【分层培优】进阶练2:一次函数的图像与性质综合(学生版+教师版)-2022年八年级数学寒假优质讲义(沪教版)

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名称 【分层培优】进阶练2:一次函数的图像与性质综合(学生版+教师版)-2022年八年级数学寒假优质讲义(沪教版)
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文件大小 4.0MB
资源类型 试卷
版本资源 沪教版
科目 数学
更新时间 2022-01-13 14:13:28

文档简介

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学科君工作室小注:
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发,供中等及以上学生使用。
思路设计:采取“二八法”,即八讲 知识 ( http: / / www.21cnjy.com )结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练(适合分数在85-105段学生使用),八讲 进阶综合练(适合分数在105-120段学生使用),所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中,知识难度层层递进,由简到难。21世纪教育网版权所有
开学测试模拟卷:满分100分制,难度在八年级上学期全册+下学期前两章,既可以作为本套专辑结课测试,亦可作为名校开学测试模拟卷。21cnjy.com
亲爱的老师,如果您认可我工作室所创作 ( http: / / www.21cnjy.com )的资料,请您在评论区点评,如果您不认可我工作室所创作的资料,请您在评论区批评,未来朝夕,愿与君共同进步。
进阶练2:一次函数的图像与性质综合(学生版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.已知函数中,在每个象限内,y随x的增大而增大,那么它和函数y=kx(k≠0)在同一直角坐标平面内的大致图象是(  )21·cn·jy·com
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / )
C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.下列说法:①正比例函数一定是 ( http: / / www.21cnjy.com )一次函数,一次函数不一定是正比例函数;②函数y=kx+b (k、b是常数)是一次函数;③对于函数y=-3x+2,当x<0时,y>0;④已知一次函数y=(2-m)x-4+n,当函数图像不经过第二象限,则m<2,n<4,其中正确的有( )个【来源:21·世纪·教育·网】
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若x=3是关于x的方程﹣3a=0的一个根,则在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+2的图象不经过(  )www-2-1-cnjy-com
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.将直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b,则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是( )【出处:21教育名师】
A.直线经过一、三、四象限
B.y随x的增大而减小
C.与y轴交于(1, 0)
D.与x轴交于(-3, 0)
5.如图,反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象交于A(﹣1,﹣3)、B(1,3)两点,则满足不等式>k2x的解集是(  )
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A.﹣1<x<0 B.﹣1<x<1
C.x<﹣1或0<x<1 D.﹣1<x<0或0>x
6.在函数y=kx+3(k<0)的图象上有A(1,y1)、B(﹣2,y2)、C(4,y3)三个点,则下列各式中正确的是(  )
A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1
7.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)经过点A(-3,2),则关于x的不等式中k(x-1)+b<2的解集为( )
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A.x>-2 B.x<-2 C.x>-3 D.x<-3
8.下列四个选项中,不符合直线的性质与特征的是( )
A.经过第一、三、四象限 B.随的增大而增大
C.与轴交于点 D.与轴交于点
9.如图,的顶点C在x轴上,B在y轴上,点A在反比例函数的图象上,边上的中线与x轴相交于点E,若,的面积为4,则k的值为( )
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A.4 B.6 C.8 D.10
10.如图,直线与反比例函数的图像交于A,B两点,则下列结论错误的是( )
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A. B.当A,B两点重合时,
C.当时, D.不存在这样的k使得是等边三角形
二、填空题
11.如图,点P是直线y=﹣x+2上一动点,当线段OP最短时,OP的长为__.
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12.如图,一次函数y=-x+8的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点.P是x轴上一个动点,若沿BP将△OBP翻折,点O恰好落在直线AB上的点C处,则点P的坐标是______.21教育网
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13.如图,B(0,3),A为x轴上一动点,将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC.连接OC,则当OC取最小值时,A点的坐标是 ___.2-1-c-n-j-y
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14.有一个附有进水管和出水管的容器, ( http: / / www.21cnjy.com )在单位时间内的进水量和出水量分别一定.设从某时刻开始的5分钟内只进水不出水,在随后的15分钟内既进水又出水,得到容器内水量y(升)与时间x(分)之间的函数图象如图.若20分钟后只放水不进水,这时(x≥20时)y与x之间的函数关系式是_________.
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15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=kx与反比例函数的图象交于A,B(-2,a)两点,过原点O的另一条直线l与双曲线y=交于P,Q两点(Q点在第四象限),若以点A,B,P,Q为顶点的四边形面积为24,则点P的坐标是_______.
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16.如图,反比例函数的图象与直线()交于,两点(点在点左侧),过点作轴的垂线,垂足为点,连接,,图中阴影部分的面积为6,则的值为______.
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17.如图,双曲线与线段交于点、两点,点坐标为,连接,的面积为6,则______.
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18.如图,两个顶点,在反比例函数图象上,若点P是第一象限内双曲线上一点,且,则P点的坐标为________.
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19.当自变量时,函数(k为常数)的最小值为,则满足条件的k的值为_________.
20.如图,直线与x轴、y轴分别交于A,B两点,C是OB的中点,D是AB上一点,四边形OEDC是菱形,则△OAE的面积为________.
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三、解答题
21.在平面直角坐标系中,点绕点旋转得到点,我们称点是点的“影射点”
(1)若,则点的“影射点”的坐标是_________;点的“影射点”的坐标是_________;www.21-cn-jy.com
(2)若点在一次函数的图像上,其“影射点”在一次函数的图像上,则的值是________;
(3)如图,已知点是点的“影射点",点是反比例函数图像上一点,若是以为直角边的等腰直角三角形,求的值.
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22.如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点.
(1)求的面积;
(2)点是直线上的动点,过作轴,轴的垂线,垂足分别为点,,若,请求出点的坐标;
(3)点在直线上,坐标轴上存在动点,使是以为直角边的直角三角形,请直接写出点的坐标.
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23.如图,在平面直角坐标系中,,将线段平移至线段,点C在y轴的正半轴上,点D在第一象限内,连接.
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(1)直接写出图中平行的线段,用“//”表示:___________;
(2)设点,则点D的坐标可表示为________;
(3)求出点C,D的坐标;
(4)如图,过点D作x轴的平行线a,点P ( http: / / www.21cnjy.com )从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线a向左移动,同时,点Q从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴向右移动.
①求经过几秒钟后,以Q、O、D、P为顶点的四边形面积;
②在①的条件下,若交y轴于点M,请直接写出点M的坐标.
24.已知:如图1,一次函数y=mx+5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=-x的图像交于点C,点C的横坐标为-3.
(1)求点B的坐标;
(2)若点Q为直线OC上一点,且S△QAC=2S△AOC,求点Q的坐标;
(3)如图2,点D为线段OA上一点,∠ACD=∠AOC.点P为x轴负半轴上一点,且点P到直线CD和直线CO的距离相等.21·世纪*教育网
① 在图2中,只利用圆规作图找到点P的位置; (保留作图痕迹,不得在图2中作无关元素.)
② 求点P的坐标.
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25.如图,一次函数的图象与反比例函数(k为常数,且)的图象交与,B两点.
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(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)点P在反比例函数第三象限的图象上,使得的面积最小,求满足条件的P点坐标及面积的最小值;
(3)设点M为x轴上一点,点N在双曲线上,以点A,B,M,N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出N点坐标:若不能,请说明理由.21*cnjy*com
26.在平面直角坐标系xOy中,点A、点B、点C坐标分别为(4,0)、(8,0)、(0,﹣4).
(1)求过B、C两点的一次函数解析式;
(2)若直线BC上有一动点P(m,n),以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等,求P点坐标;
(3)若y轴上有一动点Q,使以点Q、A、C为顶点的三角形为等腰三角形,直接写出Q点坐标.
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27.如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,直线y=﹣x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线y=x交于点C.
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(1)求点C的坐标;
(2)点P是线段OA上的一个动 ( http: / / www.21cnjy.com )点(点P不与点O,A重合),过点P作平行于y轴的直线l,分别交直线AB,OC于点D,点E,设点P的横坐标为m.【来源:21cnj*y.co*m】
①求线段PD的长(用含m的代数式表示);
②当点P,D,E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时,请直接写出的值;
(3)过点C作CF⊥y轴于点F ( http: / / www.21cnjy.com ),点M在线段CF上且不与点C重合,点N在线段OC上,CM=ON,连接BM,BN,BM+BN是否存在最小值?如果存在,请直接写出最小值;如果不存在,请说明理由.
28.对于平面直角坐标系内的任意两点,定义它们之间的“直角距离”为.
对于平面直角坐标系内的任意两个图形M,N,给 ( http: / / www.21cnjy.com )出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的“直角距离”有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“直角距离”,记作D(M,N).21教育名师原创作品
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(1)已知,则=________,=________;
(2)已知,若,则t的取值范围是________;
(3)已知A(1,0),若坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )平面内的点P满d(P,A)=1,则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形,该图形的面积是_________;
(4)已知,直线过点且垂直于y轴,若直线上存在点Q满足,则t的取值范围是________.21*cnjy*com
29.建立模型:
(1)如图 1,已知,,,顶点在直线 上.操作:过点作于点,过点作于点,求证.2·1·c·n·j·y
模型应用:
(2)如图2,在直角坐标系中,直线:与轴交于点,与轴交于点,将直线绕着点顺时针旋转得到,求的函数表达式.
(3)如图3,在直角坐标系中,点,作轴于点,作于点,是线段上的一个动点,点位于第一象限内.问点、、能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请求出此时点的坐标;若不能,请说明理由.【版权所有:21教育】
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30.如图,直线l上与x轴、y轴分别交于A、B两点,于点M,点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点.
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(1)点A坐标为(  );点B坐标为(  );线段的长为________.
(2)当的面积是6时,求点P的坐标;
(3)在y轴上是否存在点Q,使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等,若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标,否则,说明理由.
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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发,供中等及以上学生使用。
思路设计:采取“二八法”,即八 ( http: / / www.21cnjy.com )讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练(适合分数在85-105段学生使用),八讲 进阶综合练(适合分数在105-120段学生使用),所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中,知识难度层层递进,由简到难。www-2-1-cnjy-com
开学测试模拟卷:满分100分制,难度在八年级上学期全册+下学期前两章,既可以作为本套专辑结课测试,亦可作为名校开学测试模拟卷。
亲爱的老师,如果您认可我工作室 ( http: / / www.21cnjy.com )所创作的资料,请您在评论区点评,如果您不认可我工作室所创作的资料,请您在评论区批评,未来朝夕,愿与君共同进步。
进阶练2:一次函数的图像与性质综合(教师版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.已知函数中,在每个象限内,y随x的增大而增大,那么它和函数y=kx(k≠0)在同一直角坐标平面内的大致图象是(  )
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / )
C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】B
【思路指引】
先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围,再确定其所在象限,进而确定正比例函数图象所在象限即可解答.
【详解详析】
解:∵函数中,在每个象限内,y随x的增大而增大,
∴k<0,
∴双曲线在第二、四象限,函数y=kx的图象经过第二、四象限,
∴B选项满足题意
故选:B.
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质,掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键.
2.下列说法:①正比例函数一定是一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数,一次函数不一定是正比例函数;②函数y=kx+b (k、b是常数)是一次函数;③对于函数y=-3x+2,当x<0时,y>0;④已知一次函数y=(2-m)x-4+n,当函数图像不经过第二象限,则m<2,n<4,其中正确的有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
【标准答案】C
【思路指引】
根据一次函数的图象与性质进行判断即可.
【详解详析】
解:①正比例函数一定是一次函数,一次函数不一定是正比例函数,故此说法正确;
②函数y=kx+b (k、b是常数,且)是一次函数,故原说法错误;
③当x<0时,由已知y=-3x+2>2>0的故原说法正确;
④已知一次函数y=(2-m)x-4+n,当函数图像不经过第二象限,即经过一、三、四象限,此时,,则m<2,n<4,故此说法正确【版权所有:21教育】
∴正确的说法是①③④,共3个
故选:C
【名师指路】
本题主要考查了一次函数的图象与性质,解答本题的关键是明确正比例函数是一种特殊的一次函数.
3.若x=3是关于x的方程﹣3a=0的一个根,则在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+2的图象不经过(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【标准答案】D
【思路指引】
首先确定a的值,然后确定函数的图像经过的位置即可.
【详解详析】
解:∵x=3是关于x的方程﹣3a=0的一个根,
∴﹣3a=0,
解得:a=2,
∴一次函数y=2x+2不经过第四象限,
故选:D.
【名师指路】
考查了一元二次方程的解的知识及一次函数的性质,解题的关键是根据题意求得a的值.
4.将直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b,则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是( )
A.直线经过一、三、四象限
B.y随x的增大而减小
C.与y轴交于(1, 0)
D.与x轴交于(-3, 0)
【标准答案】D
【思路指引】
根据平移的性质,得;根据代数式的性质,得直线与y轴交于(0, 1);根据一元一次方程的性质,得直线与x轴交于(-3, 0),根据直角坐标系的性质,得直线经过一、二、四象限,即可得到答案.
【详解详析】
直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b

∴y随x的增大而增大,
当时,,即直线与y轴交于(0, 1)
当时,得:
∴,即直线与x轴交于(-3, 0)
∴直线经过一、二、四象限,
∴选项A、B、C错误,选项D正确;
故选:D.
【名师指路】
本题考查了一次函数、平移、一元一次方程、代数式的知识;解题的关键是熟练掌握一次函数和平移的性质,从而完成求解.21教育名师原创作品
5.如图,反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象交于A(﹣1,﹣3)、B(1,3)两点,则满足不等式>k2x的解集是(  )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.﹣1<x<0 B.﹣1<x<1
C.x<﹣1或0<x<1 D.﹣1<x<0或0>x
【标准答案】C
【思路指引】
所求不等式的解集即为反比例函数值大于一次函数值时的范围,根据一次函数与反比例函数的交点坐标,即可确定出的范围.
【详解详析】
解:根据反比例函数和正比例函数的图象交于、两点,利用图象:
( http: / / www.21cnjy.com / )
得:时的取值范围是:或.
故选:C.
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是利用了数形结合的思想求解.
6.在函数y=kx+3(k<0)的图象上有A(1,y1)、B(﹣2,y2)、C(4,y3)三个点,则下列各式中正确的是(  )21*cnjy*com
A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1
【标准答案】C
【思路指引】
根据一次函数图象的增减性来比较A、B、C三点的纵坐标的大小即可.
【详解详析】
解:∵一次函数解析式y=kx+3(k<0),
∴该函数图象上的点的y值随x的增大而减小.
又∵4>1>﹣2,
∴y3<y1<y2.
故选:C.
【名师指路】
本题主要考查了一次函数图象上点坐标特征.掌握一次函数的增减性是解答本题的关键.
7.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)经过点A(-3,2),则关于x的不等式中k(x-1)+b<2的解集为( )【来源:21cnj*y.co*m】
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A.x>-2 B.x<-2 C.x>-3 D.x<-3
【标准答案】A
【思路指引】
根据一次函数图象平移规律可得函数y=k ( http: / / www.21cnjy.com )x+b图像向右平移1个单位得到平移后的解析式为y=k(x-1)+b,即可得出点A平移后的对应点,根据图象找出一次函数y=k(x-1)+b的值小于2的自变量x的取值范围,据此即可得答案.
【详解详析】
解:∵函数y=kx+b图像向右平移1个单位得到平移后的解析式为y=k(x-1)+b,
∴A( 3,2)向右平移1个单位得到对应点为( 2,2),
由图象可知,y随x的增大而减小,
∴关于的不等式的解集为,
故选:A.
【名师指路】
本题考查一次函数的性质、一次函数图象的平移及一次函数与不等式,正确理解函数的性质、会观察图象,熟练掌握平移规律是解题的关键.
8.下列四个选项中,不符合直线的性质与特征的是( )
A.经过第一、三、四象限 B.随的增大而增大
C.与轴交于点 D.与轴交于点
【标准答案】C
【思路指引】
根据一次函数的图象与性质逐项判断解答即可.
【详解详析】
解:∵>0,﹣3<0,
∴该直线经过第一、三、四象限,y随x的增大而增大,
故A、B选项正确,
∵当y=0时,由0=x﹣3得:x=6,
∴该直线与x轴交于点(6,0),
故C选项错误;
∵当x=0时,y=﹣3,
∴该直线与y轴交于点(0,﹣3),
故D选项正确,
故选:C.
【名师指路】
本题考查一次函数的图象与性质,熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键.
9.如图,的顶点C在x轴上,B在y轴上,点A在反比例函数的图象上,边上的中线与x轴相交于点E,若,的面积为4,则k的值为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.4 B.6 C.8 D.10
【标准答案】C
【思路指引】
连接AE,根据已知条件及角之间的关系可得:,由等角对等边可得,依据直角三角形的判定可得为直角三角形,设,,则,,设DE直线的解析式为:,将点D、E代入确定函数解析式,得到点B的坐标,求出线段OB、CE长度,然后计算三角形面积求解即可得.
【详解详析】
解:连接AE,
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∵,,
∴,
∴,
∵D为AC中点,
∴,
∴为直角三角形,
设,,则,,
设DE直线的解析式为:,将点D、E代入可得:

解得:,
∴,
∴点,
∴,,

解得:,
故选:C.
【名师指路】
题目主要考查反比例函数与三角形面积 ( http: / / www.21cnjy.com )问题,包括直角三角形的判定和性质,利用待定系数法确定一次函数解析式,等腰三角形的性质等,理解题意,设出两个点的坐标,求出一次函数解析式是解题关键.
10.如图,直线与反比例函数的图像交于A,B两点,则下列结论错误的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B.当A,B两点重合时,
C.当时, D.不存在这样的k使得是等边三角形
【标准答案】D
【思路指引】
先联立联立得到,设A点坐标为(,),B点坐标为(,),然后分别求出OA,OB,即可判断A;根据A、B重合,则方程只有一个实数根,即,由此即可判断B;把代入中即可判断C;若△AOB是等边三角形,则OA=AB,然后求出AB的长,令AB=OA,求出k的值,即可判断D.21·cn·jy·com
【详解详析】
解:联立得到,
设A点坐标为(,),B点坐标为(,),
∴,,
∵A、B是直线与反比例函数的两个交点,
∴,,
∴,,
∴,
∴,故A选项不符合题意;
∵A、B重合,则方程只有一个实数根,
∴,
解得或(舍去),故B选项不符合题意;
当时,,
∴,故C选项不符合题意;
若△AOB是等边三角形,则OA=AB,
∵,
∴,

∴,
解得或(舍去),
∴存在,使得△AOB是等边三角形,故D选项符合题意;
故选D
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数与一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )综合,两点距离公式,等边三角形的性质,一元二次方程根于系数的关系,一元二次方程根的判别式等等,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
二、填空题
11.如图,点P是直线y=﹣x+2上一动点,当线段OP最短时,OP的长为__.
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【标准答案】
【思路指引】
根据直线解析式求出点A、B的坐标,再根据勾股定理求出AB的长度,根据点到直线的所有线段中,垂线段最短,利用三角形的面积列式即可求解.
【详解详析】
解:当x=0时,y=2,
当y=0时,﹣x+2=0,解得x=4,
∴点A、B的坐标是A(0,2),B(4,0),
∴AB===2,
根据垂线段最短的性质,OP⊥AB时,OP最短,
此时,S△AOB=×OA×OB=×AB×OP,
即×2×4=××OP,
解得OP=.
故答案为:.
【名师指路】
本题综合考查了一次函数的问题,主要利用勾股定理,垂线段最短的性质,根据直线解析式求出点A、B的坐标是解题的关键.
12.如图,一次函数y=-x+8的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点.P是x轴上一个动点,若沿BP将△OBP翻折,点O恰好落在直线AB上的点C处,则点P的坐标是______.
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【标准答案】(,0),(-24,0)
【思路指引】
过P作PC⊥AB于C,设 ( http: / / www.21cnjy.com )OP=x,由一次函数解析式求出点A、B坐标,进而求得OA、OB、AB,由折叠性质得PC=OP=x,根据点P在OA上与x轴负半轴上两种情况,在Rt△APC中,由勾股定理即可求解.
【详解详析】
解:根据题意可得:OA=6,OB=8,则AB=,
①、当点P在线段OA上时,设点P的坐标为(x,0),
则AP=6-x,BC=OB=8,
CP=OP=x,AC=10-8=2,
∴根据勾股定理可得:,
解得:,
∴点P的坐标为(,0);
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②、当点P在x轴的负半轴上时,设OP的长为x,则AP=6+x,BC=8,
CP=OP=x,AC=10+8=18,
∴根据勾股定理可得:,
解得:x=24,
∴点P的坐标为(-24,0);
∴综上所述,点P的坐标为(,0),(-24,0).
故答案为:(,0),(-24,0).
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【名师指路】
本题考查了翻折变换、一次函数图象与x轴的交点问题、勾股定理、解一元一次方程,解答的关键是掌握翻折的性质,运用勾股定理列出方程解决问题.【来源:21·世纪·教育·网】
13.如图,B(0,3),A为x轴上一动点,将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC.连接OC,则当OC取最小值时,A点的坐标是 ___.
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【标准答案】(
【思路指引】
如图,在x轴的正半轴上取一点H,使得O ( http: / / www.21cnjy.com )H=OB=3,在OB上取一点D,使得OD=OA.首先证明点C在直线y=x-3上运动,根据垂线段最短即可解决问题.
【详解详析】
解:如图,在x轴的正半轴上取一点H,使得OH=OB=3,在OB上取一点D,使得OD=OA.
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∵OB=OH,OD=OA,
∴BD=AH,
∵∠HAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠ABO=90°,
∴∠HAC=∠DBA,
∵BA=AC,
∵△BDA≌△AHC(SAS),
∴∠AHC=∠ADB,
∵OD=OA,∠AOD=90°,
∴∠ADO=45°,
∴∠AHC=∠ADB=135°,
∵H(3,0),
∴直线CH的解析式为y=x-3,
∴点C在直线y=x-3上运动,作OP⊥CH于P,OP=OH=,
∴OC 的最小值=OP=,
此时P(,-),即C(,-),
设A(m,0),
∵AB=AC,
∴m2+32=(m-)2+()2,
解得m=-,
∴A(-,0).
故答案为(-,0).
【名师指路】
本题考查了直线与图形的变化 ( http: / / www.21cnjy.com ),垂线段最短,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.
14.有一个附有进水管和出水管的容器,在单 ( http: / / www.21cnjy.com )位时间内的进水量和出水量分别一定.设从某时刻开始的5分钟内只进水不出水,在随后的15分钟内既进水又出水,得到容器内水量y(升)与时间x(分)之间的函数图象如图.若20分钟后只放水不进水,这时(x≥20时)y与x之间的函数关系式是_________.
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【标准答案】;(20≤x≤)
【思路指引】
先根据图象解得进水管和出水管每分钟的进水量和出水量,然后列一次函数解析式,将(20,35)代入即可解得x≥20时,y与x之间的函数关系式.2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解:设5分钟内容器内水量y(升)与时间x (分)之间的函数解析式为y=kx+b,
把(0,0)(5,20)代入y1=kx+b,
解得k=4,b=0,
故5分钟内容器内水量y(升)与时间x (分)之间的函数解析式为y1=4x (0≤x≤5);
进水管每分钟进4L水;
设5到20分钟之间容器内水量y(升)与时间x (分)之间的函数解析式为y2=kx+b,
把(5,20)(20,35)代入y2=kx+b,
解得k=1,b=15,
故5到20分钟之间容器内水量y(升)与时间x (分)之间的函数解析式为y2=x+15 (5≤x≤20)
可知出水管每分钟出水3L;
20分钟后只放水不进水时函数解析式为y3=﹣3(x﹣20)+b,
将(20,35)代入y3=﹣3(x﹣20)+b,
解得b=35.
故当x≥20时,y与x之间的函数关系式是y=﹣3x+95.
当y=0时,x=
故答案为:y=﹣3x+95(20≤x≤).
【名师指路】
本题主要考查了一次函数的实际应用,解答一次函数的应用问题中,要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义,解答要注意数形结合思想的运用.21*cnjy*com
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=kx与反比例函数的图象交于A,B(-2,a)两点,过原点O的另一条直线l与双曲线y=交于P,Q两点(Q点在第四象限),若以点A,B,P,Q为顶点的四边形面积为24,则点P的坐标是_______.【出处:21教育名师】
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【标准答案】(-4,2)或(-1,8)
【思路指引】
根据题意先求出点B(﹣2,4),利用反比例函数的对称性求出A(2,﹣4),再把A代入代入正比例函数得出解析式,利用原点对称得出四边形AQBP是平行四边形,S△POB=S平行四边形AQBP×=×24=6,设点P的横坐标为m(m<0且m≠﹣2),得到P的坐标,根据双曲线的性质得到S△POM=S△BON=4,接着再分情况讨论:若m<﹣2时,可得P的坐标为(﹣4,2);若﹣2<m<0时,可得P的坐标为(﹣1,8).
【详解详析】
解:∵点B(﹣2,a)在反比例函数上,
∴把x=﹣2代入反比例函数,
解得y=4,
∴点B(﹣2, 4),
∵点A与B关于原点对称,
∴A点坐标为(2,﹣4),
把点A(2,﹣4)代入反比例函数 ,得k=﹣2,
∴正比例函数为y=﹣,
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,
∴OP=OQ,OA=OB,
∴四边形AQBP是平行四边形,
∴S△POB=S平行四边形AQBP×=×24=6,
设点P的横坐标为m(m<0且m≠﹣2),
得P(m,﹣),
过点P、B分别做x轴的垂线,垂足为M、N,
∵点P、B在双曲线上,
∴S△POM=S△BON=4,
若m<﹣2,如图1,
∵S△POM+S梯形PMNB=S△POB+S△POM,
∴S梯形PMNB=S△POB=6.
∴(4﹣) (﹣2﹣m)=6.
∴m1=﹣4,m2=1(舍去),
∴P(﹣4,2);
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若﹣2<m<0,如图2,
∵S△POM+S梯形BNMP=S△BOP+S△BON,
∴S梯形BNMP=S△POB=6.
∴(4﹣) (m+2)=6,
解得m1=﹣1,m2=4(舍去),
∴P(﹣1,8).
∴点P的坐标是P(﹣4,2)或P(﹣1,8),
答案为:(﹣4,2)或(﹣1,8).
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【名师指路】
此题考查一次函数和反比例函数的综合,解题关键在于做出辅助线,运用分类讨论的思想解决问题.
16.如图,反比例函数的图象与直线()交于,两点(点在点左侧),过点作轴的垂线,垂足为点,连接,,图中阴影部分的面积为6,则的值为______.
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【标准答案】
【思路指引】
首先由已知得到S△BFG=2S△OEC,从而可得A、B横坐标的关系,再设A、B坐标代入y= x+m,即可求解.
【详解详析】
解:过点A、B分别作y轴和x轴的垂线,垂足分别为R、F,
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设点M是AB的中点,
由,整理得:x2 mx+6=0,
由题意可得x2 mx+6=0有两个不相等的实数根分别设为x1,x2,
则x1+x2=m,y1+y2= x1+m x2+m=m,
则点M的坐标为(m,m),
设直线AB交x轴于点G,交y轴于点H,
对于y= x+m,令x=0,则y=m,令y=0,则x=m,
∴点G、H的坐标分别为(m,0)、(0,m),
则点HG中点的坐标为(m,m),
即点M也为GH的中点,故AH=BG,
∵AR∥x轴,
∴∠HAR=∠BGF,
∵∠HRA=∠BFG=90°,
∴△HRA≌△BFG(AAS),
∴AR=OC=FG,
∴S△HRA=S△BFG,
∵S△AEO+S△OCE+S△OCE+S四边形ECFB=|k|+|k|=6,
而阴影部分的面积=S△AEO+S四边形EBFC+S△BFG=6,
∴S△BFG=2S△OEC,
即2××CO EC=×BF FG,
而OC=FG,
∴EC=BF,
即EC是△OBF的中位线,
故设点A的坐标为(t, ),则点B(2t,),
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得:,解得(不合题意的值已舍去),
故答案为:.
【名师指路】
本题为反比例函数综合运用 ( http: / / www.21cnjy.com ),考查反比例函数和一次函数的基本性质、中点公式的运用、三角形全等及面积问题,题目较难,解题的关键是得出A、B横坐标的关系.21世纪教育网版权所有
17.如图,双曲线与线段交于点、两点,点坐标为,连接,的面积为6,则______.
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【标准答案】.
【思路指引】
将已知点坐标代入函数解析式中,得到,通过三角形面积的表示得到关于a的一元二次方程,求解出a和k的值,得到反比例函数解析式以及A、B点的坐标,通过待定系数法求出直线AB解析式,进一步求得交点坐标,最后根据两点间距离公式求得对应线段长再求解即可.
【详解详析】
解:将点代入中,得,
线段的长度,
设的高为h,
则,
∴,
解得:,(舍去),
∴,
∴双曲线,,,
设直线的解析式为: ,
∴ ,解得,
则直线的解析式为:,
令,
得: ,
令代入中,
得:,∴,
∴,

则.
故答案为:.
【名师指路】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用、解一元二次方程与二元一次方程组等知识点,其中利用三角形的面积求解出系数k的值是解题的关键.
18.如图,两个顶点,在反比例函数图象上,若点P是第一象限内双曲线上一点,且,则P点的坐标为________.
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【标准答案】,或
【思路指引】
先求出,再讨论点在点上方与下方两种情况求解.
【详解详析】
解:设所在直线为,将,代入得:
,解得,

当时,,
直线与轴交点为.



反比例函数解析式为,
设点横坐标为,则纵坐标为,即点坐标为.
①当点在点上方时,作平行于轴交于点,
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将代入得,
点坐标为,

解得或(舍).

点坐标为,.
②延长交双曲线与点,右对称性可知为中点,


点坐标为.
故答案为:,或.
【名师指路】
本题考查反比例函数的应用,解题关键是掌握三角形的水平宽与铅锤高求面积的方法.
19.当自变量时,函数(k为常数)的最小值为,则满足条件的k的值为_________.
【标准答案】
【思路指引】
分时,时,时三种情况讨论,即可求解.
【详解详析】
解:①若时,则当时,有,故,
故当时,有最小值,此时函数,
由题意,,
解得:,满足,符合题意;
②若,则当时,,
故当时,有最小值,此时函数,
由题意,,
解得:,不满足,不符合题意;
③若时,则当时,有,故,
故当时,有最小值,此时函数,
由题意,,方程无解,此情况不存在,
综上,满足条件的k的值为.
故答案为:.
【名师指路】
本题考查了一次函数的性质,绝对值的性质,分类讨论是解题的关键.
20.如图,直线与x轴、y轴分别交于A,B两点,C是OB的中点,D是AB上一点,四边形OEDC是菱形,则△OAE的面积为________.21教育网
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【标准答案】
【思路指引】
根据直线于坐标轴交点的坐标特点得出,A ( http: / / www.21cnjy.com ),B两点的坐标,得出OB,OA的长,根据C是OB的中点,从而得出OC的长,根据菱形的性质得出DE=OC=2;DE∥OC;设出D点的坐标,进而得出E点的坐标,从而得出EF,OF的长,在Rt△OEF中利用勾股定理建立关于x的方程,求解得出x的值,然后根据三角形的面积公式得出答案.
【详解详析】
解: 把x=0代入 y = x + 4 得出y=4,
∴B(0,4);
∴OB=4;
∵C是OB的中点,
∴OC=2,
∵四边形OEDC是菱形,
∴DE=OC=2;DE∥OC,
把y=0代入 y = x + 4 得出x=,
∴A(,0);
∴OA=,
设D(x,) ,
∴E(x,- x+2),
延长DE交OA于点F,
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∴EF=-x+2,OF=x,
在Rt△OEF中利用勾股定理得:,
解得 :x1=0(舍),x2=;
∴EF=1,
∴S△AOE=·OA·EF=2.
故答案为.
【名师指路】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征:一次函数y=kx+b,(k≠0,且k,b为常数)的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是(-,0);与y轴的交点坐标是(0,b).直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.也考查了菱形的性质.
三、解答题
21.在平面直角坐标系中,点绕点旋转得到点,我们称点是点的“影射点”
(1)若,则点的“影射点”的坐标是_________;点的“影射点”的坐标是_________;
(2)若点在一次函数的图像上,其“影射点”在一次函数的图像上,则的值是________;
(3)如图,已知点是点的“影射点",点是反比例函数图像上一点,若是以为直角边的等腰直角三角形,求的值.
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【标准答案】(1);;(2)2;(3)或.
【思路指引】
(1)根据“影射点”的定义,将,绕点旋转180°,根据中心对称即可求得;
(2)根据定义,是轴上的点,先确定直线与轴的交点,根据交点互为“影射点”即可求得;
(3)根据点是点的“影射点",是以为直角边的等腰直角三角形,再根据点是反比例函数图像上一点,分类讨论①如图,当时,连接 ,分别过向轴作垂线,垂足为,证明,进而求得的坐标,根据点是反比例函数图像上一点,根据反比例函数的定义求得,②同①的方法,如图,当时,过点作轴,分别过向作垂线,垂足为,先求得点的坐标,进而证明,进而求得的坐标,根据点是反比例函数图像上一点,根据反比例函数的定义求得.
【详解详析】
(1)设的坐标是的坐标是,
,绕点旋转180°,

,,

;,
故答案为:;,
(2)根据定义,是轴上的点,设,
点在一次函数,令,得,则与轴的交点为,
其“影射点”在一次函数,令,得,则与轴的交点为,

解得:,
故答案为:2,
(3)①如图,当时,连接 ,分别过向轴作垂线,垂足为,
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,,











在上,

解得 或者,




②如图,当时,过点作轴,分别过向作垂线,垂足为,
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,,


,,,


解得:,

,,
即,

在上,

解得 .
综上所述,或.
【名师指路】
本题考查了中心对称的性质,中点坐标,一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )与坐标轴交点问题,反比例函数的定义,三角形全等的性质与判定,求一个数的平方根,理解题意,数形结合,分类讨论是解题的关键.
22.如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点.
(1)求的面积;
(2)点是直线上的动点,过作轴,轴的垂线,垂足分别为点,,若,请求出点的坐标;
(3)点在直线上,坐标轴上存在动点,使是以为直角边的直角三角形,请直接写出点的坐标.
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【标准答案】(1)6;(2)或;(3)点的坐标为或或
【思路指引】
(1)利用一次函数的解析式分别求解的坐标,再利用三角形的面积公式即可得到答案;
(2)设,再分别表示,,利用列方程解方程可得答案;
(3)分三种情况讨论,当在轴上时,设 当在轴上时,设 当在轴上时,设 再分别利用勾股定理列方程解方程即可得到答案.
【详解详析】
(1)解:∵
∴当时,,即,
当时,,即,

(2)设
由题意得,,,
∴或
∴或
∴或.
(3)如图,当在轴上时,设
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则 而
解得:
如图,当在轴上时,设
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同理可得:
解得:
当在轴上时,设
同理可得:
解得:
综上:点的坐标为或或.
【名师指路】
本题考查的一次函数的图象与性质,坐标与图形,勾股定理的应用,清晰的分类讨论是解题的关键.
23.如图,在平面直角坐标系中,,将线段平移至线段,点C在y轴的正半轴上,点D在第一象限内,连接.
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(1)直接写出图中平行的线段,用“//”表示:___________;
(2)设点,则点D的坐标可表示为________;
(3)求出点C,D的坐标;
(4)如图,过点D作x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )的平行线a,点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线a向左移动,同时,点Q从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴向右移动.
①求经过几秒钟后,以Q、O、D、P为顶点的四边形面积;
②在①的条件下,若交y轴于点M,请直接写出点M的坐标.
【标准答案】(1)AB∥CD,AC∥BD;(2)(1,y-1);(3)C(0,5),D(1,4);(4)①1秒或秒;②(0,4)或(0,)
【思路指引】
(1)直接根据平移的性质可得;
(2)由点A和点B的坐标关系,推广到点C和点D的坐标关系,可得结果;
(3)过D作DE⊥x轴于点E,过C作CF⊥DE于点F,利用S梯形AEFC=S△ADE+S△CDF+S△ACD列出方程,解之即可;21·世纪*教育网
(4)①表示出DP=t,OQ=,根据四边形面积得到,再分0≤t≤和t>两种情况分别求解;
②分t=1和t=两种情况分别求解.
【详解详析】
解:(1)由平移可知:
AB∥CD,AC∥BD;
(2)∵A(-3,0),B(-2,-1),
则由A到B:横坐标加1,纵坐标减1,
∵C(0,y),
∴D(1,y-1);
(3)如图所示:
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过D作DE⊥x轴于点E,过C作CF⊥DE于点F,
∴S梯形AEFC===,
又∵S△CDF===,
S△ADE===,
∵S梯形AEFC=S△ADE+S△CDF+S△ACD,
∴,
解得:y=5,
∴C(0,5),D(1,4);
(4)①设P、Q运动时间为t秒,
则DP=t,OQ=,
∴,
∴,
当0≤t≤时,

解得:t=1,符合题意;
当t>时,

解得:t=,符合题意;
综上:符合条件的时间为1秒或秒;
②当t=1时,
点P的坐标为(0,4),点Q坐标为(-1,0),
此时PQ与y轴的交点M的坐标为(0,4);
当t=时,
点P的坐标为(,4),点Q坐标为(,0),
设直线PQ的解析式为y=kx+b,
则,解得:,
∴直线PQ的解析式为,
令x=0,则y=,
∴点M的坐标为(0,),
综上:点M的坐标为(0,4)或(0,).
【名师指路】
本题考查了坐标与图形,平移的性质,一次函数与坐标轴的交点,一元一次方程,解题的关键是掌握平移的性质,将坐标与线段长结合起来.
24.已知:如图1,一次函数y=mx+5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=-x的图像交于点C,点C的横坐标为-3.
(1)求点B的坐标;
(2)若点Q为直线OC上一点,且S△QAC=2S△AOC,求点Q的坐标;
(3)如图2,点D为线段OA上一点,∠ACD=∠AOC.点P为x轴负半轴上一点,且点P到直线CD和直线CO的距离相等.
① 在图2中,只利用圆规作图找到点P的位置; (保留作图痕迹,不得在图2中作无关元素.)
② 求点P的坐标.
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【标准答案】(1)B(0,5);(2)点Q的坐标为(-9,6)或(3,-2);(3)①见解析;②点P的坐标为(-5-2,0)或(-5+2,0).
【思路指引】
(1)把点C的横坐标代入正比例函数解析式,求得点C的纵坐标,然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值,则易求点B的坐标;
(2)由S△QAC=3S△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍或点Q到x轴的距离和点C到x轴距离相等;
(3)①如图2,以点A为圆心,AC长为半径画弧,该弧与x轴的交点即为P;②先求出AC,再判断出AP=AC,即可求出点P的坐标.
【详解详析】
解:(1)把x=-3代入y=-x得到:y=2.则C(-3,2).
将其代入y=mx+5m,得
2=-3m+5m,
解得 m=1.
则该直线的解析式为:y=x+5.
令x=0,则y=5,
即B(0,5);
(2)由(1)知,C(-3,2).
如图1,
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设Q(a,-a).
∵S△QAC=2S△AOC,
∴S△QAO=3S△AOC,或S△Q′AO=S△AOC,
①当Q在第二象限即S△QAO=3S△AOC时,
OA yQ=3×OA yC,
∴yQ=3yC,即-a=3×2=6,
解得 a=-9,
∴Q(-9,6);
②当Q在第四象限S△Q′AO=S△AOC时,
OA yQ=OA yC,
∴yQ=2yC,即a=2,
解得 a=3(舍去负值),
∴Q′(3,-2);
综上,点Q的坐标为(-9,6)或(3,-2);
(3)①如图2,以点A为圆心,AC长为半径画弧,该弧与x轴的交点即为P;
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②如图3,作P1F⊥CD于F,P1E⊥OC于E,作P2H⊥CD于H,P2G⊥OC于G.
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∵C(-3,2),A(-5,0),
∴AC=,
∵P2H=P2G,P2H⊥CD,P2G⊥OC,
∴CP2是∠OCD的平分线,
∴∠OCP2=∠DCP2,
∴∠AP2C=∠AOC+∠OCP2,
∵∠ACP2=∠ACD+∠DCP2,
∴∠ACP2=∠AP2C,
∴AP2=AC,
∵A(-5,0),
∴P2(-5+2,0).
同理:P1(-5-2,0).
综上,点P的坐标为(-5-2,0)或(-5+2,0).
【名师指路】
本题考查了一次函数综合题,涉及坐标与图象的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识,综合性较强.2·1·c·n·j·y
25.如图,一次函数的图象与反比例函数(k为常数,且)的图象交与,B两点.
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(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)点P在反比例函数第三象限的图象上,使得的面积最小,求满足条件的P点坐标及面积的最小值;
(3)设点M为x轴上一点,点N在双曲线上,以点A,B,M,N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出N点坐标:若不能,请说明理由.
【标准答案】(1)反比例函数表达式:,点坐标为(3,1);(2)点P坐标的为(,),面积的最小值为;(3)N点坐标为(,)或(,)或(,)
【思路指引】
(1)将点A的坐标代入,求出值,进而代入求出值,最后联立反比例函数与一次函数解析式,求出B点坐标
(2)当的面积最小时,以AB为底,此时需满足点P到AB的距离最短即可,故向下平行直线AB,当与在第三象限的图像恰好有一个交点时,此点即为P点,过点P向直线AB做垂线,求出垂线的直线解析式,进而求出垂线与直线AB的交点坐标,最后利用两点距离公式,求出的底AB和高,面积即可求出
(3)设出M点和N点的横坐标,由于平行四边形的顶点顺序不确定,故分成三类情况,即:,,,根据平行四边形的性质:对角线互相平分,可以
利用两条对角线的中点坐标相等,列出方程,求出横坐标值,最终得到正确的N点坐标
【详解详析】
(1)解:点在一次函数上,
,即
把代入反比例函数解析式中得:,
反比例函数解析式为,
点是一次函数与反比例函数交点,
解得 或
点坐标为(3,1).
(2)解:以AB为底,此时,若的面积有最小值,则有点P到AB的距离最短
由平移可知,当一次函数平移到与反比例函数的第三象限图像仅有一个交点时,此时满足条件,如图所示
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不妨设平移后的直线为,设直线的解析式为:(),
联立直线与反比例函数解析式可得:,
消去整理可得:,
直线与反比例函数仅有一个第三象限的交点P,
解得:,
再将代入上述方程组,解得: ,
点P坐标的为(,),
过点P向直线AB作垂线,垂足为D,
,且直线AB的解析式为,
设直线PD解析式为,
点P在直线PD上,
解得:,
直线PD解析式为,
不妨设点D(,),
点D在直线AB上,
解得:,
D点坐标为(,)
P(,),(3,1),(1,3),
利用两点间距离公式可得:,


故面积最小值为.
(3)解:由题意可设M点坐标为(,0),N点坐标为(,),
若以点A,B,M,N为顶点的四边形能组成平行四边形,则有三种情况
①若平行四边形是,此时,AN和BM为对角线,
由中点坐标可知:AN的中点坐标为,BM的中点坐标为,
平行四边形的对角线互相平分,即对角线中点重合,
解得: ,
N点坐标为(,).
②若平行四边形是,此时,AB和MN为对角线,
由中点坐标可知:AB的中点坐标为(,),MN的中点坐标为,
平行四边形的对角线互相平分,即对角线中点重合,
解得: ,
N点坐标为(,).
③若平行四边形是,此时,AM和BN为对角线,
由中点坐标可知:AM的中点坐标为,BN的中点坐标为
平行四边形的对角线互相平分,即对角线中点重合,
解得: ,
N点坐标为(,).
综上所述:N点坐标为(,)或(,)或(,).
【名师指路】
本题属于综合性题目,主要是考 ( http: / / www.21cnjy.com )察了一次函数和反比例函数的综合应用以及平行四边形的性质,熟练地掌握函数的相关知识以及利用特殊四边形的性质进行求解,是解决此类问题的关键.
26.在平面直角坐标系xOy中,点A、点B、点C坐标分别为(4,0)、(8,0)、(0,﹣4).
(1)求过B、C两点的一次函数解析式;
(2)若直线BC上有一动点P(m,n),以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等,求P点坐标;
(3)若y轴上有一动点Q,使以点Q、A、C为顶点的三角形为等腰三角形,直接写出Q点坐标.
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【标准答案】(1)y=x﹣4;(2)P(﹣8,﹣8)或P(,﹣);(3)Q的坐标为(0,0)或(0,4)或(0,﹣4﹣4)或(0,4﹣4)
【思路指引】
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)P坐标为(m,n),且S△OAP=S△OCP,可得OA |n|=OC |m|,即|n|=|m|,则m=±n,然后根据P在之下BC上进行求解即可;
(3)分当CQ1=AQ1=4时,此时Q1与原点O重合, 当AC=AQ2=时,当AC=CQ3=时,当AC=CQ4=时, 四种情况利用等腰三角形的性质讨论求解即可.
【详解详析】
解:(1)设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(8,0)和C(0,﹣4)代入中得:


∴直线BC的解析式为;
(2)∵P坐标为(m,n),且S△OAP=S△OCP,A点坐标为(4,0),B点坐标为(0,4),
∴OA=OC=4,
∴OA |n|=OC |m|,即|n|=|m|,
∴m=±n,
当m=n时,代入y=x﹣4得:m=m﹣4,即m=﹣8,此时P(﹣8,﹣8);
当m=﹣n时代入y=x﹣4得:﹣m=m﹣4即m=,n=﹣,此时P(,﹣),
∴综上所述,点P的坐标为(﹣8,﹣8)或(,﹣);
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(3)∵A点坐标为(4,0),B点坐标为(0,4),
∴OA=OC=4,
∴,∠ACO=45°,
如图所示,分四种情况考虑:
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当CQ1=AQ1=4时,此时Q1与原点O重合,即Q1坐标为(0,0);
当AC=AQ2=时,
∴,

∵,

∴Q2坐标为(0,4);
当AC=CQ3=时,OQ3=OC+CQ3=4+,此时Q3坐标为(0,﹣4﹣);
当AC=CQ4=时,OQ4=CQ4﹣OC=﹣4,此时Q4坐标为(0,﹣4),
综上,Q的坐标为(0,0)或(0,4)或(0,﹣4﹣)或(0,﹣4).
【名师指路】
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,等腰三角形的性质,勾股定理等等,解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质.21cnjy.com
27.如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,直线y=﹣x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线y=x交于点C.
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(1)求点C的坐标;
(2)点P是线段OA上的一个动点 ( http: / / www.21cnjy.com )(点P不与点O,A重合),过点P作平行于y轴的直线l,分别交直线AB,OC于点D,点E,设点P的横坐标为m.
①求线段PD的长(用含m的代数式表示);
②当点P,D,E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时,请直接写出的值;
(3)过点C作CF⊥y轴于点F, ( http: / / www.21cnjy.com )点M在线段CF上且不与点C重合,点N在线段OC上,CM=ON,连接BM,BN,BM+BN是否存在最小值?如果存在,请直接写出最小值;如果不存在,请说明理由.
【标准答案】(1)C(4,3) (2)①PD=||,②m=或m=;(3)存在最小值,最小值是,理由见解析.
【思路指引】
(1)由方程组,解得:,即可求解;
(2)①点P的横坐标为m,由PDy轴,得点P、D三点横坐标都为m,点D坐标为(m,),得PD=||;②先表示出P,D,E三点坐标,分三种情况,第一种情形:点D是PE的中点时,第二种情形:点P是DE的中点时,第三种情形:点E是PD的中点时,根据中点坐标公式即可求解;综上,m=或m=;
(3)在OA上取点H,使得O ( http: / / www.21cnjy.com )H=BC,连接NH,先证△BCM≌△HON(SAS),,BM=NH,BM+BN=NH+BN,当NH+BN最小,即B、N、H三点共线时,BM+BN最小,即可求解.
【详解详析】
解:(1)∵直线与直线交于点C,
∴得方程组:,
解得:,
∴点C的坐标为(4,3);
(2)①点P的横坐标为m,
∵PDy轴,
∴点P、D三点横坐标都为m,
当x=m时,,
∴点D坐标为(m,),
∴PD=∣∣;
②当x=m时,
∴点E坐标为(m,),
而点P坐标为(m,0),
第一种情形:点D是PE的中点时,
解得:m=;
第二种情形:点P是DE的中点时,

此方程无解,故不成立;
第三种情形:点E是PD的中点时,
解得:m=
综上,m=或m=;
(3)BM+BN存在最小值,在OA上取点H,使得OH=BC,连接NH,
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∵C(4,3),A(8,0),B(0,6),∠AOB=90°
∵AB=10,
∴CF⊥BO,
∴点F坐标为(0,3),
∴CF垂直平分BO,
∴CB=OC=AC=5,∠BCF=∠OCF,
∴CFAO,
∴∠FCO=∠AOC,
∴∠BCM=∠HON,
∵MC=NO,CB=OH,
∴△BCM≌△HON(SAS),
∴BM=NH,
∴BM+BN=NH+BN,当NH+BN最小,即B、N、H三点共线时,BM+BN最小,此时最小值=.
【名师指路】
本题考查了一次函数图象上点 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标特征,中点坐标公式的运用,全等三角形的性质与判定,最值问题,解题关键是利用全等三角形的性质把BM+BN的值转化为NH+BN的值.
28.对于平面直角坐标系内的任意两点,定义它们之间的“直角距离”为.
对于平面直角坐标系内的任意两个图形 ( http: / / www.21cnjy.com )M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的“直角距离”有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“直角距离”,记作D(M,N).
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(1)已知,则=________,=________;
(2)已知,若,则t的取值范围是________;
(3)已知A(1,0),若 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标平面内的点P满d(P,A)=1,则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形,该图形的面积是_________;www.21-cn-jy.com
(4)已知,直线过点且垂直于y轴,若直线上存在点Q满足,则t的取值范围是________.
【标准答案】(1)3,1;(2)或;(3)画图见解析,2;(4).
【思路指引】
(1)根据“直角距离”的公式代入即可求出的值;利用待定系数法求出AB的表达式,根据题意表示出,最后根据一次函数的增减性即可求解;
(2)首先根据“直角距离”的公式表示出点O和y=-x+1的“直角距离”,然后根据,可判断出,进而可求出t的取值范围;
(3)首先设出点P的坐标为(x ( http: / / www.21cnjy.com ),y),根据题意代入表示出d(P,A)=1,可得出关于x和y的方程,分情况讨论画出所有满足条件的点P所构成的图形,最后求解面积即可.
(4)设点Q的坐标为(x,t),根据题意代入,得到,然后分情况讨论求解即可.
【详解详析】
解:(1)∵,
∴,
设AB的表达式为,
将,代入得:,解得,
∴,
∴设线段AB上一点的坐标为(x,-2x+2),且,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
∵,
∴随x的增大而减小,
∵,
∴当时,有最小值,最小值,
∴.
故答案为:3,1;
(2)∵设经过点A和点的表达式为,
代入得:,解得:,
∴.
∴点O和“直角距离”,
∵,
∴,
∴或;
(3)设点P的坐标为(x,y),
∵A(1,0),
∴代入足d(P,A)=1,得: ,
即.
当时,,即,
当时,;
当时,;
当时,,即,
当时,;
当时,;
∴如图所示,正方形ABCD即所有满足条件的点P所构成的图形,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴,
∴S正方形ABCD= ;
(4)设点Q的坐标为(x,t),
∵,
∴,即.
∴当时, ,解得:,应舍去;
当时, ,解得:;
∴当时, ,解得:,应舍去;
∴当时, ,解得:,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得:;
∴当时, ,解得:,
∴综上所述,t的取值范围是.
【名师指路】
此题考查了平面直角坐标系和新定 ( http: / / www.21cnjy.com )义问题,绝对值的意义,一次函数,分类讨论方法等知识点,解题的关键是正确分析“直角距离”的公式,并列出方程求解.
29.建立模型:
(1)如图 1,已知,,,顶点在直线 上.操作:过点作于点,过点作于点,求证.
模型应用:
(2)如图2,在直角坐标系中,直线:与轴交于点,与轴交于点,将直线绕着点顺时针旋转得到,求的函数表达式.
(3)如图3,在直角坐标系中,点,作轴于点,作于点,是线段上的一个动点,点位于第一象限内.问点、、能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请求出此时点的坐标;若不能,请说明理由.
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【标准答案】(1)证明见解析;(2);(3)能,点的坐标为或.
【思路指引】
(1)根据余角的性质,可得,根据全等三角形的判定,可得答案;
(2)根据自变量与函数值的对应关系,可得、点坐标,根据全等三角形的判定与性质,可得,的长,根据待定系数法,可得的解析式;
(3)根据全等三角形的性质,可得关于的方程,根据解方程,可得答案.
【详解详析】
证明:(1)如图1,∵于点,于点,
∴,
,,

在和中,

解:(2)直线与轴交于点,与轴交于点,
、,
如图,过点作交直线于点,过点作轴于,
∴,
,,

∵∠BAC=45°,
∴是等腰直角三角形,
∴,
在和中,

,,

点坐标为,
设的解析式为,
将,点坐标代入,
得,
解得,
的函数表达式为;
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(3)点,
点是直线上一点,
情况一:当点在下方时,如图3,
过点作轴,分别交轴和直线于点、.
∴,
,,

在和中,


即,
解得,
∴点的坐标为
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情况二:当点在线段上方时,如图4,
过点作轴,分别交轴和直线于点、,
则,.
易知,
,,

在和中,


即,
解得,
∴点的坐标为;
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综上可知,、、可以构成以点为直角顶点的等腰直角三角形,点的坐标为或.
【名师指路】
本题考查了一次函数综合题,利用余角的性质得出是解题关键,又利用了全等三角形的判定;利用了全等三角形的性质得出,的长是解题关键,又利用了待定系数法求函数解析式;利用全等三角形的性质得出关于的方程是解题关键,要分类讨论,以防遗漏.
30.如图,直线l上与x轴、y轴分别交于A、B两点,于点M,点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点.
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(1)点A坐标为(  );点B坐标为(  );线段的长为________.
(2)当的面积是6时,求点P的坐标;
(3)在y轴上是否存在点Q,使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等,若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标,否则,说明理由.
【标准答案】(1),,;(2)或;(3)存在,点P的坐标为:或或或
【思路指引】
(1)根据一次函数图像的性质,通过列一元一次方程并求解,即可得到点A和点B坐标;通过勾股定理的性质计算,得,结合三角形面积公式的性质计算,即可得到答案;
(2)点P的坐标为,通过列方程并求解,再结合一次函数的性质计算,即可得到答案;
(3)设点P的坐标为,结合题意,分,,三种情况分析;根据全等三角形、一元一次方程、直角坐标系的性质计算,即可得到答案.
【详解详析】
(1)当时,

∴点A坐标为:,;
当时,
∴点B坐标为:,;



故答案为:,,;
(2)设点P的坐标为
∵的面积是6时


∴点P的坐标为或;
(3)设点P的坐标为
∵以O、P、Q为顶点的三角形与全等,且
∴分,,三种情况分析;
∵点Q在y轴上,点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点
∴不成立;
当时,如下图:
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵,,
∴当成立时,得:或
当时,得;
∴或
∴点P的坐标为或
当时,得
∴点P的坐标为或;
当时,如下图:
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵的直角边的斜边
∵,即和矛盾
∴不成立;
∴在y轴上存在点Q,使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等,点P的坐标为:或或或.
【名师指路】
本题考查了一次函数、一元一次方程、勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理、绝对值、全等三角形、直角坐标系的知识;解题的关键是熟练掌握一次函数、勾股定理、全等三角形、直角坐标系的性质,从而完成求解.
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