高二学科质量检测数学试题
第Ⅰ卷选择题（60分)
一、选择题（每小题 5 分）
1.若 A(2,1,1)， B(1,2,2)在直线 l上，则直线 l的一个方向向量为( )
A. 2,1,2 B. 2,2,3 C. 1,1,1 D. 1,0,0
2.已知空间四个点 A 1,1,1 , B 4,0,2 ,C 3, 1,0 ,D 1,0,4 ,则直线 AD与平面 ABC所成
的角为( )
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
3.一条直线过原点和点 P 1, 1 ，则这条直线的倾斜角是( )
A. B. 3 C. D. 7
4 4 4 4
4.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数
列，上面 4节的容积共 3L，下面 3节的容积共 4L，则第 5节的容积为( )
A.1 L B. 67 L C. 47 L D. 37 L
66 44 33
5.若等比数列{an}的前 n项和 S 3
n 1
n r，则 r的值为（ ）
A 1 1 1 1． B． C． D．
3 3 9 9
6.如图是函数 y f x 的导函数 y f x 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．函数 y f x 在 2,2 上是增函数
B．函数 y f x 在 1, 上是减函数
C． x 1是函数 y f x 的极小值点
D． x 1是函数 y f x 的极大值点
7.等比数列 an 的各项均为正数，已知向量 = ( 4 , 5) , = ( 7, 6)，且 . = 4 则
log2a1 log2a2 log2a10 ( )
A.12 B.10 C.5 D. 2 log25
8.美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一
步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学
在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面
圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现
“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得
到的截面图形是有一个底角为 60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1
2 2 2 3
二、多项选择题（每小题 5 分）
9.下列结论中，正确的是( )
A. π
π 1 2
sin cos B.若 f (x) 2 ，则 f (3) 3 3 x 27
C. ex ex D. log x 14 x ln 4
10.已知抛物线 y2 2px(p 0)上一点 M到其准线及对称轴的距离分别为 3和 2 2，则 p的
值为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
11.已知直线 l经过点 3,4 ，且点 A 2,2 ， B 4， 2 到直线 l的距离相等，则直线 l的方
程可能为( )
A. 2x 3y 18 0 B. 2x y 2 0 C. x 2y 2 0 D. 2x 3y 6 0
12.直线 y kx 1与圆C : (x 3)2 (y 3)2 36相交于 A、B两点，则 AB的长度可能为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题（每小题 5 分）
13.已知空间向量 1,0,1 ， =(2,-1,2)，则向量 在向量 上的投影向量是_____________.
14.已知函数 f (x) x3 2x2 x，则曲线 y f (x)在点 (2, f (2))处的切线方程为_________.
15.已知直线： y x m被圆C : x2 y2 4x 2y 1 0截得的弦长等于该圆的半径，则实
数m ．
a a
16. 5 3已知数列 an 满足 log2 an 1 log2 an 1，则 a a ________.3 1
四、解答题（17 题 10 分，其他各 12 分）
17. 3已知直线 l经过点 P(2,3)，且斜率为 .
2
（1）求直线 l的一般式方程；
（2）求与直线 l平行，且过点 ( 3,1)的直线的一般式方程；
（3）求与直线 l垂直，且过点 ( 3,1)的直线的一般式方程.
18.如图，四棱锥 P ABCD的底面是矩形， PD 底面 ABCD， PD DC 1，M为 BC中
点，且 PB AM .
(1)求 BC；
(2)求二面角 A PM B的正弦值.
19.已知函数 f x x3 3x2 9x 1 .
（1）求函数 f x 在点 0,1 处的切线方程；
（2）求函数 f x 的单调区间及极值.
20 2 2.已知圆C : x y 8y 12 0 ,直线 l : ax y 2a 0
（1）当直线 l与圆C 相交,求 a的取值范围;
（2）当直线 l与圆C 相交于 A,B 两点,且 AB 2 2 时,求直线 l的方程
21.已知等差数列 an 满足 a3 6， a4 a6 20， an 的前 n项和为 Sn .
（1）求 an及 Sn ；
（2）令 bn a 2
an
n ，求数列 bn 的前 n项和Tn .
22.阿基米德（公元前 287年—公元前 212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，
他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已
2 2
知平面直角坐标系 Oxy中，椭圆C : x y2 2 1(a b 0)的面积为 2 3π，两焦点与短轴的a b
一个顶点构成等边三角形.
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）过点 P(1,0)的直线 l与 C交于不同的两点 A，B，求 OAB面积的最大值.参考答案
1.答案：C
2.答案：A
3.答案：C
4.答案：B
5.答案：B
6.答案：A
7.答案：C
8.答案：A
9.答案：BCD
10.答案：BC
11.答案：AB
12.答案：BC
13答案： 2,0,2
14.答案： 5x y 8 0
15.答案：2或-4
16.答案：4
17. 3答案：（1）由题意知直线 l的方程为 y 3 (x 2)，即 3x 2y 12 0 .
2
...........................2’
（2）设所求直线的方程为 3x 2y m 0，因为所求直线过点 ( 3,1)，所以 9 2 m 0，
解得m 7，故所求直线的一般式方程为 3x 2y 7 0 ......................6’
（3）设所求直线的方程为 2x 3y n 0，因为所求直线过点 ( 3,1)，所以 6 3 n 0，
解得 n 9，故所求直线的一般式方程为 2x 3y 9 0 .............................10’
18.答案：解：(1)连结 BD，
因为 PD 底面 ABCD，且 AM 平面 ABCD，
则 AM PD，
又 AM PB， PB PD P， PB， PD 平面 PBD，
所以 AM 平面 PBD，.................3’
又 BD 平面 PBD，则 AM BD，
所以 ADB DAM 90 ，
又 DAM MAB 90 ，
则有 ADB MAB，
AD BA 1
则 ，所以 BC 2 1，解得 BC 2 ；........................6’
AB BM 2
(2)因为 DA，DC，DP两两垂直，故以点 D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
2 则 A 2,0,0 ， B 2,1,0 ，M ,1,0 ， P 0,0,1 ，
2
AP 2
2
所以 2,0,1 ， AM ,1,02 ， BM ,0,0 ， BP 2, 1,1 ，..........7’ 2
设平面 AMP的法向量为 n x, y, z ，
n AP 0
2x z 0
则有
n
，即 2 ，
AM 0 x y 0
2
令 x 2 ，则 y 1， z 2 n ，故 2,1,2 ，.........................9’
设平面 BMP m 的法向量为 p,q,r ，
m BM 0
2
p 0
则有 ，即 2 ，
m BP 0
2p q r 0
令 q 1，则 r 1，故m 0,1,1 ，...............................11’
n m
cos n ,m 3 3 14所以 ，n m 7 2 14
设二面角 A PM B的平面角为 ，
则 sin 1 cos2 3 14 70 1 cos2 n,m 1 ( )2 ，
14 14
70
所以二面角 A PM B的正弦值为 .
14 .............................12’
19.答案：（1）因为 f x x3 3x2 9x 1，所以 f x 3x2 6x 9，
f 0 1， f 0 9 .......................2’
切线方程为 y 1 9 x 0 ，即 y 9x 1；......................5’
（2） f x 3x 2 6x 9 3 x 1 x 3 ，所以当 x 1或 x 3时， f x 0，
当 3 x 1时， f x 0，..................................8’
所以函数的单调增区间是 3,1 ，单调减区间是 , 3 和 1, ，....................10’
极大值为 f 1 6，极小值为 f 3 26 ................................12’
解析：
2 2
20.答案：1.圆C : x y 8y 12 0 2化成标准方程为 x y 4 2 4,则此圆的圆心为
(0,4) ,半径为 2 ,..................2’
4 2a
当直线 l C 3与圆 相交,则有 2 ,解得 a
a2 1 4 ...........................5’
2. 过 圆 心 C 作 CD AB 于 D , 则 根 据 题 意 和 圆 的 性 质 , CD 2 ,
4 2a
2 ,...........7’
a2 1
解得 a 7或a 1,...................10’
故所求直线方程为7x y 14 0或 x y 2 0 .....................12’
解析：
21.答案：（Ⅰ）设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，
由于 a3 6， a4 a6 20，所以 a1 2d 6， 2a1 8d 20，
解得 a1 2， d 2，所以 an 2n，.....................3’
Sn n
2 n；........................................3’
（Ⅱ）因为 an 2n，所以 b
an 2n n
n an2 2n 2 2n 4 ，
故 Tn b1 b2 L bn 2 1 4
1 2 2 42 L 2 n 4n ，
4T 2 3 n 1n 2 1 4 2 2 4 L 2 n 4 ，.........................9’
4 1 4n
于是 3Tn 2 1 4
1 2 1 42 L 2 1 4 n 2 n 4 n 1 2 2 n 4 n 1 ，
1 4
8 6n 2 4n 1
所以Tn .................................12’9
解析：
ab 2 3,
22.答案：（1）依题意得 a 2c,
2 2
a b c
2 ,
............................................2’
a 2,
解得 b 3,
c 1, .................................3’
2 2
所以椭圆 C x y的标准方程是 1 .................................6’
4 3
（2）由题意得，直线 l的斜率不能为 0，设直线 l的方程为 x my 1，...............7’
x my 1,
由方程组 x2 y2 得 3m2 4 y2 6my 9 0，.............................8’
1, 4 3
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
所以 y y 6m1 2 2 ， y
9
1 y2 ，3m 4 3m2 4
2 12 m2 1
所以 y1 y2 y1 y2 4y1 y2 2 ，3m 4
1 2S |OP | y y 6 m 1所以 OAB 1 2 2 ，............................10’2 3m 4
令 t m2 1(t 1)，则m2 t 2 1，
S 6t 6 OAB ，3t2 1 3t 1
t
因为 y 3t 1 在 [1, )上单调递增，
t
所以当 t 1，即m 0时， OAB 3的面积取得最大值 .............................12’
2
