安徽省望江中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题

安徽省望江中学2012~2013年度第一学期期中考试
高三数学试题（理）
填空题（本小题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1． 定义集合运算：﹡=,设，,则集合
﹡的所有元素之和为 （ ）
．0 ．2 ．3 ．6
2．已知函数，若，则实数等于 （ ）
． ． ． ．
3．已知,(0,π),则= （　　）
A．1 B． C． D．1
4．已知为第二象限角,,则 （　　）
A． B． C． D．
5．若为所在平面内一点，且满足,则的形状为 ( )
．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．以上都不对
6． 设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当≥1时，
，则有 ( )
． B．
C． D．
7．若是上周期为5的奇函数，且满足，则
． B． C． D．
8．已知直线是曲线的切线，则等于 （ ）
. 0 . 1 .
9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的图像与轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数的取值范围是 （ ）
. . . .
选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上．）
11．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 ．
12．幂函数的图像经过点，则的解析式是 .
13．已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
14．
15．定义在上的偶函数，满足，且在上是增函数，下列五个关于的命题中：①是周期函数；②的图像关于对称；③在上是增函数；④在上是减函数；⑤．
其中正确命题的序号是 （请把所有正确的序号全部写出）
解答题（本大题共6小题，共75分，16---18每题12分，19---21每题13分，解答题写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．）
16． 已知函数,.
⑴ 求函数的最小正周期;
⑵ 求函数在区间上的最大值和最小值.

17．已知函数的图像与函数的图像关于点对称．
⑴ 求函数的解析式；
⑵ 若，在区间上的值不小于6，求实数的取值范围．
18．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.
(1)求证:
(2)若,求△ABC的面积.
19．已知．
⑴ 若的图像有与轴平行的切线，求的取值范围；
⑵ 若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围．
20．已知是实数，函数
⑴求函数的单调区间；
⑵设为在区间上的最小值
（i）写出的表达式；
（ii）求的取值范围，使得≤≤．
21．已知函数
⑴ 当时，≤恒成立，求实数的取值范围；
⑵ 证明：．

安徽省望江中学2012~2013年度第一学期期中考试
高三数学试题参考答案及评分标准
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
A
B
C
B
A
B
D
D
二、填空题
11． 2 12．
13． 14． 15．①②⑤
三、解答题
16．解：

所以,的最小正周期.
(2)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,又,,故函数在区间上的最大值为,最小值为.
17．解：(1) 设图像上任一点坐标为，点关于点的对称点在上，
∴，∴
即
(2) 由题意
且≥6，
∵ ∴≥，
即≥
令
∴ ∴ ≥7
18．解:(1)证明:由 及正弦定理得:
,
即
整理得:,所以,又
所以
(2) 由(1)及可得,又
所以,
所以三角形ABC的面积
19．解：⑴，由已知有解
∴≥0，故≤
(2) 由题意是方程的一个根，设另一个根为，
则，

当时，；当时，；
当时，，
∴ 当时，有极大值；
又，，
即当时，的最大值为
∵ 对时，恒成立，
∴≥，∴ ≤-1，或≥2.
故的取值范围是
20．解：函数的定义域为，
（）．
若，则，
有单调递增区间．
若，令，得，
当时，，
当时，．
有单调递减区间，单调递增区间．
（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，
所以．
若，在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，在上单调递减，
所以．
综上所述，
（ii）令．
若，无解．
若，解得．
若，解得．
故的取值范围为．
21．解：⑴ 因为，所以当时，≤恒成立
则≤，∴≥，
令，则≥，
因为，由得
且当时，；当时，
所以
故≥
(2) 由⑴知当时，有≤，当时，
即，令，构造函数，
即，
所以，，…，，
相加得，
而
所以