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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即 ( http: / / www.21cnjy.com )八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21·世纪*教育网
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。21*cnjy*com
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进阶练5：整式方程综合（教师版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣6
【标准答案】C
【思路指引】
将x＝2代入方程x＋a＝－1可求得．
【详解详析】
解：将x＝2代入方程x+a＝﹣1得1+a＝﹣1，
解得：a＝﹣2．
故选C．
【名师指路】
本题是一道求方程待定字母值的试题，把方程的解代入原方程是求待定字母的值的常用方法，平时应多注意领会和掌握．
2．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，且满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由已知可得，且 =2-4>0，可通过解方程得解.
【详解详析】
是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，
所以，且 =2-4>0
又，
所以，=；
解得m1=3,m2=2,
当m=2时， =0，不合题意
故m=3
故选B
【名师指路】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．
3．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（ ）
A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根 B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根
C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根 D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根
【标准答案】C
【思路指引】
根据方程有两个相等的实数根可 ( http: / / www.21cnjy.com )得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
【详解详析】
解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，
∴
∴b=a+1或b=-（a+1）．
当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；
当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠-（a+1），
∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
故选C．
【名师指路】
本题考查根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
4．关于的一元二次方程有一个根为，则的值应为（ ）
A． B． C．或 D．
【标准答案】B
【思路指引】
把x=0代入方程可得到关于m的方程，解方程可得m的值，根据一元二次方程的定义m-2≠0，即可得答案.
【详解详析】
关于的一元二次方程有一个根为，
且，
解得，．
故选B．
【名师指路】
本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解，明确一元二次方程的二次项系数不为0是解题关键.
5．将方程去分母得( )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据等式的性质，方程两边同时乘以两个分母的最小公倍数，整理后即可得到答案．
【详解详析】
解：方程两边同时乘以6得：
6× -6×=6×1，
整理得：2x-（x-2）=6，
故选A．
【名师指路】
本题考查解一元一次方程，正确掌握等式的性质是解题的关键．
6．一次函数和的图象都经过点A（－2，0），且与轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【标准答案】B
【思路指引】
首先把（-2，0）分别代入一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y=3x+p和y=x+q中，可求出p，q的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【详解详析】
解：一次函数y=3x+p和y=x+q的图象都经过点A（-2，0），
把（-2，0）代入解析式得-6+p=0，-2+q=0，
解得p=6，q=2，
则函数的解析式是y=3x+6，y=x+2，
这两个函数与y轴的交点是B（0，6），C（0，2）．
因而CB=4，
因而△ABC的面积是×2×4=4．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了函数解析式与图象的关系．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．
7．已知直线与直线相交于点，那么关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
首先把代入直线，求出a的值，从而得到P点坐标，再把点P代入直线得出，代入方程即可求解．
【详解详析】
直线经过点，
，
解得，
，
把点P代入直线，
，即，
方程，（）
，
，
．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，解题关键是求出P点坐标．
8．小军用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数图象l1、l2，如图所示，则这个方程组是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
两个一次函数的交点为两个一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组．
【详解详析】
解：由图可知：
直线l1过（2，﹣2），（0，2），因此直线l1的函数解析式为：y＝﹣2x+2；
直线l2过（0，﹣1），（2，﹣2），因此直线l2的函数解析式为：yx﹣1；
因此所求的二元一次方程组为；
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
9．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P，则以下结论：①；②；③当时，；④当时，；其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
根据正比例函数的图象和性质可判断①③；根据两直线的交点坐标可判断②④．
【详解详析】
①∵正比例函数的图象过第二、四象限，
∴ 故①错误；
②∵正比例函数与一次函数的图象交于点P，且点P的横坐标为-2，
∴ ，即，故②正确；
③当时，正比例函数的图象在x轴的上方，即，故③正确；
④由图象知：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即，故④错误，所以正确的有2个．
故选：B
【名师指路】
本题主要考查了正比例函数的图象和性质，一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数与一元一次方程和一元一次不等式的关系，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象和性质，根据一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系，求解方程和不等式的解集．【出处：21教育名师】
10．下列说法正确的有（ ）个．
（1）到y轴的距离是2的点的纵坐标是2；
（2）点（﹣2，3）与点（3，﹣2）关于原点对称；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组的解；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
依据点的坐标的概念，关于原点对称的点的特征，一次函数与二元一次方程组的关系以及不同象限内点的坐标特征，即可得到正确结论．
【详解详析】
（1）到y轴的距离是2的点的横坐标是2，该选项错误，不符合题意；
（2）点（﹣2，3）与点（2，﹣3）关于原点对称，该选项错误，不符合题意；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组的解，正确，符合题意；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数，正确，符合题意．
综上，正确的有（3）（4），共2个，
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了点的坐标的概念，关于坐标轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com )的点的特征以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
二、填空题
11．已知直线y＝3x与y＝﹣x+b的交点坐标为（a，3）则2b+a的平方根是______．
【标准答案】±3
【思路指引】
将x＝a，y＝3代入y＝3x，求得a＝1，将x＝1，y＝3代入y＝﹣x+b得b＝4，然后可求得2b+a的值，进而求出2b+a的平方根．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：∵将x＝a，y＝3代入y＝3x得：3＝3a，
解得a＝1，
∴直线y＝3x与y＝﹣x+b的交点坐标为（1，3）．
将x＝1，y＝3代入y＝﹣x+b得：﹣1+b＝3．
解得：b＝4．
∴2b+a＝8+1＝9，
∴2b+a的平方根是±3．
故答案为：±3．
【名师指路】
本题考查了两条直线相交问题以及平方根，根据题意求得a、b的值是解题的关键．
12．若、为全体实数，那么任意给定、，两个一次函数和（≠）的图象的交点组成的图象方程是_________．
【标准答案】＝1
【思路指引】
根据两个一次函数的图象的交点求法，得到y1=y2，求出交点，即可得出两函数图象的交点组成的图象方程．
【详解详析】
解：∵当两个一次函数y1=mx+ ( http: / / www.21cnjy.com )n和y2=nx+m（m≠n）的图象的有交点时，
∴y1=y2，
∴mx+n=nx+m，
mx-nx=m-n，
（m-n）x=m-n，
∵m≠n，
∴x=1，
故答案为：x=1．
【名师指路】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，利用方程组的解就是两个一次函数相应的交点坐标得到y1=y2，进而求出x是解决问题的关键．
13．若直线经过直线与的交点，则b的值为____________．
【标准答案】-5
【思路指引】
先求出直线y=x-2与直线y=-x+4的交点坐标，再代入直线y=2x+b，求出b的值．
【详解详析】
解：解方程组，
得．
∴直线与的交点为（3，1）
把（3，1）代入y=2x+b，
得：1=2×3+b，
解得：b=-5．
故答案为-5．
【名师指路】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满 ( http: / / www.21cnjy.com )足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
14．一次函数与的图象与y轴围成的三角形的面积是________．
【标准答案】16
【思路指引】
首先求出两直线与y轴的交点坐标，再求出两直线的交点坐标，进而求出三角形的面积．
【详解详析】
解：在中，令x=0，则y=1；
在中，令x=0，则y=-7；
∴两个一次函数与y轴的交点坐标分别为（0，1）和（0，-7），
解方程组，得，
两直线的交点坐标为(4，)，
∴两直线与y轴围成的三角形面积为×4×(1+7)=16．
故答案为：16．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数图象上的交点坐标以及直线与y轴围成的三角形的面积，解题的关键是求出两直线交点坐标，此题难度不大．
15．如图，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点与轴交于点，交轴于点．直线上有一点（在轴上方）且，则点的坐标为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
分别解得直线、与坐标轴的交点即点、、，根据平行线的性质解得直线AE的解析式，再解得点，最后由三角形面积公式解题．
【详解详析】
解：令，直线与轴的交点，
令，直线与轴的交点，
直线与直线的交点为：
即
解得，
把代入得，
令，直线与轴的交点，
设直线AE的解析式为，将点代入得，
当时，
把代入直线：，得
故答案为：．
【名师指路】
本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二元一次方程组、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．21cnjy.com
16．在平面直角坐标系xOy中， ( http: / / www.21cnjy.com )若直线y＝2x＋3向下平移n个单位长度后，与直线y＝﹣x＋2的交点在第一象限，则n的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
【标准答案】1＜n＜7
【思路指引】
直线y=2x+3向下平移n个单位 ( http: / / www.21cnjy.com )长度可得：y=2x+3-n，求出直线y=2x+3-n与直线y=-x+2的交点，再由此点在第一象限可得出n的取值范围．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：直线y=2x+3向下平移n个单位后可得：y=2x+3-n，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：1＜n＜7．
故答案为：1＜n＜7．
【名师指路】
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0．
17．某校2010年捐款1万元给希望工程， ( http: / / www.21cnjy.com )以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是___________.21教育名师原创作品
【标准答案】50%；
【思路指引】
本题的等量关系是2013到2015三年捐款总额是4.75．在列式时注意不要漏掉.
【详解详析】
设该校捐款的平均年增长率是x
则
整理，得
解得x1=0.5=50%,x2=-3.5（不合题意，舍去）
答：该校捐款的平均年增长率是50%.
【名师指路】
本题考查了一元二次方程相关的实际问题.
18．同一平面直角坐标系中，一次函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )k1x+b的图象与一次函数y=k2x的图象如图所示，则关于x的方程k1x+b=k2x的解为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】x=-1
【思路指引】
根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解，可得答案．
【详解详析】
解：由函数图象，得两直线的交点坐标是（-1，-2），
所以，关于x的方程k1x+b=k2x的解为x=-1，
故答案为x=-1．
【名师指路】
本题考查了一次函数与一元一次方程，两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．
19．若实数m，n满足m+n＝mn，且n≠0时，就称点P(m，)为“完美点”，若反比例函数y＝的图象上存在两个“完美点”A，B，且AB＝，则k的值为_____．
【标准答案】
【思路指引】
先得出完美点所在的函数解析式，再利用韦达定理求出k的值，进而得出答案．
【详解详析】
解：∵ 且 ，
∴，即，
∴ ，
即 “完美点” 在直线上，设点A、B坐标分别为，
令 ，化简得，
∵,
∴，
由韦达定理，
∴，
∴，
解得：.
此时 中，Δ>0,
∴,
故答案为.
【名师指路】
此题考查了反比例函数以及根与系数的关系等知识，利用反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
20．已知α、β是方程x2+x﹣6=0的两根，则α2β+αβ=_____．
【标准答案】12或﹣18．
【思路指引】
先利用根与系数的关系得到 ( http: / / www.21cnjy.com )α+β=﹣1，αβ=﹣6，所以α2β+αβ=αβ（α+1）=﹣6（α+1），再解方程解方程x2+x﹣6=0得x1=﹣3，x2=2，然后把α=﹣3和α=2分别代入计算即可．21世纪教育网版权所有
【详解详析】
根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣6，
所以α2β+αβ=αβ（α+1）=﹣6（α+1），
而解方程x2+x﹣6=0得x1=﹣3，x2=2，
当α=﹣3时，原式=﹣6（﹣3+1）=12；
当α=2时，原式=﹣6（2+1）=﹣18．
故答案为12或﹣18．
【名师指路】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
三、解答题
21．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中 ( http: / / www.21cnjy.com )”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加，求a的值．
【标准答案】（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．
【思路指引】
（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
，
解得．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：．
令a%=m，则方程化为：．
整理得10m2-m=0，
解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值为10．
【名师指路】
本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键．
22．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．
【标准答案】（1）且；（2），．
【思路指引】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解详析】
（1）∵
．
解得且．
（2）∵为正整数，
∴．
∴原方程为．
解得，．
【名师指路】
考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
23．已知一元二次方程有两个根分别为．
（1）求的取值范围；
（2）若原方程的两个根满足，求的值．
【标准答案】（1）≤－1；（2）
【思路指引】
（1）一元二次方程有两个根，故△＝≥0；（2）根据根与系数关系可得：，，又，故，，即.2·1·c·n·j·y
【详解详析】
（1）∵一元二次方程有两个根分别为
∴△＝≥0
∴≥0，∴≥0，
∴≥0，∴≥0，
∴≤－1；
（2）∵，，
又
∴
∴
∴
∴，
∵≤－1
∴
【名师指路】
掌握一元二次方程的根判别式和根与系数关系是关键.
24． 用适当的方法解方程：
（1）（x+1）（x﹣2）＝x+1；
（2）（2x﹣5）2﹣（x﹣2）2＝0．
【标准答案】（1）x1＝﹣1，x2＝3；（2）x1＝，x2＝3．
【思路指引】
(1)先移项,再直接提取公因式进而分解因式解方程即可．
(2)利用平方差公式进行因式分解从而求解.
【详解详析】
解：
（1）∵（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3；
（2）∵[（2x﹣5）+（x﹣2）][（2x﹣5）﹣（x﹣2）]＝0，
∴（3x﹣7）（x﹣3）＝0，
则3x﹣7＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝3．
【名师指路】
本题考查解一元二次方程的能力，熟 ( http: / / www.21cnjy.com )练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21*cnjy*com
25．设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值．
【标准答案】-3
【思路指引】
先把x=-2代入方程，得到关于p，q的等式，把有关的项合并后，令它的系数部分为0，就可求出方程p、q的值．
【详解详析】
解：把-2代入方程，9-4-p+2p+q=0，
∴-×（4+p）+（2p+q+9）=0，
∵p、q是整数，
∴p=-4，q=-1，
∴p-q=-4+1=-3．
【名师指路】
本题考查的是一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的根即方程的解的定义．当方程中有一根是无理数，字母系数为整数时，把有关无理数的项合并一起后，令它的系数部分为0，就可求出方程中字母系数的值．
26．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
【标准答案】（1）；（2）；
【思路指引】
（1）根据和解方程定义,将x=代入方程求解即可,（2）根据和解方程定义,将x=和x代入方程求解即可.
【详解详析】
解：（1）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
∴
∴．
（2）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
又∵是它的解，
．
∴．
把代入方程，得．
∴．
∴．
．
∴．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的求解,和解方程的定义,中等难度,理解和解方程的定义,将解代入方程求解是解题关键.
27．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若 ( http: / / www.21cnjy.com )P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： ．
【标准答案】（1）点C的坐标为（4，3）；（2）Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；（3）y=x﹣7．
【思路指引】
（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；
（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；
（3）设P的坐标为（m，0）， ( http: / / www.21cnjy.com )作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），求得C′（3+m，m-4），即可得出结论．
【详解详析】
（1）由方程组得，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x，），
当Q点在C的上方时，S△OCQ=S△OBC﹣S△OBQ=12，
∴×8×4﹣=12，解得，x=1，
∴此时Q的坐标为（1，）；
当Q点在线段AC上时，
S△OAC=××3=9.6<12，不存在，舍去；
当Q点在A的下方时，S△OCQ=S△OAC+S△OAQ=12，
∴××3+=12，解得，x=7，
∴此时Q的坐标为（7，﹣），
故Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵C（4，3），
∴OM=4，CM=3，
∴PM=，
∵∠CPM+∠C′PN=90°=∠CPM+∠PCM，
∴∠C′PN=∠PCM，
在△PCM和△C′PN中，
，
∴△PCM≌△C′PN（AAS），
∴PN=CM=3，C′N=PM=4﹣m，
∴ON=3+m，
∴C′（3+m，m﹣4），
∴点C′始终在直线上y=x﹣7运动，
故答案为：y=x﹣7．
【名师指路】
本题考查了两条直线相交问题，一次函数图像 ( http: / / www.21cnjy.com )上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键：（1）解由解析式联立构成的方程组；（2）分类讨论；（3）表示出C′的坐标．21教育网
28．如图，在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点A(a，b)，B(m，n)分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点(点A对应点C)．
（1）写出C，D两点的坐标；(用含相关字母的代数式表示)
（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．
①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；
②在平面直角坐标系中，任何一个二元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(x，y)都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k(pq≠0)的图象经过点B，D及点(s，t)，判断s+t与m+n是否相等，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）C(a+h，b﹣1)，D(m+h，n﹣1)；（2）①证明见解析；②m+n＝t+s，理由见解析
【思路指引】
（1）根据平移规律解决问题即可．．
（2）①证明A，D的纵坐标相等即可解决问题
②如图，设AD交直线l于J，首先证明BJ＝DJ＝1，推出D(m+1，n﹣1)，再证明p＝q，即可解决问题．
【详解详析】
解：（1）由题意，C(a+h，b﹣1)，D(m+h，n﹣1)．
（2）①∵b＝n﹣1，
∴A(a，b)，D(m+h，n﹣1)，
∴点A，D的纵坐标相等，
∴AD⊥x轴，
∵直线l⊥AD，
∴直线l⊥x轴．
②如图，设AD交直线l于J，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵DE的最小值为1，
∴DJ＝1，
∵BJ＝1，
∴D(m+1，n﹣1)
∴二元一次方程px+qy＝k(pq≠0)的图象经过点B，D，
∴mp+nq＝k，(m+1)p+(n﹣1)q＝k，
∴p﹣q＝0，
∴p＝q，
∴m+n，
∵tp+sp＝k，
t+s，
∴m+n＝t+s．
【名师指路】
本题考查坐标与图形的变化——平移，二元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．如图，在平面直角坐标系中，，点P为内任一点，连接PO．PA．PB，将绕着点A顺时针旋转60°得到，连接．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）当与满足什么条件时，的值最小，并求出此最小值；
（Ⅲ）试直接写出（Ⅱ）中的点P坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）当时，的值最小，最小为；（3）
【思路指引】
（1）先求AB得长，再根据旋转角为，求点的坐标即可；
（2）根据两点之间线段最短，求的最小值；
（3）先将（2）中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°，求得点B″的坐标，再根据点P为OB′与AB″的交点，联立方程组求得交点P的坐标即可．21·cn·jy·com
【详解详析】
（1），
将绕着点顺时针旋转得到，
∴，，
；
（2）如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由旋转可得：是等边三角形，
，
当四点共线时，的值最小，
即时，的值最小，
此时，；
（3）如图，将（2）中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°得到△OB″P″，
则∠BOB″=60°，OB″=OB=1，
∴点的坐标为，
由（2）可知A、 P、P″、B″四点共线，
∴点P为与AB″的交点，
根据A、 B″两点的坐标可得直线AB″的解析式为，
根据的坐标可得直线的解析式为，
联立方程组，解得．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了几何变换中的旋转变换，掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握旋转的性质是关键，在求最小值时，往往需要考虑两点之间线段最短或者垂线段最短等基本结论，求两直线的交点时，需要联立方程组进行求解．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E．
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（1）直线l对应的函数表达式是__________，点E的坐标是__________；
（2）在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1），；（2）存在，；（3）或
【思路指引】
（1）根据一次函数平移的方法求出直线l对应的函数表达式，再联立两个直线解析式求出交点坐标；
（2）作轴于M，轴于N，利用，得到F点的横坐标，再代入解析式求出F点纵坐标即可；
（3）在y轴正半轴上取一点Q，使，利用等腰三角形的性质得，即可求出，再由勾股定理求出OP的长，得到点P坐标．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解：（1）正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度，
得，
联立两个直线解析式，得，解得，
∴，
故答案是：，；
（2）如图，作轴于M，轴于N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴；
（3）易知，，
∴，，
如图，在y轴正半轴上取一点Q，使，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴或．
【名师指路】
本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求法，以及利用数形结合思想解决一次函数与几何综合问题．【版权所有：21教育】
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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八 ( http: / / www.21cnjy.com )讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。2·1·c·n·j·y
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。【来源：21·世纪·教育·网】
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进阶练5：整式方程综合（学生版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣6
2．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，且满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（ ）
A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根 B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根
C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根 D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根
4．关于的一元二次方程有一个根为，则的值应为（ ）
A． B． C．或 D．
5．将方程去分母得( )
A． B． C． D．
6．一次函数和的图象都经过点A（－2，0），且与轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知直线与直线相交于点，那么关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
8．小军用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数图象l1、l2，如图所示，则这个方程组是（ ）21*cnjy*com
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A． B．
C． D．
9．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P，则以下结论：①；②；③当时，；④当时，；其中正确的有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列说法正确的有（ ）个．
（1）到y轴的距离是2的点的纵坐标是2；
（2）点（﹣2，3）与点（3，﹣2）关于原点对称；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组的解；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．已知直线y＝3x与y＝﹣x+b的交点坐标为（a，3）则2b+a的平方根是______．
12．若、为全体实数，那么任意给定、，两个一次函数和（≠）的图象的交点组成的图象方程是_________．21cnjy.com
13．若直线经过直线与的交点，则b的值为____________．
14．一次函数与的图象与y轴围成的三角形的面积是________．
15．如图，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点与轴交于点，交轴于点．直线上有一点（在轴上方）且，则点的坐标为________．21·cn·jy·com
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16．在平面直角坐标系xOy ( http: / / www.21cnjy.com )中，若直线y＝2x＋3向下平移n个单位长度后，与直线y＝﹣x＋2的交点在第一象限，则n的取值范围是________．21教育网
17．某校2010年捐款1万元 ( http: / / www.21cnjy.com )给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是___________.www.21-cn-jy.com
18．同一平面直角坐标系中，一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数y=k1x+b的图象与一次函数y=k2x的图象如图所示，则关于x的方程k1x+b=k2x的解为______．21世纪教育网版权所有
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19．若实数m，n满足m+n＝mn，且n≠0时，就称点P(m，)为“完美点”，若反比例函数y＝的图象上存在两个“完美点”A，B，且AB＝，则k的值为_____．【出处：21教育名师】
20．已知α、β是方程x2+x﹣6=0的两根，则α2β+αβ=_____．
三、解答题
21．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在 ( http: / / www.21cnjy.com )自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．【版权所有：21教育】
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加，求a的值．
22．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．
23．已知一元二次方程有两个根分别为．
（1）求的取值范围；
（2）若原方程的两个根满足，求的值．
24． 用适当的方法解方程：
（1）（x+1）（x﹣2）＝x+1；
（2）（2x﹣5）2﹣（x﹣2）2＝0．
25．设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值．
26．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．21·世纪*教育网
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
27．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．2-1-c-n-j-y
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（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： ．
28．如图，在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )xOy中，点A(a，b)，B(m，n)分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点(点A对应点C)．
（1）写出C，D两点的坐标；(用含相关字母的代数式表示)
（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．
①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；
②在平面直角坐标系中，任何一个 ( http: / / www.21cnjy.com )二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(x，y)都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k(pq≠0)的图象经过点B，D及点(s，t)，判断s+t与m+n是否相等，并说明理由．21教育名师原创作品
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29．如图，在平面直角坐标系中，，点P为内任一点，连接PO．PA．PB，将绕着点A顺时针旋转60°得到，连接．21*cnjy*com
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）当与满足什么条件时，的值最小，并求出此最小值；
（Ⅲ）试直接写出（Ⅱ）中的点P坐标．
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30．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E．
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（1）直线l对应的函数表达式是__________，点E的坐标是__________；
（2）在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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