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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 ( http: / / www.21cnjy.com ) 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。【版权所有：21教育】
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。21教育名师原创作品
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开学考模拟测试卷一（教师版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为，则下面所列方程中正确（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据“郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用”，即可求解．
【详解详析】
解：设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据题意得：
．
故选：A
【名师指路】
本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【标准答案】D
【思路指引】
先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解详析】
解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
3．如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，根据种植面积为600平方米，列出关于的一元二次方程即可.
【详解详析】
解：设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，
依题意得：.
故选：C.
【名师指路】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、列出一元二次方程是解答本题的关键.
4．如图，图中的函数图象描述了甲乙两人越野登山比赛．（x表示甲从起点出发所行的时间，表示甲的路程，表示乙的路程）．下列4个说法：
①越野登山比赛的全程为1000米；
②甲比乙晚出发40分钟；
③甲在途中休息了10分钟；
④乙追上甲时，乙跑了750米．其中正确的说法有（ ）个
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A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
根据终点距离起点1000米即可判断①；根据甲、乙图像的起点可以判断②；根据AB段为甲休息的时间即可判断③；设乙需要t分钟追上甲，，求出t即可判断④．
【详解详析】
解：由图像可知，从起点到终点的距离为1000米，故①正确；
根据图像可知甲出发40分钟之后，乙才出发，故乙比甲晚出发40分钟，故②错误；
在AB段时，甲的路程没有增加，即此时甲在休息，休息的时间为40-30=10分钟，故③正确；
∵乙从起点到终点的时间为10分钟，
∴乙的速度为1000÷10=100米/分钟，
设乙需要t分钟追上甲，
，
解得t=7.5，
∴乙追上甲时，乙跑了7.5×100=750米，故④正确；
故选C．
【名师指路】
本题主要考查了从函数图像获取信息，解题的关键在于能够准确读懂函数图像．
5．如图，圆柱形玻璃杯高为 ( http: / / www.21cnjy.com )12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15 B．20 C．18 D．30
【标准答案】A
【思路指引】
把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内， ( http: / / www.21cnjy.com )得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．
【详解详析】
把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则DB=AD=4cm，
由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，
∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，
∴DE=DH－EH=12－4=8cm，
∴BE=DE+DB=8+4=12cm ，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm，
故选;：A．
【名师指路】
本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．
6．如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ）
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A．，
B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为
【标准答案】B
【思路指引】
根据一次函数图象的性质和平移的规律逐项分析即可．
【详解详析】
解：A.由图象可知，，，故正确，不符合题意；
B. ∵-1<2，y随x的增大而减小，∴，故错误，符合题意；
C. ∵点(2，0)在直线l上，∴y=0时，x=2，∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意；
D. 将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为+b-b=kx，故正确，不符合题意；
故选B．
【名师指路】
本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数的平移，熟练掌握性质和平移的规律是解答本题的关键．
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．如图，在△ABC中，直线l垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，则∠ABP＝_____°．21世纪教育网版权所有
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【标准答案】35
【思路指引】
设∠ABP＝x，根据角平分线定义，线段垂直平分线的性质得到∠PCB＝∠CBP＝x，根据三角形内角和定理列方程，解方程，问题得解．21cnjy.com
【详解详析】
解：设∠ABP＝x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP＝∠ABP＝x，
∵直线l垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PCB＝∠CBP＝x，
∴60°+15°+x+x+x＝180°，
解得，x＝35°，
即∠ABP＝35°．
故答案为：35
【名师指路】
本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，设出未知数，用含x式子表示出各角，列出方程是解题关键．2·1·c·n·j·y
8．如图Rt△ABC，∠C＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为_____．
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【标准答案】24
【思路指引】
根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，两小半圆与直角三角形的和减去大半圆即可得出答案．
【详解详析】
解：在Rt△ACB中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
阴影部分的面积，
故答案为：24．
【名师指路】
本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图 ( http: / / www.21cnjy.com )形的阴影面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是这类题型的关键．勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一．21·世纪*教育网
9．如图，四边形OABC是平行四边形，其面积为8，点A在反比例函数的图象上，过点A作ADx轴交BC于点D，过点D的反比例函数图象关系式为，则k的值是_____．
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【标准答案】-5.
【思路指引】
连接，根据反比例函数系数的几何意义得到，，从而得到，即可得到，解得．
【详解详析】
解：连接，
由题意可知，，，
，
，
，
解得，
在第二象限，
．
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【名师指路】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，平行四边形的性质，明确的面积是平行四边形面积的一半是解题的关键．www.21-cn-jy.com
10．在函数中，自变量x的取值范围是______．
【标准答案】
【思路指引】
根据分母不为零和二次根式的非负性计算即可；
【详解详析】
根据题意可得：且，
∴；
故答案是：．
【名师指路】
本题主要考查了函数自变量取值范围，准确计算是解题的关键．
11．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，如果设道路的宽为x m，则根据题意可列出方程____________________________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
【思路指引】
利用平移可把草坪把为一个长为(20-x)m，宽为(12-x)m的矩形，从而根据题中的等量关系：草坪面积=整个矩形面积×，即可得出方程．
【详解详析】
如图，把水平方向的道路向上平移，竖直方向的道路向右平移，得到如图所示的图形，则
草坪变为一个的长为(20-x)m，宽为(12-x)m的矩形
由题意得：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
故答案为：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
12．若，且是整数，则的取值为__________.
【标准答案】-2或-1或0或2
【思路指引】
分别讨论当指数，底数，以及底数的情形，进行求解即可．
【详解详析】
解：∵，
∴当即时，，
∴是方程的解；
当时，即且的值为偶数，
∴或（舍去），
∴是方程的解；
当时，即时，
解得或，
∴或是方程的解，
故答案为：-2或-1或0或2．
【名师指路】
本题主要考查了零指数幂，解一元二次方程，有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握零指数幂，解一元二次方程和有理数的乘方的计算方法．
13．比较大小：__，__．（填“”“ ”“ ”
【标准答案】
【思路指引】
第一空比较分子大小即可，第二空分子有理化得到，，从而可得结论．
【详解详析】
解：∵
∴
∵，，且
∴
∴
故答案为：；
【名师指路】
本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较，灵活掌握比较大小的方法是解答本题的关键．
14．若，且，则的值是________．
【标准答案】．
【思路指引】
利用分式的加法对题目中给出的式子进行化简，得到a与b的关系，从而求出的值．
【详解详析】
解：化简得： ，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查求分式的值，分式的基本性质和二次根式的性质，解题的关键是利用分式的加法运算对式子进行化简．
15．将直线沿y轴向下平移2个单位长度，点关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为_______．www-2-1-cnjy-com
【标准答案】3
【思路指引】
先根据一次函数平移规律得出 ( http: / / www.21cnjy.com )直线y=x+b沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式，再把点A（-1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入，即可求出b的值．
【详解详析】
解：将直线y=x+b沿y轴向下平移2个单位长度，得直线y=x+b-2．
∵点A（-1，2）关于y轴的对称点是（1，2），
∴把点（1，2）代入y=x+b-2，得1+b-2=2，
解得b=3．
故答案为：3．
【名师指路】
本题考查了一次函数图象与几何变换，关于y轴对称的点坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练记忆函数平移规律是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
16．某通讯公司推出了①②两种收费方 ( http: / / www.21cnjy.com )式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】x＞300
【思路指引】
根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围.
【详解详析】
解：由题设可得不等式kx＋30＜x.
∵y1＝kx＋30经过点(500，80)，
∴k＝，
∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60.
∴两直线的交点坐标为(300，60)，
∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立，
故答案为：x＞300.
【名师指路】
本题考查的是用一次函数解决实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com )．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
17．某水果量贩店出售一批菠萝蜜，分两种销售方式：
销售方式 单价 促销 备注
整个（没剥好） 6元/ 总价不足50元优惠3元：满50元优惠6元； 整个菠萝蜜可剥果肉约占30%．
菠萝蜜果肉（剥好） 18元/ 没有优惠
小李买了一整个菠萝蜜，却发现两种销售方式中果肉的单价相同，则这个波罗蜜的重量为_______．
【标准答案】5或10
【思路指引】
设菠萝蜜的重量为xkg，则可剥出果肉0.3xkg，分情况讨论列出分式方程，求解即可．
【详解详析】
解：设菠萝蜜的重量为xkg，则可剥出果肉0.3xkg，
当时，即时，根据题意可得：
，
解得，
经检验得是原分式方程的解；
当时，即时，根据题意可得：
，
解得，
经检验得是原分式方程的解；
∴这个菠萝蜜的重量为5kg或10kg，
故答案为：5或10．
【名师指路】
本题考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程并求解是解题的关键．
18．若以x为未知数的方程无解，则______.
【标准答案】或或.
【思路指引】
首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
【详解详析】
去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
【名师指路】
本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
三、解答题(共46分)
19．(本题5分)（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解分式方程：
【标准答案】（1），2；（2）
【思路指引】
（1）先根据分式的混合计算法则化简，然后根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求出x的值，最后代值计算即可；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）先把分式方程化为整式方程，然后求出x的值，最后代值检验即可．
【详解详析】
（1）
，
∵，
∴当时，原式；
（2）
方程两边乘以（x＋2)(x＋1)，得x(x－1)=(x＋1)(x＋2) ，
∴，即，
解得：，
检验：当时，
∴原分式方程的解为．
【名师指路】
本题主要考查了分式的化简求值，解分式方程，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算方法是解题的关键．
20．化简求值：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2），其中x＝﹣．
【标准答案】5x2﹣11，4
【思路指引】
原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式运算法则化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2）
＝4x2﹣4x+1+x2+4x﹣12
＝5x2﹣11，
当x＝﹣时，
原式＝5×3﹣11
＝15﹣11
＝4．
【名师指路】
此题考查了二次根式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
21．(本题6分)某单位今年“十一” ( http: / / www.21cnjy.com )期间要组团去北京旅游，与旅行社联系时，甲旅行社提出每人次收300元车费和住宿费，不优惠．乙旅行社提出每人次收350元车费和住宿费，但有3人可享受免费待遇．
（1）分别写出甲、乙两旅行社的收费与旅行人数之间函数关系式；
（2）如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？当旅行团为多少人时，选甲或乙旅行社所需费用一样多？21*cnjy*com
【标准答案】（1）见解析；（2）组织20人的旅行团时，选乙家旅行社比较合算；当旅行团为21人时，选甲或乙旅行社所需费用一样多
【思路指引】
（1）根据甲旅行社的收费方案写出甲的 ( http: / / www.21cnjy.com )函数关系；根据乙旅行社的收费方案，分x≤3和x＞3两种情况写出函数关系式即可；
（2）把x=20分别代入函数关系式计算，然后判断即可；根据所需费用一样列出方程，然后求解即可．
【详解详析】
解：（1）甲旅行社：y=300x，
乙旅行社：x≤3时，y=350x，
x＞3时，y=350（x-3）=350x-1050；
（2）当x=20时，
甲：y=300×20=6000元，
乙：y=350×20-1050=5950元；
所以组织20人的旅行团时，选乙家旅行社比较合算；
300x=350x-1050，
解得x=21，
答：组织20人的旅行团时，选乙家旅行社比较合算；当旅行团为21人时，选甲或乙旅行社所需费用一样多．
【名师指路】
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家旅行社的收费方法是解题的关键．
22．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，在y轴上，，，点D是边上的动点（不与B，C重合），反比例函数的图象经过点D，且与交于点E，连接，，．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若的面积为4，
①求k的值；
②点P在x轴上，当的面积等于的面积时，试求点P的坐标；
（2）当点D在边上移动时，延长交y轴于点F，连接，判断四边形的形状，并证明你的判断．
【标准答案】（1）①8；②P(，0)或(-，0)；（3）四边形是平行四边形，理由见详解
【思路指引】
（1）①根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得到答案；②根据割补法求出的面积=15，设P(x，0)，列出关于x的方程，即可求解；
（2）D(，4)，E(8，)，设EF的函数解析式为：y=ax+b，可得b=OF=，从而得CF=AE，进而即可得到结论．
【详解详析】
解：（1）①∵的面积为4，反比例函数的图象经过点D，
∴k=2×4=8；
②∵，的面积为4，
∴CD=2，
∵的面积=的面积为4，，
∴AE=1，
∴的面积=4×8-×（8-2）×（4-1）-4-4=15，
∵点P在x轴上，
∴设P(x，0)
∴的面积=|x|×4=15，解得：x=，
∴P(，0)或(-，0)；
（2）连接AC，四边形是平行四边形，理由如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意得：D(，4)，E(8，)，
设EF的函数解析式为：y=ax+b，
则，解得：，
∴OF=，
∴CF=OF-4==AE，
又∵CF∥AE，
∴四边形是平行四边形．
【名师指路】
本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，是解题的关键．
23．(本题8分)上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题：
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（1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________；
（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？
（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．
【标准答案】（1）20，60，补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；（2）8点12分；（3）补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间为小时．
【思路指引】
（1）首先根据图像为台风 ( http: / / www.21cnjy.com )中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象，台风在上午8点距离A岛100km，即可得出线段DE为台风中心距离A岛的距离S和时间t的图象；补给船上午8点距离A岛40km，即可得出线段FG为补给船与A岛的距离S和时间t的图象，从图像获取信息即可求得各自的速度；由题目可知，补给船到达A岛后，还要去C港，此时与台风的图像相交，结合各自的速度，即可得出点P的实际意义；
（2）由台风影响的半径是（包含边界），即可画出此情况下的图形，利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案；
（3）根据补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，即可列出方程，解出a，根据题目要求，补给船速度不超过且，列出不等式，再根据m为正整数，即可求出m；补给船受台风影响总时间为驶向C港受影响的时间加上驶向A岛受影响的时间，即可求得答案．
【详解详析】
（1）由题分析得，线段DE为台风中心与A岛之间的距离S与时间t的图像，
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∴台风的速度,
线段FG是补给船与A岛的距离S与时间t的图像，
∴补给船的速度，
∴点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；
（2）如图所示开始受影响，即BH=100km，
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设t小时后补给船开始受台风影响，
则
在中，由勾股定理得，
，
解得，（不合题意，舍去），
∴补给船出发（分钟），开始受台风影响，
∴从8点12分开始补给船开始受台风影响；
（3）由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时，
台风中心距离A岛的距离为：
，
由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为120km，时间为，
故补给船离开A岛驶向C港的速度为：(km/h)，
∵补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，
∴
解得，
∵
∴，
由图可知，
去分母得，
解得：，
又∵补给船速度不超过，
∴
由图可知，
去分母得，
解得：
∴
∵m为正整数，
∴
当
即补给船驶出A岛到驶到C港之前受台风影响的时间为，
在补给船出发驶向A岛的过程中，有没有受台风影响，
∴补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．
【名师指路】
本题考查了从函数图像获取信息，勾股定理，一元二次方程的应用，解不等式组，解题关键是正确理解题意，能从函数图像中获取需要信息进行求解．21·cn·jy·com
24．(本题8分)健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元、已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元．
（1）用含的代数式表示；
（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元．
①求2017年每种套餐的销售量；
②由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加、若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利万元，求的值．
【标准答案】（1）（或）；（2）①2017年项套餐销售量为万份，2017年项套餐销售量为万份；② .
【思路指引】
（1）根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）①根据题意，先确定A和B套餐的销售量，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；
②分别求出B套餐2017年、2018年、2019年的盈利，然后列出方程，解方程即可．
【详解详析】
解：（1）根据题意，B套餐卖出份，则
，
∴（或）；
依题意得，2017年项套餐销售量为：万份，
项套餐销售量为：万份，
根据题意得：
解得：
所以2017年项套餐销售量为（万份）
2017年项套餐销售量为(万份）
依题意可知，
2017年项套餐每份盈利元，
2018年项套餐每份盈利元，
2019年项套餐每份盈利元，
所以根据题意得：
设，则
解得：
(不符合题意，舍去）
．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及列代数式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确理解题意，列出方程进行解题．
25．(本题8分)在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（特例感知）（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是 ，FG与直线BC的位置关系是 ；
（猜想论证）（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？
①请在图2中补全图形；
②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（拓展应用）（3）若AB＝AC=，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．21教育网
【标准答案】（1）FG=BD，FG⊥BC；（2）①补全图形见解析；②结论仍然成立，理由见解析；（3）△BDF的面积为或．
【思路指引】
（1）根据等腰直角三角形的性质以及中位线定理可得结果；
（2）①根据题意画出图形即可；
②根据旋转的性质证明△ABD≌△ACE，结合中位线定理证明结论；
（3）分两种情况进行讨论：当点D在点B的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别画出图形结合等边三角形的性质解答．
【详解详析】
（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FGAD，FG∥AD，
∴FGBD，FG⊥BC，
故答案为：FGBD，FG⊥BC；
（2）①补全图形如图所示；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②结论仍然成立，理由如下：如图2，连接CE，
∵把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FGCEBD，FG∥CE，
∴FG⊥BC；
（3）当点D在点B的左侧时，
如图3﹣1中，作AM⊥BC于M，连接FG，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2，BM＝CM＝AMBC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，
∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF＝AC＝FC，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，
∴∠CAE＝15°＝∠BAD，
∴∠ADM＝∠ABC﹣∠BAD＝30°，
∴DMAM，
∴BD＝DM﹣BM，
由（2）的结论可得：FG⊥BC，FGBD，
∴△BDF的面积；
当点D在点C的右侧时，
如图3﹣2中，作AM⊥BC于M，连接FG，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2，BM＝CM＝AMBC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，
∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，∠DAF＝45°，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF＝AC＝FC，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，
∴∠CAD＝∠CAF﹣∠DAF＝15°，
∴∠ADM＝∠ACB﹣∠CAD＝30°，
∴DMAM，∴BD＝DM+BM1，
由（2）的结论可得：FG⊥BC，FGBD，
∴△BDF的面积．
综上所述：△BDF的面积为或．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上性质定理是解本题的关键．21*cnjy*com
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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”， ( http: / / www.21cnjy.com )即八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21世纪教育网版权所有
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。21·cn·jy·com
亲爱的老师，如果您认可我工作室 ( http: / / www.21cnjy.com )所创作的资料，请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
开学考模拟测试卷一（学生版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为，则下面所列方程中正确（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
2．是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
3．如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
4．如图，图中的函数图象描述了甲乙两人越野登山比赛．（x表示甲从起点出发所行的时间，表示甲的路程，表示乙的路程）．下列4个说法：21*cnjy*com
①越野登山比赛的全程为1000米；
②甲比乙晚出发40分钟；
③甲在途中休息了10分钟；
④乙追上甲时，乙跑了750米．其中正确的说法有（ ）个
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm ( http: / / www.21cnjy.com )、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．
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A．15 B．20 C．18 D．30
6．如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．，
B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．如图，在△ABC中，直线l垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，则∠ABP＝_____°．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
8．如图Rt△ABC，∠C＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为_____．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．如图，四边形OABC是平行四边形，其面积为8，点A在反比例函数的图象上，过点A作ADx轴交BC于点D，过点D的反比例函数图象关系式为，则k的值是_____．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
10．在函数中，自变量x的取值范围是______．
11．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，如果设道路的宽为x m，则根据题意可列出方程____________________________．21教育名师原创作品
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12．若，且是整数，则的取值为__________.
13．比较大小：__，__．（填“”“ ”“ ”
14．若，且，则的值是________．
15．将直线沿y轴向下平移2个单位长度，点关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为_______．21*cnjy*com
16．某通讯公司推出了①②两种收费方 ( http: / / www.21cnjy.com )式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______．
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17．某水果量贩店出售一批菠萝蜜，分两种销售方式：
销售方式 单价 促销 备注
整个（没剥好） 6元/ 总价不足50元优惠3元：满50元优惠6元； 整个菠萝蜜可剥果肉约占30%．
菠萝蜜果肉（剥好） 18元/ 没有优惠
小李买了一整个菠萝蜜，却发现两种销售方式中果肉的单价相同，则这个波罗蜜的重量为_______．
18．若以x为未知数的方程无解，则______.
三、解答题(共46分)
19．(本题5分)（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解分式方程：
20．化简求值：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2），其中x＝﹣．
21．(本题6分)某单位今年“十一” ( http: / / www.21cnjy.com )期间要组团去北京旅游，与旅行社联系时，甲旅行社提出每人次收300元车费和住宿费，不优惠．乙旅行社提出每人次收350元车费和住宿费，但有3人可享受免费待遇．
（1）分别写出甲、乙两旅行社的收费与旅行人数之间函数关系式；
（2）如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？当旅行团为多少人时，选甲或乙旅行社所需费用一样多？21教育网
22．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，在y轴上，，，点D是边上的动点（不与B，C重合），反比例函数的图象经过点D，且与交于点E，连接，，．21cnjy.com
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（1）若的面积为4，
①求k的值；
②点P在x轴上，当的面积等于的面积时，试求点P的坐标；
（2）当点D在边上移动时，延长交y轴于点F，连接，判断四边形的形状，并证明你的判断．
23．(本题8分)上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题：2·1·c·n·j·y
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（1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________；21·世纪*教育网
（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？
（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．www-2-1-cnjy-com
24．(本题8分)健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元、已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元．
（1）用含的代数式表示；
（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元．【来源：21·世纪·教育·网】
①求2017年每种套餐的销售量；
②由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加、若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利万元，求的值．
25．(本题8分)在Rt△ABC中，∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（特例感知）（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是 ，FG与直线BC的位置关系是 ；2-1-c-n-j-y
（猜想论证）（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？
①请在图2中补全图形；
②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（拓展应用）（3）若AB＝AC=，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．
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