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1.3线段的垂直平分线
一、单选题
1．如图所示，在中，的垂直平分线交于点E，若，则B、E两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据线段垂直平分线的性质求解即可．
【解析】
解：如图，连接．
∵垂直平分线段，
∴．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握：线段垂直平分线上的点，到线段两点的距离相等．
2．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解析】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故选C．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键．
3．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝AD，BC＝BD，再对各选项进行逐一分析即可．
【解析】
解：∵垂直平分，
∴，故A正确，该选项不符合题意；
在和中，
∴，故C正确，该选项不符合题意，；
∴，故B正确，该选项不符合题意；；
不一定等于，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
4．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，作图即可.
【解析】
根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，
故选：B．
【点睛】
本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法.
5．下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（ ）
A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥AB
C．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB
【答案】C
【分析】
根据垂直平分线的概念逐个判断即可．
【解析】
解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意；
B、CA=CB，CD⊥AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意；
C、CA=DA，CB=DB，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，符合题意；
D、CA=CB，CD平分AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了垂直平分线的概念，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的概念．
6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）．
A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处
C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【解析】
解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握其性质是解题的关键．
7．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到，，结合图形计算，得到答案．
【解析】
解：，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】
由三角形内角和180°解得，根据线段垂直平分线的性质，解得，进而根据等边对等角性质，解得，最后根据角的和差计算的度数即可．
【解析】
，
，
的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和180°等性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上，有下列结论：
①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；③AD=AE；④BD=DC=CE，
其中，正确的结论是（ ）
A．只有 B．只有
C．只有 D．只有
【答案】B
【分析】
由线段垂直平分线的性质可得CA=CE，又可判定AB=AC，可AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，由于∠E不一定等于30°，于是得到AD不一定等于AE，由BD=CD＜AC，故④错误．
【解析】
解：∵BD=CD，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE，
∴AB=AC=CE，故①正确，
∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，故②正确，
∵∠E不一定等于30°，
∴AD不一定等于AE，故③错误，
∵BD=CD＜AC，故④错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
10．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
【答案】B
【分析】
证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．
【解析】
解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，FD=CD，故①正确，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；
延长CF交AB于H，
∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正确；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周长等于AB，故④正确，
综上：①③④正确，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜
二、填空题
11．线段的垂直平分线；经过_______并且_______的______叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）．
【答案】线段的中点 垂直于这条线段 直线
【分析】
根据线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，即可求得答案．
【解析】
解：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
故填：线段的中点，垂直于这条线段，直线．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的定义，比较简单，注意掌握线段垂直平分线的定义是解此题的关键．
12．如图，垂直平分线段，且垂足为点M，则图中一定相等的线段有________对．
【答案】3
【分析】
由CD垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线商店的点到线段两端点的距离相等，可得，，，从而求得答案．
【解析】
∵垂直平分线段，
∴．
∴图中一定相等的线段有3对．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握其性质并能灵活运用是解题关键．
13．如图，根据已知条件，填写由此得出的结论．
（1）∵中，，∴_____．
（2）∵中，，∴垂直平分_____．
（3）∵中，，∴_______．
（4）∵中，，∴________．
【答案】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，等边对等角可得；
（2）根据等腰三角形的性质，三线合一可得；
（3）根据三线合一可得；
（4）根据三线合一可得；
【解析】
（1）∵中，，∴．
（2）∵中，，∴垂直平分．
（3）∵中，，∴．
（4）∵中，，∴．
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，且的周长为，则________．
【答案】7
【分析】
根据是的垂直平分线可得，结合的周长为可得结论．
【解析】
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点到两端点的距离相等是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为____度．
【答案】27
【分析】
根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠C=70°，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，计算即可．
【解析】
∵AB=AC，∠A=42°，
∴∠ABC=∠C=69°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=42°，
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=27°，
故答案为：27．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．如图，线段的垂直平分线交于点．若，则__________
【答案】
【分析】
连接OB，由线段垂直平分线的性质求得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，然后利用三角形外角的性质求解．
【解析】
解：连接BO并延长，如图：
线段的垂直平分线交于点
∴AO=OB=OC
∴A=∠ABO，∠C=∠CBO
∴∠A+∠C=∠ABC=35°
∴
故答案为：70
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC＝100°，则∠DAE＝_____．
【答案】20°
【分析】
由垂直平分线的性质可知：，即得：，即，即求出．
【解析】
由垂直平分线的性质可知：，
∵，
∴，即，
∴，即，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理．由垂直平分线的性质得出是解答本题的关键．
18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．
【答案】9．
【分析】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解析】
连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．
故答案为9．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解决此题的关键.
三、解答题
19．如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
【答案】见解析．
【分析】
连接AB，作AB的垂直平分线，其与河岸边的交点即是所求．
【解析】
解：连接AB，分别以A和B为圆心，以大于为半径的两弧交于点E和F，
作直线EF，与河岸交于点C，如图，则码头应建在点C处．
【点睛】
本题考查应用与设计作图问题，难度适中，关键要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
20．如图，在中，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，请找出图中相等的线段，并求的周长．
【答案】EA=EB，FA=FC；2．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质计算即可．
【解析】
∵AB的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，
∴EA=EB，FA=FC，
∴的周长为：EA+FA+EF=EB+EF+FC=BC=2．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质并灵活运用计算周长是解题的关键．
21．已知：如图，是线段的垂直平分线，E，F是上的两点．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据线段的垂直平分线可得，又，SSS证明即可证明．
【解析】
证明：是线段的垂直平分线，E，F是上的两点，
，
又，
（SSS），
．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
22．如图，中，的垂直平分线交于点E，D为垂足，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）72°；（2）5
【分析】
（1）是的垂直平分线，可得；， 已知，可求,再根据三角形外角的性质即可求解；
（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，求出，推出，由得出．
【解析】
解：（1）∵垂直平分，∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
23．已知：是线段的垂直平分线，C，D是上的两点．求证：
（1）是等腰三角形；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上的两点，根据线段垂直平分线的性质，即可证得△ABC，△ABD是等腰三角形；
（2）由△ABC，△ABD是等腰三角形，根据等等边对等角的性质，即可证得结论．
【解析】
】解：（1）∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上的两点．
∴AC=BC，AD=BD，
即△ABC，△ABD是等腰三角形；
（2）∵AC=BC，AD=BD，
∴∠CAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA，
即∠CAD=∠CBD．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
24．如图所示，为的角平分线，，求证：线段所在直线是线段的垂直平分线．
【答案】见解析
【分析】
利用全等三角形的判定定理证明，再利用性质定理可得，，证得结论．
【解析】
证明：∵是的平分线，
∴．
在和中，
∴．
∴，
点D在线段的垂直平分线上，
又∵，∴点A在线段的垂直平分线上，
∴线段所在的直线是线段的垂直平分线．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键．
25．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点，与边交于点．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：△ACD为等腰三角形．
【答案】（1）；（2）见解析．
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质可得DB=DA，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠DAB，利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数即可；
（2）根据角的和差关系可求出∠DAC=80°，可得∠ADC=∠DAC，即可证明CA=CD，可得△ACD是等腰三角形．
【解析】
（1）∵垂直平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
（2）∵∠BAC=120°，∠DAB=40°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握垂直平分线上的点到相等两端点的距离相等及等角对等边的性质是解题关键．
26．（1）阅读理解：
如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接（或将绕着点旋转180°得到），把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______，并写出过程；
（2）问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：．
【答案】（1）1＜AD＜7；（2）见解析
【分析】
（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论．
【解析】
解：（1）如图1所示：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，
∵
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴8-6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，
∴1＜AD＜7；
故答案为：1＜AD＜7；
（2）如图2所示：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
【点睛】
本题是三角形的综合问题，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
27．已知，等边△ABC中，D为AC延长线上一点，以BD为斜边做Rt△BED使∠BED＝90°，∠BDE＝30°，连接CE并延长与射线AB交于点F，连接DF．
（1）如图1，求证：∠FBE＝∠ADB；
（2）如图1，求证：AD＝BF；
（3）如图2，若∠AFC＝15°，EF＝4，求△DEC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【分析】
（1）由等边三角形的性质可得∠A=∠ABC=60°，则∠CBD+∠ADB=180°-∠A-∠ABC=60°，求∠EBD=60°，得到∠FBE+∠CBD=180°-∠ABC-∠EBD=60°，则∠FBE+∠CBD=∠ADB+∠CBD，即可推出∠FBE=∠ADB；
（2）取BD中点G，连接AG，先推出∠ABG=∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到∠BAG=∠BCE，然后推出∠BFC=∠DAG，即可证明△BEF≌△DGA得到BF=AD；
（3）取BD中点G，连接AG，过点F作FH∥BC交AD延长线于H，过点F作FQ⊥AD于Q，过点E作EM⊥AD于M，同（2）可证△BEF≌△DGA，△ABG≌△CBE，得到AG=CE=EF=4，则CF=EC+EF=8， 证明△AFH是等边三角形，得到AF=AH，即可推出AB=DH=AC，再由QF⊥AH，得到AQ=HQ，则CQ=QD，即可推出DF=CF=8，则∠FCD=∠FDC，由此即可证明∠CFD=180°-∠FCD-∠FDC=30°，则，由EF=EC=4，可得．
【解析】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠CBD+∠ADB=180°-∠A-∠ABC=60°，
∵∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴∠EBD=60°，
∴∠FBE+∠CBD=180°-∠ABC-∠EBD=60°，
∴∠FBE+∠CBD=∠ADB+∠CBD，
∴∠FBE=∠ADB；
（2）如图所示，取BD中点G，连接AG，
∴，
∵∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴，
∴，
∵∠EBD+∠CBD=∠ABC+∠CBD，
∴∠ABG=∠CBE，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG=∠BCE，
∵∠BFC+∠BCE=∠ABC=60°，∠BAG+∠DAG=60°，
∴∠BFC=∠DAG，
在△BEF和△DGA中，
，
∴△BEF≌△DGA（AAS），
∴BF=AD；
（3）如图所示，取BD中点G，连接AG，过点F作FH∥BC交AD延长线于H，过点F作FQ⊥AD于Q，过点E作EM⊥AD于M，
同（2）可证△BEF≌△DGA，△ABG≌△CBE，
∴AG=CE=EF=4，
∴CF=EC+EF=8，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵FH∥BC，
∴∠AFH=∠ABC=60°，∠ACB=∠AHF=60°，
∴△AFH是等边三角形，
∴AF=AH，
∵BF=AD，
∴AB=DH=AC，
又∵QF⊥AH，
∴AQ=HQ，
∴CQ=QD，
∴QF是线段CD的垂直平分线，
∴DF=CF=8，
∴∠FCD=∠FDC，
∵∠FCD=∠AFC+∠FAC=75°，
∴∠FCD=∠FDC=75°，
∴∠CFD=180°-∠FCD-∠FDC=30°，
∵EM⊥FD，
∴，
∵EF=EC=4，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.3线段的垂直平分线
一、单选题
1．如图所示，在中，的垂直平分线交于点E，若，则B、E两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（ ）
A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥AB
C．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB
6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）．
A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处
C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
7．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
9．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上，有下列结论：
①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；③AD=AE；④BD=DC=CE，
其中，正确的结论是（ ）
A．只有 B．只有
C．只有 D．只有
10．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
二、填空题
11．线段的垂直平分线；经过_______并且_______的______叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）．
12．如图，垂直平分线段，且垂足为点M，则图中一定相等的线段有________对．
13．如图，根据已知条件，填写由此得出的结论．
（1）∵中，，∴_____．
（2）∵中，，∴垂直平分_____．
（3）∵中，，∴_______．
（4）∵中，，∴________．
14．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，且的周长为，则________．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为____度．
16．如图，线段的垂直平分线交于点．若，则__________
17．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC＝100°，则∠DAE＝_____．
18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．
三、解答题
19．如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
20．如图，在中，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，请找出图中相等的线段，并求的周长．
21．已知：如图，是线段的垂直平分线，E，F是上的两点．
求证：．
22．如图，中，的垂直平分线交于点E，D为垂足，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
23．已知：是线段的垂直平分线，C，D是上的两点．求证：
（1）是等腰三角形；
（2）．
24．如图所示，为的角平分线，，求证：线段所在直线是线段的垂直平分线．
25．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点，与边交于点．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：△ACD为等腰三角形．
26．（1）阅读理解：
如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接（或将绕着点旋转180°得到），把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______，并写出过程；
（2）问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：．
27．已知，等边△ABC中，D为AC延长线上一点，以BD为斜边做Rt△BED使∠BED＝90°，∠BDE＝30°，连接CE并延长与射线AB交于点F，连接DF．
（1）如图1，求证：∠FBE＝∠ADB；
（2）如图1，求证：AD＝BF；
（3）如图2，若∠AFC＝15°，EF＝4，求△DEC的面积．(共40张PPT)
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
问题引入
观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
一、线段的垂直平分线的性质
知识要点
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
思考：
垂直底边，并且平分底边．
AD所在的直线即线段BC的垂直平分线 ．
等腰三角形顶角平分线有哪些性质？
垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
探究1
线段垂直平分线的性质
A
B
C
∟
D
观察：
已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
由上可知：
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
探究发现：
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
猜想证明：
文字语言：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理
结论
几何语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
P
A
B
∟
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
典例精析
C
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
思考：
探究2
线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
逆
命
题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
二、线段的垂直平分线的判定
如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论
想一想：
（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
证明：
文字语言：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理
结论
几何语言：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
P
A
B
∟
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
逆
命
题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
小结
例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
你还有其他证明方法吗？
利用三角形的全等证明
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵OB＝OC ，OD＝OD ，
∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.
∴BD＝CD.
∴直线AO垂直平分线段BC.
试一试：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.
∴ OE是CD的垂直平分线.
1.已知直线l和其上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
P
●
l
探究3
尺规作图
A
B
C
P
已知：直线 l 和 l 上一点P．
求作：PC⊥ l ．
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求 l 的垂线．
l
B
A
作法：
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
(1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B.
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长
为半径作圆，相交于C、D两点.
(3)过两交点作直线 l ',此直线为
l 过P的垂线.
P ●
C
D
3.做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A1
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
这样的等腰三角形有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
如图所示，这些三角形不都全等．
(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
画一画：
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
探究4
三角形三边的垂直平分线的性质
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线．
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
怎样证明这个结论呢？
做一做：
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.
思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
结论证明：
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点P．
求证：点P也在AC的垂直平分线上，
且PA=PB=PC．
B
C
A
P
l
n
m
证明：∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.
同理，PB=PC，∴ PA=PB=PC，
∴点P在BC的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的
垂直平分线上）.
即边AC的垂直平分线经过点P.
B
C
A
P
l
n
m
文字语言：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
三角形三边的垂直平分线的性质
结论
几何语言：
∵点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴PA =PB=PC．
A
B
C
P
1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是
（ ）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有 种.
无数
课堂练习
3.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．70°
C．60° D．50°
C
B
A
D
E
C
4.下列说法错误的是 ( )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点
B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边
C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等
D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
D
【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误.
5. 如图,有A,B,C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 ( )
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边垂直平分线的交点处
C.AC,BC两边中线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
B
6.如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交于G.
求证：EG＝EC.
F
A
B
C
E
G
D
证明:连接AD.∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°,
∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,
∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,
∴∠DFC＝∠AEC＝90°,
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,
∴∠CAE＝∠CDF,
∴△DEG≌△AEC(ASA),
∴EG＝EC.
F
A
B
C
E
G
D
线段的垂直平分线
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
尺规作图
定理
1.
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
课堂小结
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