2012届中考数学综合型问题专题复习
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文档简介
（备战中考）2012年中考数学深度复习讲义
（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）
综合型问题
类型之一代数类型的综合题
代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法等．解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．
例1.（2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。
请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）
【答案】
解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系………………1分
设抛物线的函数解析式为,………………2分
由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，………………3分
所以8=a×，解得a=,故所求抛物线的函数解析式为………………4分
（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,………………5分
则点A、D关于OC对称。
连接BD交OC于点P，则点P即为所求。………………6分
（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，
所以点B的坐标为（2，2）………………7分
又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）………………8
设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9
则有………………10
解得k=-1,b=4.
故直线BD的函数解析式为 y=-x+4，………………11
把x=0代入 y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）
两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。………………12
例2：（2011四川重庆，25，10分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1(元/件)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025)
【答案】(1)y1与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，
y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630．
(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1000?50?30?20x?540)
＝(0.1x＋1.1)(380?20x)＝－2x2＋160x＋418
＝－2(x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数)
∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1000－50－30－y2)
＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)
＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)，
当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，
∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，
∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
(3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件），
今年原材料的价格为：750+60=810（元），
今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元），
由题意，得5×[1000（1+a﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a﹪）=1700，
设t=a﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴=97．
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980．
∵1.7（1－0.1a﹪）≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10．
答：a的整数值为10．
类型之二几何类型的综合题
几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．
例2.（·龙岩市）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C.（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式.
【解析】此题考查圆的切线的判定方法及一次函数解析式的判定，(1)切线的判定要从定义上去判定:过半径的外端,且垂直于半径的直线为圆的切线,所以此题要连接OM,然后证明OM⊥DC,这里平行线对角的转化起到了关键的作用；(2)MC的长借助于勾股定理建立方程而求出,要求直线DC的解析式需要再求出点C的坐标根据MC的长即可以求出点C的坐标（AA，0）,从而求出直线DC的解析式.
【答案】（1）答：直线DC与⊙O相切于点M.
证明如下：连OM，∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵OB=OM，
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠4.
在△DAO与△DMO中，
∴△DAO≌△DMO.
∴∠OMD=∠OAD.
由于FA⊥x轴于点A，∴∠OAD=90°.
∴∠OMD=90°.即OM⊥DC.
∴DC切⊙O于M.
（2）解：由D（－2，4）知OA=2（即⊙O的半径），AD=4.
由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，
知AA=AA=AA=AA，∴AC=2MC.
在Rt△ACD中，CD=MC+4.
由勾股定理，有(2MC)2+42=(MC+4)2，解得MC=AA或MC=0（不合，舍去）.
∴MC的长为AA，∴点C（AA，0）.
设直线DC的解析式为y=kx+b.
则有解得
∴直线DC的解析式为y=－AAx+AA.
2(·益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.
Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ.探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.Ⅱa.小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化).
Ⅱb.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是：①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；②连结BF’并延长交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.
类型之三几何与代数相结合的综合题
几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.
例3.（·恩施自治州）如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
图1（1）
请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD+CE=DE.
图2（4）
在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
【解析】解决问题（1）（2）的关键是利用图中的相似三角形；解决问题（3）时利用（2）中的m、n的关系求出点D的坐标，进而分别求出BD2、CE2、DE2的值；解决问题（4）时，通常方法是先猜想其结论成立，根据结论的特征，尝试构造直角三角形，则问题可轻松获解.
【答案】解：(1)?ABE∽?DAE,?ABE∽?DCA
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠C=45°
∴?ABE∽?DCA
(2)∵?ABE∽?DCA，∴
由依题意可知CA=BA=
∴，∴m=
自变量n的取值范围为1(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n
∵m=，∴m=n=
∵OB=OC=BC=1，∴OE=OD=－1，∴D(1－,0)
∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE,DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2
∵BD+CE=2BD=2(2－)=12－8,DE=(2－2)=12－8
∴BD+CE=DE
(4)成立
证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,
∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在?EAD和?HAD中
∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.
∴?EAD≌?HAD
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD+HB=DH
即BD+CE=DE
2011年真题
一选择题
1.(2011浙江湖州，10，3)如图，已知A、B是反比例面数(k>0,x>0)图象上的两点，BC∥x轴,交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形0MPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为
【答案】A
2.（2011台湾全区，19）坐标平面上，二次函数的图形与下列哪一个方程式的图形没
有交点？
A．x＝50B．x＝－50C．y＝50D．y＝－50
【答案】Ｄ
3.（2011广东株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是()
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】D
4.（2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）
A．50mB．100m
C．160mD．200m
【答案】C
5.（2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数关系式：，则小球距离地面的最大高度是（）
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】C
二、填空题
1.（2011湖南怀化，16，3分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大.
【答案】4
2.（2011江苏扬州，17,3分）如图，已知函数与（a>0，b>0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程=0的解为
【答案】－3
3.
4.
5.
三、解答题
1.（2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。
请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）
【答案】
解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系………………1分
设抛物线的函数解析式为,………………2分
由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，………………3分
所以8=a×，解得a=,故所求抛物线的函数解析式为………………4分
（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,………………5分
则点A、D关于OC对称。
连接BD交OC于点P，则点P即为所求。………………6分
（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，
所以点B的坐标为（2，2）………………7分
又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）………………8
设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9
则有………………10
解得k=-1,b=4.
故直线BD的函数解析式为 y=-x+4，………………11
把x=0代入 y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）
两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。………………12
2.（2011四川重庆，25，10分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1(元/件)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025)
【答案】(1)y1与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，
y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630．
(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1000?50?30?20x?540)
＝(0.1x＋1.1)(380?20x)＝－2x2＋160x＋418
＝－2(x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数)
∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1000－50－30－y2)
＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)
＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)，
当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，
∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，
∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
(3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件），
今年原材料的价格为：750+60=810（元），
今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元），
由题意，得5×[1000（1+a﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a﹪）=1700，
设t=a﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴=97．
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980．
∵1.7（1－0.1a﹪）≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10．
答：a的整数值为10．
3.（2011山东潍坊，22，10分）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.
（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；
（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？
（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？
【解】（1）当时，设，
将点（1，8）、（7，26）分别代入，得
解之，得
∴函数解析式为.
当时，设，
将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入，得：
解之，得
∴函数解析式为.
（2）当时，函数中y随x的增大而增大，
∴当时，.
当时，，
∴当时，.
所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克.
（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，
∴时的月平均价格17是前7个月的平均值.
将，和分别代入，得，和.
∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11.
∴年平均价格为（元/千克）.
当时，，
∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.
4.（2011四川成都，26,8分）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．当x为何值时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；
(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为和，且到AB、BC、AD的距离与到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
【答案】（1），当时，S取最大值为1800．
（2）如图所示，过、分别作到AB、BC、AD和CD、BC、AD的垂直，垂足如图，根据题意可知，；当S取最大值时，AB=CD=30，BC=60，
所以，
∴，
∴，
∴两个等圆的半径为15，左右能够留0.5米的平直路面，而AD和BC与两圆相切，不能留0.5米的平直路面.
6.（2011江苏无锡，25，10分）(本题满分10分)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元/吨)与采购量x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)。
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？
【答案】
解：(1)当0 当20解得k=?200，b=12000，∴y=?200x+12000．………………………………(4分)
(2)当0=5200x≤104000，此时老王获得的最大利润为104000元．…………(6分)
当20=?200(x2?46x)=?200(x?23)2+105800．………………………………(8分)
∴当x=23时，利润w取得最大值，最大值为105800元．………………………(9分)
∵105800>104000，∴当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105800元．………………………………………………………(10分)
7.（2011湖北武汉市，23，10分）（本题满分10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．
【答案】解：（1）y=30－2x(6≤x＜15)
（2）设矩形苗圃园的面积为S则S=xy=x(30－2x)=－2x2＋30x
∴S=－2(x－7.5)2＋112.5由（1）知，6≤x＜15∴当x=7.5时,S最大值＝112.5
即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5
（3）6≤x≤11
8.（2011湖北黄冈，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．
⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．
后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q
=+==，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，
故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．
⑶有极大的实施价值．
9.（2011贵州贵阳，25，12分）
用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图中的一种）．
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（4分）
（2）在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（4分）
（3）在图中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（第25题图）
【答案】解：
（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC==4-x，
∴x（4-x）=3．
解得，x=1或3．
（2）当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x·=-x2+4x．
当x=-=时，S=3．
∴当x=时时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．
（3）当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积
S=x·=-x2+x．
当x=-=时，S=
∴当x=时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米
10．（2011江苏盐城，26，10分）利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息:
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
【答案】（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．
根据题意，得解得
答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．
（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则
s=(1-m)(500+100×)+(5-3-m)(300+100×)
即s=-2000m2+2200m+1100=-2000(m-0.55)2+1705.
∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705.
答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.
11.（2011湖北鄂州，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．
⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．
后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q
=+==，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，
故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．
⑶有极大的实施价值．
12.（2011湖北荆州，23，10分）（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
型号
金额
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
投资金额x（万元）
x
5
x
2
4
补贴金额y（万元）
y1=kx
(k≠0)
2
y2=ax2+bx
(a≠0)
2.4
3.2
（1）分别求出和的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
【答案】解：（1）由题意得：①5k=2，k=
∴
②，解之得：，∴
（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10-t）万元，共获补贴Q万元?
∴，
∴当t=3时，Q有最大值为，此时10-t=7(万元)
即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元.
13..（2011浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.
（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；
（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，
①试求出当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式.
解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=，
∴,得b=1；……2分
（2）设所求抛物线解析式为，
由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2）
∴解得
∴所求抛物线解析式为；……4分
（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线解析式为，
过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，
∴,
设OD=t，则CD=3t，
∵，
∴，∴,
∴C（，）,又B（，0），
∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得
解得:a=；……2分
②.……2分
14.（2011福建福州，22，14分）已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点 (在点右侧),点、关于直线:对称.
(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.
【答案】解:(1)依题意,得
解得,
∵点在点右侧
∴点坐标为,点坐标为
∵直线:
当时,
∴点在直线上
(2)∵点、关于过点的直线:对称
∴
过顶点作交于点
则,
∴顶点
把代入二次函数解析式,解得
∴二次函数解析式为
(3)直线的解析式为
直线的解析式为
由解得即,则
∵点、关于直线对称
∴的最小值是,过作轴于D点。
过点作直线的对称点,连接,交直线于
则,,
∴的最小值是,即的长是的最小值
∵∥
∴
在由勾股定理得
∴的最小值为
（不同解法参照给分）
15.（2011广东广州市，24，14分）
已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）．
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．
【答案】（1）c=1
（2）将C（0，1），A（1，0）得
a＋b＋1=0
故b=―a―1
由b2－4ac＞0，可得
(－a－1)2－4a＞0
即(a－1)2＞0
故a≠1，又a＞0
所以a的取值范围是a＞0且a≠1．
（3）由题意0＜a＜1，b=―a―1可得－＞1，故B在A的右边，B点坐标为(－－1，0)
C（0，1），D（－，1）
|AB|=－－1－1=－－2
|CD|=－
S1－S2＝S△CDA－SABC=×|CD|×1－×|AB|×1
=×（－）×1－×（－－2）×1
=1
所以S1－S2为常数，该常数为1．
16.（2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=相交于点A，B.已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=，
得：-2=，∴k=4．
即双曲线的解析式为：y=．
设A点的坐标为（m，n）。∵A点在双曲线上，∴mn=4．…①
又∵tan∠AOx=4，∴=4，即m=4n．…②
又①，②，得：n2=1,∴n=±1.
∵A点在第一象限，∴n=1,m=4，∴A点的坐标为（1，4）
把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：解得a=1，b=3；
∴抛物线的解析式为：y=x2+3x；（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4，
代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1（舍去）．
∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5，
又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=×5×6=15；
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D．
因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB，
所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.
解方程组得所以点D的坐标是（3，18）
17.（2011浙江省，24，14分）如图，在直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交与点A（-1,0）、B（3,0）两点，抛物线交y轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？
(3)设E为线段OC上的三等分点，链接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．
【答案】：（1）由题意，得：
解得：
∴=，顶点坐标为（1，4）.
（2）由题意，得P(x,x-1)，Q(x,)，
∴线段PQ=-(x-1)==
当x=时，线段PQ最长为。
（3）∵E为线段OC上的三等分点，OC=3,∴E(0，1)，或E(0，2)
∵EP=EQ，PQ与y轴平行，
∴2×OE=+(x-1)
当OE=1时，x1=0，x2=3，点P坐标为（0，-1）或（3，2）。
当OE=2时，x1=1，x2=2，点P坐标为（1，0）或（2，1）。
18.（2011浙江温州，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．
(1)求△OAB的面积；
(2)若抛物线经过点A．
①求c的值；
②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．
【答案】解：(1)∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴，
∴AB=2，OB＝4，
∴
(2)①把点A的坐标（－2，4）代入，
得，∴c＝4
②∵，
∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2），
∴m的取值范围为l19.（2011浙江丽水，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.
(1)当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；
(2)当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，
①试求出当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式.
【解】(1)由题意可知，抛物线对称轴为直线x=，
∴－=，得b=1；
(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+1，
由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M(，2)，
∴解得
∴所求抛物线解析式为y=－x2+x+1；
(3)①当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx，
过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，
∴==，
设OD=t，则CD=3t，
∵OD2+CD2=OC2，
∴（3t）2+t2=12，∴t==，
∴C(，)，又B(，0)，
∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得
解得：a=－；
②a=－.
20.（2011江西，24，10分）将抛物线c1：y=-x2+沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示.
（1）请直接写出抛物线c2的表达式.
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
【答案】解：(1)y=x2-.
(2)①令-x2+=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m，0），B（1+m,0）.
当AD=AE时，如图①，（-1+m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)],∴m=
当AB=AE时，如图②，（1-m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)],∴m=2.
∴当m=或2时，B，D是线段AE的三等分点.
②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(）2=[-(-1-m)]2,∴m=1.
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.
21.（2011甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）。
（1）求抛物线的表达式。
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s
的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）。
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。
【答案】（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线过A、B、D三点得
解得
抛物线的表达式为
（2）①S=PQ2=（0≤t≤1）
②由解得t=或t=（不合题意，舍去）
此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，）
若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，）或（1，－）或（1，）
经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，）在抛物线上
所以抛物线上存在点R（3，）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。
（3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求。因为如在对称轴上另取一点N，则
ND－NA=ND－NB由B（2，－2）、D（4，）求得直线BD的解析式为
时，，故点M的坐标为（1，）
22．（2011湖南益阳，20，10分）如图9，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：
（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；
（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．
【答案】解：⑴设抛物线的解析式为，
抛物线经过，，
.
,
∥,,
由，
,.
，∽，
．
⑵设抛物线的解析式为
，
．
∥，
，，，，
，，
同⑴得
．
23.（2011广东株洲，24，10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
【答案】解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，∴B(2，-2)，
将B(2，-2)代入抛物线得，.
（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B(1，)，
∴.又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，∴∴AE=2OE，
设点A（，）（m＞0），则OE=m，，∴
∴m=4，即点A的横坐标为-4.
解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B(1，)，
∴
∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
∴，∴AE=2OE，
设点A（-，）（m＞0），则OE=m，，∴
∴m=4，即点A的横坐标为-4.
解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B(1，)，
设A（-，）（m＞0），则
，，，
∵∠AOB=90°，∴，
∴，
解得：m=4，即点A的横坐标为-4.
（3）解法一：设A（，）（m＞0），B（，）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，
(1)×n+(2)×m得，，
∴
又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，
∴.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），
（说明：写出定点C的坐标就给2分）
解法二：设A（，）（m＞0），B（，）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据，可得
，
化简，得.
又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，∴OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,-2）
说明：mn的值也可以通过以下方法求得.
由前可知，，，，
由，得：，
化简，得mn=4.
24.（2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上.
(1)求a的值；
(2)求A,B两点的坐标;
(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上?请说明理由.
【答案】解：(1)∵二抛物线的顶点坐标为，∴x=1,∵顶点在直线y=-2x上，所以y=-2,即顶点坐标为（1，-2），∴-2=-1+a,即a=-4;(2)二次函数的关系式为，当y=0时，
，解之得：，即A（-1，0），B（3，0）；（3）如图所示：直线BD//AC,AD//BC,因为A(-1.0),C(0,),所以直线AB的解析式为,所以设BD的解析式为,因为B(3,0),所以b=,直线BD的解析式为:,同理可得:直线AD的解析式为:,因此直线BD与CD的交点坐标为:(2,),则点D关于x轴的对称点D′是(2,-),当x=2时代入得,y=,所以D′在二次函数的图象上.
25.（2011四川广安，30，12分）如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1．0），B(-1.2)，D(3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA=PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。
（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。
【答案】（1）解：由题意可得M（0．2），N（-3．2）
∴
解得：
∴y=
（2）∵PA=PC∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（-1．2）（1．0）所在的直线为y=－x+1
解得：
∴P1（）P2（）
（3）D为E关于对称轴x=1.5对称
CD所在的直线y=－x+3
∴yQ=4.5 ∴Q（-1.5．4.5）
最大值为QC==
26.（2011四川宜宾,24，12分）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0,a为常数），并经过点（2a,2a）,点D(0，2a)为一定点．
⑴求含有常数a的抛物线的解析式；
⑵设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH；
⑶设过原点O的直线与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且,求a的值．
【答案】解：⑴设抛物线的解析式为
∵点D（2a，2a）在抛物线上，
∴
∴抛物线的解析式为
⑵设抛物线上一点P（x,y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在中，由勾股定理得：
∵∴
∴
∴PD=PH.
⑶过B点BE⊥x轴，AF⊥y轴，
由⑵的结论：BE=DBAF=DA
∵DA=2DB∴AF=2BE∴AO=2BO
∴B是OA的中点
∵C是OD的中点
连接BC
∴
过B作BR⊥y轴，
∵BR⊥CD∴CR=DR,，
∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上
∴∴
∵∴∴B（，）
AO=2OB,∴
所以，
∴，∵∴
27.（2011江西南昌，24，10分）将抛物线c1：y=-x2+沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示.
（1）请直接写出抛物线c2的表达式.
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
备用图
【答案】解：(1)y=x2-.
(2)①令-x2+=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m，0），B（1+m,0）.
当AD=AE时，如图①，（-1+m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)],∴m=
当AB=AE时，如图②，（1-m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)],∴m=2.
∴当m=或2时，B，D是线段AE的三等分点.
②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(）2=[-(-1-m)]2,∴m=1.
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.
28.（2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，
∴0=-42+4b+3，
解得b=，
∴此二次函数关系式为：y=-x2+x+3，
点B的坐标为B(0,3).
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.理由如下：
设点P(x，0)，x＞0，则根据下图和已知条件可得
x2+32=(4-x)2，
解得x=，
∴点P的坐标为P(,0).
即，在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.
29.（2011湖北武汉市，25，12分）（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3,0），B（－1,0）两点
∴9a－3b＋3＝0且a－b＋3＝0
解得a＝1，b＝4
∴抛物线的解析式为y=x2＋4x＋3
（2）由（1）配方得y=(x＋2)2－1
∴抛物线的顶点M（－2，1）
∴直线OD的解析式为y=x
于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，h），
∴平移的抛物线解析式为y=（x－h）2＋h．
①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h2＋h=9，
解得h=．
∴当≤h＜时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点．
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组y=（x－h）2＋h，y=－2x＋9．
得x2＋（－2h＋2）x＋h2＋h－9=0，
∴△=（－2h＋2）2－4（h2＋h－9）=0，
解得h=4．
此时抛物线y=（x－4）2＋2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意．
综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或≤h＜．
（3）方法1
将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，
设EF的解析式为y=kx＋3（k≠0）．
假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H．
∵△PEF的内心在y轴上，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，
∴GP/PH=GE/HF,
∴－xE/xF=(yE－t)/(yF－t)=(kxE＋3－t)/(kxF＋3－t)
∴2kxE·xF=（t－3）（xE＋xF）
由y=x2，y=－kx＋3．得x2－kx－3=0．
∴xE＋xF=k，xE·xF=－3．
∴2k（－3）=（t－3）k
∵k≠0，∴t=－3．
∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上．
方法2：设EF的解析式为y=kx＋3（k≠0）,点E，F的坐标分别为（m，m2）（n，n2）由方法1知：mn=－3．作点E关于y轴的对称点R（－m，m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点．
由F，R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n－m）x＋mn．
当x=0，y=mn=－3，
∴P（0，－3）．
∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上．
30.（2011湖北黄石，25，10分）已知二次函数y=x2－2mx+4m－8
(1)当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。
（2）以抛物线y=x2－2mx+4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M、N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线y=x2－2mx+4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。
【答案】解：（1）∵x==m
∴m≥2
(2)
A(m,-m2+4m-8)
由对称性可知∠MAC＝300
故设yAM=x+b
把A(m,-m2+4m-8)代入yAM=x+b
得，b=-m2+(4-)m-8
即yAM=x-m2+(4-)m-8
∴
解之得x1=m，x2=+m
∴CM＝
∴S△AMN＝＝3
（3）x=＝m
∵图象与x轴交点的横坐标均为整数
∴整数m=2
31.（2011广东茂名，25，8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线对称轴与轴相交于点M．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；(3分)
(2)设点P为抛物线()上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；(2分)
(3)连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．(3分)
【答案】解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为，
把点A(0，4)代入上式得：，
∴，
∴抛物线的对称轴是：．
(2)由已知，可求得P(6，4)．
提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM＝3，又知点P的坐标中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM＝5，此时点P横坐标为6，即AP＝6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P(6，4)．
⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为，此时点N(，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G，
此时：NG＝－()，
＝．
∴
∴当时，△CAN面积的最大值为，
由，得：，∴N(，－3)．
法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则
(再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略)
32．（2011湖南永州，24，10分）如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．
⑴求该抛物线的解析式及对称轴；
⑵当为何值时，？
⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．
【答案】解：⑴把A（，），B（0,7）两点的坐标代入，得
解得
所以，该抛物线的解析式为，
又因为，所以对称轴为直线．
⑵当函数值时，的解为，
结合图象，容易知道时，．
⑶当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n），
则，即
因为C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴对称，设点D的横坐标为，则，所以，所以CD=
因为CD=CF，所以，整理，得，解得或5．
因为点C在对称轴的左侧，所以只能取．
当时，==4
于是，得点C的坐标为（，4）．
33.（2011山东东营，23，10分）(本题满分10分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0），如图所示；抛物线经过点B。
求点B的坐标；
求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；
∴∠BCD=∠CAO；又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，
∴△BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B的坐标为(3,1)
（2）抛物线经过点B(3,1)，则得解得，所以抛物线的解析式为
（3）假设存在点P，似的△ACP是直角三角形:
①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）。
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MCP1≌△BCD
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线为上；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）。同理可得△AP2N≌△CAO；∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（-2，1），；经检验点P2（-2，1）也在抛物线上；
③若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）同理可得△AP3H≌△CAO；∴HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），；经检验点P3（2，3）不抛物线上；
故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个。
34.（2011内蒙古乌兰察布，24，16分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)，把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y
轴分别交于C、D两点
(1）求m的值；
(2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
(3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积，是四边形OACD面积的?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】⑴设反比例函数的解析式为：，把代人解析式中求得.当时，，所以；
⑵设直线OA的解析式为，把代人解析式中求得，则有，
设直线BD的解析式为，把代人解析式中求得，则有，所以B（6,1.5）、D（0，－4.5）
设抛物线的解析式为由题意知
解得
所以
⑶由求出C（4.5,0），四边形OACD面积=，
四边形OECD的面积
经分析点E在x轴的上方，四边形OECD的面积
则所以，求出即点E的纵坐标是，把代人中得出，所以E()或E().
35.（2011重庆市潼南,26,12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，
OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上
是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点P的
坐标；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5）------------1分
∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)
∴ ------------2分
解得：b=-2c=-3 ------------3分
（2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）B(4,5)
∴直线AB的解析式为：y=x+1
∵二次函数
∴设点E(t，t+1),则F（t，）------------4分
∴EF=------------5分
=
∴当时，EF的最大值=
∴点E的坐标为（，） ------------------------6分
（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）
S = S + S
=
= -----------------------------------9分
②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)
则有：解得:,
∴,
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）
则有： 解得：，（与点F重合，舍去）∴
综上所述：所有点P的坐标：，（.能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．------------------------------------12分
36.（2011河北，26，12分）如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）.
(1)求c，b（用t的代数式表示）；
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s=；
（3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。
【答案】（1）C=0,b=-t
（2）①不变。当x=1时，y=1-t，故M(1，1-t)，∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°。
②S=
=
=
解=，得
∵4＜t＜5，∴舍去，∴t=
（3）＜t＜
综合型问题
一、选择题
1.（2011年北京四中中考全真模拟15）2001年7月13日，北京市获得了第29届运动会的主办权，这一天是星期五，那么第29届奥运会在北京市举办的那一年的7月13日是星期()
A.1B.3C.5D.日
答案：D
1、（2011年浙江杭州二模）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（）
A．6B．8C．9.6D．10
答案：C
2、（2011年浙江杭州七模）下列命题：①同位角相等；②如果，那么；③若关于的方程的解是负数，则m的取值范围为m<-4；④相等的圆周角所对的弧相等．其中假命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
二、填空题
1.（2011年北京四中中考全真模拟15）从甲站到乙站有两种走法。从乙站到丙站有三种走法。从乙站到丙站有______种走法。
A.4B.5C.6D.7
答案：C
2.（2011年北京四中中考全真模拟15）一个窗户被装饰布档住一部分，其中窗户的长与宽之间比为3:2装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是,这个窗口未被遮挡部分的面积为__________。
答案：
3.（2011年北京四中中考全真模拟16）如图所示，图中共有条线段，共有个长方形。
答案：18，9．
4.（2011年北京四中中考全真模拟17）如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如右图所示，则打包带的长至少要_________（单位：mm）(用含x、y、z的代数式表示)
答案：2x+4y+6z
1、（2011年浙江杭州八模）已知正整数a满足不等式组（为未知数）无解，则函数图象与轴的坐标为
答案：
三、解答题
1、（2011年江苏盐都中考模拟）（本题12分）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是（0,8），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0(1)求∠AOB的度数及线段OA的长
(2)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(3)当a=3,OD=时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
(4)当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB相似？当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不相似？请给出你的结论，并加以说明.
解：（1）∠AOB=30°，OA=8；（2分）
（2）；（2分）
（3)当a=3时，CP=t,OQ=3t,OD=，∴PB=8-t,BD=8
由△OQD∽△BPD得,即，∴t=。
当t=时，OQ=,同理可求Q().
设直线PQ的解析式为y=kx+b,则，∴
∴直线PQ的解析式为；（4分）
(4)当a=1时，△ODQ∽△OBA,当1理由如下：（1分）
若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ//AB,
故四边形PCOQ为平行四边形,∴CP=OQ.
即at=t(0②若△ODQ∽△OAB.
（Ⅰ）如果P点不与B点重合，此时必有△PBD∽△QOD.
∴,∴,即,∴OD=.
∵△ODQ∽△OAB，∴,即.
∴，∵，∴此时，不符合题意.
∴即时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似；（1分）
(Ⅱ)当P与B重合时，此时D点也与B点重合.
可知此时，t=8,由△ODQ∽△OAB得
,∴OB2=OA·OQ,即（8）2=8×8a,∴a=3,符合题意.
故当时，△ODQ∽△OAB。（1分）
1、（2011年浙江省杭州市模拟23）（本小题满分10分）
几何模型：
条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；
（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；
（3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．
答案：（本小题10分）
（1） ………………2分
（2）延长AO交⊙o于点D，连接CD交OB于P
则PA=PD，PA+PC=PC+PD=CD
连接ＡＣ，∵ＡＤ为直径，∴∠ACD＝９０°，ＡＤ＝４
∵∠AOC＝６０°，∴∠ADC＝３０°……4分
在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＣＤ＝cos30°?AD=，即PA+PC的最小值为………6分
（3）解：分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接EF交OA，OB于R，Q，
则△PRQ的周长为：EF
∵OP=OE=OF=10,∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,……8分
∵∠AOB=45°,∴∠EOF=90°
在Rt△EOF中，∵OE=OF=10，∴EF=10，即△PRQ的周长最小值为10……10分…
2、(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)（本小题满分12分）
如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动。
（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；
（2）当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；
（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．
答案：
3、（2011年北京四中模拟28）
已知一次函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点（如图），且与反比例函数
的图像在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D。
（1）求m、n的值；
（2）如果点P在x轴上，并在点A与点D之间，点Q在线段AC上，且AP=CQ,那么当
△APQ与△ADC相似时，求点Q的坐标．
答案：解：(1)∵点C（4，n）在的图象上，∴n=6,∴C（4，6）------------1分
∵点C（4，6）在的图象上，∴m=3---------------------------1分
(2)与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B（0，3）---------2分
设AP=CQ=t，∵C（4，6），CD⊥x轴，∴AD=8,CD=6,∴AC=10,∴AQ=10-t，
∵△APQ与△ADC相似，且∠A=∠A,
∴，即或---------2分
∴或---------------------------------------------------2分
∵点Q在直线上，∴设（-4＜t＜4）-----1分
作QH⊥x轴,则AH=x+4
∵QH//CD,∴,即-----------1分
当时，，解得：，--------1分
当时，，解得：，--------1分
1、（北京四中模拟）
如图，矩形纸片ABCD中，厘米，厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图①）；
步骤二，过点P作，交MN所在的直线于点Q，连结QE（如图②）．
图①图②图③
（I）无论点P在AB边上任何位置，都有PQQE（填“>”、“=”、“<”）；
（II）如图③所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
（i）当点P在A点时，PT与MN交于点，点的坐标是（，）；
（ii）当PA=6厘米时，PT与MN交于点，点的坐标是（，）；
（iii）当PA=厘米时，在图③中用尺规作出MN（不要求写作法，要求保留作图痕迹），PT与MN交于点，点的坐标是（，）．
备用图备用图
解：（I）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ=QE（填“>”、“=”、“<”）；
（II）如图③所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
（i）当点P在A点时，PT与MN交于点，点的坐标是（０，３）；
（ii）当PA=6厘米时，PT与MN交于点，点的坐标是（６，６）；
（iii）当PA=厘米时，在图③中用尺规作出MN（连结EP，做中垂线，作图略），
1.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
求直线AC的解析式；
设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。
答案：解：(1)
(2)
(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）。
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H。
由AP＝t，可得AE＝.
由可得GH＝，所以GC＝GH＝.
于是，GE＝AC－AE－GC＝＝。即GE的长度不变。
当2＜t≤4时，同理可证。
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值。
2.（2011年北京四中中考全真模拟15）在“仓库世家”游戏中，游戏规则为“只要将所有木箱归位，便可过关，可以左右上下转身，推动木箱只可前进，无法后拉，按8，2，4，6可上下左右移动。
数字
表示
8
上移一格
2
下移一格
4
左移一格
6
右移一格
（△代表木箱，☆代表木箱应到的目的地，□代表空地，代表墙壁，移动一次只动一个格）其中第一关是如图一设计。移动方案为：→4→8→2→6→6→6→8→8→8。
下图为第三关，请你设计出移动方案:
方案为：→
答案：多种方式，合理即可.
3.（2011年北京四中中考全真模拟15）为收回建路成本，更好的保养公路，设立了公路收费站，某兴趣小组对一个收费站通过车辆情况做了调查，数据如下：
时间
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
第5分钟
第7分钟
第8分钟
第9分钟
第10分钟
通过车辆数
24
23
25
22
26
23
24
25
24
⑴利用上述数据求平均每分钟通过多少车辆，并估计一天通过的车辆数。
⑵收费站规定，一辆机动车通过一次原则上收费20元，以保护环境为根本，达到环保指标的减少1元收费，不达标的多收2元，若某天的总收入为y元，通过的达标车辆是不达标车辆的x倍，求x与y之间的函数关系式。
此段公路修建花费70万元，收费站每天还要拿出100元用于修建费用，问：x为多少时，收费站能在三年内收回成本。
答案：(1）（24+23+……+24）÷9=24
一天：24×24×60=34560
(2)
(3)700000+100×3×365=
x≈1.8（倍.
4.（2011年北京四中中考全真模拟16）如图，某天晚8点时，一台风中心位于点O正北方向160千米点A处，台风中心以每小时20千米的速度向东南方向移动，在距台风中心小于等于120千米的范围内将受到台风影响，同时在点O有一辆汽车以每小时40千米的速度向东行驶。
（1）汽车行驶了多少时间后受到台风的影响？
（2）汽车受到台风影响的时间有多少？
答案：解：（1）设经过t小时后汽车受到了台风的影响，
此时汽车行驶到了点B，台风中心移到点C，
则OB=40t,AC=20t，
作CP⊥OB于点P，CQ⊥OA于点Q，
则AQ=20t,CQ=20t,
所以BP=OB-OP=OB-CQ=20t,CP=OQ=OA-AQ=160-20t,
由BP2+CP2=BC2，得（20t）2+(160-20t)2=1202,
化简得t2-8t+14=0,解得t1=4-,t2=4+,
所以，经过4-小时后，汽车受到台风影响。
（2）当t1≤t≤t2时，（20t）2+(160-20t)2≤1202，
所以在t1到t2这段时间内，汽车一直受到台风影响，
因为∣t1-t2∣=2，
所以汽车受台风影响的时间为2小时。
5.（2011年北京四中中考全真模拟16）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）
（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。
答案：
中考数学模拟试题（16）参考答案:
6.（2011年北京四中中考全真模拟17）已知:反比例函数和一次函数，其中一次函数的图像经过点（k,5）.
（1）试求反比例函数的解析式；
（2）若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A点的坐标。
答案：解：（1）因为一次函数的图像经过点（k,5）
所以有5＝2k-1解得k＝3
所以反比例函数的解析式为y=
（2）由题意得：解这个方程组得：或
因为点A在第一象限，则x>0y>0，所以点A的坐标为（，2）
7.（2011年北京四中中考全真模拟17）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.
DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。
答案：解：（1）DE与半圆O相切.
证明：连结OD、BD
∵AB是半圆O的直径
∴∠BDA=∠BDC=90°∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点
∴DE=BE∴∠EBD＝∠BDE
∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB
又∵∠ABC＝∠OBD+∠EBD＝90°
∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切.
（2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC
∴Rt△ABD∽Rt△ABC
∴=即AB2=AD·AC∴AC=
∵AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根
∴解方程x2－10x+24=0得：x1=4x2=6
∵AD在Rt△ABC中，AB=6AC=9
∴BC===3
8.（2011年北京四中中考全真模拟17）已知：如图9，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0,6)，D(4，6），且AB＝.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△ABC=S梯形ABCD?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.
答案：（1）在RtΔABC中，，
又因为点B在x轴的负半轴上，所以B（－2，0）
（2）设过A，B，D三点的抛物线的解析式为，
将A（0，6），B（－2，0），D（4，6）三点的坐标代入得
解得所以
（3）略
1、（2011年浙江杭州三模）如图是杭州萧山少儿公园局部景点示意图。“蹦蹦床”A在“小舞台”C的正北方向，在“正大门”B的北偏东30°方向；“小舞台”C在“正大门”B的东南方向60m处。问A和C之间相距多少m？A距离B多少m？
答案：解：连结AC
由题意知，AD⊥BD
在Rt△BCD中，BC=60，∠DBC=45o
∴BD=
∴CD=…………………2分
在Rt△ABD中，∠ABD=60o
∴AD=…………………1分
∴AB=…………………2分
∴AC=+…………………2分
答：A和C之间相距+m;A距离Bm。…………1分
2、（2011年浙江杭州三模）如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为,。直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：
（1）分别写出A、C、D、P的坐标；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求
以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。
答案：解：（1）C（４，１）、D（3，４）、P（2，2）
（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）……………2分
当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）……………2分
（３）Ｓ＝－ｔ2＋２ｔ（０＜ｔ≤４）………1分
Ｓ＝ｔ2－２ｔ（ｔ＞４）………1分
当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，Ｓ＝………1分
当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，Ｓ＝………1分
当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，Ｓ＝………1分
3、（2011年浙江杭州二模）已知正比例函数（a＜0）与反比例函数的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4． （1）求这两个函数的解析式； （2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）；
（3）利用图像直接写出当x取何值时，．
答案：（1）∵交点纵坐标为4，∴，解得（舍去）
∴正比例函数：反比例函数：
（2）
（3）当时，
4、（2011年浙江杭州二模）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边?ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时?PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
答案：（1）不变。
又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)
∴
∴
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t
当
当
∴当第秒或第2秒时，?PBQ为直角三角形
（3）不变。
∴
又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)
∴又
∴
B组
46.综合型问题
一、选择题
1．（2011浙江杭州义蓬一中一模）下列函数的图象，经过原点的是（）
A.B.C. D.
答案：A
2.（2011浙江杭州育才初中模拟）如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan∠APB等于（）（09河北中考试题第5题改编）
(A)1 (B)(C)(D)
答案：A
3.（安徽芜湖2011模拟）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）
（－1，2）B.（1，－1）C.（－1，1）D.（2，1）.
答案:C
4.（浙江杭州金山学校2011模拟）（引九年级模拟试题卷）函数在同一直角坐标系内的图象大致是（▲）
答案：C
5、（2011杭州模拟20）给出下列命题：①反比例函数的图象经过一、三象限，且随的增大而减小；②对角线相等且有一个内角是直角的四边形是矩形；③我国古代三国时期的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）；④等弧所对的圆周角相等.其中正确的是（）
（A）③④（B）①②③ （C）②④ （D）①②③④
答案：A
6、（2011年北京四中34模）给出下面四个命题:(1)平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；(2)二次函数，当a<0时y随x的增大而增大；(3)同角的补角相等；(4)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。其中真命题的个数()
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：C
7、（2011年浙江杭州27模）如图，△ABC中，BC=4，以A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于D，交AB于E，交AC于F，P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）。
A．B．C．D．
答案：B
二填空题
1．（2011年三门峡实验中学3月模拟）两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程的两个根，这两圆的位置关系是.
答案：外切
2.（2011浙江杭州育才初中模拟）如图，跷跷板AB长为5米的，0为支点，当AO=3米时，坐在A端的人可以将B端的人跷高1米．那么当支点0在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高__________米．(09?宜宾第15题改编)
答案：1.5
3．（2011浙江杭州育才初中模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为__________________。经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为__________________。（08年益阳第20题）
答案：y=x2-2x-3,y=-2x-3
4．（2011年深圳二模）如图，M为双曲线y＝上的一点，过点Ｍ作ｘ轴、ｙ轴的垂线，分别交直线ｙ＝－ｘ＋m于D、C两点，若直线ｙ＝－ｘ＋m与ｙ轴交于点Ａ，与ｘ轴相交于点B．则AD·BC的值为 ．
答案：2
5.（2011湖北省崇阳县城关中学模拟）如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为．答案：
三、解答题
1．（2011年重庆江津区七校联考）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
答案：
∵关于x的方程有两个相等的实数根
∴ △＝
∴
∴
△ABC是等腰三角形。
2．（2011年杭州三月月考）已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．
（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；
（2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；
（3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．
答案：
解（1）如图①，折叠后点与点重合，
则.
设点的坐标为.
则.
于是.
在中，由勾股定理，得，
即，解得.
点的坐标为
（2）如图②，折叠后点落在边上的点为,
则.
由题设，
则，
在中，由勾股定理，得.
，
即
由点在边上，有，
解析式为所求.
当时，随的增大而减小，
的取值范围为.
（3）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.
则.
又，有.
.
有，得.
在中，
设，则.
由（2）的结论，得，
解得.
点的坐标为.
3．（2011年三门峡实验中学3月模拟）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；
答案：
（1）过C作CE∥OA交BD于E，则△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；
再由△ECP∽△DAP得；
（2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，
由△BCE∽△BOD得CE=OD=x，
再由△ECP∽△DAP得；
由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，
则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=。
4．（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
答案：BM=FN
证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心,
∴BO=DO,∠BDA=∠DBA=45°．
∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，∴FO=DO,∠F=∠BDA
∴OB=OF∠OBM=∠OFN
在△OMB和△ONF中
∴△OBM≌△OFN
∴BM=FN
5．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）．如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．
图1图2
答案：．⑴解：∵B点坐标为(0．2)，
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4.
∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。
设抛物线的解析式为．
其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。
得
解这个方程组，得
∴此抛物线的解析式为…………(3分)
(2)解：
①过点B作BN，垂足为N．
∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．
∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。
∴PN=PS—NS=…………………………(5分)
在Rt△PNB中．
PB2＝
∴PB＝PS＝…………………………(6分)
②根据①同理可知BQ＝QR。
∴，
又∵，
∴，
同理SBP＝…………………………(7分)
∴
∴
∴.
∴△SBR为直角三角形．…………………………(8分)
③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵，
∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。
当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。
∴。…………………………(9分)
取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．……………………(10分)
∴MN为直角梯形SRQP的中位线,
∴点M为SR的中点……………………(11分)
当△PSM∽△QRM时，
又，即M点与O点重合。
∴点M为原点O。
综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，PSM∽△QRM…………(12分)
6．（2011安徽中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】
答案：
（[解](1)OA=6，OB=12
点C是线段AB的中点，OC=AC
作CE⊥x轴于点E．
∴OE=OA=3，CE=OB=6．
∴点C的坐标为(3，6)
(2)作DF⊥x轴于点F
△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．
∴点D的坐标为(2，4)
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得
解得
∴直线AD的解析式为y=-x+6
(3)存在．
Q1(-3，3)
Q2(3，-3)
Q3(3，-3)
Q4(6，6)
7．（2011北京四中一模）（本题9分）
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请你添加一个条件，
使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由．
你添加的条件是
证明：
答案：本题答案不唯一，添加的条件可以是
①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或D是BC中点），
④∠BAD＝∠CAD（或AD平分∠BAC）等．
8．（2011北京四中一模）
如图，在ΔABC中，AC＝15，BC＝18，sinC=，D是AC上一个动点（不运动至点A，C),过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连结BD，设CD＝x．
（1）用含x的代数式分别表示DF和BF；
（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；
(3）如果△BDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，那么x为何值时，S1＝2S2
答案：
9．（2011北京四中一模）（本题14分）
如图，已知直线y＝－2x＋12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连结MD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半径为2，请求出点M的坐标，并写出以为顶点．且过点M的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使得以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
10.（2011北京四中二模）（本题满分6分）如图,有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.
答案：2000米2
11.（2011北京四中二模）（本题满分8分）如图，在⊙O中，AB是直径，半径为R，弧AC=R.
求：（1）∠AOC的度数.（2）若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时， D点的位置.
答案：.(1)∠AOC=60°
(2)D的位置，只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点其中一条.
12.（2011北京四中二模）（本题满分11分）
阅读材料：
如图,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P.
求证：S四边形ABCD=
证明：AC⊥BD→
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=
=
解答问题：
（1）上述证明得到的性质可叙述为_______________________________________.
（2）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积.
答案：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
（2）S梯形=25(cm2).
13．（2011灌南县新集中学一模）（12分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
(2)若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，，求⊙O的半径的长.
答案：（1）DE是⊙O的切线。
证明:连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB
∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC又DE⊥AC∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线
（2）解：如图，⊙O与AC相切于F点，连接OF，
则：OF⊥AC，在Rt△OAF中，sinA=∴OA=
又AB=OA+OB=5∴∴OF=cm
14．（2011灌南县新集中学一模）（12分）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图13中的抛物线是足球的飞行高度y(m)关于飞行时间x(s)的函数图象(不考虑空气的阻力)，已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．
⑴求y关于x的函数关系式；
⑵足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；
⑶假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m(如图14所示，足球的大小忽略不计)．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？
答案：解：（1）设关于的函数关系式为．
依题可知：当时，；当时，．
∴，∴，∴．
（2）不能．理由：∵，∴，∴．
∵，∴方程无解．
∴足球的飞行高度不能达到4.88m．
（3）∵，∴，
∴，∴（不合题意，舍去），∴平均速度至少为（m/s）．
15.（2011浙江杭州义蓬一模）
（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）
综合型问题
类型之一代数类型的综合题
代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法等．解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．
例1.（2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。
请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）
【答案】
解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系………………1分
设抛物线的函数解析式为,………………2分
由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，………………3分
所以8=a×，解得a=,故所求抛物线的函数解析式为………………4分
（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,………………5分
则点A、D关于OC对称。
连接BD交OC于点P，则点P即为所求。………………6分
（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，
所以点B的坐标为（2，2）………………7分
又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）………………8
设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9
则有………………10
解得k=-1,b=4.
故直线BD的函数解析式为 y=-x+4，………………11
把x=0代入 y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）
两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。………………12
例2：（2011四川重庆，25，10分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1(元/件)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025)
【答案】(1)y1与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，
y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630．
(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1000?50?30?20x?540)
＝(0.1x＋1.1)(380?20x)＝－2x2＋160x＋418
＝－2(x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数)
∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1000－50－30－y2)
＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)
＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)，
当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，
∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，
∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
(3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件），
今年原材料的价格为：750+60=810（元），
今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元），
由题意，得5×[1000（1+a﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a﹪）=1700，
设t=a﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴=97．
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980．
∵1.7（1－0.1a﹪）≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10．
答：a的整数值为10．
类型之二几何类型的综合题
几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．
例2.（·龙岩市）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C.（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式.
【解析】此题考查圆的切线的判定方法及一次函数解析式的判定，(1)切线的判定要从定义上去判定:过半径的外端,且垂直于半径的直线为圆的切线,所以此题要连接OM,然后证明OM⊥DC,这里平行线对角的转化起到了关键的作用；(2)MC的长借助于勾股定理建立方程而求出,要求直线DC的解析式需要再求出点C的坐标根据MC的长即可以求出点C的坐标（AA，0）,从而求出直线DC的解析式.
【答案】（1）答：直线DC与⊙O相切于点M.
证明如下：连OM，∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵OB=OM，
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠4.
在△DAO与△DMO中，
∴△DAO≌△DMO.
∴∠OMD=∠OAD.
由于FA⊥x轴于点A，∴∠OAD=90°.
∴∠OMD=90°.即OM⊥DC.
∴DC切⊙O于M.
（2）解：由D（－2，4）知OA=2（即⊙O的半径），AD=4.
由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，
知AA=AA=AA=AA，∴AC=2MC.
在Rt△ACD中，CD=MC+4.
由勾股定理，有(2MC)2+42=(MC+4)2，解得MC=AA或MC=0（不合，舍去）.
∴MC的长为AA，∴点C（AA，0）.
设直线DC的解析式为y=kx+b.
则有解得
∴直线DC的解析式为y=－AAx+AA.
2(·益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.
Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ.探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.Ⅱa.小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化).
Ⅱb.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是：①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；②连结BF’并延长交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.
类型之三几何与代数相结合的综合题
几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.
例3.（·恩施自治州）如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
图1（1）
请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD+CE=DE.
图2（4）
在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
【解析】解决问题（1）（2）的关键是利用图中的相似三角形；解决问题（3）时利用（2）中的m、n的关系求出点D的坐标，进而分别求出BD2、CE2、DE2的值；解决问题（4）时，通常方法是先猜想其结论成立，根据结论的特征，尝试构造直角三角形，则问题可轻松获解.
【答案】解：(1)?ABE∽?DAE,?ABE∽?DCA
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠C=45°
∴?ABE∽?DCA
(2)∵?ABE∽?DCA，∴
由依题意可知CA=BA=
∴，∴m=
自变量n的取值范围为1
∵m=，∴m=n=
∵OB=OC=BC=1，∴OE=OD=－1，∴D(1－,0)
∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE,DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2
∵BD+CE=2BD=2(2－)=12－8,DE=(2－2)=12－8
∴BD+CE=DE
(4)成立
证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,
∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在?EAD和?HAD中
∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.
∴?EAD≌?HAD
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD+HB=DH
即BD+CE=DE
2011年真题
一选择题
1.(2011浙江湖州，10，3)如图，已知A、B是反比例面数(k>0,x>0)图象上的两点，BC∥x轴,交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形0MPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为
【答案】A
2.（2011台湾全区，19）坐标平面上，二次函数的图形与下列哪一个方程式的图形没
有交点？
A．x＝50B．x＝－50C．y＝50D．y＝－50
【答案】Ｄ
3.（2011广东株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是()
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】D
4.（2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）
A．50mB．100m
C．160mD．200m
【答案】C
5.（2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数关系式：，则小球距离地面的最大高度是（）
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】C
二、填空题
1.（2011湖南怀化，16，3分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大.
【答案】4
2.（2011江苏扬州，17,3分）如图，已知函数与（a>0，b>0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程=0的解为
【答案】－3
3.
4.
5.
三、解答题
1.（2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。
请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）
【答案】
解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系………………1分
设抛物线的函数解析式为,………………2分
由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，………………3分
所以8=a×，解得a=,故所求抛物线的函数解析式为………………4分
（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,………………5分
则点A、D关于OC对称。
连接BD交OC于点P，则点P即为所求。………………6分
（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，
所以点B的坐标为（2，2）………………7分
又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）………………8
设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9
则有………………10
解得k=-1,b=4.
故直线BD的函数解析式为 y=-x+4，………………11
把x=0代入 y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）
两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。………………12
2.（2011四川重庆，25，10分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1(元/件)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025)
【答案】(1)y1与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，
y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630．
(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1000?50?30?20x?540)
＝(0.1x＋1.1)(380?20x)＝－2x2＋160x＋418
＝－2(x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数)
∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1000－50－30－y2)
＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)
＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)，
当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，
∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，
∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
(3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件），
今年原材料的价格为：750+60=810（元），
今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元），
由题意，得5×[1000（1+a﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a﹪）=1700，
设t=a﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴=97．
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980．
∵1.7（1－0.1a﹪）≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10．
答：a的整数值为10．
3.（2011山东潍坊，22，10分）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.
（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；
（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？
（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？
【解】（1）当时，设，
将点（1，8）、（7，26）分别代入，得
解之，得
∴函数解析式为.
当时，设，
将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入，得：
解之，得
∴函数解析式为.
（2）当时，函数中y随x的增大而增大，
∴当时，.
当时，，
∴当时，.
所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克.
（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，
∴时的月平均价格17是前7个月的平均值.
将，和分别代入，得，和.
∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11.
∴年平均价格为（元/千克）.
当时，，
∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.
4.（2011四川成都，26,8分）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．当x为何值时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；
(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为和，且到AB、BC、AD的距离与到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
【答案】（1），当时，S取最大值为1800．
（2）如图所示，过、分别作到AB、BC、AD和CD、BC、AD的垂直，垂足如图，根据题意可知，；当S取最大值时，AB=CD=30，BC=60，
所以，
∴，
∴，
∴两个等圆的半径为15，左右能够留0.5米的平直路面，而AD和BC与两圆相切，不能留0.5米的平直路面.
6.（2011江苏无锡，25，10分）(本题满分10分)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元/吨)与采购量x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)。
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？
【答案】
解：(1)当0
(2)当0
当20
∴当x=23时，利润w取得最大值，最大值为105800元．………………………(9分)
∵105800>104000，∴当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105800元．………………………………………………………(10分)
7.（2011湖北武汉市，23，10分）（本题满分10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．
【答案】解：（1）y=30－2x(6≤x＜15)
（2）设矩形苗圃园的面积为S则S=xy=x(30－2x)=－2x2＋30x
∴S=－2(x－7.5)2＋112.5由（1）知，6≤x＜15∴当x=7.5时,S最大值＝112.5
即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5
（3）6≤x≤11
8.（2011湖北黄冈，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．
⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．
后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q
=+==，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，
故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．
⑶有极大的实施价值．
9.（2011贵州贵阳，25，12分）
用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图中的一种）．
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（4分）
（2）在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（4分）
（3）在图中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（第25题图）
【答案】解：
（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC==4-x，
∴x（4-x）=3．
解得，x=1或3．
（2）当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x·=-x2+4x．
当x=-=时，S=3．
∴当x=时时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．
（3）当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积
S=x·=-x2+x．
当x=-=时，S=
∴当x=时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米
10．（2011江苏盐城，26，10分）利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息:
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
【答案】（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．
根据题意，得解得
答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．
（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则
s=(1-m)(500+100×)+(5-3-m)(300+100×)
即s=-2000m2+2200m+1100=-2000(m-0.55)2+1705.
∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705.
答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.
11.（2011湖北鄂州，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．
⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．
后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q
=+==，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，
故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．
⑶有极大的实施价值．
12.（2011湖北荆州，23，10分）（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
型号
金额
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
投资金额x（万元）
x
5
x
2
4
补贴金额y（万元）
y1=kx
(k≠0)
2
y2=ax2+bx
(a≠0)
2.4
3.2
（1）分别求出和的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
【答案】解：（1）由题意得：①5k=2，k=
∴
②，解之得：，∴
（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10-t）万元，共获补贴Q万元?
∴，
∴当t=3时，Q有最大值为，此时10-t=7(万元)
即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元.
13..（2011浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.
（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；
（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，
①试求出当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式.
解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=，
∴,得b=1；……2分
（2）设所求抛物线解析式为，
由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2）
∴解得
∴所求抛物线解析式为；……4分
（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线解析式为，
过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，
∴,
设OD=t，则CD=3t，
∵，
∴，∴,
∴C（，）,又B（，0），
∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得
解得:a=；……2分
②.……2分
14.（2011福建福州，22，14分）已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点 (在点右侧),点、关于直线:对称.
(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.
【答案】解:(1)依题意,得
解得,
∵点在点右侧
∴点坐标为,点坐标为
∵直线:
当时,
∴点在直线上
(2)∵点、关于过点的直线:对称
∴
过顶点作交于点
则,
∴顶点
把代入二次函数解析式,解得
∴二次函数解析式为
(3)直线的解析式为
直线的解析式为
由解得即,则
∵点、关于直线对称
∴的最小值是,过作轴于D点。
过点作直线的对称点,连接,交直线于
则,,
∴的最小值是,即的长是的最小值
∵∥
∴
在由勾股定理得
∴的最小值为
（不同解法参照给分）
15.（2011广东广州市，24，14分）
已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）．
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．
【答案】（1）c=1
（2）将C（0，1），A（1，0）得
a＋b＋1=0
故b=―a―1
由b2－4ac＞0，可得
(－a－1)2－4a＞0
即(a－1)2＞0
故a≠1，又a＞0
所以a的取值范围是a＞0且a≠1．
（3）由题意0＜a＜1，b=―a―1可得－＞1，故B在A的右边，B点坐标为(－－1，0)
C（0，1），D（－，1）
|AB|=－－1－1=－－2
|CD|=－
S1－S2＝S△CDA－SABC=×|CD|×1－×|AB|×1
=×（－）×1－×（－－2）×1
=1
所以S1－S2为常数，该常数为1．
16.（2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=相交于点A，B.已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=，
得：-2=，∴k=4．
即双曲线的解析式为：y=．
设A点的坐标为（m，n）。∵A点在双曲线上，∴mn=4．…①
又∵tan∠AOx=4，∴=4，即m=4n．…②
又①，②，得：n2=1,∴n=±1.
∵A点在第一象限，∴n=1,m=4，∴A点的坐标为（1，4）
把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：解得a=1，b=3；
∴抛物线的解析式为：y=x2+3x；（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4，
代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1（舍去）．
∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5，
又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=×5×6=15；
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D．
因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB，
所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.
解方程组得所以点D的坐标是（3，18）
17.（2011浙江省，24，14分）如图，在直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交与点A（-1,0）、B（3,0）两点，抛物线交y轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？
(3)设E为线段OC上的三等分点，链接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．
【答案】：（1）由题意，得：
解得：
∴=，顶点坐标为（1，4）.
（2）由题意，得P(x,x-1)，Q(x,)，
∴线段PQ=-(x-1)==
当x=时，线段PQ最长为。
（3）∵E为线段OC上的三等分点，OC=3,∴E(0，1)，或E(0，2)
∵EP=EQ，PQ与y轴平行，
∴2×OE=+(x-1)
当OE=1时，x1=0，x2=3，点P坐标为（0，-1）或（3，2）。
当OE=2时，x1=1，x2=2，点P坐标为（1，0）或（2，1）。
18.（2011浙江温州，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．
(1)求△OAB的面积；
(2)若抛物线经过点A．
①求c的值；
②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．
【答案】解：(1)∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴，
∴AB=2，OB＝4，
∴
(2)①把点A的坐标（－2，4）代入，
得，∴c＝4
②∵，
∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2），
∴m的取值范围为l
(1)当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；
(2)当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，
①试求出当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式.
【解】(1)由题意可知，抛物线对称轴为直线x=，
∴－=，得b=1；
(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+1，
由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M(，2)，
∴解得
∴所求抛物线解析式为y=－x2+x+1；
(3)①当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx，
过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，
∴==，
设OD=t，则CD=3t，
∵OD2+CD2=OC2，
∴（3t）2+t2=12，∴t==，
∴C(，)，又B(，0)，
∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得
解得：a=－；
②a=－.
20.（2011江西，24，10分）将抛物线c1：y=-x2+沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示.
（1）请直接写出抛物线c2的表达式.
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
【答案】解：(1)y=x2-.
(2)①令-x2+=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m，0），B（1+m,0）.
当AD=AE时，如图①，（-1+m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)],∴m=
当AB=AE时，如图②，（1-m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)],∴m=2.
∴当m=或2时，B，D是线段AE的三等分点.
②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(）2=[-(-1-m)]2,∴m=1.
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.
21.（2011甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）。
（1）求抛物线的表达式。
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s
的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）。
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。
【答案】（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线过A、B、D三点得
解得
抛物线的表达式为
（2）①S=PQ2=（0≤t≤1）
②由解得t=或t=（不合题意，舍去）
此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，）
若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，）或（1，－）或（1，）
经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，）在抛物线上
所以抛物线上存在点R（3，）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。
（3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求。因为如在对称轴上另取一点N，则
ND－NA=ND－NB
时，，故点M的坐标为（1，）
22．（2011湖南益阳，20，10分）如图9，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：
（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；
（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．
【答案】解：⑴设抛物线的解析式为，
抛物线经过，，
.
,
∥,,
由，
,.
，∽，
．
⑵设抛物线的解析式为
，
．
∥，
，，，，
，，
同⑴得
．
23.（2011广东株洲，24，10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
【答案】解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，∴B(2，-2)，
将B(2，-2)代入抛物线得，.
（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B(1，)，
∴.又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，∴∴AE=2OE，
设点A（，）（m＞0），则OE=m，，∴
∴m=4，即点A的横坐标为-4.
解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B(1，)，
∴
∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
∴，∴AE=2OE，
设点A（-，）（m＞0），则OE=m，，∴
∴m=4，即点A的横坐标为-4.
解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B(1，)，
设A（-，）（m＞0），则
，，，
∵∠AOB=90°，∴，
∴，
解得：m=4，即点A的横坐标为-4.
（3）解法一：设A（，）（m＞0），B（，）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，
(1)×n+(2)×m得，，
∴
又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，
∴.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），
（说明：写出定点C的坐标就给2分）
解法二：设A（，）（m＞0），B（，）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据，可得
，
化简，得.
又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，∴OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,-2）
说明：mn的值也可以通过以下方法求得.
由前可知，，，，
由，得：，
化简，得mn=4.
24.（2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上.
(1)求a的值；
(2)求A,B两点的坐标;
(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上?请说明理由.
【答案】解：(1)∵二抛物线的顶点坐标为，∴x=1,∵顶点在直线y=-2x上，所以y=-2,即顶点坐标为（1，-2），∴-2=-1+a,即a=-4;(2)二次函数的关系式为，当y=0时，
，解之得：，即A（-1，0），B（3，0）；（3）如图所示：直线BD//AC,AD//BC,因为A(-1.0),C(0,),所以直线AB的解析式为,所以设BD的解析式为,因为B(3,0),所以b=,直线BD的解析式为:,同理可得:直线AD的解析式为:,因此直线BD与CD的交点坐标为:(2,),则点D关于x轴的对称点D′是(2,-),当x=2时代入得,y=,所以D′在二次函数的图象上.
25.（2011四川广安，30，12分）如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1．0），B(-1.2)，D(3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA=PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。
（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。
【答案】（1）解：由题意可得M（0．2），N（-3．2）
∴
解得：
∴y=
（2）∵PA=PC∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（-1．2）（1．0）所在的直线为y=－x+1
解得：
∴P1（）P2（）
（3）D为E关于对称轴x=1.5对称
CD所在的直线y=－x+3
∴yQ=4.5 ∴Q（-1.5．4.5）
最大值为QC==
26.（2011四川宜宾,24，12分）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0,a为常数），并经过点（2a,2a）,点D(0，2a)为一定点．
⑴求含有常数a的抛物线的解析式；
⑵设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH；
⑶设过原点O的直线与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且,求a的值．
【答案】解：⑴设抛物线的解析式为
∵点D（2a，2a）在抛物线上，
∴
∴抛物线的解析式为
⑵设抛物线上一点P（x,y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在中，由勾股定理得：
∵∴
∴
∴PD=PH.
⑶过B点BE⊥x轴，AF⊥y轴，
由⑵的结论：BE=DBAF=DA
∵DA=2DB∴AF=2BE∴AO=2BO
∴B是OA的中点
∵C是OD的中点
连接BC
∴
过B作BR⊥y轴，
∵BR⊥CD∴CR=DR,，
∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上
∴∴
∵∴∴B（，）
AO=2OB,∴
所以，
∴，∵∴
27.（2011江西南昌，24，10分）将抛物线c1：y=-x2+沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示.
（1）请直接写出抛物线c2的表达式.
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
备用图
【答案】解：(1)y=x2-.
(2)①令-x2+=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m，0），B（1+m,0）.
当AD=AE时，如图①，（-1+m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)],∴m=
当AB=AE时，如图②，（1-m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)],∴m=2.
∴当m=或2时，B，D是线段AE的三等分点.
②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(）2=[-(-1-m)]2,∴m=1.
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.
28.（2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，
∴0=-42+4b+3，
解得b=，
∴此二次函数关系式为：y=-x2+x+3，
点B的坐标为B(0,3).
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.理由如下：
设点P(x，0)，x＞0，则根据下图和已知条件可得
x2+32=(4-x)2，
解得x=，
∴点P的坐标为P(,0).
即，在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.
29.（2011湖北武汉市，25，12分）（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3,0），B（－1,0）两点
∴9a－3b＋3＝0且a－b＋3＝0
解得a＝1，b＝4
∴抛物线的解析式为y=x2＋4x＋3
（2）由（1）配方得y=(x＋2)2－1
∴抛物线的顶点M（－2，1）
∴直线OD的解析式为y=x
于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，h），
∴平移的抛物线解析式为y=（x－h）2＋h．
①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h2＋h=9，
解得h=．
∴当≤h＜时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点．
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组y=（x－h）2＋h，y=－2x＋9．
得x2＋（－2h＋2）x＋h2＋h－9=0，
∴△=（－2h＋2）2－4（h2＋h－9）=0，
解得h=4．
此时抛物线y=（x－4）2＋2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意．
综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或≤h＜．
（3）方法1
将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，
设EF的解析式为y=kx＋3（k≠0）．
假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H．
∵△PEF的内心在y轴上，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，
∴GP/PH=GE/HF,
∴－xE/xF=(yE－t)/(yF－t)=(kxE＋3－t)/(kxF＋3－t)
∴2kxE·xF=（t－3）（xE＋xF）
由y=x2，y=－kx＋3．得x2－kx－3=0．
∴xE＋xF=k，xE·xF=－3．
∴2k（－3）=（t－3）k
∵k≠0，∴t=－3．
∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上．
方法2：设EF的解析式为y=kx＋3（k≠0）,点E，F的坐标分别为（m，m2）（n，n2）由方法1知：mn=－3．作点E关于y轴的对称点R（－m，m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点．
由F，R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n－m）x＋mn．
当x=0，y=mn=－3，
∴P（0，－3）．
∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上．
30.（2011湖北黄石，25，10分）已知二次函数y=x2－2mx+4m－8
(1)当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。
（2）以抛物线y=x2－2mx+4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M、N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线y=x2－2mx+4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。
【答案】解：（1）∵x==m
∴m≥2
(2)
A(m,-m2+4m-8)
由对称性可知∠MAC＝300
故设yAM=x+b
把A(m,-m2+4m-8)代入yAM=x+b
得，b=-m2+(4-)m-8
即yAM=x-m2+(4-)m-8
∴
解之得x1=m，x2=+m
∴CM＝
∴S△AMN＝＝3
（3）x=＝m
∵图象与x轴交点的横坐标均为整数
∴整数m=2
31.（2011广东茂名，25，8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线对称轴与轴相交于点M．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；(3分)
(2)设点P为抛物线()上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；(2分)
(3)连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．(3分)
【答案】解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为，
把点A(0，4)代入上式得：，
∴，
∴抛物线的对称轴是：．
(2)由已知，可求得P(6，4)．
提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM＝3，又知点P的坐标中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM＝5，此时点P横坐标为6，即AP＝6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P(6，4)．
⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为，此时点N(，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G，
此时：NG＝－()，
＝．
∴
∴当时，△CAN面积的最大值为，
由，得：，∴N(，－3)．
法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则
(再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略)
32．（2011湖南永州，24，10分）如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．
⑴求该抛物线的解析式及对称轴；
⑵当为何值时，？
⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．
【答案】解：⑴把A（，），B（0,7）两点的坐标代入，得
解得
所以，该抛物线的解析式为，
又因为，所以对称轴为直线．
⑵当函数值时，的解为，
结合图象，容易知道时，．
⑶当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n），
则，即
因为C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴对称，设点D的横坐标为，则，所以，所以CD=
因为CD=CF，所以，整理，得，解得或5．
因为点C在对称轴的左侧，所以只能取．
当时，==4
于是，得点C的坐标为（，4）．
33.（2011山东东营，23，10分）(本题满分10分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0），如图所示；抛物线经过点B。
求点B的坐标；
求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；
∴∠BCD=∠CAO；又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，
∴△BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B的坐标为(3,1)
（2）抛物线经过点B(3,1)，则得解得，所以抛物线的解析式为
（3）假设存在点P，似的△ACP是直角三角形:
①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）。
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MCP1≌△BCD
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线为上；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）。同理可得△AP2N≌△CAO；∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（-2，1），；经检验点P2（-2，1）也在抛物线上；
③若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）同理可得△AP3H≌△CAO；∴HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），；经检验点P3（2，3）不抛物线上；
故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个。
34.（2011内蒙古乌兰察布，24，16分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)，把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y
轴分别交于C、D两点
(1）求m的值；
(2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
(3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积，是四边形OACD面积的?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】⑴设反比例函数的解析式为：，把代人解析式中求得.当时，，所以；
⑵设直线OA的解析式为，把代人解析式中求得，则有，
设直线BD的解析式为，把代人解析式中求得，则有，所以B（6,1.5）、D（0，－4.5）
设抛物线的解析式为由题意知
解得
所以
⑶由求出C（4.5,0），四边形OACD面积=，
四边形OECD的面积
经分析点E在x轴的上方，四边形OECD的面积
则所以，求出即点E的纵坐标是，把代人中得出，所以E()或E().
35.（2011重庆市潼南,26,12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，
OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上
是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点P的
坐标；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5）------------1分
∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)
∴ ------------2分
解得：b=-2c=-3 ------------3分
（2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）B(4,5)
∴直线AB的解析式为：y=x+1
∵二次函数
∴设点E(t，t+1),则F（t，）------------4分
∴EF=------------5分
=
∴当时，EF的最大值=
∴点E的坐标为（，） ------------------------6分
（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）
S = S + S
=
= -----------------------------------9分
②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)
则有：解得:,
∴,
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）
则有： 解得：，（与点F重合，舍去）∴
综上所述：所有点P的坐标：，（.能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．------------------------------------12分
36.（2011河北，26，12分）如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）.
(1)求c，b（用t的代数式表示）；
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s=；
（3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。
【答案】（1）C=0,b=-t
（2）①不变。当x=1时，y=1-t，故M(1，1-t)，∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°。
②S=
=
=
解=，得
∵4＜t＜5，∴舍去，∴t=
（3）＜t＜
综合型问题
一、选择题
1.（2011年北京四中中考全真模拟15）2001年7月13日，北京市获得了第29届运动会的主办权，这一天是星期五，那么第29届奥运会在北京市举办的那一年的7月13日是星期()
A.1B.3C.5D.日
答案：D
1、（2011年浙江杭州二模）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（）
A．6B．8C．9.6D．10
答案：C
2、（2011年浙江杭州七模）下列命题：①同位角相等；②如果，那么；③若关于的方程的解是负数，则m的取值范围为m<-4；④相等的圆周角所对的弧相等．其中假命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
二、填空题
1.（2011年北京四中中考全真模拟15）从甲站到乙站有两种走法。从乙站到丙站有三种走法。从乙站到丙站有______种走法。
A.4B.5C.6D.7
答案：C
2.（2011年北京四中中考全真模拟15）一个窗户被装饰布档住一部分，其中窗户的长与宽之间比为3:2装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是,这个窗口未被遮挡部分的面积为__________。
答案：
3.（2011年北京四中中考全真模拟16）如图所示，图中共有条线段，共有个长方形。
答案：18，9．
4.（2011年北京四中中考全真模拟17）如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如右图所示，则打包带的长至少要_________（单位：mm）(用含x、y、z的代数式表示)
答案：2x+4y+6z
1、（2011年浙江杭州八模）已知正整数a满足不等式组（为未知数）无解，则函数图象与轴的坐标为
答案：
三、解答题
1、（2011年江苏盐都中考模拟）（本题12分）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是（0,8），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0
(2)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(3)当a=3,OD=时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
(4)当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB相似？当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不相似？请给出你的结论，并加以说明.
解：（1）∠AOB=30°，OA=8；（2分）
（2）；（2分）
（3)当a=3时，CP=t,OQ=3t,OD=，∴PB=8-t,BD=8
由△OQD∽△BPD得,即，∴t=。
当t=时，OQ=,同理可求Q().
设直线PQ的解析式为y=kx+b,则，∴
∴直线PQ的解析式为；（4分）
(4)当a=1时，△ODQ∽△OBA,当1
若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ//AB,
故四边形PCOQ为平行四边形,∴CP=OQ.
即at=t(0
（Ⅰ）如果P点不与B点重合，此时必有△PBD∽△QOD.
∴,∴,即,∴OD=.
∵△ODQ∽△OAB，∴,即.
∴，∵，∴此时，不符合题意.
∴即时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似；（1分）
(Ⅱ)当P与B重合时，此时D点也与B点重合.
可知此时，t=8,由△ODQ∽△OAB得
,∴OB2=OA·OQ,即（8）2=8×8a,∴a=3,符合题意.
故当时，△ODQ∽△OAB。（1分）
1、（2011年浙江省杭州市模拟23）（本小题满分10分）
几何模型：
条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；
（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；
（3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．
答案：（本小题10分）
（1） ………………2分
（2）延长AO交⊙o于点D，连接CD交OB于P
则PA=PD，PA+PC=PC+PD=CD
连接ＡＣ，∵ＡＤ为直径，∴∠ACD＝９０°，ＡＤ＝４
∵∠AOC＝６０°，∴∠ADC＝３０°……4分
在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＣＤ＝cos30°?AD=，即PA+PC的最小值为………6分
（3）解：分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接EF交OA，OB于R，Q，
则△PRQ的周长为：EF
∵OP=OE=OF=10,∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,……8分
∵∠AOB=45°,∴∠EOF=90°
在Rt△EOF中，∵OE=OF=10，∴EF=10，即△PRQ的周长最小值为10……10分…
2、(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)（本小题满分12分）
如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动。
（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；
（2）当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；
（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．
答案：
3、（2011年北京四中模拟28）
已知一次函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点（如图），且与反比例函数
的图像在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D。
（1）求m、n的值；
（2）如果点P在x轴上，并在点A与点D之间，点Q在线段AC上，且AP=CQ,那么当
△APQ与△ADC相似时，求点Q的坐标．
答案：解：(1)∵点C（4，n）在的图象上，∴n=6,∴C（4，6）------------1分
∵点C（4，6）在的图象上，∴m=3---------------------------1分
(2)与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B（0，3）---------2分
设AP=CQ=t，∵C（4，6），CD⊥x轴，∴AD=8,CD=6,∴AC=10,∴AQ=10-t，
∵△APQ与△ADC相似，且∠A=∠A,
∴，即或---------2分
∴或---------------------------------------------------2分
∵点Q在直线上，∴设（-4＜t＜4）-----1分
作QH⊥x轴,则AH=x+4
∵QH//CD,∴,即-----------1分
当时，，解得：，--------1分
当时，，解得：，--------1分
1、（北京四中模拟）
如图，矩形纸片ABCD中，厘米，厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图①）；
步骤二，过点P作，交MN所在的直线于点Q，连结QE（如图②）．
图①图②图③
（I）无论点P在AB边上任何位置，都有PQQE（填“>”、“=”、“<”）；
（II）如图③所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
（i）当点P在A点时，PT与MN交于点，点的坐标是（，）；
（ii）当PA=6厘米时，PT与MN交于点，点的坐标是（，）；
（iii）当PA=厘米时，在图③中用尺规作出MN（不要求写作法，要求保留作图痕迹），PT与MN交于点，点的坐标是（，）．
备用图备用图
解：（I）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ=QE（填“>”、“=”、“<”）；
（II）如图③所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
（i）当点P在A点时，PT与MN交于点，点的坐标是（０，３）；
（ii）当PA=6厘米时，PT与MN交于点，点的坐标是（６，６）；
（iii）当PA=厘米时，在图③中用尺规作出MN（连结EP，做中垂线，作图略），
1.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
求直线AC的解析式；
设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。
答案：解：(1)
(2)
(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）。
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H。
由AP＝t，可得AE＝.
由可得GH＝，所以GC＝GH＝.
于是，GE＝AC－AE－GC＝＝。即GE的长度不变。
当2＜t≤4时，同理可证。
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值。
2.（2011年北京四中中考全真模拟15）在“仓库世家”游戏中，游戏规则为“只要将所有木箱归位，便可过关，可以左右上下转身，推动木箱只可前进，无法后拉，按8，2，4，6可上下左右移动。
数字
表示
8
上移一格
2
下移一格
4
左移一格
6
右移一格
（△代表木箱，☆代表木箱应到的目的地，□代表空地，代表墙壁，移动一次只动一个格）其中第一关是如图一设计。移动方案为：→4→8→2→6→6→6→8→8→8。
下图为第三关，请你设计出移动方案:
方案为：→
答案：多种方式，合理即可.
3.（2011年北京四中中考全真模拟15）为收回建路成本，更好的保养公路，设立了公路收费站，某兴趣小组对一个收费站通过车辆情况做了调查，数据如下：
时间
第1分钟
第2分钟
第3分钟
第4分钟
第5分钟
第7分钟
第8分钟
第9分钟
第10分钟
通过车辆数
24
23
25
22
26
23
24
25
24
⑴利用上述数据求平均每分钟通过多少车辆，并估计一天通过的车辆数。
⑵收费站规定，一辆机动车通过一次原则上收费20元，以保护环境为根本，达到环保指标的减少1元收费，不达标的多收2元，若某天的总收入为y元，通过的达标车辆是不达标车辆的x倍，求x与y之间的函数关系式。
此段公路修建花费70万元，收费站每天还要拿出100元用于修建费用，问：x为多少时，收费站能在三年内收回成本。
答案：(1）（24+23+……+24）÷9=24
一天：24×24×60=34560
(2)
(3)700000+100×3×365=
x≈1.8（倍.
4.（2011年北京四中中考全真模拟16）如图，某天晚8点时，一台风中心位于点O正北方向160千米点A处，台风中心以每小时20千米的速度向东南方向移动，在距台风中心小于等于120千米的范围内将受到台风影响，同时在点O有一辆汽车以每小时40千米的速度向东行驶。
（1）汽车行驶了多少时间后受到台风的影响？
（2）汽车受到台风影响的时间有多少？
答案：解：（1）设经过t小时后汽车受到了台风的影响，
此时汽车行驶到了点B，台风中心移到点C，
则OB=40t,AC=20t，
作CP⊥OB于点P，CQ⊥OA于点Q，
则AQ=20t,CQ=20t,
所以BP=OB-OP=OB-CQ=20t,CP=OQ=OA-AQ=160-20t,
由BP2+CP2=BC2，得（20t）2+(160-20t)2=1202,
化简得t2-8t+14=0,解得t1=4-,t2=4+,
所以，经过4-小时后，汽车受到台风影响。
（2）当t1≤t≤t2时，（20t）2+(160-20t)2≤1202，
所以在t1到t2这段时间内，汽车一直受到台风影响，
因为∣t1-t2∣=2，
所以汽车受台风影响的时间为2小时。
5.（2011年北京四中中考全真模拟16）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）
（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。
答案：
中考数学模拟试题（16）参考答案:
6.（2011年北京四中中考全真模拟17）已知:反比例函数和一次函数，其中一次函数的图像经过点（k,5）.
（1）试求反比例函数的解析式；
（2）若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A点的坐标。
答案：解：（1）因为一次函数的图像经过点（k,5）
所以有5＝2k-1解得k＝3
所以反比例函数的解析式为y=
（2）由题意得：解这个方程组得：或
因为点A在第一象限，则x>0y>0，所以点A的坐标为（，2）
7.（2011年北京四中中考全真模拟17）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.
DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。
答案：解：（1）DE与半圆O相切.
证明：连结OD、BD
∵AB是半圆O的直径
∴∠BDA=∠BDC=90°∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点
∴DE=BE∴∠EBD＝∠BDE
∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB
又∵∠ABC＝∠OBD+∠EBD＝90°
∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切.
（2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC
∴Rt△ABD∽Rt△ABC
∴=即AB2=AD·AC∴AC=
∵AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根
∴解方程x2－10x+24=0得：x1=4x2=6
∵AD
∴BC===3
8.（2011年北京四中中考全真模拟17）已知：如图9，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0,6)，D(4，6），且AB＝.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△ABC=S梯形ABCD?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.
答案：（1）在RtΔABC中，，
又因为点B在x轴的负半轴上，所以B（－2，0）
（2）设过A，B，D三点的抛物线的解析式为，
将A（0，6），B（－2，0），D（4，6）三点的坐标代入得
解得所以
（3）略
1、（2011年浙江杭州三模）如图是杭州萧山少儿公园局部景点示意图。“蹦蹦床”A在“小舞台”C的正北方向，在“正大门”B的北偏东30°方向；“小舞台”C在“正大门”B的东南方向60m处。问A和C之间相距多少m？A距离B多少m？
答案：解：连结AC
由题意知，AD⊥BD
在Rt△BCD中，BC=60，∠DBC=45o
∴BD=
∴CD=…………………2分
在Rt△ABD中，∠ABD=60o
∴AD=…………………1分
∴AB=…………………2分
∴AC=+…………………2分
答：A和C之间相距+m;A距离Bm。…………1分
2、（2011年浙江杭州三模）如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为,。直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：
（1）分别写出A、C、D、P的坐标；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求
以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。
答案：解：（1）C（４，１）、D（3，４）、P（2，2）
（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）……………2分
当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）……………2分
（３）Ｓ＝－ｔ2＋２ｔ（０＜ｔ≤４）………1分
Ｓ＝ｔ2－２ｔ（ｔ＞４）………1分
当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，Ｓ＝………1分
当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，Ｓ＝………1分
当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，Ｓ＝………1分
3、（2011年浙江杭州二模）已知正比例函数（a＜0）与反比例函数的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4． （1）求这两个函数的解析式； （2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）；
（3）利用图像直接写出当x取何值时，．
答案：（1）∵交点纵坐标为4，∴，解得（舍去）
∴正比例函数：反比例函数：
（2）
（3）当时，
4、（2011年浙江杭州二模）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边?ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时?PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
答案：（1）不变。
又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)
∴
∴
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t
当
当
∴当第秒或第2秒时，?PBQ为直角三角形
（3）不变。
∴
又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)
∴又
∴
B组
46.综合型问题
一、选择题
1．（2011浙江杭州义蓬一中一模）下列函数的图象，经过原点的是（）
A.B.C. D.
答案：A
2.（2011浙江杭州育才初中模拟）如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan∠APB等于（）（09河北中考试题第5题改编）
(A)1 (B)(C)(D)
答案：A
3.（安徽芜湖2011模拟）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）
（－1，2）B.（1，－1）C.（－1，1）D.（2，1）.
答案:C
4.（浙江杭州金山学校2011模拟）（引九年级模拟试题卷）函数在同一直角坐标系内的图象大致是（▲）
答案：C
5、（2011杭州模拟20）给出下列命题：①反比例函数的图象经过一、三象限，且随的增大而减小；②对角线相等且有一个内角是直角的四边形是矩形；③我国古代三国时期的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）；④等弧所对的圆周角相等.其中正确的是（）
（A）③④（B）①②③ （C）②④ （D）①②③④
答案：A
6、（2011年北京四中34模）给出下面四个命题:(1)平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；(2)二次函数，当a<0时y随x的增大而增大；(3)同角的补角相等；(4)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。其中真命题的个数()
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：C
7、（2011年浙江杭州27模）如图，△ABC中，BC=4，以A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于D，交AB于E，交AC于F，P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）。
A．B．C．D．
答案：B
二填空题
1．（2011年三门峡实验中学3月模拟）两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程的两个根，这两圆的位置关系是.
答案：外切
2.（2011浙江杭州育才初中模拟）如图，跷跷板AB长为5米的，0为支点，当AO=3米时，坐在A端的人可以将B端的人跷高1米．那么当支点0在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高__________米．(09?宜宾第15题改编)
答案：1.5
3．（2011浙江杭州育才初中模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为__________________。经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为__________________。（08年益阳第20题）
答案：y=x2-2x-3,y=-2x-3
4．（2011年深圳二模）如图，M为双曲线y＝上的一点，过点Ｍ作ｘ轴、ｙ轴的垂线，分别交直线ｙ＝－ｘ＋m于D、C两点，若直线ｙ＝－ｘ＋m与ｙ轴交于点Ａ，与ｘ轴相交于点B．则AD·BC的值为 ．
答案：2
5.（2011湖北省崇阳县城关中学模拟）如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为．答案：
三、解答题
1．（2011年重庆江津区七校联考）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
答案：
∵关于x的方程有两个相等的实数根
∴ △＝
∴
∴
△ABC是等腰三角形。
2．（2011年杭州三月月考）已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．
（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；
（2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；
（3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．
答案：
解（1）如图①，折叠后点与点重合，
则.
设点的坐标为.
则.
于是.
在中，由勾股定理，得，
即，解得.
点的坐标为
（2）如图②，折叠后点落在边上的点为,
则.
由题设，
则，
在中，由勾股定理，得.
，
即
由点在边上，有，
解析式为所求.
当时，随的增大而减小，
的取值范围为.
（3）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.
则.
又，有.
.
有，得.
在中，
设，则.
由（2）的结论，得，
解得.
点的坐标为.
3．（2011年三门峡实验中学3月模拟）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；
答案：
（1）过C作CE∥OA交BD于E，则△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；
再由△ECP∽△DAP得；
（2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，
由△BCE∽△BOD得CE=OD=x，
再由△ECP∽△DAP得；
由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，
则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=。
4．（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
答案：BM=FN
证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心,
∴BO=DO,∠BDA=∠DBA=45°．
∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，∴FO=DO,∠F=∠BDA
∴OB=OF∠OBM=∠OFN
在△OMB和△ONF中
∴△OBM≌△OFN
∴BM=FN
5．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）．如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．
图1图2
答案：．⑴解：∵B点坐标为(0．2)，
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4.
∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。
设抛物线的解析式为．
其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。
得
解这个方程组，得
∴此抛物线的解析式为…………(3分)
(2)解：
①过点B作BN，垂足为N．
∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．
∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。
∴PN=PS—NS=…………………………(5分)
在Rt△PNB中．
PB2＝
∴PB＝PS＝…………………………(6分)
②根据①同理可知BQ＝QR。
∴，
又∵，
∴，
同理SBP＝…………………………(7分)
∴
∴
∴.
∴△SBR为直角三角形．…………………………(8分)
③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵，
∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。
当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。
∴。…………………………(9分)
取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．……………………(10分)
∴MN为直角梯形SRQP的中位线,
∴点M为SR的中点……………………(11分)
当△PSM∽△QRM时，
又，即M点与O点重合。
∴点M为原点O。
综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，PSM∽△QRM…………(12分)
6．（2011安徽中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】
答案：
（[解](1)OA=6，OB=12
点C是线段AB的中点，OC=AC
作CE⊥x轴于点E．
∴OE=OA=3，CE=OB=6．
∴点C的坐标为(3，6)
(2)作DF⊥x轴于点F
△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．
∴点D的坐标为(2，4)
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得
解得
∴直线AD的解析式为y=-x+6
(3)存在．
Q1(-3，3)
Q2(3，-3)
Q3(3，-3)
Q4(6，6)
7．（2011北京四中一模）（本题9分）
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请你添加一个条件，
使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由．
你添加的条件是
证明：
答案：本题答案不唯一，添加的条件可以是
①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或D是BC中点），
④∠BAD＝∠CAD（或AD平分∠BAC）等．
8．（2011北京四中一模）
如图，在ΔABC中，AC＝15，BC＝18，sinC=，D是AC上一个动点（不运动至点A，C),过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连结BD，设CD＝x．
（1）用含x的代数式分别表示DF和BF；
（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；
(3）如果△BDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，那么x为何值时，S1＝2S2
答案：
9．（2011北京四中一模）（本题14分）
如图，已知直线y＝－2x＋12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连结MD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半径为2，请求出点M的坐标，并写出以为顶点．且过点M的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使得以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
10.（2011北京四中二模）（本题满分6分）如图,有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.
答案：2000米2
11.（2011北京四中二模）（本题满分8分）如图，在⊙O中，AB是直径，半径为R，弧AC=R.
求：（1）∠AOC的度数.（2）若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时， D点的位置.
答案：.(1)∠AOC=60°
(2)D的位置，只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点其中一条.
12.（2011北京四中二模）（本题满分11分）
阅读材料：
如图,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P.
求证：S四边形ABCD=
证明：AC⊥BD→
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=
=
解答问题：
（1）上述证明得到的性质可叙述为_______________________________________.
（2）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积.
答案：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
（2）S梯形=25(cm2).
13．（2011灌南县新集中学一模）（12分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
(2)若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，，求⊙O的半径的长.
答案：（1）DE是⊙O的切线。
证明:连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB
∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC又DE⊥AC∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线
（2）解：如图，⊙O与AC相切于F点，连接OF，
则：OF⊥AC，在Rt△OAF中，sinA=∴OA=
又AB=OA+OB=5∴∴OF=cm
14．（2011灌南县新集中学一模）（12分）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图13中的抛物线是足球的飞行高度y(m)关于飞行时间x(s)的函数图象(不考虑空气的阻力)，已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．
⑴求y关于x的函数关系式；
⑵足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；
⑶假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m(如图14所示，足球的大小忽略不计)．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？
答案：解：（1）设关于的函数关系式为．
依题可知：当时，；当时，．
∴，∴，∴．
（2）不能．理由：∵，∴，∴．
∵，∴方程无解．
∴足球的飞行高度不能达到4.88m．
（3）∵，∴，
∴，∴（不合题意，舍去），∴平均速度至少为（m/s）．
15.（2011浙江杭州义蓬一模）
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