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1.1.1(1)等腰三角形的性质
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【分析】
由题意易知∠B=∠C，进而问题可求解．
【解析】
解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠B=∠C=50°；
故选C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．如果的一个外角等于，且，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】
根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以得到：（1）当这个150°的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为30°；（2）当这个150°的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为180° 30° 30°＝120°．
【解析】
分两种情况：（1）当这个150°的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角∠A为30°；
（2）当这个150°的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角∠A为180° 30° 30°＝120°．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据作图和等腰三角形的判定，逐项分析判断
【解析】
解：A，根据作图可知，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
B.根据作图，是的角平分线，不能判定△ACD为等腰三角形，符合题意；
C.根据作图可知，点在的垂直平分线上，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
D.根据作图可知，则，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，尺规作图，作线段，作角平分线，作中垂线，作一个角等于已知角，能掌握基本作图和等腰三角形的判定是解题的关键．
4．如果等腰三角形的腰比底长3，其周长为30，则底边长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
设等腰三角形的底边长为： 则腰长为： 再根据三角形的周长列方程，解方程可得答案.
【解析】
解：设等腰三角形的底边长为： 则腰长为：
故选：
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键.
5．如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（ ）度
A．62 B．59 C．62或59 D．62成56
【答案】C
【分析】
根据题意，分已知角是底角和不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案．
【解析】
解：根据题意，等腰三角形的一个角等于62度，
当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是，
当这个角为顶角时，设等腰三角形的底角为，
则，
解得：，
即该等腰三角形的底角为：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是解答本题的关键．
6．等腰三角形两边a，b满足，则此三角形的周长是（ ）
A．7 B．5 C．8 D．7或5
【答案】A
【分析】
根据非负数的性质，列出方程组，进而求得的值，进而根据题意分类讨论，即可求得答案．
【解析】
解得
当为等腰三角形的腰时，，不能构成三角形；
当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的周长为：．
故选A．
【点睛】
本题考查了非负性的性质，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键．
7．如图，中，，D、E分别是两点，且，连接．则的度数为（ ）度·
A．45 B．52.5 C．67.5 D．75
【答案】C
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=75°，然后求出∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°，∠DBE=45°，由此求解即可．
【解析】
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∵BD=BC=DE，
∴∠BED=∠BDE，∠BCD=∠BDC=75°，
∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°，
∴∠DBE=45°，
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质．
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】
此题需要分情况讨论：等腰角形的顶角是钝角，等腰三角形的顶角是锐角，分别画出图形进行求解即可．
【解析】
如图1
；
如图2
，故顶角．
故选D
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
9．如图，在中，，过点A作，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠B=∠C，注意：三角形内角和等于180°，两直线平行，内错角相等．
10．如图，，等边的顶点B在直线m上，边与直线m所夹锐角为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点C作直线CE∥m，由平行线的性质、等边三角形的性质及等量代换可求得答案．
【解析】
解：如图，过点C作m，
∵，
∴，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和等边三角形的性质．
二、填空题
11．等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为___________．
【答案】50
【分析】
已知没有给出50°的角是顶角和是底角，所以要分两种情况进行讨论．
【解析】
解：分为两种情况：
当50°是顶角时，顶角为50°
当50°是底角时，其顶角是180°-50°×2=80°
故答案为：50 或80
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为_____．
【答案】15
【分析】
分两种情况：当3为底时和3为腰时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可．
【解析】
解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为15；
当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，
∵3+3＝6，
∴3，3，6不能组成三角形，
综上所述，等腰三角形的三边长为3，3，6，周长为15；
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系定理，是基础知识，要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用．
13．如图，，若AD平分，则AD与BC的位置关系是_______．
【答案】
【分析】
根据，AD平分，等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC即可．
【解析】
解：∵，AD平分，
∴AD⊥BC，
∴AD与BC的位置关系是AD⊥BC．
故答案为AD⊥BC．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形顶角平分线底边中线，底边高线三线互相重合性质、熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
14．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．
【答案】10
【分析】
根据三角形外角定理得出∠EDC+∠C=∠AED，进而求出∠C+∠EDC=∠ADE，再利用∠B+∠BAD=∠ADC，进而利用已知求出即可．
【解析】
解：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠EDC+∠C=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADE，
又∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC，
∵∠B=∠C．
∴2∠EDC=20°，
∴∠EDC=10°．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角定理以及角之间等量代换，利用外角定理得出∠C+∠EDC=∠ADE是解决问题的关键．
15．已知等腰三角形的两个底角相等，并且一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数为__________度．
【答案】或
【分析】
分两种情况讨论：如图，当等腰三角形为钝角三角形时，如图，当等腰三角形为锐角三角形时，再利用三角形的外角的性质或直角三角形两锐角互余可得答案.
【解析】
解：如图，当等腰三角形为钝角三角形时，
如图，当等腰三角形为锐角三角形时，
故答案为：或
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握清晰的分类讨论是解题的关键.
16．一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________．
【答案】或
【分析】
先画出图形，根据图形结合已知写出条件，再分两种情况讨论：根据一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，构建方程，再解方程可得答案.
【解析】
解：如图，为等腰三角形，
设 则
当时，
解得：
当时，
解得：
故答案为：或
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的中线的性质，清晰的分类讨论是解题的关键.
17．已知：如图，中，，，，则_______．
【答案】
【分析】
设 则再利用三角形的外角的性质依次表示 再利用三角形的内角和定理列方程，从而可得答案.
【解析】
解：设 则
故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握利用三角形定理及三角形的外角的性质列方程是解题的关键.
18．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为______
【答案】120°或75°或30°##120°或30°或75°##75°或120°或30°##75°或30°或120°或75°或120°或120°或75°
【分析】
根据当△OPD是等腰三角形,分三种情况讨论进而根据等腰三角形的性质即可求得∠ ODP的度数
【解析】
解：∵∠AOB=60° ，OC平分∠AOB，∴∠AOC= 30°，
①当D在D1处时，OD=PD，
∴∠AOP=∠OPD= 30° ，
∴∠ODP= 180°-30°-30°= 120°；
②当D在D2处时，OP=OD，
则∠OPD=∠ODP=×（180°-30°）= 75°；
③当D在D3处时，OP=DP，
则∠ODP=∠AOP= 30°．
综上，当△OPD是等腰三角形时，∠ ODP的度数为120°或75°或30°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题
19．如图，求等腰三角形ABC的面积．
【答案】
【分析】
直接利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出BD，DC的长，进而得出等腰三角形ABC的面积．
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC=BC，DC⊥AB，
∴AD=BD=AB=3cm，
∵BC=5cm，
∴DC==4（cm），
∴等腰三角形ABC的面积为：×4×6=12（cm2）．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，正确得出等腰三角形的高是解题关键．
20．（1）已知：如图（甲），等腰三角形的一个内角为锐角，腰为a，求作这个等腰三角形；
（2）在（1）中，把锐角变成钝角，其他条件不变，求作这个等腰三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】
（1）分成是顶角和顶角两种情况进行讨论，当是底角时，首先作一个∠A＝，在一边上截取AB＝a，然后过B作另一边的垂线BR，然后在AR的延长线上截取RC＝AR，连接BC，即可得到三角形，当是顶角时，作∠D＝，在角的两边上截取DE＝DF＝a，则△DEF就是所求三角形；
（2）作∠M＝，在角的边上截取MN＝MH，则△MNH就是所求．
【解析】
（1）如图所示：
△ABC和△DEF都是所求的三角形；
（2）如图所示：
△MNH是所求的三角形．
【点睛】
本题考查了三角形的作法，正确进行讨论，理解等腰三角形的性质：三线合一定理，是关键．
21．已知：如图，在中，是腰上的高．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．
【解析】
证明：在中，
∵，
∴（等边对等角）．
∴．
∵是腰上的高，
∴．
∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．
22．求证：如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半．
【答案】证明见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质证明即可．
【解析】
证明：如图：
，
，
，，
在直角三角形中，．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是要构造直角三角形，利用直角三角形中对应的边等于斜边的一半即可．
23．如图，在中，，平分，交于点D．若，则等于多少度？
【答案】
【分析】
题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．
【解析】
解：∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，
∴∠C＝∠BDC＝2∠A，
又∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠A＋2∠C＝180°，
把∠C＝2∠A代入等式，得∠A＋2×2∠A＝180°，
解得∠A＝36°.
【点睛】
本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．
24．已知：如图，．
求证：是等腰三角形．
【答案】证明见解析
【分析】
根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△DCA，根据全等三角形的性质、等角对等边证明结论．
【解析】
证明：∵，
∴．
∴（全等三角形的对应角相等）．
∴（等角对等边）．
∴是等腰三角形．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．如图，在中，平分，交于点D，过点D作，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
【答案】等腰三角形，理由见解析．
【分析】
根据角平分线的定义可得∠ABD=∠DBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠DBC，从而得到∠ABD=∠EDB，再根据等角对等边解答．
【解析】
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记等腰三角形的判定方法是解题的关键．
26．如图，在中，，点D，E都在边上，且，那么与相等吗？请证明你的结论．
【答案】，证明见解析．
【分析】
由等腰三角形的性质得出，，证明，得出，进而得出结论．
【解析】
解：，理由如下：
，，
，，
即，
在和中，，
，
，
，
即．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等．
27．证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在中，，和是的角平分线．
求证：．
【答案】见解析
【分析】
由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ECB，而BC＝ CB，利用ASA可证△BDC≌△CEB，再利用全等三角形的性质可证BD＝CE．
【解析】
证明：∵，
∴（等边对等角）．
∵分别平分和，
∴，．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
28．如图，已知，求的度数．
【答案】
【分析】
由∠B=20°，根据三角形内角和公式可求得∠BA1A的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠BA1A与∠A4的关系即可解答．
【解析】
解：∵AB=A1B，∠B=20°，
∴∠A=∠BA1A=（180°-∠B）=（180°-20°）=80°，
∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，
∴∠A1CD=∠A1A2C，
∵∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8∠A4，
∴∠A4=10°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用．充分利用外角的性质确定∠BA1A与∠A4的关系是解答本题的关键．
29．在△ABC 中，AB=AC，点D 在底边BC 上，AE=AD，连接 DE．
（1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求 ∠CDE 的度数；
（2）如图①，已知∠BAC=90°，当点D 在线段BC（点B，C 除外）上运动时，试探究∠BAD与 ∠CDE 的数量关系；
（3）如图②，若 ∠BAC≠90°，试探究∠BAD与 ∠CDE 的数量关系．
【答案】（1）∠CDE=30°；（2）∠CDE=∠BAD；（3）∠CDE=∠BAD.
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=45°，由于AD=AE，于是得到∠AED=75°，根据三角形的外角性质即可得到∠CDE=75°-45°=30°；
（2）设∠BAD=x，于是得到∠CAD=90°-x，根据等腰三角形的性质得到∠AED=45°+ x，于是得到结论；
（3）设∠BAD=x，∠C=y，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=180°-2y，由∠BAD=x，于是得到∠AED=y+ x，即可得到结论．
【解析】
解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°-45°=30°；
（2）∠CDE＝∠BAD；理由如下：
设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°-x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ x，
∴∠CDE=∠AED-∠C=45°+ x -45° x，
即∠CDE＝∠BAD；
（3）∠CDE＝∠BAD；理由如下：
设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°-2y，
∵∠BAD=x，
∴∠CAD=180°-2y - x，
∵AD=AE，
∴∠AED= [180°-(180°-2y – x)] =y+ x，
∴∠CDE＝∠AED ∠C＝y+ x - y =x．
即∠CDE＝∠BAD．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的性质及三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
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1.1.1(2)等腰三角形的判定
一、单选题
1．已知一个三角形中有两个角度数如下，其中不能构成等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用三角形内角和定理求出另一个角的度数，然后根据等角对等边求解即可．
【解析】
解：A、由题意可得另一个角的度数为70°，即三角形的三个角的度数分别为40°，70°，70°是等腰三角形，不符合题意；
B、由题意可得另一个角的度数为50°，即三角形的三个角的度数分别为50°，50°，80°是等腰三角形，不符合题意；
C、由题意可得另一个角的度数为30°，即三角形的三个角的度数分别为30°，60°，90°不是等腰三角形，符合题意；
D、由题意可得另一个角的度数为30°，即三角形的三个角的度数分别为30°，30°，120°是等腰三角形，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
根据题图所给信息，根据边或角分析即可
【解析】
解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
3．用反证法证明“若，，则”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C． D．a与b相交
【答案】D
【分析】
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可解答．
【解析】
解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，
应假设：a不平行b或a与b相交．
故选D．
【点睛】
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4．下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③已知顶角与底角；④已知底边和底边上的高，能确定一个等腰三角形的是（ ）
A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④
【答案】C
【分析】
能不能确定一个等腰三角形，主要看给出同样条件的两个三角形是不是全等，根据这一标准对四个条件进行判断即可确定选项．
【解析】
解：下列条件能不能确定一个等腰三角形，主要看给出的条件的两个三角形是不是全等：①已知两腰，SS不能判定两个三角形全等，所以不能确定一个等腰三角形；
②已知底边和顶角，AAS或ASA能判定两个三角形全等，所以可以确定一个等腰三角形；
③已知顶角和底角，AAA不能判定两个三角形全等，所以不能确定一个等腰三角形；
④已知底边和底边上的高，可以判定两个三角形全等，所以可以确定一个等腰三角形；
∴②④可以确定一个等腰三角形，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定，把能不能确定一个等腰三角形转化为同样条件的两个三角形是不是全等是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的点，∠BAD=∠DAE＝∠EAC，图中等腰三角形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
根据△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上的点，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC这些条件，再根据三角形的内角和是180°和等腰三角形的性质，求出各个角的度数，即可判断．
【解析】
解：因为在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，
因为∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝（180° 36° 36°）÷3＝36°，所以△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，
又因为∠BAE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180° 72° 36°＝72°，所以∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，
所以△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
6．如图，已知ABC≌DCE，∠A＝∠B＝70°，连接AE，得到∠AED＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【分析】
首先求出∠ACB，根据全等三角形的性质得到相等的边和角，从而结合∠ACE求出∠CAE=∠CEA=75°，再利用角的和差得到∠AED．
【解析】
解：如图，连接AE，
∵∠A＝∠B＝70°，
∴∠ACB=180°-70°×2=40°，
∵△ABC≌△DCE，
∴∠EDC=∠ECD=∠A=70°，∠DEC=∠A=40°，AC=EC，
∴∠CAE=∠CEA，
∵∠ACE=∠ECD-∠ACB=30°，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∴∠AED=∠CEA-∠DEC=35°，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，解题的关键是要熟练运用这些定理进行边和角的转化．
7．如图，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上的两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形性质得出，，根据三角形内角和定理及各角之间的关系进行等量代换计算即可得到结论．
【解析】
解：∵，
∴，
∴，①
∵，
∴，
∴，②
①+②得：
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，找准各角之间的关系进行等量代换计算是解题关键．
8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
A．62° B．67° C．76° D．82°
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的性质，求出的度数，从而求得的度数．
【解析】
解：∵
∴，
又∵
∴
又∵
∴，
∴
故答案为C．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
9．如图，在直角坐标系中，点A在x轴上，点B在轴y上，∠BAO＝45°，P是坐标轴上的一点．若以A、B、P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的P点共有（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【分析】
利用可得到点在原点满足条件，然后分别以、为圆心，为半径画弧，所画的弧与坐标轴的交点为点、两点除外）．
【解析】
解：如图，满足条件的点有7个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于交于，若则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，然后即可求得结论．
【解析】
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，
∵MN∥BC，
∴∠DBC=∠MDB，∠NDC=∠DCB，
∴∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，
∴BM=MD，DN=CN，
∴MN=MD+DN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=8
∴MN=8，
故选：A．
【点睛】
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．
二、填空题
11．用反证法证明时应先假设__________，即__________．
【答案】不小于 大于或等于
【分析】
根据反证法的第一步是假设结论不成立而解答即可．
【解析】
用反证法证明命题若时，应先假设则，即．
【点睛】
本题考查的是反证法，解此题关键要懂反证法的意义及步骤．
12．如图，∠B＝∠C，∠1＝∠2，且BE＝6，DE＝2，则BC的长为 _____．
【答案】10
【分析】
结合题意，根据等腰三角形性质，得AD＝AE，根据补角的性质计算，得∠BDA＝∠CEA，根据全等三角形性质，通过证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，即可得出答案．
【解析】
∵∠1＝∠2，
∴为等腰三角形
∴∠BDA＝∠CEA，AD＝AE，
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE
∴BD＝CE，
∵BE＝6，DE＝2，
∴BD＝CE＝6﹣2＝4，
∴BC＝BE+CE＝6+4＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、全等三角形、补角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形的性质，从而完成求解．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，若S△ABC＝12，则FE+FD＝___．
【答案】4
【分析】
连接，根据，即可求解．
【解析】
解：连接，如图：
则
，
∴
∵
∴
∴
故答案为
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键．
14．如图，△ABC中，BC=6，BO与CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，OD//AB，OE//AC．则△ODE的周长是__________．
【答案】6
【分析】
由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，显然△ODE的周长即为BC的长度．
【解析】
解：∵OD∥AB，
∴∠ABO＝∠BOD，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠BOD，
∴BD＝OD，
则同理可得CE＝OE，
∴△ODE的周长＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED的度数为_________．（用含有α的式子表示）
【答案】
【分析】
由旋转的性质得，，，根据等边对等角和三角形内角和定理即可得到，由此即可得到答案．
【解析】
由旋转的性质得，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．问在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形． ___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，请直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．___
【答案】存在 72°或36°或54°
【分析】
使△CDP为等腰三角形，则可能是CD=CP，DP=CD，因为∠ACB=∠BDC，所以不可能PC=PD．
【解析】
解：存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形．
当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD=72°；
当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P，
一点在线段BC延长线上，此时∠CPD=36°；
一点在线段BC上，此时∠CPD==54°．
故答案为：存在；72°或36°或54°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
17．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分钱CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长 ___．
【答案】3cm
【分析】
根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．
【解析】
解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD=8cm，EF=CE=5cm，
∴DE=FD-EF=BD-CE=8-5=3（cm），
故答案为：3cm．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
18．如图，在中，，点D在边BC上，过点D作，垂足为E，，垂足为D，连接EF，若，，则的度数为______．
【答案】60°
【分析】
根据，，可求∠ABC=∠ACB=，由， ，可得∠BED=∠FDC=90°，可证△BED≌△CDF（AAS），得出∠EFD=∠FED，可求∠EDB=90°-∠B=50°，∠EDF=90°-∠EDB=40°，∠CFD=90°-∠C=50°，利用等腰三角形的性质与内角和可求∠EFD=∠FED=，利用平角定义可求∠AFE=180°-∠DFC-∠EFD=180°-50°-70°=60°即可．
【解析】
解：∵，，
∴∠ABC=∠ACB=，
∵， ，
∴∠BED=∠FDC=90°，
在△BED和△CDF中，
，
∴△BED≌△CDF（AAS），
∴DE=FD，
∴∠EFD=∠FED，
∵∠BED=∠FDC=90°，
∴∠EDB+∠B=90°，∠EDB+∠EDF=90°，∠C+∠CFD=90°，
∴∠EDB=90°-∠B=50°，∠EDF=90°-∠EDB=40°，∠CFD=90°-∠C=50°，
∴∠EFD=∠FED=，
∴∠AFE=180°-∠DFC-∠EFD=180°-50°-70°=60°．
故答案为60°．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，三角形内角和，平角定义，掌握等腰三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，三角形内角和，平角定义是解题关键．
三、解答题
19．用反证法证明：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：l1 l2
证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
【答案】 ；不平行； ；三角形内角和定理； ；∠1+∠2=180°；假设；结论成立，l1∥l2．
【分析】
先假设l1不平行l2，根据三角形的内角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，从而得到∠1+∠2＜180°，与已知矛盾，即可求证．
【解析】
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：
证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2．
【点睛】
本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法证明的基本过程，解题的关键是找到与已知相矛盾的条件．
20．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质可得出BD＝CE；
（2）由全等三角形的性质及三角形内角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性质求出∠DAE＝20°，则可求出答案．
【解析】
解：（1）证明∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠E＝80°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠E，
∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，在中，平分，点E在的延长线上，且于点F．求证：F是的中点．
【答案】见解析
【分析】
根据已知条件证明，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．
【解析】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中点．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，根据已知求证是解本题的关键．
22．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：．
求证：中不能有两个角是直角．
【答案】证明见解析
【分析】
根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，第二步得出矛盾：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．
【解析】
证明：假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，
则，这与三角形内角和为相矛盾，
不成立；
∴一个三角形中不能有两个直角．
【点睛】
此题主要考查了反证法的应用，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
【答案】（1）54°，（2）见解析
【分析】
（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）利用角平分线性质和平行线性质证明∠FBE＝∠FEB即可．
【解析】
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟练运用平行线进行角的推导和证明．
24．已知：在中，，平分，交于点，点在线段上（点不与点，重合），且．求证：．
【答案】见解析
【分析】
在BC上截取BF=AB，连接EF，证明△ABE≌△FBE，推AE=EF，∠EAB=∠EFB，再根据三角形的外角等于不相邻的连个内角的和这一定理，写出∠EFB=∠FEC+∠ECB，通过等量代换推∠ECB=∠FEC，进一步证明EF=FC，再通过等量代换，证明AE+AB=BC．
【解析】
证明：在BC上截取BF=AB，连接EF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE=EF，∠EAB=∠EFB，
∵∠EAB=2∠ECB，
∠EFB=∠FEC+∠ECB，
∴2∠ECB=∠FEC+∠ECB，
∴∠ECB=∠FEC，
∴EF=FC，
∵BC=BF+FC，
∴AE+AB=BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质的综合应用，在BC上截取BF=AB，连接EF，证明△ABE≌△FBE是解题的关键．
25．（1）如图①，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC．求证：AD=AC；
（2）如图②，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP=BC．求证：PE=BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先计算∠BAC=40°，再计算∠BAD=20°，从而计算∠ADC=80°，得到∠ADC=∠C即得到AD=AC；
（2）过点C作CF∥AP，交BP的延长线于点F，证明CB=CF，从而利用平行线的性质，等角对等边原理证明即可．
【解析】
（1）∵∠B=60°，∠C=80°，
∴∠BAC=40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=20°，
∴∠ADC=∠B +∠BAD =80°，
∵∠C=80°，
∴∠ADC=∠C，
∴AD=AC．
（2）过点C作CF∥AP，交BP的延长线于点F，
∴∠DPA=∠DFC，∠DAP=∠DCF，
∵AD=DC，
∴△DPA≌△DFC，
∴PA=FC，
∵PA=BC，
∴CB=CF，
∴∠FBC=∠F，
∵CF∥AP，
∴∠BPE=∠F，
∴∠FBC=∠BPE，
∴PE=BE．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，三角形全等的判定是解题的关键．
26．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是BC、AC上的点．
（1）如图1，若AB＝DC，∠ADE＝∠B，求证：△ABD≌△DCE
（2）如图2，若AB＝DC，F为BC的中点，DE⊥AC于点E，求证：AB＝CF＋AE
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据，结合平角的性质和三角形内角和性质，可求出，再结合已知条件即可证明
（2）根据已知条件证明，得，利用，即可求解
【解析】
（1）证明：
，，
在和中
（2），点为中点
和中
中
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法是解题关键．
27．在△ABD中∠A＝45°，BC⊥AD于点C，E为AB上一点，连接DE交BC于点F，且∠ADE＝∠CBD．
（1）如图1，求证：DE＝BD．
（2）如图2，作AM⊥BD于点M，交BC于点H，判断AH与BD的数量关系，并证明．
（3）在（2）的条件下，当CH：BH＝4：7，△ADE的面积为时，
①求线段AD的值；
②设AH＝a，用含a的代数式表示线段BM的值．
【答案】（1）见详解；（2）AH=BD，理由见详解；（3）①，②
【分析】
（1）由题意易得∠ABC=∠A=45°，然后根据三角形外角及角的和差关系可得∠DEB=∠DBE，进而问题可求证；
（2）由（1）可得AC=BC，根据题意可得∠ACH=∠BCD=∠AMB=90°，然后根据等角的余角相等可得∠CAH=∠CBD，进而可得△ACH≌△BCD，则问题可求解；
（3）①过点E作EG⊥AD于点G，由题意易得∠DGE=∠BCD=90°，则有△DGE≌△BCD，然后可得CH=CD=GE，设CH=CD=GE=4x，BH=7x，则有AC=BC=11x，进而根据三角形面积公式可建立方程求解；②由①可得，，则有，，进而可得，然后根据三角形面积可求解．
【解析】
（1）证明：∵∠A＝45°，BC⊥AD，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵∠ADE＝∠CBD，∠DEB=∠A+∠ADE，∠DBE=∠ABC+∠CBD，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE＝BD．
（2）证明：AH=BD，理由如下：
∵AM⊥BD，BC⊥AD，
∴∠ACH=∠BCD=∠AMB=90°，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知AC=BC，
∴△ACH≌△BCD（ASA），
∴AH=BD；
（3）①过点E作EG⊥AD于点G，如图所示：
∵BC⊥AD，
∴∠DGE=∠BCD=90°，
∵DE=BD，∠ADE＝∠CBD，
∴△DGE≌△BCD（AAS），
∴CD=GE，
由（2）可得CH=CD，
∴CH=CD=GE，
∵CH：BH＝4：7，
∴设CH=CD=GE=4x，BH=7x，则有AC=BC=11x，
∴AD=15x，
∵△ADE的面积为，
∴，解得：（负根舍去），
∴；
②由①可得，，
∴，，
∴，
∵AH＝a，，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及等积法，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及等积法是解题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.1(1)等腰三角形的性质
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
2．如果的一个外角等于，且，则（ ）
A． B． C． D．或
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如果等腰三角形的腰比底长3，其周长为30，则底边长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（ ）度
A．62 B．59 C．62或59 D．62成56
6．等腰三角形两边a，b满足，则此三角形的周长是（ ）
A．7 B．5 C．8 D．7或5
7．如图，中，，D、E分别是两点，且，连接．则的度数为（ ）度·
A．45 B．52.5 C．67.5 D．75
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ）
A． B． C． D．或
9．如图，在中，，过点A作，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，等边的顶点B在直线m上，边与直线m所夹锐角为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为___________．
12．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为_____．
13．如图，，若AD平分，则AD与BC的位置关系是_______．
14．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．
15．已知等腰三角形的两个底角相等，并且一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数为__________度．
16．一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________．
17．已知：如图，中，，，，则_______．
18．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为______
三、解答题
19．如图，求等腰三角形ABC的面积．
20．（1）已知：如图（甲），等腰三角形的一个内角为锐角，腰为a，求作这个等腰三角形；
（2）在（1）中，把锐角变成钝角，其他条件不变，求作这个等腰三角形．
21．已知：如图，在中，是腰上的高．
求证：．
22．求证：如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半．
23．如图，在中，，平分，交于点D．若，则等于多少度？
24．已知：如图，．
求证：是等腰三角形．
25．如图，在中，平分，交于点D，过点D作，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
26．如图，在中，，点D，E都在边上，且，那么与相等吗？请证明你的结论．
27．证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在中，，和是的角平分线．
求证：．
28．如图，已知，求的度数．
29．在△ABC 中，AB=AC，点D 在底边BC 上，AE=AD，连接 DE．
（1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求 ∠CDE 的度数；
（2）如图①，已知∠BAC=90°，当点D 在线段BC（点B，C 除外）上运动时，试探究∠BAD与 ∠CDE 的数量关系；
（3）如图②，若 ∠BAC≠90°，试探究∠BAD与 ∠CDE 的数量关系．(共50张PPT)
北师大版八年级下册数学教学课件
第一章 三角形的证明
1.1.1 等腰三角形
1.1.1 等腰三角形的性质与判定（含反证法）
精品教学课件
图中有些你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点
斜拉桥梁
埃及金字塔
体育观看台架
情景引入
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并沿虚线剪去，再把剪下的部分展开,得到的△ABC有什么特点
剪一剪
A
C
B
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两条
边都叫做腰，另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，腰和底
边的夹角叫做底角.
A
B
C
底边
腰
腰
顶角
底角
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
找一找
等腰三角形是轴对称图形吗？
思考
是
它的对称轴是折痕所在的直线.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
猜想:等腰三角形的两个底角相等
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
综上可得：如图,在△ABC中,
3、等腰三角形的一个角是120°时，另两个角是多少？
2、等腰三角形的一个角36°，另两个角是多少？
1、等腰三角形的顶角是36°，底角是多少？
牛刀小试
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角)
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠C =36 (等边对等角) 由三角形内角和定理得:
①
②
C
B
A
36
C
A
B
36
由三角形内角和定理得:
∠B=∠C=
分析:由于三角形中只能有一个钝角,所以在等腰三角形ABC中只有顶角∠A=120 。
B
A
C
解:如图,在三角形ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C 由三角形内角和定理得:
∠B=∠C=
等腰三角形的顶角不超过180 ,底角不超过90 。
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠C (等边对等角)
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠C =36 (等边对等角)
①
②
C
B
A
36
C
A
B
36
由三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A=x+x+36 =180
设∠B=∠C=x
解得: x=72
∴∠B=∠C=72
设∠A=x
由三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A=x+36 +36 =180
解得: x=108
即 ∠A=108
分析:由于三角形中只能有一个钝角,所以在等腰三角形ABC中只有顶角∠A=120 。
B
A
C
解:如图,在三角形ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C (等边对等角)
设∠B=∠C=x
由三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A=x+x+120 =180
解得: x=30
∴∠B=∠C=30
2
1
A
B
C
D
在已知中,没有说明任何一个角的度数,只有一些边相等的条件.
如果明确各内角的关系,那么可以根据三角形内角和是180 ,求出各角的度数.
AB=AC
∠ABC=∠C
BC=BD
∠C=∠1
AD=BD
∠A=∠2
∠1是△ABC的外角
∠1=∠2+∠A
∠1=∠ABC=∠C
∠1=2∠A=2∠2
∠ABC=∠C=2∠A
不妨设∠A=x
分析:
例、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
例、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
在△ABD中，∠1=∠2+∠A=2x
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和和).
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠A+∠C+∠ABC=x+2x+2x=180 .
∵BD=BC ∴∠C=∠1=2x（等边对等角）.
2
1
A
B
C
D
解：设∠A= x
∵AD=BD ∴∠2=∠A=x（等边对等角）.
∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=2x（等边对等角）.
解得 x=36 .
在△ABC，∠A=36 ，∠ABC=∠C=72 .
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
等腰三角形的性质
小结
教材知识点：
反证法
1.反证法的定义:
反证法的定义是先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件
相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法,我们把它叫做反证法.
2.用反证法证明命题的步骤:
(1)假设命题的结论不成立;
(2)从这个假设出发,运用正确的推论方法,得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相貌度的结果;
(3)由矛盾的结果判定假设不成立从而肯定命题的结论正确.
例题讲练：
例1.用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设 .
解:三角形中没有大于或等于60°的角(或三角形的所有内角都小于60°)
例2.用反证法证明:“在一个三角形中,外角最多有一个锐角”.
证明:假设三角形中的外角有两个角是锐角.
根据三角形的外角与相邻的内角互补,知与这两个角相邻的两个内角一定是钝角,大于90°,则这两个角的度数和一定大于180°,与三角形的内角和定理相矛盾.
因而假设错误.
故在一个三角形中,外角最多有一个锐角.
北师大版 八年级下册数学
第一章 三角形的证明
1.1.1 等腰三角形
1.1.1 等腰三角形的判定
情境引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
等腰三角形的判定
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
互动探究
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
在△ABD与△ACD，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是等腰三角形.
∴ AC=AB. ( )
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
知识要点
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC中，
应用格式：
B
C
A
(
(
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例2 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
例3 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：平分角+平行=等腰三角形
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，
重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
变式训练
是
由折叠可知，∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
练一练：
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定
△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.
3cm
例4 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
a
h
作法：1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB
于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
N
D
例5 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
例6 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
O
A
B
C
E
F
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
A
B
C
O
E
F
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.
小结
等腰三角形的判定
等角对等边
定义
注意是指同一个三角形中
有两边相等的三角形是等腰三角形
课堂检测
1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10或12 D．11或13
3．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
B
D
C
D
5 ．在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A．36° B．54° C．18 ° D．64°
B
6．△ABC中，AB=BD=DC，∠C=40°，则∠A=_____，∠ABD=_____.
800
200
（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，
∴∠ACB=∠ACD=90°．
∴△ACB≌△ACD．
∴AB=AD．
∴△ABD是等腰三角形．
7．△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD.
（1）求证：△ABD是等腰三角形
（2） 求∠BAD的度数.
（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，
∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．
∴∠B=∠D=45°．
∴∠BAD=90°．
7．△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD.
（1）求证：△ABD是等腰三角形
（2）求∠BAD的度数.
8.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠MAC和∠ABC的平分线AD,BD相交于点D,试说明△ABD是等腰三角形.
解:∵AD平分∠MAC,
∴∠MAD=∠CAD.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠MAC=∠ABC+∠C,
即∠MAD+∠CAD=∠ABC+∠C,
∴∠CAD=∠C.
∴AD∥BC.
∴∠CBD=∠D.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD.
∴∠ABD=∠D.
∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php1.1.1(2)等腰三角形的判定
一、单选题
1．已知一个三角形中有两个角度数如下，其中不能构成等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．用反证法证明“若，，则”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C． D．a与b相交
4．下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③已知顶角与底角；④已知底边和底边上的高，能确定一个等腰三角形的是（ ）
A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的点，∠BAD=∠DAE＝∠EAC，图中等腰三角形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，已知ABC≌DCE，∠A＝∠B＝70°，连接AE，得到∠AED＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
7．如图，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上的两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
A．62° B．67° C．76° D．82°
9．如图，在直角坐标系中，点A在x轴上，点B在轴y上，∠BAO＝45°，P是坐标轴上的一点．若以A、B、P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的P点共有（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于交于，若则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．用反证法证明时应先假设__________，即__________．
12．如图，∠B＝∠C，∠1＝∠2，且BE＝6，DE＝2，则BC的长为 _____．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，若S△ABC＝12，则FE+FD＝___．
14．如图，△ABC中，BC=6，BO与CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，OD//AB，OE//AC．则△ODE的周长是__________．
15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED的度数为_________．（用含有α的式子表示）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．问在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形． ___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，请直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．___
17．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分钱CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长 ___．
18．如图，在中，，点D在边BC上，过点D作，垂足为E，，垂足为D，连接EF，若，，则的度数为______．
三、解答题
19．用反证法证明：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：l1 l2
证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
20．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．
21．如图，在中，平分，点E在的延长线上，且于点F．求证：F是的中点．
22．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：．
求证：中不能有两个角是直角．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
24．已知：在中，，平分，交于点，点在线段上（点不与点，重合），且．求证：．
25．（1）如图①，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC．求证：AD=AC；
（2）如图②，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP=BC．求证：PE=BE．
26．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是BC、AC上的点．
（1）如图1，若AB＝DC，∠ADE＝∠B，求证：△ABD≌△DCE
（2）如图2，若AB＝DC，F为BC的中点，DE⊥AC于点E，求证：AB＝CF＋AE
27．在△ABD中∠A＝45°，BC⊥AD于点C，E为AB上一点，连接DE交BC于点F，且∠ADE＝∠CBD．
（1）如图1，求证：DE＝BD．
（2）如图2，作AM⊥BD于点M，交BC于点H，判断AH与BD的数量关系，并证明．
（3）在（2）的条件下，当CH：BH＝4：7，△ADE的面积为时，
①求线段AD的值；
②设AH＝a，用含a的代数式表示线段BM的值．
