【分层培优】进阶练6:分式方程综合(学生版+教师版)-2022年八年级数学寒假优质讲义(沪教版)

文档属性

名称 【分层培优】进阶练6:分式方程综合(学生版+教师版)-2022年八年级数学寒假优质讲义(沪教版)
格式 zip
文件大小 2.6MB
资源类型 试卷
版本资源 沪教版
科目 数学
更新时间 2022-01-13 14:23:04

文档简介

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学科君工作室小注:
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发,供中等及以上学生使用。
思路设计:采取“二八法”,即八讲 知识结构+ ( http: / / www.21cnjy.com )知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练(适合分数在85-105段学生使用),八讲 进阶综合练(适合分数在105-120段学生使用),所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中,知识难度层层递进,由简到难。21世纪教育网版权所有
开学测试模拟卷:满分100分制,难度在八年级上学期全册+下学期前两章,既可以作为本套专辑结课测试,亦可作为名校开学测试模拟卷。www-2-1-cnjy-com
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进阶练6:分式方程综合(教师版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.下列每小题中的两个方程的解相同有( )组.
(1)与;(2)与;
(3)与;(4)与
A.0 B.1 C.2 D.3
【标准答案】C
【思路指引】
分别解每组方程进行判断即可.
【详解详析】
解:(1)解方程得x=1,
经检验,x=1是该方程的解;
解得x=1,
故两个方程同解;
(2)解得x=2,
经检验,x=2不是该方程的解,该方程无解;
解得x=2,
故两个方程不同解;
(3)解得x=1,
经检验,x=1不是该方程的解,该方程无解;
解得x=1,
故两个方程不同解;
(4)解得x=3,
经检验,x=3是该方程的解;
解得x=3,
故两个方程同解,
故选:C.
【名师指路】
此题考查解分式方程及解一元一次方程,正确掌握解分式方程及一元一次方程的解法是解题的关键,注意解分式方程需检验.21cnjy.com
2.要使关于的一元二次方程有两个实数根,且使关于的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为( )21教育名师原创作品
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
【标准答案】C
【思路指引】
根据一元二次方程的应用以及根据的判别式得到且,将分式方程整理为整式方程,得出的解,然后根据分式方程的解为非负数确定的取值范围,然后写出此范围内的整数即可.【出处:21教育名师】
【详解详析】
解:∵关于的一元二次方程有两个实数根,
∴且,
∴且,
对于分式方程,
去分母得,
解得:,
∵分式方程的解为非负数,
∴且,
解得且,
∴且,,
∴整数的值为、、、、、、、共个,
故选:C.
【名师指路】
本题考查了根得判别式:一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2 4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的两个实数根;当Δ<0时,方程无实数根.也考查了分式方程的解.
3.关于x的不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程的解为非负整数,则符合条件的所有整数a的和为( )
A.34 B.24 C.18 D.14
【标准答案】C
【思路指引】
求出不等式组的解集,确定a的取值范围,由分式方程的解得出不等式,求出a的取值范围,确定a的整数值求和即可.
【详解详析】
解不等式组得:,
∴,
∵不等式组至少有2个整数解,
∴符合条件的整数至少是2和3,


分式方程去分母得:,
∴,
∵分式方程的解为非负整数,
∴且为整数,,
解得:,是偶数
综上所述,是偶数
∵a为整数,
∴a的值为8,10
∴8+10=18,
故选:C.
【名师指路】
本题考查了不等式组的取值范围,分式方程的解,分式方程的增根容易忽略,仔细求解,考虑周全是解决本题的关键.
4.若关于x的不等式组至少有4个整数解,且关于y的分式方程=1的解是非负数,则符合条件的所有整数a的和是(  )
A.17 B.20 C.22 D.25
【标准答案】B
【思路指引】
分别求出符合不等式组和分式方程解的条件的整数a,再计算出所有整数a的和.
【详解详析】
由②得:
解得:
∵不等式组至少有4个整数解,如图所示:
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴,
解该分式方程得:,
∵且,
解得:且,
∴取且的整数,
即取3,4,6,7,
∴.
故选:B.
【名师指路】
本题考查解不等式组与分式方程,掌握它们的解法是解题的关键.
5.若分式方程无解,则a的值是( )
A.-5 B.4 C.3 D.0
【标准答案】A
【思路指引】
按解分式方程的步骤化为关于x的一元一次方程,可知x=4是一元一次方程的解,把解代入即可求得a的值.
【详解详析】
方程两边同乘(x-4),得:

由题意知,x=4是原分式方程的增根,则它是的解

解得
故选:A
【名师指路】
本题是分式方程无解问题,考查了分式方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )解法,一元一次方程的解的概念,关键是理解分式方程无解,则它在一般情况下是有增根,也即使分式方程的分母为零的未知数的值.2-1-c-n-j-y
6.若分式方程无解,则的值为( )
A.0 B.6 C.0或6 D.0或
【标准答案】C
【思路指引】
存在两种情况会无解:
(1)分式方程无解,则得到的解为方程的增根;
(2)分式方程转化为一元一次方程后,方程无解
【详解详析】
情况一:解是方程的增根
分式方程转化为一元一次方程为:mx=6x-18
移项并合并同类项得:(6-m)x=18
解得:
∵分式方程无解,∴这个解为分式方程的增根
要想是分式方程的增根,则x=3或x=0
显然不可能为0,则
解得:m=0
情况二:转化的一元一次方程无解
由上知,分式方程可转化为:(6-m)x=18
要使上述一元一次方程无解,则6-m=0
解得:m=6
故选:C
【名师指路】
本题考查分式无解的情况: ( http: / / www.21cnjy.com )(1)解分式方程的过程中,最常见的错误是遗漏检验增根,这一点需要额外注意;(2)一元一次方程ax+b=0中,当a=0,b≠0时,方程无解.
7.要使关于x的一元二次方程有两个实数根,且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【标准答案】B
【思路指引】
根据一元二次方程根的情况得到且解得:且,再把分式方程化简求值得:,因为解为非负数,且即且,所以且,即可得出满足题意的整数解.
【详解详析】
解:关于x的一元二次方程有两个实数根


关于x的分式方程
去分母得:
解得:
分式方程的解为非负数
且即且

满足题意的整数的值为
故答案为:B.
【名师指路】
本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解,注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义,这是此题的易错点.
8.关于x的方程的两个解为,,的两个解为,;的两个解为,,则关于x的方程的两个解为( )
A., B.,
C., D.,
【标准答案】D
【思路指引】
由于可化为,由题中可得规律:方程 (其中为正整数)的解为,,根据这个规律即中得方程的解.
【详解详析】


∴上述方程有解及
即及
所以原方程的解为,
故选:D
【名师指路】
本题主要考查了一类特殊方程的解,这是一个规律性的问题,要从所给的前面几个方程的解,归纳出一般性的结论,再所得的一般性结论,求出所给方程的解,体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程,这是数学中常用的方法;这里也用到了整体思想,即要分别把、看成一个整体,才能符合题中所给方程的结构,否则无法完成.
9.关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的一元一次不等式组有解,则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A. B. C. D.
【标准答案】B
【思路指引】
先将分式方程化为整式方程,得到它的解为,由它的解为正数,同时结合该分式方程有解即分母不为0,得到且,再由该一元一次不等式组有解,又可以得到,综合以上结论即可求出a的取值范围,即可得到其整数解,从而解决问题.
【详解详析】
解:,
两边同时乘以(),
,
,
由于该分式方程的解为正数,
∴,其中;
∴,且;
∵关于y的元一次不等式组有解,
由①得:;
由②得:;
∴,

综上可得:,且;
∴满足条件的所有整数a为:;
∴它们的和为;
故选B.
【名师指路】
本题涉及到含字母参数的分式方程和含字 ( http: / / www.21cnjy.com )母参数的一元一次不等式组等内容,考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识,要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式,求出a的取值范围进而求解,本题对学生的分析能力有一定要求,属于较难的计算问题.
10.已知点A(x1,y1)在反比例函数y1=的图象上,点B(x2,y2)在一次函数y2=kx﹣k的图象上,当k>0时,下列判断中正确的是(  )
A.当x1=x2>2时,y1>y2 B.当x1=x2<2时,y1>y2
C.当y1=y2>k时,x1<x2 D.当y1=y2<k时,x1>x2
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意,首先列分式方程并求解 ( http: / / www.21cnjy.com ),得到反比例函数和一次函数的两个交点;再根据x和y的不同取值范围,结合反比例函数和一次函数图像的性质分析,即可得到答案.21·cn·jy·com
【详解详析】
当y1= y2时,得

∴,
经检验,,为原方程的解
当时,
当时,
∵y1随x1增大而减小,y2随x2增大而增大,
∴当x1=x2>2时,,
∵k>0
∴,即选项A错误;
当-1<x1=x2<0时,y1<y2
∴选项B错误;
∴当y1=y2>k时,,
∴x1<x2,即选项C正确;
∴当-k<y1=y2<0时,,
∴x1<x2,即选项D不正确;
故选:C.
【名师指路】
本题考查了分式方程、反比例函数和一次函数的知识;解题的关键是熟练掌握分式方程、反比例函数和一次函数图像的性质,从而完成求解.【来源:21cnj*y.co*m】
二、填空题
11.若二次根式有意义,且关于x的分式方程+2=有正数解,则符合条件的整数m的和是 _____.
【标准答案】-4
【思路指引】
根据二次根式有意义,可得m≤2,解出关于x的分式方程 +2=的解为x=,解为正数解,进而确定m的取值范围,注意增根时m的值除外,再根据m为整数,确定m的所有可能的整数值,求和即可.
【详解详析】
解:+2=,
去分母得,﹣m+2(x﹣1)=3,
解得,x=,
∵关于x的分式方程+2=有正数解,
∴>0,
∴m>﹣5,
又∵x=1是增根,当x=1时,=1,即m=﹣3,
∴m≠﹣3,
∵有意义,
∴2﹣m≥0,
∴m≤2,
因此﹣5<m≤2且m≠﹣3,
∵m为整数,
∴m可以为﹣4,﹣2,﹣1,0,1,2,其和为﹣4,
故答案为:﹣4.
【名师指路】
考查二次根式的意义、分式方程的解法,以及分式方程产生增根的条件等知识,理解正数解,整数m的意义是正确解答的关键.21教育网
12.已知实数满足方程,则____________.
【标准答案】
【思路指引】
设,将原式整理为含的方程即可得出答案
【详解详析】
解:设,
则原方程为:,
则:,
解得:,
当时,无实数解,故舍去,
经检验是的解,
故答案为:.
【名师指路】
本题考查了换元法解方程,解一元二次方程,熟练掌握解方程的一般步骤是解本题的关键.
13.已知、是方程的两个实数根且满足,则的值为__________.
【标准答案】
【思路指引】
将变形为,然后根据根与系数的关系代入求解即可.
【详解详析】
解:∵、是方程的两个实数根,
∴,,
将通分整理为,
∴,
解得:,
经检验,是方程的根,
故答案为:.
【名师指路】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系,以及解分式方程,分式的加法等知识点,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键.
14.关于的方程化为整式方程后,会产生增根,则的值为__________.
【标准答案】3
【思路指引】
将分式方程化为整式方程,再将分式方程的增根代入整式方程计算即可求解.
【详解详析】
方程两边同乘以,得,
当时,,
∴关于的方程的增根为,
当时,,解得
故答案为:3.
【名师指路】
本题主要考查分式方程的增根,求解方程的增根是解题的关键.
15.要使关于的方程的解是正数,的取值范围是___..
【标准答案】且a≠-3.
【详解详析】
分析:解分式方程,用含a的式子表示x,由x>0,求出a的范围,排除使分母为0的a的值.
详解:,
去分母得,(x+1)(x-1)-x(x+2)=a,
去括号得,x2-1-x2-2x=a,
移项合并同类项得,-2x=a+1,
系数化为1得,x=.
根据题意得,>0,解得a<-1.
当x=1时,-2×1=a+1,解得a=-3;
当x=-2时,-2×(-2)=a+1,解得a=3.
所以a的取值范围是a<-1且a≠-3.
故答案为a<-1且a≠-3.
点睛:本题考查了由分式方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )解的情况求字母系数的取值范围,这种问题的一般解法是:①根据未知数的范围求出字母的范围;②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中,求出对应的字母系数的值;③综合①②,求出字母系数的范围.www.21-cn-jy.com
16.若关于x的分式方程=3的解是负数,则字母m的取值范围是 ___________ .
【标准答案】m>-3且m≠-2
【思路指引】
先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是负数”建立不等式求m的取值范围.
【详解详析】
原方程整理得:2x-m=3(m+1),
解得:x=-(m+3),
∵x<0,
∴-(m+3)<0,即m>-3,
∵原方程是分式方程,
∴x≠-1,即-(m+3)≠-1,
解得:m≠-2,
综上所述:m的取值范围是m>-3,且m≠-2,
故答案为m>-3,且m≠-2
【名师指路】
此题考查了分式方程的解,解答本题时,易漏掉分母不等于0这个隐含的条件,熟练掌握解分式方程的方法及分式有意义的条件是解题关键.
17.当m= __________ 时,关于x的分式方程没有实数解.
【标准答案】4或-6
【思路指引】
先将分式方程化为整式方程,根据方程没有实数解会产生增根判断增根是x=3或x=-2,再把增根x=3或x=-2代入整式方程即可求出m的值.
【详解详析】
解:方程变形为,
方程两边同时乘以去分母得:x+m+3+x-3=0;
整理得:2x+m=0
∵关于x的分式方程没有实数解.
∴分式方程有增根x=3或x=-2.
把x=3和x=-2分别代入2x+m=0中
得m=-6或m=4.
【名师指路】
分式方程无解问题或增根问题可按如下步骤进行: ( http: / / www.21cnjy.com )①根据最简公分母确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.但也要注意,有时分式方程转化成的整式方程本身没有实数根,也是导致分式方程没有实数根的一种情况,所以要考虑全面,免得漏解.
18.若关于的方程无解.则=________.
【标准答案】3
【思路指引】
先去分母得到整式方程x=2(x-3)+m,整理得x+m=6,由于关于x的方程无解,则x-3=0,即x=3,然后把x=3代入x+m=6即可求出m的值.
【详解详析】
去分母得x=2(x 3)+m,
整理得x+m=6,
∵关于x的方程无解.
∴x 3=0,即x=3,
∴3+m=6,
∴m=3.
故答案为3.
【名师指路】
此题考查分式方程的解,解题关键在于利用方程无解进行解答.
19.如果在解关于的方程时产生了增根,那么的值为_____________.
【标准答案】或.
【思路指引】
分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的,分式方程的增根是使公分母等于0的x值,所以先将分式方程去分母得整式方程,根据分式方程的增根适合整式方程,将增根代入整式方程可得关于的方程,根据解方程,可得答案.【来源:21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解:原方程变形为,
方程去分母后得:,
整理得:,分以下两种情况:
令,,;
令,,,
综上所述,的值为或.
故答案为:或.
【名师指路】
本题考查了分式方程的增根,利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键.
20.甲,乙,丙三管齐开,12分钟 ( http: / / www.21cnjy.com )可以注满全池,乙,丙,丁三管齐开,15分钟可注满全池.甲,丁两管齐开,20分钟注满全池,如果是四管齐开,需要____分钟可以注满全池.
【标准答案】10
【思路指引】
设分别打开甲,乙,丙,丁 ( http: / / www.21cnjy.com )四个进水管,注满全池所用的时间分别为a分钟,b分钟,c分钟,d分钟;根据题意,结合分式加法运算性质,通过列分式方程并求解,即可得到答案.
【详解详析】
设分别打开甲,乙,丙,丁四个进水管,注满全池所用的时间分别为a分钟,b分钟,c分钟,d分钟;
根据题意得:
三式相加得:

∴四管齐开,需要10分钟可以注满全池
故答案为:10.
【名师指路】
本题考查分式的知识;解题的关键是熟练掌握分式加法运算和分式方程的性质,并运用到实际问题中,从而完成求解.2·1·c·n·j·y
三、解答题
21.已知、是方程的两个实根,是否存在常数k,使成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【标准答案】不存在.理由见解析
【思路指引】
根据根与系数关系列出关于k的方程,根据方程有实数根列出关于k的不等式,求解即可.
【详解详析】
解:不存在.
∵、是方程的两个实根,
∴,即,
解得,;
由题意可知,,
∵,
∴,解得,经检验,是原方程的解,
∵,
∴不存在常数k,使成立.
【名师指路】
本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程,解题关键是根据根与系数关系列出方程并求解,注意:根的判别式要大于或等于0.
22.解下列方程:
(1);
(2).
【标准答案】(1)x=0;(2)无解
【思路指引】
(1)方程两边同时乘以去分母,求解并检验即可;
(2)方程两边同时乘以去分母,求解并检验即可.
【详解详析】
解:(1)
x=0,
检验:当x=0时,=-40,故x=0是原方程的解,
∴x=0是分式方程的解;
(2)
14x=28
x=2,
检验:当x=2时,=0,故x=2不是原方程的解,
∴原分式方程无解.
【名师指路】
此题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤及正确去分母求解是解题的关键,解分式方程不要忽略检验.
23.如图,已知点是反比例函数的图象上一点,直线与反比例的图象在第四象限的交点为点B.
(1)求直线AB的解析式;
(2)直接写出不等式的x的取值范围;
(3)动点在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的坐标.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】(1);(2)或 (3)
【思路指引】
(1)根据反比例函数的性质,得点;根据分式方程和一元二次方程的性质计算,得点;根据一次函数和二元一次方程组的性质计算,即可得到答案;21*cnjy*com
(2)结合题意,根据反比例函数和一次函数图像的性质分析,即可得到答案;
(3)连接AB并延长,交x轴于点M,根据一次函数和坐标轴交点的性质,计算得;根据三角形三边关系的性质,得,当点P和点M重合时,,此时线段PA与线段PB之差达到最大,即可完成求解.
【详解详析】
(1)∵点是反比例函数的图象上一点

∴点
∵直线与反比例的图象在第四象限的交点为点B



∴或
经检验,或是的解;
当时,
∴点
当时,
∴点
设直线AB的解析式为:


∴直线AB的解析式为:;
(2)根据(1)的结论,得:点,点
∵直线与反比例的图象交点为点B和点D
∴不等式的x的取值范围为:或;
(3)连接AB并延长,交x轴于点M,如下图:
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵直线AB的解析式为:;
∴当时,


∵中,
∴当点P和点M重合时,,此时线段PA与线段PB之差达到最大
∴点.
【名师指路】
本题考查了一次函数、反比例函数、二元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程组、分式方程、一元二次方程、三角形的知识;解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、一元二次方程、三角形三边关系的性质,从而完成求解.21·世纪*教育网
24.解分式方程:
(1);
(2).
【标准答案】(1)x=﹣2;(2)该分式方程无解
【详解详析】
解:(1),
方程同乘x(x﹣1),得2(x﹣1)﹣3x=0.
去括号,得2x﹣2﹣3x=0.
移项,得2x﹣3x=2.
合并同类项,得﹣x=2.
x的系数化为1,得x=﹣2.
经检验:当x=﹣2时,x(x﹣1)≠0.
∴该分式方程的解为x=﹣2.
(2),
方程两边同乘x﹣2,得x﹣1=1+3(x﹣2).
去括号,得x﹣1=1+3x﹣6.
移项,得x﹣3x=1﹣6+1.
合并同类项,得﹣2x=﹣4.
x的系数化为1,得x=2.
经检验:当x=2时,x﹣2=0.
∴x=2是该分式方程的增根.
∴该分式方程无解.
【名师指路】
本题考查了解分式方程,熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键.
25.(1)解方程:
(2)先化简,然后从的范围内选取一个喜欢的整数代入求值
【标准答案】(1)原分式方程无解;(2),当时,原式=;当时,原式=.
【思路指引】
(1)分式方程两边同时乘以,化为整式方程,求出方程的解,再验根;
(2)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后在的范围内选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题.
【详解详析】
解:(1)方程两边同时乘以,

解得,
检验是方程的增根,
方程无解;
(2)原式=,
=,
=,
∵,且是整数,

∴只能取1,,
当时,原式=,
当时,原式=.
【名师指路】
本题主要考查了分式的化简求值以及解分式方程的知识,无理数的估算,解题的关键是掌握分式方程要验根.
26.解分式方程:
(1)解方程:.
(2)若关于x的分式方程与的解相同,求m的值.
【标准答案】(1)原分式方程无解;(2)m=﹣.
【思路指引】
(1)先去分母化为整式方程,解方程求出x,检验为增根;
(2)先解方程,求出x=4,检验,将x=4代入方程,求出m即可.
【详解详析】
解:(1),
方程两边乘(x+1)(x﹣1),得:x(x+1)﹣(x+1)(x﹣1)=2,
化简得:,
解得:x=1,
检验:当x=1时,(x+1)(x﹣1)=0,
∴x=1是增根,原分式方程无解;
(2)方程,
去分母得:2x+1=3x﹣3,
解得:x=4,
经检验x=4是方程的解,
把x=4代入方程,得,
去分母得:3﹣4m=10,
解得:m=﹣.
【名师指路】
本题考查分式方程的解法,掌握分式方程的解法与步骤是解题关键.
27.一件工程,甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的;若由甲队先做 20 天,剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为 8 ( http: / / www.21cnjy.com ).6 万元,乙队每天的施工费用为 5.4 万元,工程预算的施工费用为 1000 万元,若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短,问安排预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元?【版权所有:21教育】
【标准答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天 (2)工程预算的施工费用不够用,需追加预算8万元
【详解详析】
试题分析:(1)首先表示出甲、乙两队需要的天数,进而利用由甲队先做20天,剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案;
(2)首先求出两队合作需要的天数,进而求出答案.
试题解析:解:(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要x天.
根据题意,得,解得:x=180.
经检验,x=180是原方程的根,∴=×180=120,答:甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天;
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,则有,解得 y=72.
需要施工费用:72×(8.6+5.4)=1008(万元).
∵1008>1000,∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算8万元.
点睛:此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用,正确得出等量关系是解题关键.
28.关于x的方程:-=1.
(1)当a=3时,求这个方程的解;
(2)若这个方程有增根,求a的值.
【标准答案】(1)x=-2;(2)a=-3.
【思路指引】
(1)将a=3代入,求解-=1的根,验根即可,
(2)先求出增根是x=1,将分式化简为ax+1+2=x-1,代入x=1即可求出a的值.
【详解详析】
解:(1)当a=3时,原方程为-=1,
方程两边同乘x-1,得3x+1+2=x-1,
解这个整式方程得x=-2,
检验:将x=-2代入x-1=-2-1=-3≠0,
∴x=-2是原分式方程的解.
(2)方程两边同乘x-1,得ax+1+2=x-1,
若原方程有增根,则x-1=0,解得x=1,
将x=1代入整式方程得a+1+2=0,解得a=-3.
【名师指路】
本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键.
29.若关于x的方程有增根,则增根是多少?并求方程产生增根时m的值.
【标准答案】x=3或-3是原方程的增根;m=6或12.
【详解详析】
试题分析:先根据方程有增根,可让最简公分母为0,且把分式方程化为整式方程,分别代入求解即可.
试题解析:因为原方程有增根,且增根必定使最简公分母(x+3)(x-3)=0,
所以x=3或x=-3是原方程的增根.
原方程两边同乘(x+3)(x-3),得m+2(x-3)=x+3.
当x=3时,m+2×(3-3)=3+3,解得m=6;
当x=-3时,m+2×(-3-3)=-3+3,
解得m=12.
综上所述,原方程的增根是x=3或x=-3.
当x=3时,m=6;
当x=-3时,m=12.
点睛:只要令最简公分母等于零,就可以求出分式方程的增根,再将增根代入分式方程化成的整式方程,就能求出相应的m的值.21*cnjy*com
30.“绿水青山就是金山银山 ( http: / / www.21cnjy.com )”,随着生活水平的提高,人们对饮水品质的需求越来越高,泗水县某公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器,每台A型净水器比每台B型净水器进价多500元,用6万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等.
(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元?
(2)该公司计划购进A,B两种型号的净水器 ( http: / / www.21cnjy.com )共40台进行试销,其中A型净水器为x台,购买资金不超过7.5万元.并且A型净水器不少于B型净水器的2倍,试销时A型净水器每台售价2300元,B型净水器每台售价1880元,问该公司有几种进货方案?并求出这几种方案中,销售完后获得的利润W的最大值.
【标准答案】(1)A型净水器每台的进价为2000元,B型净水器每台的进价为1500元;(2)四种方案,利润的最大值为13040元
【思路指引】
(1)设A型净水器每台的进价为m元,则B型 ( http: / / www.21cnjy.com )净水器每台的进价为(m﹣500)元,根据数量=总价÷单价,结合用6万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等,即可得出关于m的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设最大利润是W元,由总利润=单台利润×进货数量,即可得出W关于x的函数关系式,由购买资金不超过7.5万元.并且A型净水器不少于B型净水器的2倍,可得出关于x的一元一次不等式组,解之即可得出x的取值范围,再利用一次函数的性质即可解决最值问题.
【详解详析】
(1)设A型净水器每台的进价为m元,则B型净水器每台的进价为(m﹣500)元,
根据题意得:
解得:m=2000,
经检验,m=2000是分式方程的解,
∴m﹣500=1500.
答:A型净水器每台的进价为2000元,B型净水器每台的进价为1500元;
(2)设最大利润是W元,
∵购进 ( http: / / www.21cnjy.com )x台A型净水器,则购进(40-x)台B型净水器,
依题意,得:W=(2300-2000)x+(1880-1500)(40-x)=-80x+15200.
∵购买资金不超过7.5万元.A型净水器不少于B型净水器的2倍,
根据题意得:,
解得:≤x≤30.
∵x是整数,
∴x=27,28,29,30,
∴有四 ( http: / / www.21cnjy.com )种种进货方案:
①购进27台A型净水器,13台B型净水器;
②购进28台A型净水器,12台B型净水器;
③购进29台A型净水器,11台B型净水器;
④购进30台A型净水器,10台B型净水器;
由W=-80x+15200,
∵-80<0,
∴W随x值的增大而减小,
∴方案①,即购进27台A型净水器,13台B型净水器时利润W的最大,
最大值为:-80×27+15200=13040(元).
答:购进27台A型净水器,13台B型净水器时利润W的最大,最大利润为13040元.
【名师指路】
本题考查了分式方程的应用、一 ( http: / / www.21cnjy.com )元一次不等式组的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据数量之间的关系,找出W关于x的函数关系式.
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学科君工作室小注:
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发,供中等及以上学生使用。
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进阶练6:分式方程综合(学生版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.下列每小题中的两个方程的解相同有( )组.
(1)与;(2)与;
(3)与;(4)与
A.0 B.1 C.2 D.3
2.要使关于的一元二次方程有两个实数根,且使关于的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为( )2·1·c·n·j·y
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
3.关于x的不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程的解为非负整数,则符合条件的所有整数a的和为( )【来源:21·世纪·教育·网】
A.34 B.24 C.18 D.14
4.若关于x的不等式组至少有4个整数解,且关于y的分式方程=1的解是非负数,则符合条件的所有整数a的和是(  )21·世纪*教育网
A.17 B.20 C.22 D.25
5.若分式方程无解,则a的值是( )
A.-5 B.4 C.3 D.0
6.若分式方程无解,则的值为( )
A.0 B.6 C.0或6 D.0或
7.要使关于x的一元二次方程有两个实数根,且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为( )21*cnjy*com
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
8.关于x的方程的两个解为,,的两个解为,;的两个解为,,则关于x的方程的两个解为( )
A., B.,
C., D.,
9.关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的一元一次不等式组有解,则所有满足条件的整数a的值之和是( )【来源:21cnj*y.co*m】
A. B. C. D.
10.已知点A(x1,y1)在反比例函数y1=的图象上,点B(x2,y2)在一次函数y2=kx﹣k的图象上,当k>0时,下列判断中正确的是(  )【出处:21教育名师】
A.当x1=x2>2时,y1>y2 B.当x1=x2<2时,y1>y2
C.当y1=y2>k时,x1<x2 D.当y1=y2<k时,x1>x2
二、填空题
11.若二次根式有意义,且关于x的分式方程+2=有正数解,则符合条件的整数m的和是 _____.【版权所有:21教育】
12.已知实数满足方程,则____________.
13.已知、是方程的两个实数根且满足,则的值为__________.
14.关于的方程化为整式方程后,会产生增根,则的值为__________.
15.要使关于的方程的解是正数,的取值范围是___..
16.若关于x的分式方程=3的解是负数,则字母m的取值范围是 ___________ .
17.当m= __________ 时,关于x的分式方程没有实数解.
18.若关于的方程无解.则=________.
19.如果在解关于的方程时产生了增根,那么的值为_____________.
20.甲,乙,丙三管齐开,12分钟可以注 ( http: / / www.21cnjy.com )满全池,乙,丙,丁三管齐开,15分钟可注满全池.甲,丁两管齐开,20分钟注满全池,如果是四管齐开,需要____分钟可以注满全池.21·cn·jy·com
三、解答题
21.已知、是方程的两个实根,是否存在常数k,使成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.21教育网
22.解下列方程:
(1);
(2).
23.如图,已知点是反比例函数的图象上一点,直线与反比例的图象在第四象限的交点为点B.
(1)求直线AB的解析式;
(2)直接写出不等式的x的取值范围;
(3)动点在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的坐标.
( http: / / www.21cnjy.com / )
24.解分式方程:
(1);
(2).
25.(1)解方程:
(2)先化简,然后从的范围内选取一个喜欢的整数代入求值
26.解分式方程:
(1)解方程:.
(2)若关于x的分式方程与的解相同,求m的值.
27.一件工程,甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的;若由甲队先做 20 天,剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成.21世纪教育网版权所有
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为 ( http: / / www.21cnjy.com )8.6 万元,乙队每天的施工费用为 5.4 万元,工程预算的施工费用为 1000 万元,若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短,问安排预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元?2-1-c-n-j-y
28.关于x的方程:-=1.
(1)当a=3时,求这个方程的解;
(2)若这个方程有增根,求a的值.
29.若关于x的方程有增根,则增根是多少?并求方程产生增根时m的值.
30.“绿水青山就是金山银山 ( http: / / www.21cnjy.com )”,随着生活水平的提高,人们对饮水品质的需求越来越高,泗水县某公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器,每台A型净水器比每台B型净水器进价多500元,用6万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等.www-2-1-cnjy-com
(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元?
(2)该公司计划购进A,B两种型号的净水器共 ( http: / / www.21cnjy.com )40台进行试销,其中A型净水器为x台,购买资金不超过7.5万元.并且A型净水器不少于B型净水器的2倍,试销时A型净水器每台售价2300元,B型净水器每台售价1880元,问该公司有几种进货方案?并求出这几种方案中,销售完后获得的利润W的最大值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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