⊙O 相交.
3.谈谈这节课你学习的收获.
5.课堂小结(共13张PPT)
第二十四章 圆
24.2.2 直线与圆的位置关系(1)
数学是打开科学大门的钥匙,轻视数学将造成对一切知识的危害。
——培根
设⊙O 的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
点P在圆外 d r ,
点P在圆上 d r ,
点P在圆内 d r .
一、新课引入
=
<
>
1
2
二、学习目标
理解直线和圆相交、相切、相离的概念;
掌握直线和圆的三种位置关系与圆心到直线的距离大小关系.
三、研读课文
认真阅读课本第95至96页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程。
三、研读课文
知识点一
直线和圆的位置关系
思考
1、如图,如果我们把太阳看作一个圆,把地平线看作一条直线,太阳升起的过程中,太阳和地平线会有几种位置关系?
相交
、相切
、相离。
答:
思考:
2、如图,在纸上画一条直线l,把钥匙环看作一个圆,在纸上移动钥匙环,你能发现在移动钥匙环的过程中,它与直线l的公共点个数的变化情况吗?
三、研读课文
知识点一
直线和圆的位置关系
公共点:
2
→
1
→
0
归纳
1、直线和圆有____个公共点时,叫做直线和
圆相交,这条直线叫做_________。
2、直线和圆有____个公共点时,叫做直线和
圆相切,这条直线叫做_________。这个公共点
叫做_________。
3、直线和圆有____公共点时,叫做直线和
圆相离。
三、研读课文
知识点二
直线和圆的位置关系
两
割线
一
切线
切点
没有
练一练
判断正误:
①直线与圆最多有两个公共点。( )
②若C为⊙O上的一点,则过点C的直线与⊙O
相切。( )
③若A、B是⊙O外两点, 则直线AB与⊙O相
离。( )
④若C为⊙O内一点,则过点C的直线与⊙O
相交。( )
三、研读课文
知识点一
直线和圆的位置关系
√
×
×
√
三、研读课文
知识点二
探究直线和圆位置关系
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
图
形
公共点个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线距离d与半径r 的关系
2
1
0
交点
切点
无
割线
切线
无
d =r
d<r
d >r
练一练
1、已知⊙O 的半径是4,O 到直线a的距离是4,则⊙O与直线a的位置关系是 。
2、已知⊙O 的半径为6cm,O 到直线a的距离为7cm,则直线a与⊙O 的公共点个数是____,则直线a与⊙O的位置关系是_____。
3、圆的直径是13cm,如果直线与圆心的距离d分别如下,判断直线与圆的位置关系,并说明有几个公共点。
(1)4.5cm (2)6.5cm (3)8cm
三、研读课文
知识点一
探究直线和圆位置关系
相切
0
相离
答:(1)直线与圆的位置关系是相交,有2个公共点;
(2)直线与圆的位置关系是相切,有1个公共点;
(3)直线与圆的位置关系是相离,没有公共点。
四、归纳小结
1、设⊙O 的半径为r,圆心O到直线l的距离为d
(1)______ 直线l和圆O相离;
(2)______ 直线l和圆O相切;
(3)______ 直线l和圆O相交.
2、学习反思:________。
d <r
d =r
d >r
五、强化训练
1、直线上的一点到圆心O 的距离等于⊙O 的
半径,则直线与⊙O 的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
2、⊙O 的半径是5,点O 到直线L的距离为4,则直线L与⊙O 的位置关系为( )
A、相离 B、相切 C、相交 D、相交或相切
3、已知⊙O的半径为r,点O到直线的距离为5厘米.
(1)若r大于5厘米,则直线与⊙O的位置关系是____.
(2)若r等于2厘米,与⊙O有___个公共点.
(3)若⊙O与相切,则r =____厘米.
C
D
相交
0
5
五、强化训练
4、如果⊙O 的直径为6cm,圆心O 到直线AB的距离为5cm,则直线AB与圆的位置关系为( )
A、相离 B、相切 C、相交 D、不确定
5、已知⊙O 的半径为5cm,点O 到直线a的距离为3cm,则⊙O 与直线a的位置关系是_____.直线a与⊙O 的公共点个数是____.
A
相交
2(共23张PPT)
名 师 课 件
24.2.2 直线和圆的位置关系
第一课时
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
(1)圆的定义:线段OA绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆。其中固定端点O叫做圆心,线段OA长叫做半径。
(2)点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
重点知识 ★
探究一: 从生活中感知直线和圆的位置关系
回忆旧知
(1)太阳从海平面升起的过程中,把远处的海平面看成一条直线,当太阳在海平面以下时,直线和圆什么位置关系?
相离
(2)随着太阳缓缓升起,当太阳刚刚要露出地平线时,直线和圆什么位置关系?
相切
(3)随着太阳越升越高,它们的位置关系还会发生怎样的阶段性变化呢?
相离——相切——相交-——相切——相离
问题:
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究二:探究直线与圆的位置关系及交点情况
重点、难点知识★▲
大胆操作,探究新知
请同学在纸上画一条直线,把硬币的边缘看作圆,将硬币放在直线下方距直线一定距离处,然后慢慢向上移动硬币,观察直线和圆的交点个数的变化情况
(1)将硬币放在直线下方距直线一定距离处时,直线和圆什么位置关系?有公共交点吗?
(2)向上移动硬币,当直线和圆相切时,公共点个数有怎样的变化?
(3)继续向上移动硬币,当直线和圆相交时,有几个公共点?
问题:
经过上述过程,你能试着归纳直线和圆的位置关系,并用图形表示出来吗?
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
知识点归纳:
1.直线与圆的三种位置关系:
1)直线l和⊙O没有公共点,则直线l和⊙O相离.
2)直线l和⊙O有且仅有一个公共点,则直线l和⊙O相切.直线l叫⊙O的切线,有且仅有的一个公共点P叫切点.
3)直线l和⊙O有两个公共点A、B,则直线l和⊙O相交.直线l叫⊙O的割线.
大胆操作,探究新知
探究二:探究直线与圆的位置关系及交点情况
重点、难点知识★▲
1)直线l和⊙O相离 d>r
2)直线l和⊙O相切 d=r
3)直线l和⊙O相交 d活动1
大胆操作,探究新知
2. 直线与圆位置关系的性质及判定:
⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d:
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二:探究直线与圆的位置关系及交点情况
重点、难点知识★▲
活动1
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
例1:已知⊙O的半径为2cm,点O到直线a的距离为d:
(1)若d=2cm,则直线a与⊙O的位置关系是_____,此时它们有____个交点。
(2)若d=3cm,则直线a与⊙O的位置关系是_____,此时它们有____个交点。
(3)若d=1cm,则直线a与⊙O的位置关系是_____,此时它们有____个交点。
基础型例题
【思路点拨】从数的角度,通过比较圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系确定直线与圆的位置关系。
2
相交
0
1
相离
相切
【解题过程】
(1)∵r=2cm,d=2cm,d=r ∴直线a和圆O相切
(2)∵r=2cm,d=3cm,d>r ∴直线a和圆O相离
(3)∵r=2cm,d=1cm,d知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
练习:已知⊙O的半径为r,点O到直线l的距离为5厘米:
若r大于5厘米,则直线l与⊙O的位置关系是______。
若r等于2厘米,则直线l与⊙O有___个公共点。
解:(1)∵点O到直线l的距离d=5cm,r>5cm,
∴d(2)∵点O到直线l的距离d=5cm,r=2cm,
∴d>r ∴直线l和⊙O相离
【思路点拨】通过比较圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系确定直线与圆的位置关系.
0
相交
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
【解题过程】
例2:已知⊙C半径r=4cm,圆心O与直线AB的距离为d:
(1)若直线AB与半径为r的⊙C相切,则d=______
(2)若直线AB与半径为r的⊙C相交,则d的取值范围为___________
解:(1)∵直线AB和⊙O相切,r=4cm,
∴d=r=4cm.
(2)∵直线AB和⊙O相交,r=4cm,
∴d【思路点拨】通过直线与圆的位置关系,确定圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。
04cm
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
【解题过程】
【思路点拨】要通过直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系,首先要求出圆心M到射线OA的距离, 所以过点M作射线OA的垂线段MN, 得到Rt△ONM, 线段MN就是该直角三角形中30°的角对的直角边, 根据直角三角形性质可求出MN的长度.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
练习:如图,已知∠AOB=30°,M为OB上一点,且OM=5,若以M为圆心,r为半径作圆,则:
(1)当直线OA与⊙M相离时,r的取值范围是_____;
(2)当直线OA与⊙M相切时,r的取值范围是_____;
(3)当直线OA与⊙M有公共点时,r的取值范围是_____.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
练习:如图,已知∠AOB=30°,M为OB上一点,且OM=5,若以M为圆心,r为半径作圆,则:
(1)当直线OA与⊙M相离时,r的取值范围是__________;
(2)当直线OA与⊙M相切时,r的取值范围是_____;
(3)当直线OA与⊙M有公共点时,r的取值范围是________.
解:如图:过点M作MN⊥OA于点N,则∠ONM=90°,
∵Rt△ONM中,∠ONM=90°,∠AOB=30°,OM=5,
∴MN= OM= .
∴(1)当直线OA与⊙M相离时,
(2)当直线OA与⊙M相切时,r=
(3)当直线0A与⊙M有公共点时,直线0A与⊙M相切或是相交,r≥
活动2
提升型例题
例3:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,以C为圆心,r为半径的⊙C与AB有怎样的位置关系?为什么?
1)r=4cm 2)r=4.8cm 3)r=7cm
【思路点拨】先求出点C到线段AB的距离,故过点C作CD⊥AB于点D,再根据面积法求出斜边上的高.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
∴1)r=4cm时,r2)r=4.8cm时,r=CD,⊙C与AB相切;
3)r=7cm时,r>CD,⊙C与AB相交.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
∴AB=
∴
又∵
∴5CD=24.
解:如图:过点C作CD⊥AB于点D.
∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,
【思路点拨】先求出点C到线段AB的距离,故过点C作CD⊥AB于点D,再根据特殊角三角函数值求出CD的长进行比较。
练习:如图, 在△ABC中, ∠A=45°, AC=4, 以C为圆心, r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系 为什么
(1)r= (2)r= (3) r=3
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
解:如图:过点C作CD⊥AB于点D,则∠ADC=90°,
Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=45°, AC=4,
∴∠ACD=45°.
∴AD=CD.
∴ .
∴CD= .
∴(1)r= 时, < ,圆与直线AB相离;
(2)r= 时, = ,圆与直线AB相切;
(3)r=3时,3> ,圆与直线AB相交.
活动3
探究型例题
例4:如图平面直角坐标系中,圆心A 的坐标为(6,8),已知⊙A经过坐标原点,则直线y=kx+16与⊙A的位置关系为( )
A.相交 B、相离 C、相切 D、相切或相交
【思路点拨】直线y=kx+16与y轴交点为(0,16),A的坐标为(6,8), 过点A向y轴作垂线,由垂径定理可得⊙A与y轴的交点P坐标为(0,16),而斜率k可能大于0,也可能小于0,从运动的角度可将直线y=kx+16看成在绕点P旋转,既直线与圆至少有一个交点,所以直线与圆相切或相交.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
活动3
探究型例题
例4:如图平面直角坐标系中,圆心A 的坐标为(6,8),已知⊙A经过坐标原点,则直线y=kx+16与⊙A的位置关系为( )
A.相交 B、相离 C、相切 D、相切或相交
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
解:如图:过点A作AM⊥OP于点M,
∵A的坐标为(6,8),
∴OM=8,OP=16 ,∴P(0,16).
又∵直线y=kx+16当x=0时,y=16,
∴直线y=kx+16必然与y轴交于点P(0,16).
又∵斜率k可能大于0,也可能小于0,
∴直线与圆相切或相交. 选D
D
【思路点拨】直线 与x轴交点为( ,0)y轴交点为(0, ), 既直线与坐标轴围成等腰直角三角形,点O到直线的距离可求得为1,所以直线与圆相切.
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问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
练习:如图,在平面直角坐标系中,⊙O的半径r=1,则直线
与⊙O的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.以上三种情况都有可能
解:过点O作OP⊥AB与点P,则∠OPB=90°.
∵对于直线
当x=0时,y= ,当y=0时,x= .
A( ,0), B(0, ).
∠OBA=45°
∵Rt△OPB中,∠OPB=90°,∠OBA=45°,OB=
∴OA=OB= .
∴∠BOP=45°
∴OP=BP.
∴
∴OP=1
∴又⊙O半径r=1
∴OP= r =1
∴⊙O与直线相切.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三:直线与圆位置关系的性质及判定的应用
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
1.直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
公共点的个数 0 1 2
圆心到直线的距离d与半径r的关系 d > r d = r d < r
公共点的名称 无 切点 交点
直线名称 无 切线 割线
2.判定直线与圆的位置关系的方法
(1)根据定义、直线与圆的公共点的个数判断
直线l和⊙O没有公共点,则直线l和圆O相离.
直线l和⊙O有且仅有一个公共点,则直线l和圆O相切.
直线l叫圆O的切线,有且仅有的一个公共点P叫切点.
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
(2)根据判定定理(数量关系),由圆心到直线的距离d与半径r的数量关系来判断位置关系。
⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d:
1)d > r
2)d = r
3)d < r
直线l和圆O相离
直线l和圆O相切
直线l和圆O相交
3.直线与圆的位置关系的性质
根据直线与圆的位置关系,得出圆心到直线的距离d与半径r的数量关系.⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d
d > r
d = r
d < r
1)直线l和圆O相离
2)直线l和圆O相切
3)直线l和圆O相交
重难点突破
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
判定直线与圆的位置关系:
一是根据公共点个数判定直线和圆的位置关系;
二是根据判定定理(数量关系),由圆心到直线的距离d与半径r的数量关系来判定位置关系。
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