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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法” ( http: / / www.21cnjy.com )，即八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21世纪教育网版权所有
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。21教育网
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进阶练4：函数综合（学生版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，一次函数（k为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，B两点．若将直线AB向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，则m的值为（ ）21cnjy.com
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A．1 B．1或8 C．2或8 D．1或9
2．如图，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点P的坐标是（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
3．已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
4．在直角坐标系中，设一次函数y1＝﹣kx+b（k≠0），反比例函数y2＝（k≠0）．若函数y1和y2的图象仅有一个交点，则称函数y1和y2具有性质P．以下k，b的取值，使函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．k＝2，b＝4 B．k＝3，b＝4 C．k＝4，b＝4 D．k＝5，b＝4
5．函数与的图象的两个交点的坐标分别为，，则，的值分别是（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．﹣2，3 D．2，3
6．已知点A在函数y1＝﹣的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k≥0）上，若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的﹣对“友好点”．请问这两个函数图象上“友好点”对数的情况为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对
7．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．4 B． C． D．
8．如图，直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（x＞0）图象交于点C．点D为x轴上一点（点D在点A右侧），连接BD，以BA，BD为边作平行四边形ABDE，E点刚好在反比例函数图象上，连接EC，DC，若S△EAC＝AD2，则k的值为（ ）【出处：21教育名师】
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A．2 B． C．3 D．
9．如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
10．如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当y1( http: / / www.21cnjy.com / )
A．x<-1或x>1 B．-11 C．-1二、填空题
11．如图，已知，点在反比例函数图像上，点在轴正半轴上，，，直线与反比例函数的图像只有一个公共点，则______．
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12．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像有唯一交点，若直线与反比例函数的图像没有公共点，则b的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
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13．如图，一次函数的图象与函数的图象交于、两点，与轴，轴分别交于、两点，若的面积是的面积的倍，则的值为__．2-1-c-n-j-y
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14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A、B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC，若△PBC的面积是30，则C点的坐标为__________________．
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15．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为___________．
16．如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣3，2），反比例函数y=（x＜0）的图像经过点D，且与AB相交于点E．将矩形ABCD沿射线CE平移，使得点C与点E重合，则线段BD扫过的面积为 ___．2·1·c·n·j·y
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17．如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，那么的值为______．
18．如图，一次函数为y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）图象交于A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）两点，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为_____．
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19．如图，直线y＝x+n与y轴的正半轴交于点A，与双曲线y＝交点P，Q（点在第一象限内），过点Q作QB⊥x轴于点B，若＝，则n的值为 ___．
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20．如图，直线与y轴交于点A，与双曲线在第一象限交于B，C两点，且，则________．
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三、解答题
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式和的值；
（2）根据图象直接写出不等式的的取值范围；
（3）求的面积．
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22．如图1，一次函数y=kx-2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函的图象交于点B（-3，b）．
（1）______；______；
（2）点C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OB、OC、OD，若的面积为，求点C的坐标；
（3）将第（2）小题中的 ( http: / / www.21cnjy.com )△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D′的坐标．
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23．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集；
（3）点为轴上一个动点，若，试求点的坐标．
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24．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点D，且反比例函数交BC于点E，AD＝3．
（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）若矩形的面积是24，求出△CDE的面积．
（3）直接写出当x＞4时，y1的取值范围 ．
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25．在直角坐标系中，直线yx与反比例函数y的图象在第一、三象限分别交于A、B两点，已知B点的纵坐标是﹣2．21·cn·jy·com
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（1）写出点A的坐标，并求反比例函数的表达式；
（2）将直线yx沿y轴向上平移5个单位后得到直线l，l与反比例函数图象在第一象限内交于点C，与y轴交于点D．21·世纪*教育网
（ⅰ）S△ABC S△ABD；（请用“＜”或“＝”或“＞”填空）
（ⅱ）求△ABC的面积．
26．如图1，一次函数y＝kx+b与反比例函数相交于A（1，6），B（3，a）两点．
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（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图2，将线段AB向右平移t ( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度（t＞0），得到对应线段MN．连接AM、BN．在线段AB运动过程中，若B点在MN的中垂线上，求t的值．【版权所有：21教育】
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．21教育名师原创作品
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出不等式kx＋b的解集．
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28．如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点B和．
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（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
29．已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 ；
（3）直接写出不等式kx＋b＞的解 ；
（4）点P在x的负半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
30．如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于，两点：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求反比例函数的函数表达式；
（2）点为轴负半轴上一点，直线与轴交于点，且，求的面积．
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进阶练4：函数综合（教师版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，一次函数（k为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，B两点．若将直线AB向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，则m的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．1或8 C．2或8 D．1或9
【标准答案】D
【思路指引】
先利用反比例函数解析式求出b，得到A点坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为（﹣2，4），然后把A点坐标代入y＝kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式；由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝kx+5﹣m，则直线y＝kx+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y得到关于x的二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．
【详解详析】
解：把A（﹣2，b）代入得＝4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5得﹣2k+5＝4，解得k＝，
所以一次函数解析式为y＝x+5；
将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝x+5﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得﹣＝x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4××8＝0，解得m1＝9或m2＝1，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求 ( http: / / www.21cnjy.com )反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．21*cnjy*com
2．如图，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点P的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意可以求得点A和点B ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标，然后根据三角形三边关系，可以得到线段AP与线段BP之差的绝对值与线段AB的关系，然后根据图形作出合适的辅助线，即可求得满足条件的点P的坐标．
【详解详析】
解：∵A（，y1），B（2，y2）为反比例函数图象上的两点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴y1＝2，y2＝，
∵动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，|AP BP|≤AB，
∴延长AB交x轴于点P’，当点P在点P’时，PA PB＝AB达到最大值，
设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b，
，得，
∴直线AB的函数解析式为y＝ x＋，
当y＝0时，x＝，
∴当线段AP与线段BP之差达到最大时点P的坐标是（，0），
故选：D．
【名师指路】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形三边长关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．www.21-cn-jy.com
3．已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
【标准答案】B
【思路指引】
联立两个函数解析式，得到关于x的一元二次方程，从而得a+m=2，把、代入可得=-2a，=-2m，进而即可求解．
【详解详析】
联立，，得：，
∴，
∵反比例函数，直线交于、两点，
∴的两个根为：x=a，x=m，
∴a+m=2，
∵，，
∴=-2a，=-2m，
∴=-（a+m）=-2．
故选B．
【名师指路】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
4．在直角坐标系中，设一次函数y1＝﹣kx+b（k≠0），反比例函数y2＝（k≠0）．若函数y1和y2的图象仅有一个交点，则称函数y1和y2具有性质P．以下k，b的取值，使函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．k＝2，b＝4 B．k＝3，b＝4 C．k＝4，b＝4 D．k＝5，b＝4
【标准答案】A
【思路指引】
联立一次函数与反比例函数，得到一元二次方程，由题意得一元二次方程有一个解，即判别式为0，对选项逐个判断即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：联立一次函数与反比例函数，得：
化简得，
∵函数图象只有一个交点，
∴所以方程有一个解，
∴
A、k＝2，b＝4时，，符合题意，
B、k＝3，b＝4时，，不符合题意，
C、k＝4，b＝4时，，不符合题意；
D、k＝5，b＝4时，，不符合题意，
故选：A．
【名师指路】
此题考查了一次函数和反比例函数的性质，以及一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
5．函数与的图象的两个交点的坐标分别为，，则，的值分别是（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．﹣2，3 D．2，3
【标准答案】A
【思路指引】
根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求得m、n的值．
【详解详析】
解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∴m＝2，n＝﹣3，
故选：A．
【名师指路】
本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
6．已知点A在函数y1＝﹣的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k≥0）上，若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的﹣对“友好点”．请问这两个函数图象上“友好点”对数的情况为（ ）
A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对
【标准答案】A
【思路指引】
根据“友好点”的定义知，函数图象上点关于原点的对称点一定位于直线上，即方程 有解，整理方程得，据此可得答案．
【详解详析】
解：设，
由题意知，点关于原点的对称点在直线上，
则，
整理，得：①，
即，
或，
则或，
若，则，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若时，则此时方程①有两个相等的实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若，时，则或，此时方程①有两个不相等的实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及 ( http: / / www.21cnjy.com )关于原点对称的点的坐标，“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．【出处：21教育名师】
7．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．4 B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据点A、B，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，设点B，再根据点B是AC的中点，可用m表示点A的坐标，轴、轴，可用m表示点D、E的坐标，结合梯形面积公式解题即可．
【详解详析】
解：点A、B，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
设点B
点B是AC的中点，且点C在x轴上，
轴、轴，且点D、E，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
故选：B．
【名师指路】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，是重要考点，解题的关键是用m表示A、B、D、E的坐标，难度不大．21·世纪*教育网
8．如图，直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（x＞0）图象交于点C．点D为x轴上一点（点D在点A右侧），连接BD，以BA，BD为边作平行四边形ABDE，E点刚好在反比例函数图象上，连接EC，DC，若S△EAC＝AD2，则k的值为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．2 B． C．3 D．
【标准答案】C
【思路指引】
由直线解析式求得A、B，作EF⊥x轴于F，通过证得△AEF≌△DBO（AAS），得出EF＝OB＝1，AF＝OD，进而得出DF＝OA＝，OF＝AD+1，由S△ACD＝S△ACE＝AD2，求得h＝AD＝k﹣1，代入直线解析式求得横坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求得k的值．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：∵直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（，0），B（0，1），
作EF⊥x轴于F，
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∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，DE∥AB，
∴∠DAE＝∠ADB，
在△AEF和△DBO中，
，
∴△AEF≌△DBO（AAS），
∴EF＝OB＝1，AF＝OD，
∴DF＝OA＝，
∴OF＝AD+1，
∵E点刚好在反比例函数图象上，
∴OF＝＝k，
∴AD+1＝k，
∴AD＝k﹣1，
设C的纵坐标为h，
∵DE∥BC，
∴S△ACD＝S△ACE＝AD2，
∴AD h＝AD2，
∴h＝AD＝k﹣1，
∴C的纵坐标为k﹣1，
代入y＝2x﹣1得，k﹣1＝2x﹣1，
解得x＝k，
∴C（k，k﹣1），
∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点C．
∴k（k﹣1）＝k，
解得k1＝3，k2＝0（舍去），
∴k＝3，
故选：C．
【名师指路】
本题是反比例函数与一次函数的交点问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判断和性质，三角形的面积等，表示出C的坐标是解题的关键．
9．如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据反比例函数图象上点的特征和反比例函数的图象性质分析判断即可；
【详解详析】
反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点A的位置，
∵过点的反比例函数解析式为，
∴，
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才满足题意，
经过，的直线解析式为，
∴，得，
根据，得，
综上所述：；
故选A．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数图象上点的特征，一次函数与反比例函数的综合，一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键．
10．如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当y1( http: / / www.21cnjy.com / )
A．x<-1或x>1 B．-11 C．-1【标准答案】D
【思路指引】
先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解详析】
解：如图：
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∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为1，
∴点B的横坐标为 1，
∵由函数图象可知，当x<-1或0∴当y1故选D.
【名师指路】
本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能根据数形结合求出y1二、填空题
11．如图，已知，点在反比例函数图像上，点在轴正半轴上，，，直线与反比例函数的图像只有一个公共点，则______．
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【标准答案】12
【思路指引】
设A点坐标为（m，n），然后分别求出直线AB和反比例函数的解析式，然后联立两个解析式，利用一元二次方程根于系数的关系求解即可．
【详解详析】
解：由题意可知B（4，0），设A点坐标为（m，n），
∴
设直线AB的解析式为，
，
解得，
∴直线AB的解析式为，
设反比例函数的解析式为，
∴，
∴设反比例函数的解析式为，
联立
∴，
∵直线AB与反比例函数的图像只有一个公共点，
∴,
解得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：12．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像有唯一交点，若直线与反比例函数的图像没有公共点，则b的取值范围是________．
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【标准答案】
【思路指引】
根据双曲线的性质、结合图象解答即可．
【详解详析】
∵直线与反比例函数的图像有唯一公共点，双曲线是中心对称图形，
∴直线与反比例函数的图像也有唯一公共点，
∴当时，直线与反比例函数的图像没有公共点．
故答案为：-2＜b＜2．
【名师指路】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握双曲线是中心对称图形是解题的关键．
13．如图，一次函数的图象与函数的图象交于、两点，与轴，轴分别交于、两点，若的面积是的面积的倍，则的值为__．
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【标准答案】
【思路指引】
根据一次函数的特点求出C，D的坐标，由 ( http: / / www.21cnjy.com )一次函数和反比例函数的结合求出A，B的坐标，将三角形COD的面积减去三角形AOD的面积减去三角形BOC的面积，从而列出方程，计算即可．
【详解详析】
把y＝kx+6代入y＝，得kx+6＝，
整理，得kx2+6x﹣m＝0，
解得x＝，
所以B（，3-），A（，3+）．
∵一次函数y＝kx+6的图象与x轴，y轴分别交于C、D两点，
∴C（﹣，0），D（0，6）．
∵S=×6×=，
SAOB=－×6×（-）－××（3-），
∴=×[+×6×－××（3-）]，
即：=×[+3×-（3-）]，
=×（+-），
18=×（18-18+6），
18=6，
=3，
18+2km=9，
km=－，
故答案为：-．
【名师指路】
本题考查反比例函数和一次函数的图象和性质，利用函数图像特点求出A，B，C，D的坐标，用面积等量关系计算是解题的关键．21教育名师原创作品
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A、B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC，若△PBC的面积是30，则C点的坐标为__________________．
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【标准答案】（8，）
【思路指引】
设C点坐标为（a，），根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组求得A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），再利用待定系数法确定直线BC的解析式，直线AC的解析式，于是利用y轴上点的坐标特征得到D、P点坐标，然后利用S△PBC=S△PBD+S△CPD得到关于a的方程，求出a的值即可得到C点坐标．
【详解详析】
解：BC交y轴于D，如图，
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设C点坐标为（a，），
解方程组得或，
∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（-2，-3）、C（a，）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为，
当x=0时，，
∴D点坐标为（0，-3）
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（2，3）、C（a，）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为，
当x=0时，，
∴P点坐标为（0，+3），
∵S△PBC=S△PBD+S△CPD，
∴×2×6+×a×6=30，解得a=8，
∴C点坐标为（8，）．
故答案为：（8，）．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；若方程组无解则两者无交点．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式．
15．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为___________．
【标准答案】或．
【思路指引】
由两函数的交点坐标为，代入反比例解析式，求出mn的值，代入一次函数解析式，得出，联立两函数解析式，求得的值，进而求得代数式的值．
【详解详析】
两函数的交点坐标为
即
解得
当时，原式
当时，原式
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，联立解方程是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣3，2），反比例函数y=（x＜0）的图像经过点D，且与AB相交于点E．将矩形ABCD沿射线CE平移，使得点C与点E重合，则线段BD扫过的面积为 ___．
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【标准答案】3
【思路指引】
依据AD=CB=1，A（-1，1），可得点D的坐标为（-1，2），即可得到反比例函数的解析式；然后求得E（-2，1），设直线CE的解析式为y=kx+b，利用待定系数法可得直线CE的解析式为y=-x-1；再根据矩形ABCD沿着CE平移，使得点C与点E重合，可得点D'（0，1），B'（-2，0），进而得出S四边形BDD'B'=2S△BD'D=2××3×1=3．
【详解详析】
解：由题可得，AD=CB=1，A（-1，1），
∴点D的坐标为（-1，2），
∵反比例函数y=（x＜0）的图象经过点D，
∴m=-1×2=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-，
当y=1时，1=-，
∴x=-2，
∴E（-2，1），
设直线CE的解析式为y=kx+b，依题意得，
，
解得，
∴直线CE的解析式为y=-x-1；
如图，
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∵矩形ABCD沿着CE平移，使得点C与点E重合，
∴点D'（0，1），B'（-2，0），
∴S四边形BDD'B′=2S△BD'D=2××3×1=3．
故答案为：3．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式．
17．如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，那么的值为______．
【标准答案】-20
【思路指引】
正比例函数的图象与反比例函数的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，将（x2-x1）（y2-y1）展开，依此关系即可求解．
【详解详析】
解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，
∴（x2-x1）（y2-y1）
=x2y2-x2y1-x1y2+x1y1
=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
=-5×4
=-20．
故答案为：-20．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．
18．如图，一次函数为y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）图象交于A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）两点，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为_____．
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【标准答案】x＞1或-3＜x＜0
【思路指引】
根据反比例函数图象上的点的坐标特征 ( http: / / www.21cnjy.com )列方程可求出t值，即可得A、B两点坐标，根据图象找出一次函数图象上方的图象对应的x值的取值范围即可得答案．
【详解详析】
∵点A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）在反比例函数y2＝（m≠0）图象上，
∴t+1=-（t﹣5），
解得：t=2，
∴A（1，3），B（-3，-1），
∵y1＞y2，
∴x的取值范围为x＞3或-3＜x＜0．
故答案为：x＞1或-3＜x＜0
【名师指路】
本题考查反比例函数与一次函数的综合，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出t值是解题关键．
19．如图，直线y＝x+n与y轴的正半轴交于点A，与双曲线y＝交点P，Q（点在第一象限内），过点Q作QB⊥x轴于点B，若＝，则n的值为 ___．
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【标准答案】
【思路指引】
过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥y轴于点N，设Q(m，m+n)(m>0，n>0)，联立直线解析式与反比例函数解析式组成的方程组，消去y后，易得点P的坐标，由＝可得m与n的关系，从而可求得n．
【详解详析】
过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥y轴于点N，设Q(m，m+n)(m>0，n>0)，
∴OB=m，BQ=m+n
方程组消去y并整理得：
由题意知，m、是一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系得：
∴
∴
即点P的坐标为
∴OM=m+n
在y=x+n中，令x=0，得y=n，即点A的坐标为(0，n)
∴OA=n
∵，
∴由＝得：
整理得：(2m+3n)(m-n)=0
∵2m+3n>0
∴m=n
∴Q(n，2n)
∵点Q在反比例函数的图象上
∴n 2n=6
∴
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故答案为：
【名师指路】
本题考查了反比例函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质，直线与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，图形的面积等知识，关键是设点P与Q的坐标后，得出点P的坐标，从而求得m与n的关系．
20．如图，直线与y轴交于点A，与双曲线在第一象限交于B，C两点，且，则________．
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【标准答案】2
【思路指引】
如图所示，过点B作BE⊥AO于E，过点C作CF⊥AO于F，设直线与x轴的交点为G，先求出∠ABE=45°，得到AE=BE，，同理可得，再联立得，则，由此求解即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：如图所示，过点B作BE⊥AO于E，过点C作CF⊥AO于F，设直线与x轴的交点为G，
∵A、G分别是直线与y轴，x轴的交点，
∴A点坐标为（0,b）,G点坐标为（b，0），
∴OA=OG，
∴∠OAG=∠OGA=45°，
∴∠ABE=45°，
∴AE=BE，
∴，
同理可得，
设B点坐标为（m，-m+b），C点坐标为（n，-n+b），
联立得，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
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【名师指路】
本题主要考查了一次函数与反比例函 ( http: / / www.21cnjy.com )数综合，一元二次方程根与系数的关系，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．
三、解答题
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式和的值；
（2）根据图象直接写出不等式的的取值范围；
（3）求的面积．
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【标准答案】（1），2；（2）或；（3）8
【思路指引】
（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值；
（2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解；
（3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与轴相交于点，然后根据即可求解．
【详解详析】
解：（1）在的图象上，
，
反比例函数的解析式是．
又∵在的图象上，
；
（2）由图像可知：当或时，；
（3），在函数的图象上，
，
解得：，
则一次函数的解析式是，
设直线与轴相交于点，则的坐标是．
∴
．
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【名师指路】
本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解决本题的关键．
22．如图1，一次函数y=kx-2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函的图象交于点B（-3，b）．21·cn·jy·com
（1）______；______；
（2）点C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OB、OC、OD，若的面积为，求点C的坐标；21*cnjy*com
（3）将第（2）小题中的△O ( http: / / www.21cnjy.com )CD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D′的坐标．
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【标准答案】（1）1；；（2）点C坐标为（ ， ）；（3）点D'坐标为（ ，+）．
【思路指引】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线l交BO于点F，交x轴于点G，分别设出点C、点F的坐标，由S△OBC=S△OCF+S△BCF=CF OG+CF BE，即可求解；
（3）可证直线AB与x轴负半轴的夹角为45 ( http: / / www.21cnjy.com )°，设△OCD沿射线AB方向向左平移m个单位，则向上也平移m个单位，则点O'表示为（-m，m），代入反比例函数表达式即可求解m，进而结合点D求点D'坐标．
【详解详析】
解：（1）∵y=kx-2与y= 交于B（-3，b），
∴把点B（-3，b）代入y= 中，得b=1；
∴点B坐标为（-3，1），
把点B（-3，1）代入y=kx-2中，
得1=-3k-2，k=-1．
故答案为：1，-1；
（2）如图，设直线l交BO于点F，交x轴于点G，
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过点B作BE⊥l于点E，设点C（a，-a-2）（-3＜a＜0），
∴点D为（a，-），
设直线OB解析式为y=nx，代入点B坐标（-3，1），得n=-，
∴直线OB解析式为：y= x．
∴点F坐标为（a， ）．
∴S△OBC=S△OCF+S△BCF=CF OG+CF BE
=CF（OG+BE）
=×3[ -（-a-2）]
=×(+2)=．
解得：a= ．
∴所以点C坐标为（ ， ）；
（3）设直线AB与x轴交于点P，如图．
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令y=-x-2=0，得x=-2，
∴OP=2=OA，故直线AB与x轴负半轴夹角为45°，
设△OCD沿射线AB方向向左平移m个单位，则向上也平移m个单位，
则点O'坐标为（-m，m）（m＞0），
将点O'坐标代入y=-中得：m= ，
解得：m=．
∴点O'坐标为（-，）．
由点D坐标为（ ，），
∴点D'坐标为（ ，+）．
【名师指路】
本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质，图形的平移，面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
23．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集；
（3）点为轴上一个动点，若，试求点的坐标．
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【标准答案】（1），；（2）或；（3）点的坐标为或
【思路指引】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据可知反比例函数图象在一次函数图象上面，结合图象求解即可；
（3）设直线与轴的交点为，设点的坐标为，连接，，得到，再根据计算即可；
【详解详析】
解：（1） 把代入，得，
反比例函数解析式为，
把代入得，则，
把，代入得，解得，
一次函数解析式为；
（2）由图象可知，不等式的解集为或；
（3）设直线与轴的交点为，设点的坐标为，连接，，
则点的坐标为，
，
，
，
，
，
，，
点的坐标为或．
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【名师指路】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象综合，求反比例函数与一次函数的解析式，准确计算是解题的关键．
24．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点D，且反比例函数交BC于点E，AD＝3．
（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）若矩形的面积是24，求出△CDE的面积．
（3）直接写出当x＞4时，y1的取值范围 ．
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【标准答案】（1）点D的坐标为：（4，3），；（2）；（3）
【思路指引】
（1）根据正比例函数表达式求出点D坐标，再利用待定系数法求反比例函数的关系式即可；
（2）根据矩形的面积求出AB的长，由反比例函数表达式求出点E坐标，再根据三角形面积公式计算即可；
（3）观察图象找出范围即可．
【详解详析】
解：（1）根据题意得：点D的纵坐标为3，
把y＝3代入得：，
解得：x＝4，
即点D的坐标为：（4，3），
把点D（4，3）代入得：，
解得：k＝12，
即反比例函数的关系式为：，
（2）设线段AB，线段CD的长度为m，
根据题意得：3m＝24，
解得：m＝8，
∴点B，点C的横坐标为：4+8＝12，
把x＝12代入得：y＝1，
∴点E的坐标为：（12，1），
∴CE＝3－1＝2，
∴S△CDE＝CE×CD＝×2×8＝8；
（3）观察图象，当x＞4时，y1的取值范围是0＜y1＜3，
故答案为：0＜y1＜3．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和待定系数法，掌握矩形和三角形的面积公式，读懂函数图象是解题的关键．
25．在直角坐标系中，直线yx与反比例函数y的图象在第一、三象限分别交于A、B两点，已知B点的纵坐标是﹣2．
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（1）写出点A的坐标，并求反比例函数的表达式；
（2）将直线yx沿y轴向上平移5个单位后得到直线l，l与反比例函数图象在第一象限内交于点C，与y轴交于点D．
（ⅰ）S△ABC S△ABD；（请用“＜”或“＝”或“＞”填空）
（ⅱ）求△ABC的面积．
【标准答案】（1）y＝，A（6，2）；（2）（ⅰ）＝；（ⅱ）30
【思路指引】
（1）根据点B的纵坐标是﹣2，结合正比例函数可得B（﹣6，﹣2），利用点B在反比例函数图像上，求出反比例函数的表达式为，再利用解方程组时，求出点A即可；
（2）（ⅰ）根据直线沿y轴向上平移5个单位后得到直线l，，得出直线AB与直线l1互相平行，可得平行线间的距离处处相等，两三角形底相同，高是平行线间的距离可得S△ABC＝S△ABD；（ⅱ）根据平移可得OD＝5，利用S△ABD＝S△BOD+S△AOD求出S△ABD，再利用S△ABC＝S△ABD可求．
【详解详析】
解：（1）∵点B的纵坐标是﹣2，
∴即x＝﹣6，
∴B（﹣6，﹣2），
把B的坐标代入，即k＝12，
∴反比例函数的表达式为，
点A是两函数的交点
∴
解方程组得
∴A（6，2）；
（2）（ⅰ）S△ABC＝S△ABD；
直线沿y轴向上平移5个单位后得到直线l，
∴直线AB与直线l1互相平行，
∵平行线间的距离处处相等，
∴S△ABC＝S△ABD；
故答案为：＝；
（ⅱ）由题意得，OD＝5，
∴S△ABD＝S△BOD+S△AOD=，
∴S△ABC＝S△ABD＝30．
【名师指路】
本题考查一次函数及其应用；反比例函数及其应用；模型思想．反比例函数和一次函数的交点问题，根据题意求出函数解析式是解题关键．
26．如图1，一次函数y＝kx+b与反比例函数相交于A（1，6），B（3，a）两点．
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（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图2，将线段AB向右平移 ( http: / / www.21cnjy.com )t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN．连接AM、BN．在线段AB运动过程中，若B点在MN的中垂线上，求t的值．
【标准答案】（1），y＝﹣2x+8；（2）5
【思路指引】
（1）根据A（1，6）求得反比例函数解析式，再求得点坐标，即可求解；
（2）根据中垂线的性质可得，求出点的坐标，即可求解．
【详解详析】
解：（1）∵A（1，6）在反比例函数的图象上，
∴，即m＝6，∴反比例函数为，
∵B（3，a）在反比例函数的图象上，
∴，∴B（3，2），
将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b得：
，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8；
（2）线段AB向右平移t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN，则M（1+t，6），N（3+t，2），
∵B点在MN的中垂线上，∴BM＝BN，
∴，解的t＝5．
故答案为：5
【名师指路】
此题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及了平移和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出不等式kx＋b的解集．
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【标准答案】（1）y1＝x＋2，y2；（2）最大值，P（0，2）；（3）﹣5＜x＜0或x＞3
【思路指引】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB﹣PC＝BC最大，利用勾股定理即可求得最大值；
（3）根据图象即可求得．
【详解详析】
解：（1）把A（3，5）代入y2（m≠0），可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为y2，
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx＋b，
可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x＋2；
（2）一次函数的解析式为y1＝x＋2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
过B点向x轴作垂线，由勾股定理可得：
BC；
（3）∵A（3，5），B（﹣5，﹣3）
∴根据函数图象可知，当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
即kx＋b的解集为：﹣5＜x＜0或x＞3．
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【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
28．如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点B和．
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（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【标准答案】（1），；（2）3
【思路指引】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据的面积=的面积+的面积求解.
【详解详析】
解：（1）设直线AB的解析式为y=ax+b，
把，代入，得
，
∴，
∴；
设反比例函数解析式为，
把代入，得
k=4，
∴；
（2）当x=0时，=-1，
∴OA=1，
∴的面积=的面积+的面积
=
=×1×2+×1×4
=3．
【名师指路】
本题考查了待定系数法求函数解析式，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
29．已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
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（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 ；
（3）直接写出不等式kx＋b＞的解 ；
（4）点P在x的负半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【标准答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）8；（3）或；（4）P点坐标为（，0），（，0），（，0）21cnjy.com
【思路指引】
（1）利用点A求出反比例函数表达式，进而求出B点坐标，最后将A、B坐标代入一次函数表达式即可．
（2）设直线AB与轴的交点为，将△AOB 分割成和进行求解即可．
（3）利用函数与不等式的关系，直接求解不等式kx＋b＞的解集即可．
（4）根据等腰三角形的判定，三边中两两相等，共分成三类情况进行讨论，即可求出P点坐标．
【详解详析】
（1）解：将A（﹣3，2）代入反比例函数y＝中得： ，即
反比例函数表达式为：．
B（1，n）在反比例函数图像上，
，即点坐标为（，），
A（﹣3，2）、（，）都在一次函数图像上，
，解得 ，
一次函数表达式为：．
（2）解：设直线AB与轴的交点为，
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令，解得，
故点坐标为（，），
A的坐标为（﹣3，2），的坐标为（，），点坐标为（，），
点到轴距离为2，点到轴距离为6，，
（3）解：由于kx＋b＞，故一次函数图像在反比例函数图像的上方，
故图像可得：或．
（4）解：由题意可得：
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由于△PAO为等腰三角形，故分为三类情况讨论，
情况1：时，此时有的坐标为（，0）
情况2：时，此时有的坐标为（，0），的坐标为（，0）（舍去）
情况3：时，过点作轴于点，设，
，，
在中，由勾股定理可知：，即，
解得，
的坐标为（，0），
综上所述：P点坐标为（，0），（，0），（，0）．
【名师指路】
本题主要是考查了待定系数法求解函数表达 ( http: / / www.21cnjy.com )式、分割三角形求面积、反比例函数与不等式、根据条件求点坐标，熟练掌握待定系数法求函数表达式，通过坐标轴分割三角形求面积，利用函数与不等式的关系求解集，根据图形的性质，求点坐标，这是解决此类题的关键．2·1·c·n·j·y
30．如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于，两点：
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（1）求反比例函数的函数表达式；
（2）点为轴负半轴上一点，直线与轴交于点，且，求的面积．
【标准答案】（1）；（2）1
【思路指引】
（1）把点B坐标代入反比例函数，求出n的值即可；
（2）把点A坐标代入求得m=-2，由得可知直线AC平行直线y=x，可设直线AC的解析式为y=x+b，把点A坐标代入求出b，进而求OC，即可得到结论．
【详解详析】
解：（1）把B（2，1）代入，得
∴
∴反比例函数的表达式为；
（2）把A（m，-1）代入，得
∴
∴A（-2，-1）
∵，
∴
∴直线AC平行直线y=x，
设直线AC的表达式为
把A（-2，-1）代入得，
∴b=1
∴OC=1
∴
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．21世纪教育网版权所有
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