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1.1.2（1）等边三角形的性质与判定
一、单选题
1．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形
【答案】A
【分析】
根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可．
【解析】
解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的判定、等腰三角形的性质．
2．如图，等边中，点D是上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等边三角形的性质，三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得
【解析】
∵是等边三角形，
∴，
在中，，
即，
又∵，
即，
∴．
故选D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理以及平角的定义，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
3．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4 B．30 C．18 D．12
【答案】D
【分析】
由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD=4，可求得其周长．
【解析】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
∴△ADE的周长为12．
故选D．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和判定，由条件证明△ADE是等边三角形是解题的关键．
4．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】C
【分析】
先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=40°=∠EBC，即可得出结论．
【解析】
解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠CED=50°，
∴∠ECB=40°=∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°，
故选C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解题关键．
5．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：a-b=0，b-c=0，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状．
【解析】
∵（a-b）2+|b-c|=0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴以a，b，c，为三边长的三角形是等边三角形，
故选C．
【点睛】
考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定．
6．如图，在中，，，且D为BC中点，DE=CE，则AE：AB的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】
解：
为等边三角形，
为等边三角形，
为的中点，
为的中点，
故选A
7．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可
【解析】
解：①∵等腰三角形有一个外角是120°，
∴与这个外角相邻的内角是60°，
∴这个等腰三角形是等边三角形，正确；
②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误；
④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件．
8．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与B相交于点P，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先证明△ABD≌△BCE，得到∠BAD=∠CBE，再由三角形的外角性质，即可得到答案．
【解析】
解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的性质，证明△ABD≌△BCE．
9．若△ABC是等边三角形，且点D、E分别是AC、BC上动点，始终保持CD＝BE，不与顶点重合，则∠AFD的度数是（ ）度．
A．30 B．45 C．60 D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据ABC是等边三角形，CD＝BE，证明ABEBCD，得到∠BAE=∠CBD，在根据三角形的外角等于不相邻的两内角和可求出∠AFD的度数．
【解析】
解：∵ABC是等边三角形，
∴∠ABE=∠C=60°，AB=BC，
∴ABE和BCD中
∴ABEBCD（SAS），
∴∠BAE=∠CBD，
∴∠AFD=∠ABF+∠BAE=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
10．如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点B，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则，正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④
【答案】B
【分析】
由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易证得∠DCA=∠DAC，继而可得CD=BD，再由AD=CD，可得D为AB中点，由于无法得到AC，AD，CD的关系，故不能证得△ADC是等边三角形，由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF，在此条件下，利用ASA即可证明△ADE≌△ACB，从而判断结果．
【解析】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；
∴CD=BD，故①正确；
∵AD=CD，
∴CD=BD=AD，即D为AB中点，故②正确；
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．
∵若∠E=30°，则△ACD是等边三角形，
在△ADE和△ACB中，
，
∴△ADE≌△ACB（ASA），故⑤正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，以及直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解此题的关键．
二、填空题
11．若等腰三角形有一个角是60度，其中一条边长为a，则其周长是_______．
【答案】
【分析】
根据等边三角形的判定定理证得该三角形是等边三角形，即可求出周长．
【解析】
解：∵等腰三角形有一个角是60度，
∴该三角形是等边三角形，
∴该三角形的周长是3a，
故答案为：．
【点睛】
此题考查等边三角形的判定定理及性质定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．
12．等边三角形是特殊的___________三角形，因此它也是___________图形，有_______条对称轴．
【答案】等腰 轴对称 3
【分析】
根据等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性即可得出结论．
【解析】
解：等边三角形是特殊的__等腰___三角形，因此它也是__轴对称____图形，有____3___条对称轴．
故答案为：等腰；轴对称；3．
【点睛】
本题考查等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性，掌握等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性是解题关键．
13．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;
【答案】60°
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解．
【解析】
解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也是关键．
14．如图，是等边三角形．若将AC绕点A逆时针旋转角后得到，连接和，则的度数为________．
【答案】30°．
【分析】
由旋转的性质得出AC=AC'，∠CAC'=α，由三角形的内角和定理求出∠AC'C的度数，由等边三角形的性质得出AB=AC'，由等腰三角形的性质求出∠AC'B的度数，则可得出答案．
【解析】
解：∵将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，
∴AC=AC'，∠CAC'=α，
∴∠ACC'=∠AC'C=，
∵是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴AB=AC'，
∴∠AC'B=，
∴∠BC'C=∠AC'C-∠AC'B=(90° ) (60° )=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键,考查了学生分析图形与综合应用的能力．
15．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．
【答案】20°
【分析】
通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解；
【解析】
解：如图，延长至点E使，连接．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴设，则．在与中，
∵∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．
16．如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，是等边三角形，且，则__________．
【答案】
【分析】
根据等边三角形的性质，求得，根据平角的性质求得，由已知条件根据等边对等角求得，进而求得；
【解析】
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握相关图形的性质是解题的关键．
17．如图，等边三角形的周长为，、两点分别从、两点同时出发，点以的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点以的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设、两点第一次在三角形的顶点处相遇的时间为，第二次在三角形顶点处相遇的时间为，则__．
【答案】
【分析】
根据相遇问题的数量关系求得、两点第一次相遇的时间为，以后每相遇一次的时间为，设、相遇次数为次，则当（为正整数）时，、两点就在三角形的顶点处相遇，由此关系求得的两个最小整数，即可得到的值．
【解析】
解：等边三角形的周长为，
的边长为，
由题意知，、第一次时间为，
以后每隔，、就会相遇一次，
设、相遇次数为次，
则当（为正整数）时，、两点就在三角形的顶点处相遇，
整理得：，
（为正整数），
当时，即时，、两点第二次在三角形的顶点处相遇，
则，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，相遇问题，解题的关键是得出、相遇次数与三角形边长的关系．
18．如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，若，则的度数为___．
【答案】
【分析】
由题意易得△BOC≌△ADC，则有∠BOC=∠ADC，OC=CD，进而可得△ODC是等边三角形，设∠AOD=∠OAD=x，则∠ADO=180°-2x，∠ADC=240°-2x，然后根据角的和差关系进行求解即可．
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵将绕点按顺时针方向旋转得，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，OC=CD，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∵，
∴设∠AOD=∠OAD=x，则有∠ADO=180°-2x，∠ADC=240°-2x，
∴∠BOC=360°-110°-60°-x=190°-x，
∴240°-2x=190°-x，解得：x=50°，
∴∠BOC=140°，
故答案为140°．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，求的度数．
【答案】
【分析】
利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可．
【解析】
解：是的三等分点，且是等边三角形，
，，
，
．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是得出的度数．
20．如图，在等边中，D是AC边中点，延长BC到点E，使，连接DE．求证：．
【答案】见解析
【解析】
首先由等边中，D是AC边中点，根据三线合一与等边对等角的性质，可求得，，又由，根据等边对等角的性质，可得，又由三角形外角的性质，即可求得，则可得，然后利用等角对等边，即可证得．
答案：证明：∵在等边中，D是AC边中点，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴．
题型解法：解决本题的关键在于掌握数形结合思想．利用三线合一与等边对等角的性质以及三角形外角的性质解题．
21．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且与交于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】
由等边三角形的性质，得到∠B=∠CAE，AC=AB，根据SAS证出△ABD≌△CAE即可；
【解析】
证明：∵是等边三角形，
∴，
在与中，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理进行证明．
22．如图，是等边三角形，过点C作交的外角平分线于点D，连接，过点C作，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）30゜
【分析】
（1）由BC＝AB，∠BCE＝∠BAD，证得∠ABD＝∠CBE，得出△ABD≌△CBE，因此便可得出BD＝BE；
（2）由，证得，得出=，因此便可得出的度数.
【解析】
解：
（1）证明：如图，为等边三角形，
∴，
∴．
又∵，
∴．
又∵平分，
∴．
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴；
（2）∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，掌握上述知识点是解题关键.
23．如图，为等边三角形，相交于点P，于Q，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
由等边三角形的性质可知AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°．依据SAS可证明△ABE≌△CAD，依据全等三角形的性质可得到∠2＝∠1，最后结合三角形的外角的性质可得结论．
【解析】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°．
∵在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD．
∴∠2＝∠1．
∵∠BPQ是△ABP的一个外角，
∴∠BPQ＝∠2+∠BAP＝∠1+∠BAP＝∠BAC＝60°．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理、等边三角形的性质是解题的关键．
24．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一动点(不与点B，C重合)，∠DAE＝60°，过点B作BE∥AC交AE于点E.
(1)求证：△ADE是等边三角形；
(2)当点D在何处时，AE⊥BE？指出点D的位置，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当点D为BC的中点时，AE⊥BE，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=∠C=60°，由∠DAE=60°得到∠DAE=∠BAC，推出∠EAB=∠DAC，根据平行线的性质得到∠EBA=∠BAC，推出∠EBA=∠C，证得△AEB≌△ADC，根据全等三角形的性质得到AE=AD，即可得到结论；
（2）当D为AC中点时．根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，于是得到∠ADC=90°，根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠ADC=90°，可得结论．
【解析】
(1) 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵∠DAE=60°
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∵BE∥AC，
∴∠EBA=∠BAC，
∴∠EBA=∠C，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD，
∵∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形；
(2) 当D为AC中点时．
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴AE⊥BE．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
25．（1）如图（a）所示在等边中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边连接CN．求证：．
（2）如图（b）所示，在等边中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C）．若其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析
【分析】
（1）利用等边三角形的性质得出 ， ， ，进而得出 ，即可判断 ，得出 ，进而得出 即可得出结论．
（2）同（1）的方法即可得出结论．
【解析】
（1）、是等边三角形，
，，，
．
在和中，
，
．
．
（2）结论仍成立．
理由如下：、是等边三角形，
，，．
．
在和中，
，
．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质以及判定，掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质以及判定是解题的关键．
26．如图，△ABC为等边三角形，点P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP.
(1)若∠APD＝80°，求∠DPC的度数；
(2)若∠APD＝α，求∠BAP(用含α的式子表示)．
【答案】(1)∠DPC＝20°；(2)∠BAP＝2α－120°.
【解析】
【分析】
（1）在△APD中，求得∠PAD的度数，进而求得∠APC的度数，进而即可求解；
（2）由（1）解题思路和三角形的内角和定理即可求出∠BAP的度数．
【解析】
（1）在△APD中，AP=AD，
∴∠APD=∠ADP=80°
∴∠PAD=180°-80°-80°=20°
∴∠BAP=60°-20°=40°
∴∠APC=∠B+∠BAP=60°+40°=100°
∴∠DPC=∠APC-∠APD=100°-80°=20°．
（2）∵在△APD中，AP=AD，
∴∠APD=∠ADP=α°
∴∠PAD=180°-α°-α°=180°-2α°
∴∠BAP=60°-（180°-2α°）=（2α-120）°.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质.
27．已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD=DE．
（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
图1
（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
图2
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案；解：（1）AD=CE，理由：过D作DF∥AB交BC于E，
（2）（1）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．
【解析】
解：（1）AD=CE，
证明：如图1，过点D作DP∥BC，交AB于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，
∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠DEC，
又∠BPD=∠A+∠ADP=120°，∠DCE=∠A+∠ABC=120°，
即∠BPD=∠DCE，
在△BPD和△DCE中，∠PDB=∠DEC，∠BPD=∠DCE，DB=DE，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD=CE，
∴AD=CE；
（2）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，
∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠DEC，
在△BPD和△DCE中，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD=CE，
∴AD=CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
28．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△AOC是边长为2的等边三角形．
（1）写出△AOC的顶点C的坐标：_____．
（2）将△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是_____
（3）将△AOC绕原点O顺时针旋转得到△OBD，则旋转角可以是_____度
（4）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
【答案】（1）（﹣1，）；（2）2；（3）120；（4）∠AEO=90°．
【分析】
（1）过C作CH⊥AO于H，则HO=1，根据勾股定理可得，则可求点C坐标；（2）根据平移的性质可得△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；（3）由等边三角形的性质和旋转可得，旋转角=∠AOD=120°；（4）根据平移的性质可得AC∥OD，进而可证△ACE≌△DOE，则CE=OE，根据等边三角形的性质得结论
【解析】
（1）如图，过C作CH⊥AO于H，则HO=AO=1，
∴Rt△COH中，，
∴点C的坐标为，
故答案为；
（2）由平移可得，平移的距离=AO=2，
故答案为2；
（3）由旋转可得，旋转角=∠AOD=120°，
故答案为120；
（4）如图，∵AC∥OD，
∴∠CAE=∠ODE，∠ACE=∠DOE，
又∵AC=DO，
∴△ACE≌△DOE，
∴CE=OE，
∴AD⊥CO，即∠AEO=90°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、平移的性质.旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段夹角等于旋转角.关键利用等边三角形的性质转换边角关系求解.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.2（1）等边三角形的性质与判定
一、单选题
1．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形
2．如图，等边中，点D是上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4 B．30 C．18 D．12
4．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．如图，在中，，，且D为BC中点，DE=CE，则AE：AB的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与B相交于点P，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．若△ABC是等边三角形，且点D、E分别是AC、BC上动点，始终保持CD＝BE，不与顶点重合，则∠AFD的度数是（ ）度．
A．30 B．45 C．60 D．无法确定
10．如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点B，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则，正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④
二、填空题
11．若等腰三角形有一个角是60度，其中一条边长为a，则其周长是_______．
12．等边三角形是特殊的___________三角形，因此它也是___________图形，有_______条对称轴．
13．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;
14．如图，是等边三角形．若将AC绕点A逆时针旋转角后得到，连接和，则的度数为________．
15．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．
16．如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，是等边三角形，且，则__________．
17．如图，等边三角形的周长为，、两点分别从、两点同时出发，点以的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点以的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设、两点第一次在三角形的顶点处相遇的时间为，第二次在三角形顶点处相遇的时间为，则__．
18．如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，若，则的度数为___．
三、解答题
19．如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，求的度数．
20．如图，在等边中，D是AC边中点，延长BC到点E，使，连接DE．求证：．
21．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且与交于点F．求证：．
22．如图，是等边三角形，过点C作交的外角平分线于点D，连接，过点C作，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）求的度数．
23．如图，为等边三角形，相交于点P，于Q，．求证：．
24．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一动点(不与点B，C重合)，∠DAE＝60°，过点B作BE∥AC交AE于点E.
(1)求证：△ADE是等边三角形；
(2)当点D在何处时，AE⊥BE？指出点D的位置，并说明理由．
25．（1）如图（a）所示在等边中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边连接CN．求证：．
（2）如图（b）所示，在等边中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C）．若其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
26．如图，△ABC为等边三角形，点P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP.
(1)若∠APD＝80°，求∠DPC的度数；
(2)若∠APD＝α，求∠BAP(用含α的式子表示)．
27．已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD=DE．
（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
图1
（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
图2
28．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△AOC是边长为2的等边三角形．
（1）写出△AOC的顶点C的坐标：_____．
（2）将△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是_____
（3）将△AOC绕原点O顺时针旋转得到△OBD，则旋转角可以是_____度
（4）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．1.1.2（2）含30°直角三角形的性质
一、单选题
1．在中，，则为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．不能确定
2．如图，在Rt中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝（ ）
A．4 B． C． D．
3．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（ ）
A．5° B．10° C．15° D．45°
4．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．7 D．6
5．如图，在中，，点D在上，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．如图：在中，，，BE平分，交AC于E，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
7．如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且交于P点，则图中60度的角共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
8．如图，是等边三角形，，则的度数为( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
9．如图，在等边△ABC中，M是AC上一点，N是BC上一点，且AM＝BN，∠MBC＝25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为( )
A．110° B．105° C．90° D．85°
10．如图△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点H，若CE＝4，BD＝5，则的值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，交于点D，，则________．
12．如图，中，平分交于D，，则________．
13．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是______.
14．在Rt△中，∠B=90°，AC=16，BC=8，那么∠C=______度．
15．若中，，且最长边为，则最短边长为______.
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝12，则DE的长度是____．
17．如图，中，，，于，是的平分线，且交于点.如果，则的长为______.
18．如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．
三、解答题
19．已知：如图，在中，是腰上的高．
求证：．
20．房梁的一部分如图所示，其中，点D是的中点，且，垂足为E，求的长．
21．中，，和各是多少度？边与之间有什么关系？
22．如图，在中，交边于点，，，.
(1)求的度数；
(2)求证：.
23．如图，四边形中，，，，，求的长．
24．如图，在等边 ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将 BCD绕点B逆时针旋转60°得到 BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，求 AED的周长．
25．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC.
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长.
26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证：
（1）△BCE≌△ACD；
（2）CF=CH；
（3）△FCH是等边三角形；
（4）FH∥BD．(共39张PPT)
第一章 三角形的证明
1.1.2 等腰三角形
1.1.2 等边三角形的性质与判定
（含30°直角三角形的性质）
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
情景引入
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
复习回顾
思考1
如果把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
结 论
等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
新课引入
思考2
等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴呢？
结 论
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
A
B
C
思考3
等边三角形的内角都相等吗？为什么？
结 论
等边三角形的三个内角都相等，且都是60°.
A
B
C
如图，∵AB=BC=CA，
∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
等边三角形的性质
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
几何语言：如图，在△ABC中，
AB=BC=AC，
∠A=∠B=∠C=60°.
A
B
C
A
B
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.
（2）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“三线合一”；每条边上的中线和高的长度相等，且所在的直线都是等边三角形的对称轴.
典例分析
例
如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
证明：∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°.
∵在△ABE和△CBD中，AB=CB，
∠ABE=∠CBD，
BE=BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS）.
∴AE=CD.
A
B
D
C
E
练一练
如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE 的长.
分析：利用等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的推论，求出∠CDE=∠E，从而将求CE的长转化为求CD的长.
A
B
C
D
E
如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE 的长.
E
解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD为∠ABC的平分线，
∴∠DBE= ∠ABC=30°.
∵DE=DB， ∴∠E=∠DBE=30°.
∵∠ACB=∠CDE+∠E, ∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.
∴∠CDE=∠E. ∴CD=CE.
∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点, ∴CE=CD= .
A
B
C
D
E
1. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm
2.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（ ）
A.30° B.60° C.150° D.30°或150°
C
D
巩固练习
3. 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC = 2AD.
证明：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C,
∴∠C = 30°，∠ABC = 60°.
又BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC =30°.
∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.
在Rt△ABD中，∵∠ABD = 30°，
∴AD= BD = DC，即DC = 2AD.
4.如图所示， 在△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BD至E，使DE = BD，DB⊥BC于B，∠ABC = 120°， 求证: AB = 2BC.
证明：∵BD是AC的中线，∴AD=CD.
在△ADE和△CDB中，
AD = CD，
∠ADE =∠CDB，
DE = DB，
∴△ADE≌△CDB (SAS).
∴∠E = ∠CBD = 90°，AE = BC.
又∠ABC = 120°，∴∠ABE = 30°.
∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.
思考1
等腰三角形的判定？
结 论
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.所以这个三角形是等腰三角形.
那么三角形的三个内角都相等是否可以判定它是等边三角形，你能证明这个结论吗？
等边三角形的判定
如图：已知在△ABC中，∠A=∠B=∠C.证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B, ∴BC=AC.
∵∠B=∠C, ∴AC=AB.
∵BC=AC，AC=AB,
∴AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形.
A
B
C
类比探究
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
典例精析
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形.
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ △ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
你还能用其他方法证明吗？
含30°角的直角三角形的性质
证法1
证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴ BC = AB．
∴ BC = BD．
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴ BC = AB．
证明方法：截半法
证法2
E
A
B
C
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
A
B
C
∴ BC = AB．
√
判断下列说法是否正确：
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，CD=8cm，则BC的长度是多少？
解：∵CD是斜边AB边上的高，
∴∠BDC=90°.
∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8cm，
∴BC=2CD=16cm.
B
C
A
└
D
练一练
练一练
如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为10cm，求这个等腰三角形的面积.
分析：求面积需要底边和高的长度，题目已经给出腰长，可以选择作腰上的高，构造出含有30°角的直角三角形，即可求出腰上高的长度，进而求出等腰三角形的面积.
A
B
C
练一练
如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为10cm，求这个等腰三角形的面积.
A
B
C
解：过点C作AB边上的高，交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15°， ∴∠DAC=30°.
∵AB=AC=10cm，CD⊥AB，∠DAC=30°，
∴CD= AC=5cm.
∴S△ABC= AB×CD=25cm2.
1.等边三角形是____________________的等腰三角形.
2.等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A.60° B.90° C.120° D.150°
三边都相等
C
课堂练习
3.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（ ）
A.①②③ B.①②④
C.①③ D.①②③④
4.如果一个等腰三角形顶角的补角等于120°，那么这个等腰三角形一定是______三角形.
D
等边
5.已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB = PQ = QC = AP = AQ.求∠BAC的大小．
解：∵PB = PQ = QC = AP = AQ，
∴△APQ是等边三角形.
∠B =∠BAP，∠C =∠CAQ.
∴∠B = ∠APQ = 30°，
∠C = ∠AQP = 30°.
∴∠BAC=180°-∠B -∠C=120 °.
6.如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，试证明BE = EF = FC.
证明：在等边三角形ABC中，∠ABC =∠ACB = 60°.
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO =∠OBC = 30°，∠ACO =∠OCE = 30°，
又OE∥AB，OF∥AC，
∴∠BOE =∠ABO =∠OBC = 30°，∠COF =∠ACO =∠OCB = 30°.
∵BE = OE，CF = OF，
∠OEF = 2∠OBE = 60°，∠OFE = 2∠OCF = 60°.
∴△OEF是等边三角形.
∴OE = EF = OF.
∴BE = EF = FC.
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1.1.2（2）含30°直角三角形的性质
一、单选题
1．在中，，则为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．不能确定
【答案】C
【分析】
含30°角的直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半．
【解析】
解：如图，
在中，，
故选：C．
【点睛】
本题考查含30°角的直角三角形，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2．如图，在Rt中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】
设BC＝x，根据含30度角的直角三角形性质求出AB＝2BC＝2x，根据勾股定理得出方程22+x2＝（2x）2，求出x即可．
【解析】
解：设BC＝x，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2x，
∵AC＝2，
∴由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
22+x2＝（2x）2，
解得：x＝，
∴AB＝2x＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是能得出AB＝2BC，用了方程思想．
3．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（ ）
A．5° B．10° C．15° D．45°
【答案】C
【分析】
先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解．
【解析】
∵的三个内角比为1：1：2，
∴∠A=180°=90°，
∴∠ABC=45°，
在Rt△ABD中，，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC -∠ABD =15°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键．
4．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．7 D．6
【答案】C
【解析】
解析：根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3，且不可能大于AB的长，∵在中，，，，∴，∴AP的长不可能大于6．
答案：C
易错：D
错因：∵，，，∴．出现这样错误的原因主要是审题不清．
满分备考：利用直角三角形的该特点解决问题时，应特别注意数据的对应性，必须是角所对的直角边和斜边之间的关系，切勿搞混位置关系．
5．如图，在中，，点D在上，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】
根据已知条件求得，再根据含30度角的直角三角形的性质，求得，根据等腰三角形的性质求得，进而求得．
【解析】
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
6．如图：在中，，，BE平分，交AC于E，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】
先根据直角三角形的性质和角平分线的定义得到，然后再说明AE=BE，最后代入求解即可．
【解析】
解：∵在中，，
∴
∵平分，
∴
∴在中，
∵，
∴．
∴．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
7．如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且交于P点，则图中60度的角共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据等边三角形的性质证明△ADC≌△CEB，得到推出，再根据三角形的外角性质证得．
【解析】
解：在等边三角形中，，AC=BC，
∵AD=CE，
∴△ADC≌△CEB，
∴，
∵,
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记等边三角形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．如图，是等边三角形，，则的度数为( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【分析】
利用等边三角形三边相等，结合已知BC=BD，易证、都是等腰三角形，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得的度数.
【解析】
是等边三角形，
，
又，
，
,
,
,
故选A．
【点睛】
本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键.
9．如图，在等边△ABC中，M是AC上一点，N是BC上一点，且AM＝BN，∠MBC＝25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为( )
A．110° B．105° C．90° D．85°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=60°，又因为AM=BN，AB=AB，所以△AMB≌△BNA，从而得到∠NAB=∠MBA=60°-∠MBC=35°，则∠MON=∠AOB=180°-2×35°=110°．
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵AM=BN，AB=AB，
在△AMB与△BNA中，
，
∴△AMB≌△BNA（SAS），
∴∠NAB=∠MBA=60°-∠MBC=35°，
∴∠AOB=180°-2×35°=110°，
∵∠MON=∠AOB，
∴∠MON=110°．
故选A．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质，结合全等三角形求解．
10．如图△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点H，若CE＝4，BD＝5，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别在Rt△BDA、Rt△ACE和Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性质先后求得AD、AC、CD、DH的长，再计算即可求解．
【解析】
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△BDA中，∠A=60°，BD=5，
∴∠ABD=30°，
∴AB=2AD，
∵AB2=AD2+BD2，即4AD2=AD2+52，
∴AD=，
在Rt△ACE中，∠A=60°，CE=4，
∴∠ACE=30°，
∴AC=2AE，
∵AC2=AE2+CE2，即4AE2=AE2+42，
∴AE=，AC=，
∴CD= AC- AD==，
在Rt△CDH中，∠DCH=30°，CD=，
∴CH=2DH，
∵CH2=DH2+CD2，即4DH2=DH2+()2，
∴DH=1，
∴BH=BD-DH=5-1=4，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了含30°的直角三角形的性质，当题目已知条件有高线存在时就要考虑构成利用直角三角形来解答问题．
二、填空题
11．在中，交于点D，，则________．
【答案】4.8
【分析】
利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，∠C=∠CAD，AD=CD，然后利用含30°角的直角三角形可得，推出，进而可得答案．
【解析】
如图，，
∠B=∠C=30°，
又为直角三角形，∠B=30°，
故答案为：4.8．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
12．如图，中，平分交于D，，则________．
【答案】4
【分析】
根据∠B=90°，∠A＝30°，易求得，而根据角平分线的定义得到，可证得是等腰三角形，可求得CD，即可求解．
【解析】
解：∵∠B=90°，∠A＝30°，
∴，
又∵CD平分∠ACB，
∴，
在中，，
又∵30° ，
∴；
故答案是：4．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，结合含30度角的直角三角形的性质计算是关键．
13．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是______.
【答案】AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC
【分析】
由在△ABC中，∠A＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可求得答案.
【解析】
∵在△ABC中，∠A＝60°，
∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC.
故答案为此题答案不唯一，如AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC.
【点睛】
此题考查等边三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
14．在Rt△中，∠B=90°，AC=16，BC=8，那么∠C=______度．
【答案】60°
【分析】
根据直角三角形的性质可得∠A=30°，根据直角三角形两锐角互余即可得答案．
【解析】
∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=16，BC=8，
∴BC=AC，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴∠A=30°，
∴∠C=90°-∠A=60°．
故答案为：60
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题关键．
15．若中，，且最长边为，则最短边长为______.
【答案】5
【分析】
根据比例可设分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和为180°，求得各角的度数，再根据直角三角形中30°所对直角边为斜边的一半即可得解.
【解析】
∵，
∴设分别为k、2k、3k，
∵k+2k+3k=180°，
∴k=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∵最长边为，
∴最短边长=.
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半.
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝12，则DE的长度是____．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．
【解析】
∵D为AB的中点，AB=12，
∴AD=6，
∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，
∴DE=AD=3，
故答案是：3．
【点睛】
考查了直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
17．如图，中，，，于，是的平分线，且交于点.如果，则的长为______.
【答案】6
【分析】
根据题意易证△AEP为等边三角形，则AE=AP=2，在Rt△ACE中，利用含30°角的直角三角形性质求得EC的长，然后在等腰三角形BCE中得到BE的长，进而得到AB的长.
【解析】
∵，，
∴∠ACB=60°，
∵是的平分线，
∴∠ECA=∠ECB=30°，
在△AEC中，∠AEC=90°﹣∠ACE=60°，
∵，
∴∠BAD=90°﹣∠B=60°，
∴△AEP为等边三角形，
∴AE=AP=2，
∴EC=2AE=4，
∵∠B=∠BCE=30°，
∴BE=CE=4，
∴AB=BE+AE=4+2=6.
故答案为：6.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定，含30°角的直角三角形性质等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
18．如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．
【答案】14
【分析】
如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解析】
解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题
三、解答题
19．已知：如图，在中，是腰上的高．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．
【解析】
证明：在中，
∵，
∴（等边对等角）．
∴．
∵是腰上的高，
∴．
∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．
20．房梁的一部分如图所示，其中，点D是的中点，且，垂足为E，求的长．
【答案】，．
【分析】
先求出以及长，再根据含30°的直角三角形性质求出答案即可．
【解析】
解：，，
，
，
，
为中点，，
，
，
．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半．
21．中，，和各是多少度？边与之间有什么关系？
【答案】
【分析】
依据∠C＝90°，∠B＝2∠A，可求出∠B和∠A的度数，然后通过直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求出边AB与BC的关系．
【解析】
解：∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∵∠B＝2∠A，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴AB＝2BC．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．
22．如图，在中，交边于点，，，.
(1)求的度数；
(2)求证：.
【答案】(1)∠B=45°；(2)证明见解析.
【分析】
（1）先求得∠ADC的度数，再根据三角形的外角性质即可得解；
（2）过作于，连接BE，由（1）得到∠ECD=30°，根据直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半得到，进而得到，再根据三角形外角性质得到，进而求得，得到，则△ACE为等腰直角三角形，从而得到答案.
【解析】
(1)∵，，
∴．
∴．
(2)过作于，连接BE，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的判定等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，作适当的辅助线帮助解题.
23．如图，四边形中，，，，，求的长．
【答案】12cm
【解析】
【分析】
连接AC，证明△ABC是等边三角形，然后求出∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，利用含30°的直角三角形的性质即可求出AD的长．
【解析】
解：连接AC，如图：
∵AB＝BC＝6cm，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6cm，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝120°，∠C＝150°，
∴∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，
∴AD＝2AC＝12cm．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解本题的关键．
24．如图，在等边 ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将 BCD绕点B逆时针旋转60°得到 BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，求 AED的周长．
【答案】19.
【分析】
先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=10，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=10，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=9，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19．
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=10，
∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE=CD,BD=BE,∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=10，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=9，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19.
故答案为19.
【点睛】
此题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于得到△BDE是等边三角形.
25．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC.
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长.
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）直接利用直角三角形的性质得出，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案；
（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，，得出DB的长，进而得出EC的长.
【解析】
（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，
∴.
∴∠1＝∠2.
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3.
∴BD平分∠ABC.
（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，
∴∠1＝60°.
∴∠3＝∠2＝60°.
∵∠BCD＝90°，
∴∠4＝30°.
∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°.
在Rt△BCD中，∠3＝60°，，
∴DB＝2.
∵DE＝BE，∠1＝60°，
∴DE＝DB＝2.
∴.
【点睛】
此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键.
26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证：
（1）△BCE≌△ACD；
（2）CF=CH；
（3）△FCH是等边三角形；
（4）FH∥BD．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE≌△ACD；（2）由△BCE≌△ACD得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF≌△ACH，能得出CF=CH；（3）两边等，加上一个角60°推出△CFH是等边三角形；（4）根据内错角相等，两直线平行推出FH∥BD.
试题解析：
证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
在△BCF和△ACH中，
∴∠ACH=60°，
∴∠BCF=∠ACH，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
（4）∵△CHF为等边三角形
∴∠FHC=60°，
∵∠HCD=60°，
∴FH∥BD
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
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