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第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？
（比例尺为1︰20000）
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
问题引入1
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
问题引入2
探究1
角平分线的性质定理
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表：
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_____
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
P
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
一、角平分线的性质定理
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
验证猜想：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理
结论
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
B
A
D
O
P
E
C
定理的作用：
证明线段相等.
几何语言：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
典型例题
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
探究2
角平分线的判定定理
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
思考：交换角平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论？这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
思考：这个结论正确吗？
逆
命
题
二、角平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
验证：
B
A
D
O
P
E
证明：
∴OP平分∠AOB.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
B
A
D
O
P
E
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
角平分线的判定定理
结论
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
B
A
D
O
P
E
C
定理的作用：
判断点是否在角平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
总结：
例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
典型例题
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
O
N
M
A
B
P
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示：
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
三、三角形的内角平分线
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形三个角的平分线相交于一点.
怎样证明这个结论呢
试一试
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪
三边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.三角形的三条中线的交点处
B.三角形的三边的垂直平分线的交点处
C.三角形的三条角平分线的交点处
D.三角形的三条高所在直线的交点处
C
做一做：
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.
例5
解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,
∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R,
在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,
由勾股定理得:AC=6,
典型例题
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,
∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF，
∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2,
∴OD的长为2.
方法总结
1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离.
2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解.
三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形_______一点 交于三角形
_______一点
钝角三角形 交于三角形_______一点
直角三角形 交于斜边的_________
交点性质 到三角形_____________的距离相等 到三角形_____
____的距离相等
内
外
中点
三个顶点
三
边
总结：
内
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
如何用尺规作角的平分线？
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
知识点补充：尺规作图
1.如图，已知点P到△ABC的三条边所在直线的距离相等，则下列说法不正确的是( )
A.点P在∠B的平分线上 B.点P在∠ACE的平分线上
C.点P在∠DAC的平分线上 D.点P在三边的垂直平分线上
2.如 图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.若BC=32， 且BD∶DE=9∶7，则CD的长为 .
D
14
课堂练习
3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点 A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于( C )
A.1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
5. AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4 ，则AC的长是( A )
A．3 B．4 C．6 D．5
6.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=36 cm2，AB=18 cm，BC=12 cm，则DE的长是 .
7.如图，在△ABC中，N是三条角平分线的交点，EF⊥BN于N，∠BAN=20°，∠ENA=30°，则∠FNC= .
2.4cm
20
8.如图，已知AO平分∠BAC，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，且O D=OE.
求证:CO平分∠ACB
证明：∵OD⊥BC，OE⊥AB，且OD=OE，
∴点O在∠B的平分线上.
又∵AO平 分∠BAC，
∴点O是△ABC的角平分线的交点，
即CO平分∠ACB(三角形的三条角平分线相交于一点).
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
辅助线
添加
三角形内角平分线
.
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php1.4角平分线
一、单选题
1．如图，在中，，为的角平分线．若，则点到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4.5
4．如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6．在中，，AD平分交BC于点D，，则AC长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．
7．下列说法正确的有（ ）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等
②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等
④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，点是三条角平分线的交点，若的面积是，则的边上的高是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二、填空题
11．如图，在中，，AD平分， ，，则的面积是_______．
12．如图，已知，且，则点C在________的平分线上，点A在________的平分线上．
13．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．
14．如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于___________．
15．如图，在中，，平分交于点．
（1）若，，则点到的距离是______；
（2）若，点到的距离为6，则的长是______．
16．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．
17．如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是_______.
18．如图，中，，的角平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于点，于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的结论的序号是__________．
三、解答题
19．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：．
20．如图，某市有两个粮食市场C、D，附近有两条交叉的公路．现计划修建一座大型粮仓P，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路的距离相等，且到两个粮食市场C、D的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．）
21．如图所示，已知，DM平分，AM平分．求证：M是BC的中点．
22．如图，点P为和的平分线的交点．求证：点P在的平分线上．
23．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点O，画射线，交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
24．如图，中，是的角平分线，，求证：．
25．如图，AD是的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
求证：（1）；
（2）；
（3）．
26．已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．
（1）如图2，若，且，则________，_______．
（2）求证：．
（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．
27．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：
（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．
（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．
（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
1.4角平分线
一、单选题
1．如图，在中，，为的角平分线．若，则点到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
根据题意作出点D到AC的距离ED，再根据角平分线的性质求解即可．
【解析】
解：如图所示，过点D作于点E，则ED的长度为点到的距离．
∵为的角平分线，，，，
∴ED=BD=4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离是解题关键．
2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．
【解析】
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4.5
【答案】C
【分析】
作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案．
【解析】
解：过点C作CN⊥OA，
∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，
∴S△COM=，
∴，
∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB，
∴CN=CM=3．
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键．
4．如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意先证明平分，然后根据四边形内角和求得度数，则结果可求．
【解析】
∵，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再利用S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．
【解析】
解：作DF⊥AC于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=3，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴，
∴AC=4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．在中，，AD平分交BC于点D，，则AC长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】C
【分析】
过作，垂足为，利用角平分线的性质证出，再利用全等的性质和勾股定理建立等式运算求解即可．
【解析】
解：过作，垂足为
∵为角平分线，，
∴
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴整理可得：
∴
解得：
故选：
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟悉利用角平分线的性质证三角形全等是解题的关键．
7．下列说法正确的有（ ）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等
②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等
④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质定理和判定定理逐一判断即得答案．
【解析】
解：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确；
在一个角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，故②错误，
三角形三个角平分线的交点到三边的距离相等，故③错误，④正确；
综上，正确的说法是①④，有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和判定定理，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．
8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用“HL”证明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，从而可以利用“SAS”证明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可.
【解析】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°
∵AD=AD，
∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合题意；
∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，
∵AG=AG，DG=DG
∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合题意；
根据现有条件无法证明△BDE≌△CDF，故D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．如图，在中，，，，点是三条角平分线的交点，若的面积是，则的边上的高是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，由题意易得OE=1，然后根据角平分线的性质定理可求解．
【解析】
解：过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，如图所示：
∵OC平分∠ACB，
∴OE=OF，
∵的面积是，AC=3，
∴，
∴OF=OE=1；
故选A．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【分析】
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【解析】
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180° ∠OBA ∠OAB＝180° ∠CBA ∠CAB
＝180° （180° ∠C）＝90°＋∠C，①错误；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC＋∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180° 60° 60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC） a＝ab，③正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
二、填空题
11．如图，在中，，AD平分， ，，则的面积是_______．
【答案】5
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，，
∴DE=DC=2，
∵，
∴△ABD的面积 ．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．如图，已知，且，则点C在________的平分线上，点A在________的平分线上．
【答案】
【分析】
连接AC，根据角平分线的判定定理以及直角三角形的两个锐角互余的性质解答即可．
【解析】
解：连接AC，
∵，，
∴AC平分，
∴点C在的平分线上，，
∵，
∴，
∴，即AC平分，
∴点A在的平分线上，
故答案为：，．
【点睛】
此题考查角平分线的判定定理，直角三角形的两个锐角互余的性质，熟记角平分线的判定定理是解题的关键．
13．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．
【答案】3
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解析】
解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
14．如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于___________．
【答案】5
【分析】
过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积．
【解析】
解：过作于点，
是边上的高，平分，
，
，
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
15．如图，在中，，平分交于点．
（1）若，，则点到的距离是______；
（2）若，点到的距离为6，则的长是______．
【答案】3 15
【分析】
（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可求解；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可求解．
【解析】
解：（1）过点D作DE⊥AB于E，
∵BC=8，BD=5，
∴CD=BC-BD=8-5=3，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
即点D到AB的距离是3；
（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=6，
∵BD：DC=3：2，
∴BD=9，
∴BC=BD+CD=9+6=15．
故答案为3；15．
【点睛】
本题考查角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题的关键是熟记性质并作出辅助线．
16．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．
【答案】6
【分析】
过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.
【解析】
解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP
∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线
∴PH=PE，PE=PQ
∴PH=PE=PQ=3
∵S△BPC=×BC×PE=7.5
∴BC=5
∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC
=×AC×PQ+×AB×PH-7.5
=×3（AC+AB）-7.5
∵AC+AB+BC=14，BC=5
∴AC+AB=9
∴S△ABC=×3×9-7.5=6 cm2
【点睛】
本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．
17．如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是_______.
【答案】2
【解析】
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△ADE≌△ADF
∴AE=AF，
故正确结论的个数是2.
18．如图，中，，的角平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于点，于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的结论的序号是__________．
【答案】①②④
【分析】
①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝AD，DF＝DF，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
【解析】
解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．
∴①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝AD．
同理：DF＝AD．
∴DE＋DF＝AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠ADF．
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．
∴AB＋AC＝AE BE＋AF＋FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB＋AC＝2AE．
故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
三、解答题
19．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据角平分线性质定理可得，再证明，即可得到答案．
【解析】
证明：∵平分，
∴ ，
在和中，
∴
∴
【点睛】
本题考查角平分线性质定理，三角形的性质和判定，灵活应用知识点结合图形思考分析是解题重点．
20．如图，某市有两个粮食市场C、D，附近有两条交叉的公路．现计划修建一座大型粮仓P，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路的距离相等，且到两个粮食市场C、D的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．）
【答案】答案见解析
【分析】
到OA和OB的距离相等，则点P在∠AOB的角平分线上；到点C、D的距离也相等，则点P还应该在CD的中垂线上，那么P点就是∠AOB的角平分线和 CD中垂线的交点．
【解析】
【点睛】
本题考查角平分线和线段中垂线的实际应用，理解它们的概念才能正确解题．
21．如图所示，已知，DM平分，AM平分．求证：M是BC的中点．
【答案】见解析
【解析】
解析：首先过点M作，再根据角平分线的性质可得，，进而得到．
答案：证明：如图，过点M作，
∵DM平分，，，∴，又∵AM平分，，∴，∴，∴M是BC的中点．
题型解法：证明本题的关键在于对角平分线性质的理解，以及作出正确的辅助线，从而根据角平分线的性质解题．
22．如图，点P为和的平分线的交点．求证：点P在的平分线上．
【答案】见解析
【解析】
解析：欲证点P在的平分线上，只需证明点P到AC与CN的距离相等即可，可以分别作出点P到BM，AC，CN的垂线，结合题意证明即可．
答案：证明：如图，过点P作于点E，于点F，于点G，
∵点P为和的平分线的交点，
∴，，∴，
∴点P在的平分线上．
23．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点O，画射线，交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）40゜
【分析】
（1）利用平行线的性质及角平分线的性质解答；
（2）利用等边对等角的性质求解．
【解析】
解：（1）证明：∵，
∴．
由作图可知，是的平分线，
∴，
∴；
（2）∵
∴．
∴．
【点睛】
此题考查平行线的性质，角平分线的画法及性质，等边对等角的性质，熟记角平分线的画法是解题的关键．
24．如图，中，是的角平分线，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
先利用等角的余角相等得到∠BCD =∠A，再利用角平分线定义得到∠ACE=∠DCE，接着利用三角形外角性质得∠BEC=∠ACE +∠A =∠DCE +∠BCD，即∠BEC =∠BCE，于是可判断BC=BE，然后根据等腰三角形的性质易得EF=CF．
【解析】
CDAB，
∠BDC= 90°，
∠BCD+∠CBD= 90°，
∠A +∠CBD = 90°，
∠BCD =∠A，
CE是∠ACD的角平分线，
∠ACE=∠DCE，
∠BEC=∠ACE +∠A =∠DCE +∠BCD，
∠BEC =∠BCE，
BC = BE，
，
EF= CF．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，涉及余角的定义，角平分线和三角形外角，有一定综合性，难度一般，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
25．如图，AD是的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
求证：（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
解析：（1）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等可得到，再根据三角形全等得到；
（2）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到；
（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．
答案：证明：（1）如图，连接AE，设AD与EF相交于点Q，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴，，
在和中，
∵
∴（SSS），
∴；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴，
在和中，
∵
∴（SSS），
∴，
∵AD是的角平分线，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）知，
，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
易错：证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴，在和中，
∴（SAS），
∴．
错因：角不是夹角，随意找三个条件证明全等．
满分备考：掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定的应用，可以快速解决有关线段相等，角相等或距离相等的问题．
26．已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．
（1）如图2，若，且，则________，_______．
（2）求证：．
（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）
【分析】
（1），且，再结合三角形的外角定理即可求，，且，是的平分线，再结合三角形内角和定理即可求解；
（2）在上截取，连接，可证，故，，从而可得，所以进而可证得：
（3）由，可得，，，又是的平分线，可得，故是的平分线，所以是的平分线，故，又，所以和的数量关系即可求解．
【解析】
（1）∵，且，
∴∠EAC=∠ACE=18°，
∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，
又∵是的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=18°，
∵，
∴∠ABE=36°，
∴；
故答案为：36，126
（2）在上截取，连接，
又∵AE=AE，，
∴，
∴，
∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，
∴，
∴
∴；
（3）∵，
∴，
∵，，∠CAD=∠BAE，
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠ABE=2∠ACE，
∴∠ACD=2∠ACE，
∴CE平分∠ACB，
∴点E到CA、CB的距离相等，
又∵是的平分线，
∴点E到AC、AB的距离相等，
∴点E到BA、BC的距离相等，
∴是的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴，
又∵，
∴，
即．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握各知识点，准确作出辅助线，熟练运用数形结合的思想．
27．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：
（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．
（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．
（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．
【答案】（1）15；（2）△ABD的面积为6；（3）∠CAB＝108°．
【分析】
（1）利用折叠的性质和三角形的外角性质，即可求出答案；
（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面积；
（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C ＝24°，从而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．
【解析】
解：（1）由折叠的性质，则
∠AC′D=∠C=60°，
∵∠B=45°，
∴∠C′DB＝60°45°=15°；
故答案为：15°．
（2）如图，把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，
∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，
∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，
∵DC＇是高，
∴△ABD的面积为6．
（3）如图，把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，
则BD＝DB＇，
∴AB＇＝AB=B＇C，
∴∠B＇AC＝∠C ＝24°
∴∠B＝∠AB＇B＝48°，
∴∠CAB＝108°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、折叠的性质等知识点，难度适中．解题的关键是掌握所学的知识，正确的运用折叠的知识解题．
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