1.2.2直角三角形全等的判定 逆命题与互逆定理
一、单选题
1．如图，PD⊥AM，PE⊥AN，D，E是垂足，若PD＝PE，则有△PAD≌△PAE，根据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．HL
2．在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
C．等腰三角形两个底角相等
D．同角的余角相等
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．12
4．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，则判定ABC≌BAD全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．所有的命题都有逆命题
B．所有的定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
6．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）
A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
7．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为29和16，则的面积为（ ）
A．13 B．6.5 C．11 D．5.5
8．如图，在三角形ABC中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是（ ）．
A．①②③ B．①② C．① D．①③
9．如图，的外角平分线和内角平分线相交于点P，若，则（ ）
A．45° B．50° C．55° D．65°
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，E、F为垂足，则下列五个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．已知：如图，中，AB＝AC，AD是高，则________≌．依据是________，并且BD＝________，∠BAD=________．
12．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______
13．如图，在中，于点D，要使，若直接根据“”判定，还需要再添加的一个条件是__________．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝____________cm．
15．如图，点在上，于点，交于点，．若°，则=_________．
16．如图，在中，，于，交于点，若，，，，则的周长是__________．
17．如图，AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，若使，请你补充条件_________．（填写一个你认为适当的条件即可）
18．如图，ABC为等腰三角形，AB=AC，∠A=100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE=15°，P是等腰ABC腰上的一点，若EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为_____．
三、解答题
19．如图，在△ABD和△ABC中，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD求证：BC＝AD．
20．已知命题“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”．
（1）请写出它的逆命题；
（2）判断该逆命题的真假，若为假命题，请说明理由，若为真命题，请证明．
21．已知，如图，在三角形中，是边上的高．尺规作图:作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
在已作图形中，若与交于点，且，求证:.
22．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，BF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）AB，DC有怎样的位置关系？证明你的结论．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．
（1）若CD＝4，则求CE的长；
（2）求证：BF⊥AE．
25．如图，点D在上，于点E，交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
26．四边形中，，于，于，CB=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
27．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠CFA的度数．
28．问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．(共36张PPT)
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
直角三角形的两个锐角互余.
问题1 直角三角形的定义是什么？
问题2 三角形内角和的性质是什么？
有一个是直角的三角形叫直角三角形.
三角形内角和等于180°.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
复习引入
问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？
问题引入
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
一、直角三角形的性质与判定
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
知识回顾
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
a
c
b
勾
弦
股
二、勾股定理及其逆定理
证明欣赏
b
a
c
b
a
c
1．美国第二十任总统的证法：
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2+ ，
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
∴a2+b2=c2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 ；
(a+b)2
c2+
2．利用正方形面积拼图证明：
c
∵ c2= +(b-a)2，
c2 =2ab+b2-2ab+a2，
c2 =a2+b2，
∴ a2+b2=c2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 ．
c2
+(b-a)2
3．赵爽弦图
c
a
c
a
c
b
a
a
b
b
b
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
这个命题是真命题吗？为什么？
A
B
C
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形．
分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？
证明此命题：
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,
DE=AC,FE=BC，
则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图),
∴AB2=DF2，
∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
D
F
E
┏
A
B
C
归纳总结
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
再观察下面三组命题：
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
三、逆命题与互逆定理
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别
是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称
为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么
它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理
的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
例
判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a＞b，那么a2＞b2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：
根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题
的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最
后判断逆命题的真假．
解：
(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有
一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a
＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为
零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，
那么ab＜0.逆命题是真命题．
写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结
论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命
题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑
推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可
以了．
归纳总结
问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B=∠E=90°，
且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
A
B
C
D
E
F
四、直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个
Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
作图探究
画图方法视频（点击文字播放）
画图思路
（1）先画∠M C′ N=90°
A
B
C
M
C′
N
画图思路
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
（4）连接A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
证明：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图在△ABC和△A ′B′C′中，∠C=∠C′=90 , AB=A′B′, AC=A′C′.
求证： △ABC ≌ △A′B′C′.
证明：在△ABC中，
∵ ∠C=90 ,
∴ BC =AB -AC （勾股定理）,
同理， B′C′ =A′B′ -A′C′ ,
∵ AB=A′B′, AC=A′C′,
∴ BC=B′C′
∴ △ABC ≌ △A′B′C′
A
B
C
A′
B′
C′
判定两个直角三角形全等的方法：
”边、边、边”或“SSS ”
”边、角、边”或“SAS ”
”角、边、角”或“ASA ”
”角、角、边”或“AAS ”
”斜边、直角边”或“HL ”
知识要点
例1 已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边上的中线且BD=B′D′ (如图)．
求证： Rt△ABC≌CORt△A′B′C′．
证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中，
∵BD=B′D′,BC=B′C′,
∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′ (HL定理)．
CD=C'D'．
又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′．
∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，
∵BC=B′C ′，∠C=∠C ′ =90°，AC=A′ C ′ ，
∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)
例2 .如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜∠ B和 ∠F的大小有什么关系 .
解：∠BAC= ∠EDF=90°
在Rt△ABC与Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF （HL），
∴∠B=∠DEF（全等三角形对应角相等），
又∵ ∠DEF+ ∠F=90
∴∠B+ ∠F=90°
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56°
C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18°
3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
C
D
课堂练习
4．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是( )
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
5．不能判断两个直角三角形全等的条件是( )
A．两锐角对应相等的两个直角三角形
B．一锐角和锐角所对的直角边分别对应相等的两个直角三角形
C．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形
D．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形
A
A
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
7．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥ l于 点E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝ ．
8
D
8．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90 °，∴∠CBF＝∠ABE＝90 °.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AB＝CB， ∴Rt△AB E≌Rt△CBF(HL)．
(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90 °，∴∠CAB＝∠ACB＝45 °.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝4 5 °－30 °＝15 °.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15 °.∴∠ACF＝∠ BCF＋∠ACB＝15 °＋45 °＝60 °.
1.勾股定理
2.勾股定理的逆定理
3.命题与逆命题
4.定理与逆定理
5.直角三角形全等的判定
课堂小结
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1.2.2直角三角形全等的判定 逆命题与互逆定理
一、单选题
1．如图，PD⊥AM，PE⊥AN，D，E是垂足，若PD＝PE，则有△PAD≌△PAE，根据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．HL
【答案】D
【分析】
根据题中的条件可得△ADP和△AEP是直角三角形，再根据条件DP＝EP，AP＝AP可根据HL定理判定△APD≌△APE．
【解析】
解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP＝∠AEP＝90°，
在Rt△ADP和Rt△AEP中
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．结合已知条件在图形上的位置选择判定方法．
2．在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
C．等腰三角形两个底角相等
D．同角的余角相等
【答案】D
【分析】
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【解析】
A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；
B、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；
C、逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故此选项不符合题意；
D、逆命题是：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，是假命题，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．12
【答案】C
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝DE，利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，然后求出△DEB的周长＝AB即可．
【解析】
解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝6cm，
∴△DEB的周长为6cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，则判定ABC≌BAD全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】D
【分析】
HL指的是：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此可得出答案．
【解析】
解：∵∠C=∠D=90°，
∴△ABC和△BAD均为直角三角形
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．所有的命题都有逆命题
B．所有的定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【分析】
命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题．
【解析】
解：A、每个命题都有逆命题，所以A选项正确；
B、每个定理不一定有逆定理，如对顶角相等，所以B选项错误；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如对顶角相等，所以C选项错误；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，如相等的角是对顶角，所以D选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查命题的概念，以及逆命题，逆定理的概念和真假命题的概念等．熟练掌握基本概念是解题关键．
6．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）
A．SSA B．HL C．ASA D．SSS
【答案】B
【分析】
根据题意可得，，，根据全等三角形的判定方法，即可求解．
【解析】
解：根据题意可得，，，
根据全等三角形的判定方法可得
故选B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是根据题意找到相等的量，再根据全等三角形的判定方法求解．
7．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为29和16，则的面积为（ ）
A．13 B．6.5 C．11 D．5.5
【答案】B
【分析】
过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△DEF=S△DGH，然后列式求解即可．
【解析】
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中,
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)，
∴
∵△ADG和△AED的面积分别为为29和16，
∴△EDF的面积
故选:B．
【点睛】
考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
8．如图，在三角形ABC中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是（ ）．
A．①②③ B．①② C．① D．①③
【答案】B
【分析】
易证Rt△APR≌Rt△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解题．
【解析】
解：如图，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AR=AS，①正确；
∠BAP=∠1，
∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AB，②正确，
∵△BRP和△QSP中，只有PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．
故选：B．
【点睛】
本题涉及到全等三角形的判定和角平分线的判定，需要结合已知条件，求出全等三角形或角平分线，从而判定三个选项的正确与否．
9．如图，的外角平分线和内角平分线相交于点P，若，则（ ）
A．45° B．50° C．55° D．65°
【答案】D
【分析】
根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．
【解析】
解：如图，延长，作于点N，于点F，于点M，
设，
∵平分，
∴，，
∵平分，
∴，，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等．根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键．
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，E、F为垂足，则下列五个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后证明△ADE与△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可以证明AD垂直平分EF，根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD与△ACD的面积相等不正确．
【解析】
解：平分，，，、为垂足，
，
，故①正确；
在与中，
，
，
，故②正确；
，，
垂直平分，故③正确；
与，与不一定相等，
不一定垂直平分，故④错误，
根据图形，，
平分时，，
与等高不等底，面积不相等，故⑤错误．
综上所述，①②③共3个正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积，是小综合题，但难度不大，仔细分析图形是解题的关键．
二、填空题
11．已知：如图，中，AB＝AC，AD是高，则________≌．依据是________，并且BD＝________，∠BAD=________．
【答案】
【分析】
由可得结合 利用斜边直角边判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质可得结论．
【解析】
解：
故答案为：，，
【点睛】
本题考查的是直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
12．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______
【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】
根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.
【解析】
∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
【点睛】
本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
13．如图，在中，于点D，要使，若直接根据“”判定，还需要再添加的一个条件是__________．
【答案】
【分析】
根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“”），可得需要添加的条件是．
【解析】
解：还需要添加的条件是，
∵于D，
∴，
在和中，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝____________cm．
【答案】6
【分析】
先利用证明，得出，又，将代入即可求出．
【解析】
解：在与中，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是利用面积公式得出等式．
15．如图，点在上，于点，交于点，．若°，则=_________．
【答案】55°
【分析】
根据HL可证得Rt△BDE≌△Rt△CFD，从而得到∠BDE=∠CFD=35°，即可求解．
【解析】
解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∵∠EDF+∠BDE=90°，
∴∠EDF=55°．
故答案是：55°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，能根据HL证得Rt△BDE≌△Rt△CFD是解题的关键．
16．如图，在中，，于，交于点，若，，，，则的周长是__________．
【答案】
【分析】
连接BE，利用HL证明Rt△BCE与Rt△BDE全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【解析】
解：连接BE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝CE，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴△ADE的周长＝DE＋AE＋AD＝CE＋AE＋AB BD
＝AC＋AB BC＝6＋10 8＝8（cm），
故答案为：8cm．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL得出Rt△BCE与Rt△BDE全等解答．
17．如图，AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，若使，请你补充条件_________．（填写一个你认为适当的条件即可）
【答案】
【分析】
先证明可得：再结合补充的条件证明，从而可得答案.
【解析】
证明：补充：，理由如下：
AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形全等的判定与性质，掌握斜边直角边与边角边公理证明三角形全等是解题的关键.
18．如图，ABC为等腰三角形，AB=AC，∠A=100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE=15°，P是等腰ABC腰上的一点，若EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为_____．
【答案】62.5°或70°或80°或150°
【分析】
根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解析】
解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠B=(180°﹣∠A)=40°，
∵∠BDE=15°，
∴∠AED=55°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE=DP1，
∴∠DP1E=∠AED=55°，
∴∠EDP1=180°﹣55°﹣55°=70°；
②当点P在AC上，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG=DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D=∠AED=55°，
∵∠BAC=100°，
∴∠EDP2=150°；
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG=∠P3DH，
∴∠EDP3=∠GDH=180°﹣100°=80°；
④当点P在AB上，EP=ED时，∠EDP=(180°﹣55°)=62.5°．
故答案为：62.5°或70°或80°或150°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在△ABD和△ABC中，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD求证：BC＝AD．
【答案】见解析
【分析】
根据，，得到，即可利用HL证明从而得到．
【解析】
证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
20．已知命题“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”．
（1）请写出它的逆命题；
（2）判断该逆命题的真假，若为假命题，请说明理由，若为真命题，请证明．
【答案】（1）底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；（2）该逆命题是真命题，证明见解析．
【分析】
（1）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；据此写出逆命题即可；
（2）由（1）中写出的逆命题判断其真假，根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程即可．
【解析】
（1）原命题的条件是：三角形是等腰三角形；结论是：底边上的高线和顶角的角平分线重合，
∴逆命题是：底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．
（2）该逆命题是真命题，证明如下：
如图，已知：△ABC中，AD是BC边的高线也是顶角∠BAC的角平分线．
求证：AB=AC．
∵AD是BC边的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△BAD和△CAD中，，
∴AB=AC．
【点睛】
本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
21．已知，如图，在三角形中，是边上的高．尺规作图:作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
在已作图形中，若与交于点，且，求证:.
【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）按照题目要求作图即可；
（2）过点E作EH⊥AB于H，先证明△BDE≌△BHE，再证明△BOE≌△ADC，然后可得DE= DC，可推出HE= CD，根据AD=BD，∠ADB=90°，HE⊥AB，可得∠BAD = 45°，∠HEA=∠HAE= 45°，可推出HE= AH = CD，即可证明结论．
【解析】
（1）∠ABC的角平分线如图所示：
；
（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，
∴EH⊥АВ，ED⊥BC，
∴EH = ED，
在Rt△BDE和Rt△BHE中，
∴△BDE≌△BHE（HL），
∵ВH = BD，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∴△BOE≌△ADC（HL），
∴DE= DC，
∴HE= CD，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠BAD = 45°，
∵HE⊥AB，
∴∠HEA=∠HAE= 45°，
∴HE= AH = CD，
∴BC = BD+CD= BH + AH= AB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质及尺规作图，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
22．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，BF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）AB，DC有怎样的位置关系？证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）AB∥DC；见解析
【分析】
（1）由BF=CE，得到BE=CF，运用HL证明△ABE≌△DCF；
（2）根据△ABE≌△DCF ，得∠DCF=∠ABE，从而得到AB∥DC ．
【解析】
（1）∵BF=CE，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BE=CF，
∵AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴△ABE≌△DCF；
（2）AB，DC的位置关系为：AB∥DC；理由如下：
∵△ABE≌△DCF ，
∴∠DCF=∠ABE，
∴AB∥DC ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理和性质，平行线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，灵活运用平行线的判定定理是解题的关键．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3
【分析】
（1）先证明：可得 再证明即可；
（2）由再证明 结合 从而可得结论.
【解析】
证明：（1） DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
BD＝CD，BE＝CF,
（2）
而
【点睛】
本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，掌握“斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”是解题的关键.
24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．
（1）若CD＝4，则求CE的长；
（2）求证：BF⊥AE．
【答案】（1）4；（2）见解析
【分析】
（1）利用证明Rt△BDC≌Rt△AEC即可得到答案；
（2）由Rt△BDC≌Rt△AEC可得∠CBD＝∠CAE，再证明∠EBF+∠E＝90°即可.
【解析】
解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
在Rt△BDC与Rt△AEC中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．
∴CD＝CE＝4；
（2）证明：由（1）知，Rt△BDC≌Rt△AEC，
∴∠CBD＝∠CAE．
又∠CAE+∠E＝90°．
∴∠EBF+∠E＝90°．
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥AE．
【点睛】
本题考查的是利用斜边直角边公理证明三角形全等，全等三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的应用全等三角形的性质解决问题是解本题的关键.
25．如图，点D在上，于点E，交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）55°
【分析】
（1）由已知条件，根据HL可证得Rt△BDE≌Rt△CFD；
（2）由（1）得∠BDE=∠CFD=35°，又已知∠AFD=145°，即可求解．
【解析】
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE ≌Rt△CFD（HL），
（2）∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°，
由（1）得：Rt△BDE ≌Rt△CFD，
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-∠BDE-∠CDF=180°-90°-35°=55°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，能根据HL证得Rt△BDE≌Rt△CFD是解题的关键．
26．四边形中，，于，于，CB=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）通过“”即可求证；
（2）通过“”求证，再根据线段之间的关系即可求解．
【解析】
（1）证明：∵，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠EBC；
∵于，于，
∴∠E=∠DFC；
又∵CB=CD
∴
（2）解：由（1）得CE=CF，BE=DF=2
∵∠E=∠DFC=90°，AC=AC，
∴
∴AF=AE
∴AF=AE=AB+BE=AB+DF=5
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质．
27．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠CFA的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACF=60°．
【分析】
（1）利用“”证明三角形全等即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质，求解即可．
【解析】
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．
28．问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4）
【分析】
（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；
（2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC；
归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN；
拓展应用：
（3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC；
（4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论．
【解析】
特例探究：
解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
归纳证明
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
拓展应用
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
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1.2.1勾股定理及其逆定理
一、单选题
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
【答案】D
【分析】
分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．
【解析】
解：当4是直角边时，斜边＝，
当4是斜边时，另一条直角边＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
2．如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理求出CD，根据三角形的外角的性质得到∠B＝∠BAD，求出BD，计算即可．
【解析】
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴CD＝，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝，
∴BC＝BD＋CD＝
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2是解题的关键．
3．如图，等边中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据三线合一得的长，在中，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理求解即可．
【解析】
解：是等边三角形，
∴，，
∵，所以，，
又∵，所以，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】
此题主要考查的是等边三角形和直角三角形30度角的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
【答案】D
【分析】
根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和.
【解析】
由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34，
同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47．
故选D．
【点睛】
此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键.
5．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（ ）
A．8、15、17 B．10、24、25 C．9、15、20 D．9、80、81
【答案】A
【分析】
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解析】
解：A．，
∴能构成直角三角形，故选项正确；
B．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误；
C．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误；
D．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．直角三角形两直角边长分别是a，b，斜边为c，斜边上的高为h，则，，h为边的三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】
先利用勾股定理得到a，b，c，h之间的关系，再根据勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形．
【解析】
解：根据题意可知：
a2＋b2＝c2，ab＝ch，
∵（c＋h）2＝c2＋2ch＋h2，
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
∴（a＋b）2＋h2＝（c＋h）2，
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
【点睛】
主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的运用．要会熟练利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形．
7．以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有（ ）组
① 5，12，13；② 7，24，25 ；③ 8，15，16；④ 32，42，52；
⑤ ；⑥
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
给出三边的长，欲求证是否为直角三角形，只要验证两短边的平方和等于最长边的平方即可．
【解析】
① 52+122=132，故是直角三角形；
②72+242=252，故是直角三角形；
③82+152162，故不是直角三角形；
④(32)2+(42)2(52)2，故不是直角三角形；
⑤()2+()2()2，故是直角三角形；
⑥()2+()2()2，故是直角三角形．
综上，①②⑤⑥满足两边长度的平方和等于第三边的平方，共4个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
8．中，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（ ）
A．如果，则是直角三角形
B．如果，则是直角三角形，且
C．如果，则是直角三角形
D．如果，则是直角三角形
【答案】B
【分析】
直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．
【解析】
A选项：根据三角形内角和定理，可求出为度，故A正确；
B选项：解得应为度，故B错误；
C选项：设三角分别为，，，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：
度，度，度，则是直角三角形，故C正确；
D选项：化简后有，根据勾股定理，则是直角三角形，故D正确；
故选B．
【点睛】
考查了直角三角形的判定的知识，解题的关键是了解直角三角形的判定方法，难度不大．
9．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
将等号右侧式子移到左侧,再将其因式分解,然后根据：若xy=0,则x=0或y=0,判断即可.
【解析】
解:
∵，，是的三边
∴
∴或
解得: 或
∴是等腰三角形或直角三角形.
故选C.
【点睛】
此题考查的是因式分解、等腰三角形的判定和直角三角形的判定，掌握因式分解的各个方法、等腰三角形的定义和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.
10．若点D为等边内一点，且，，，则此等边三角形ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，利用旋转的性质得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理推出，在中，由勾股定理，即可求等边的面积．
【解析】
解：如图，将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，如下图：
由旋转的性质知，，，，
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，由勾股定理得，，
，
又等边的面积，
等边的面积，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形、勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质，及作出适当的辅助线进行求解．
二、填空题
11．已知中，，则、、所对的三条边之比为_________．
【答案】
【分析】
先求出，，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【解析】
解：∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．已知：如图，在中，，，则__________．
【答案】
【分析】
过点C作CD⊥AB于D，根据已知及三角形内角和定理求得，由直角三角形的性质求出，则可利用勾股定理求得AD，并由此求出BD，即可再根据勾股定理求出BC．
【解析】
解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵，
∴，
∵，，
则
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握等腰三角形、直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
13．如图，已知中，，AD平分，如果CD=1，且的周长比的周长大2，那么BD=____．
【答案】
【分析】
过点D作DM⊥AB于点M，根据角平分线的性质可得CD=MD，进而可用HL证明Rt△ACD≌△AMD，可得AC=AM，由的周长比的周长大2可变形得到BM+BD=3，再设BD=x，则BM=3－x，然后在Rt△BDM中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求出x，从而可得答案．
【解析】
解：过点D作DM⊥AB于点M，则，
∵AD平分，∴CD=MD，
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌△AMD（HL），
∴AC=AM，
∵的周长比的周长大2，
∴(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=2，
∴AB+BD－AC－1=2，
∴AM+BM+BD－AC=3，
∴BM+BD=3，
设BD=x，则BM=3－x，
在Rt△BDM中，由勾股定理，得，
即，解得：，
∴BD=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
14．如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于____cm．
【答案】7
【分析】
根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解析】
在中，，，，由勾股定理，得，由翻折的性质，得，的周长为7（cm）．
【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题关键．
15．如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为______．
【答案】
【分析】
连接 ，设小正方形的边长为 ，由勾股定理可得 ， ，再由勾股定理逆定理可得 ，即可求解．
【解析】
解：如图，连接 ，
设小正方形的边长为 ，由勾股定理得：
，
，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，根据勾股定理得出 、 、 是解题的关键．
16．的三边为a、b、c，若满足，则_______；若满足，则是_______角；若满足，则是_______角．
【答案】 钝 锐
【分析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 ，则这个三角形是直角三角形，进行求解即可．
【解析】
解：若，则∠B=90°；若，则∠B是钝角；若，则∠B是锐角，
故答案为：∠B，钝，锐．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为___．
【答案】②③．
【分析】
已知直角三角形的三条边长，根据勾股定理得出，同时直角三角形作为三角形，满足三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，再判断各选项中各个线段是否能组成三角形．
【解析】
解：（1）根据勾股定理得出，所以不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项错误；
（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在，，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；
（3），，这三个数中一定最大，，，
又∵2ab=2ch=4S△ABC，
∴，根据勾股定理的逆定理，即以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；
（4）若以，，的长为边的3条线段能组成直角三角形，
假设a=3，b=4，c=5，
∵，
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法．
18．如图，在等腰中，，，D、E为边AB上两个动点，且，则周长的最小值是________．
【答案】16
【分析】
作CH∥AB，点E关于直线CH对称点为F，连接CF，作CG⊥AB于G，当F、C、D在同一直线上时，周长最小，此时可证CD=CE，根据勾股定理可求CD长，即可求出周长最小值．
【解析】
解：作CH∥AB，点E关于直线CH对称点为F，连接CF，作CG⊥AB于G，
由对称可知，CD+CE＝CD+CF，当F、C、D在同一直线上时，它们的和最小，即周长的最小．
∵CH∥AB，CG⊥AB，
∴∠HCG＝90°，
∠ECG+∠HCE＝90°，∠FCH+∠DCG＝90°，
由对称可知，∠HCF＝∠HCE，
∴∠DCG＝∠GCE，
∵CG＝GC，∠EGC＝∠DGC＝90°，
∴△EGC≌△DGC，
∴CD=CE，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
周长的最小值为5+5+6=16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和最短路径问题，解题关键是恰当作轴对称，确定周长最小时，三角形为等腰三角形．
三、解答题
19．在中，已知，求的长．
【答案】
【分析】
先判定三角形是直角三角形，后用勾股定理计算即可．
【解析】
∵∠A=∠B=45°，
∴∠C=90°，AC=BC=3，
∴AB=．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．如图，在△ABC△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AD是△ABC的高，求AD的长．
【答案】AD的长为a．
【分析】
利用勾股定理求出BC的长，再根据三角形的面积列式即可求出AD的长．
【解析】
解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，
∴BC=，
∵AD是△ABC的高，
∴S△ABC=×AB×AC=×BC×AD，
即×a×a=×a×AD，
解得AD=a．
故AD的长为a．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形面积公式的应用，根据同一个三角形的面积的两种不同表示列式是解题的关键．
21．如图，已知每个小方格的边长均为1，求的长，并计算与的周长比．
【答案】，，；与的周长比为2∶1．
【分析】
先根据勾股定理求出，，，，，的长，再求出与的周长，进而可得出结论．
【解析】
解：由图可知，，，，，，，
的周长，
的周长，
．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22．已知三角形的三边分别为a，b，c，且．
（1）请判断这个三角形的形状；
（2）试找出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数．
【答案】（1）直角三角形；（2）20、99、101
【分析】
（1）根据，利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）取，即，，然后分别算出a，c即可．
【解析】
解：（1）∵， ，， ，
∴，
∴这个三角形是直角三角形；
（2）取，即，．
∴．．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．
23．已知a、b、c是三角形的三边长，，，（n为大于等于1的自然数），试说明为直角三角形．
【答案】见解析．
【分析】
根据平方差公式证明，即可得为直角三角形．
【解析】
，，（n为大于等于1的自然数），
即
，
故为直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，平方差公式的应用，观察代数式的区别，灵活运用平方差公式是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，求四边形ABCD的面积．
【答案】36
【分析】
连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，分别求出△ABC和△CAD的面积，即可得出答案．
【解析】
解：连结AC，在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC＝，
S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
在△ACD中， ∵AD=12，AC=5，CD=13，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD＝AC AD＝×5×12＝30．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=6+30=36．
【点评】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理．
25．如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，且．
求证：；
若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）连接CD，根据中垂线的性质可得CD=BD，从而结合题意运用勾股定理得逆定理即可证明；
（2）根据题意先求出AD，BD，再由（1）的结论在中运用勾股定理计算即可．
【解析】
证明：连结．
的垂直平分线分别交，于点，，
．
，
，
，
是直角三角形，且．
解：，，
，，
，
．
【点睛】
本题考查中垂线的性质，勾股定理及其逆定理，理解勾股定理的逆定理和中垂线的性质是解题关键．
26．如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到．
（1）求的长；
（2）的度数．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）连结PP′，由旋转性质可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，根据∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°可得△APP′为等边三角形，即可证明PP′=AP=6；
（2）利用勾股定理的逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，由（1）得∠APP′=60°，即可得答案．
【解析】
解：（1）连结，如图．
∵为等边三角形，
∴，，
∵绕点逆时针能转后，得到，
∵∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，．
（2）在中，
∵，，，
在△BPP′中，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
27．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．
（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．
（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）2
【分析】
（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得；
（2）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；
（3）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．
【解析】
（1）解：在Rt△ABC中，
∵，
∴，
∴在Rt△ABD中，．
（2）证明：如图，过C点作CF⊥CD交DB的延长线于点F．
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠CAD=∠CBF，
又∵CA=CB，
∴△CAD≌△CBF(ASA)，
∴CD=CF，AD=BF，
∴，
∵DF=DB+BF=DB+DA，
∴．
（3）解：如图，过C点作CF⊥CD交AD与F点，
∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，
∴∠AFC=∠CDB，
又∵CA=CB，
∴△CAF≌△CBD(AAS)，
∴CF=CD，AF=BD，
∴△CDF是等腰直角三角形，
又∵CE⊥AD，
∴E为DF中点，
∵AD=6，AF=BD=2，
∴FD=AD－AF=4，
∴．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.
28．（阅读理解）截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．
（1）如图①，△是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得△≌△，得出△是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是 ；
（拓展延伸）
（2）如图②，在Rt△中，，．若点是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
（知识应用）
（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_____________cm．（结果无需化简）
【答案】（1）；（2）猜想： 证明见解析；（3）．
【分析】
（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．
（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2；
（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的结论知PQ=QN+QM=1+，据此可得答案．
【解析】
解：（1）DA=DC+DB，理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，
故答案为：DA=DC+DB；
（2）DA=DB+DC如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠ABD+∠ACD=180°，
∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，CE=BD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴DA2+AE2=DE2，
∴2DA2=（DB+DC）2，
∴DA=DB+DC；
（3）如图3，连接PQ，
∵MN=2，∠QMN=30°，
∴QN=MN=1，
∴MQ=，
由（2）知PQ=QN+QM=1+，
∴PQ=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2.1勾股定理及其逆定理
一、单选题
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
2．如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，等边中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
5．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（ ）
A．8、15、17 B．10、24、25 C．9、15、20 D．9、80、81
6．直角三角形两直角边长分别是a，b，斜边为c，斜边上的高为h，则，，h为边的三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
7．以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有（ ）组
① 5，12，13；② 7，24，25 ；③ 8，15，16；④ 32，42，52；
⑤ ；⑥
A．3 B．4 C．5 D．6
8．中，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（ ）
A．如果，则是直角三角形
B．如果，则是直角三角形，且
C．如果，则是直角三角形
D．如果，则是直角三角形
9．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
10．若点D为等边内一点，且，，，则此等边三角形ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知中，，则、、所对的三条边之比为_________．
12．已知：如图，在中，，，则__________．
13．如图，已知中，，AD平分，如果CD=1，且的周长比的周长大2，那么BD=____．
14．如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于____cm．
15．如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为______．
16．的三边为a、b、c，若满足，则_______；若满足，则是_______角；若满足，则是_______角．
17．若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为___．
18．如图，在等腰中，，，D、E为边AB上两个动点，且，则周长的最小值是________．
三、解答题
19．在中，已知，求的长．
20．如图，在△ABC△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AD是△ABC的高，求AD的长．
21．如图，已知每个小方格的边长均为1，求的长，并计算与的周长比．
22．已知三角形的三边分别为a，b，c，且．
（1）请判断这个三角形的形状；
（2）试找出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数．
23．已知a、b、c是三角形的三边长，，，（n为大于等于1的自然数），试说明为直角三角形．
24．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，求四边形ABCD的面积．
25．如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，且．
求证：；
若，，求的长．
26．如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到．
（1）求的长；
（2）的度数．
27．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．
（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．
（2）如图1，求证：．
（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．
28．（阅读理解）截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．
（1）如图①，△是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得△≌△，得出△是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是 ；
（拓展延伸）
（2）如图②，在Rt△中，，．若点是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
（知识应用）
（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_____________cm．（结果无需化简）
