人教A版（2019）必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦正切公式(22张ppt)

(共22张PPT)
5.5.1两角和与差的正弦、余
弦、正切公式
人教A（2019）版
必修一
新知导入
两点间距离公式知识梳理
在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),如图：
P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，
由勾股定理，可得
P1P22=P1Q2+QP22
=(x1–x2)2+(y1–y2)2,
=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
由此得到平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)
两点间距离公式：
P1P2=
x
y
O
.
.
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
M1(x1, 0)
M2(x2, 0)
N1(0, y1)
N2(0, y2)
Q
∟
∟
∟
∟
∟
新知讲解
两角差的余弦公式
如图：设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，弧A1P1与 弧AP重合，从而弧A1P1＝弧AP，所以AP＝A1P1.
根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝ ，
化简得cos(α－β)＝ .
当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．
(cosα－cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2
cosαcosβ＋sinαsinβ
差角的余弦公式
例1、利用公式Ｃ（α－β）证明：
简记作：
(1)
(2) cos(π-α)=-cosα
解：(1)
(2)
新知讲解
新知讲解
例2、已知sinα= ，α∈（ ，π），cosβ＝- ，β是第三象限角，求cos（α－β）的值．
解：
由sinα= ，α∈（ ，π）得：
又由cosβ＝- ，β是第三象限角，得
所以
cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ=
×
+
×
新知讲解
例3、 利用差角余弦公式求cos150 的值。
解法一：
解法二：
新知讲解
比较cos（α－β）与cos（α＋β），并注意到α＋β与 α－β之间的联系：α＋β＝α－（－β），则由公式Ｃ（α－β），有
cos（α＋β）＝cos［α－（－β）］
＝cosαcos（－β）＋sinαsin（－β）
＝cosαcosβ－sinαsinβ
于是得到了两角和的余弦公式，简记作Ｃ（α＋β）
至此，我们得以两角和与差的余弦公式：
cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ
记作：Ｃ（α±β）
下面我们以Ｃ（α＋β）为基础推导两角和与差的正弦公式
首先推导出sin(α+β)
sin(α+β)=
于是，我们得到两角和的正弦公式，记作：S(α+β)
同理我们推导出两角差的正弦公式：
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
记作：S(α-β)
我们得到两角和与差的正弦公式：
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
记作：S(α±β)
新知讲解
新知讲解
接下来我们推导出两角和与差的正切公式
首先我们推导出两角和的正切公式：
tan(α+β)=
（分子分母同除以cosαcosβ)
记作：T(α+β)
同理推导出两角差的正切公式：
tan(α+β)
记作：T(α-β)
我们得到两角和与差的正切公式:
tan(α±β)
记作：T(α±β)
新知讲解
公式Ｓ（α＋β），Ｃ（α＋β），Ｔ（α＋β）给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地，Ｓ（α－β），Ｃ（α－β），Ｔ（α－β）都叫做差角公式．
在和角公式中，当α=β时，我们得到sin2α，cos2α，tan2α的公式
由sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα
同理cos2α=cos2α-sin2α
再由平方关系得：
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
tan2α=
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α=
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
tan2α=
记作：Ｓ2α
记作：C2α
记作：T2α
以上这些公式都叫做倍角公式．
新知讲解
合作探究
例3、已知sinα＝ ，α是第四象限角，求sin( -α)，cos( +α)，tan(α- )的值．
解：由sinα＝ ，α是第四象限角，得
cosα=
所以
合作探究
例4、利用和 （差）角公式计算下列各式的值：
(1) sin72°cos42°-cos72°sin42°
(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°
(3)
解：
(1)
sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)
=sin30°
(2)
cos20°cos70°-sin20°sin70°
=cos(20°+70°)
=cos900=0
(3)
由tan450=1
合作探究
例5、已知sin2α＝ ， ＜α＜ ，求sin4α，cos4α，tan4α的值．
解：
由 ＜α＜ ，得
＜2α＜π
又
sin2α＝
所以
于是
sin4α＝sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α　
cos4α＝cos[2×(2α)] ＝１-2sin22α
合作探究
例6、 在△ABC中，cosA＝ ，tanB＝２，求tan(2A＋2B)的值．
解：
在△ABC中，
由cosA＝ ，0＜A＜π，得
所以
又 tanB＝２
所以
故
课堂练习
2、已知 是第三象限角，求 的值。
解：由 得
又由 是第三象限角，得
课堂练习
课堂总结
1、和角公式、差角公式、倍角公式
Ｃ（α±β）
S(α±β)
T(α±β)
2、应用：给角求值或给值求值问题
Ｓ2α
C2α
T2α
注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧
板书设计
cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ
Ｃ（α±β）：
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
S(α±β)：
tan(α±β)
T(α±β):
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α=
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
tan2α=
Ｓ2α：
C2α：
T2α：
作业布置
2、已知 ，θ是第二象限角，求 的值．
3、课本P2231、2、3、4、5
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