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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”， ( http: / / www.21cnjy.com )即八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21世纪教育网版权所有
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。【来源：21·世纪·教育·网】
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1、正比例函数：y=kx（k≠0）；图像是一条直线，与坐标轴仅有一个交点；k>0时，随着x
的逐渐增大，函数值y的值越来越大；k<0时，随着x的逐渐增大，函数值y的值越来
越小．
2、反比例函数：（k≠0），图像是双曲线，与坐标轴无交点；k>0时，在每一象限内，
随着x的逐渐增大，函数值y的值越来越小；k<0时，在每一象限内，随着x的逐渐增
大，函数值y的值越来越大．
【例1】（1）如果y=kx+2k+x是正比例函数，求k的值；
（2）如果是反比例函数，求m的值．
【例2】定义运算：，例如：，．则关于函数的下列说法中错误的是（ ）
A．图象经过点 B．当时，随的增大而减小
C．图象位于第二、四象限 D．当时，函数值满足
【例3】如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴正半轴，OB＝1．设点A的纵坐标为m，△OAB的面积为S，当1≤S≤3时，m的取值范围是（ ）
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A．1≤m≤3 B．≤m≤ C．2≤m≤6 D．≤m≤3
【例4】为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．函数的概念和图像及性质
（1）定义：解析式形如的函数叫做一次函数．
（2）一次函数的图象满足：
①形状是一条直线；②始终经过（0，b）和（，0）两点；
（3）定义：直线与y轴的交点坐标是，截距是b；
（4）一次函数，当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当 时，函数值y随自变量x的值增大而减小．21cnjy.com
2．函数的应用
（1）实际问题；
（2）数形结合类．
【例5】（1）已知一次函数，当x=-3时，y=1；当x=2时，y=-6，求这个一次函数的解析式；
（2）已知一次函数y=f（x），且f（-1）=-3，f（1）=1，求函数f（x）的解析式．
【例6】若一次函数（为常数且）满足如表，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【例7】如图1，已知一条笔直的公路上有三地，地位于两地之间．甲车从地出发，驶向地，同时乙车从地出发驶向地，到达地并停留了小时后，按原路返回地．两车沿公路匀速行驶，甲车的速度比乙车的速度慢千米/时，设两车行驶时间为小时．图2中线段和折线分别表示甲、乙两车各自到地的距离(千米)与行驶的时间小时)的函数图象，请结合图象信息，解答下列问题：www.21-cn-jy.com
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（1）两地之间的路程为 千米，乙车的速度是 千米/时；
（2）求乙车从地返回地时(线段)的路程(千米)与时间小时)之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围)；www-2-1-cnjy-com
（3）出发多少小时后．行驶中的两车之间距离等于千米？
【例8】已知直线y=kx+4经过点P（1，m），且平行于直线y=-2x+1，它与x轴相交于点A，求△OPA的面积．【出处：21教育名师】
【例9】已知直线l过点（-2，4），且与两坐标轴围成一个等腰三角形，
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）所得三角形的周长及面积．
【例10】如图，已知在平面直角坐标系中，等腰的边在y轴的正半轴上，且，点C在第一象限，过点的直线经过点C．21*cnjy*com
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（1）求点C的坐标及直线的解析式．
（2）点E为直线上的动点，若的面积等于面积的一半，求点E的坐标．
（3）点F为y轴上的动点，若，求点F的坐标．
【例11】如图，一次函数的图像与与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，
求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．
【例12】已知反比例函数的图像与一次函数的图像的一个交点的横坐标是．下列结论：①；②当时，；③随的增大而增大；④以双曲线与直线的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积是．其中不正确的是_____________ （填序号）．
一、单选题
1．已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，3），则关于x的方程＝kx的两个实数根分别为（ ）21·cn·jy·com
A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝2
2．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k≠0）的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．正比例函数y＝2x和反比例函数y都经过的点是（ ）
A．（0，0） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，4）
4．已知点在函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．反比例函数经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．点（﹣1，﹣2）在函数图象上
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当y≥4时，0＜x≤
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若，，则的值是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．20 B．20 C．－5 D．5
7．已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，1） B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1 D．y随着x的增大而减小
8．如图，和均为等腰直角三角形，且顶点A、C均在函数的图象上，连结交于点E，连结．若，则k的值为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C．4 D．
二、填空题
9．设直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为_______．【来源：21cnj*y.co*m】
10．如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是_________．
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11．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为m，n，则__________．【版权所有：21教育】
12．如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=8，则k的值为___________ ．
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13．在直角坐标系中，已知、，为轴正半轴上一点，且平分，过的反比例函数交线段于点，为的中点，与交于点，若记的面积为，的面积为，则________．21教育名师原创作品
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14．一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝的图象交点的纵坐标为2，当﹣3＜x＜﹣1时，反比例函数y＝中y的取值范围是 _____．21*cnjy*com
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（2，0），顶点B（0，4），∠BAC＝90°，AB＝AC，点C是反比例函数y（k≠0，x＞0）图象上一点．21教育网
（1）求反比例函数y（k≠0，x＞0）的表达式；
（2）连接OC，将直线OC沿y轴向上平移m个单位后经过反比例函数y（k≠0，x＞0）图象上的点（3，n），则m＝ （直接填空）．21·世纪*教育网
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16．如图，直线y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A（1，3），B（3，n），与x，y轴分别交于P，C．
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（1）求k的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）观察图象指出，当x取何值时﹣x+4＞．
17．一次函数y＝k1x+b和反比例函数y＝的图象的相交于A（2，3），B（﹣3，m），与x轴交于点C，连接OA，OB．
（1）请直接写出m的值为 ，反比例函数y＝的表达式为 ；
（2）观察图象，请直接写出k1x+b﹣＞0的解集；
（3）求△AOB的面积．
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18．如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
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函数的复习
知识结构
模块一：正反比例函数
知识精讲
例题解析
模块二：一次函数
知识精讲
例题解析
模块三：综合
例题解析
A
B
O
ED
x
y
随堂检测
课后作业
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1、正比例函数：y=kx（k≠0）；图像是一条直线，与坐标轴仅有一个交点；k>0时，随着x
的逐渐增大，函数值y的值越来越大；k<0时，随着x的逐渐增大，函数值y的值越来
越小．
2、反比例函数：（k≠0），图像是双曲线，与坐标轴无交点；k>0时，在每一象限内，
随着x的逐渐增大，函数值y的值越来越小；k<0时，在每一象限内，随着x的逐渐增
大，函数值y的值越来越大．
【例1】（1）如果y=kx+2k+x是正比例函数，求k的值；
（2）如果是反比例函数，求m的值．
【标准答案】（1）0；（2）4．
【详解详析】（1）因为是正比例函数，所以，解得：；
（2）因为函数是反比例函数，
所以可得， ，∴．
【名师指路】考察正比例函数和反比例函数的定义，注意比例系数要不为零．
【例2】定义运算：，例如：，．则关于函数的下列说法中错误的是（ ）
A．图象经过点 B．当时，随的增大而减小
C．图象位于第二、四象限 D．当时，函数值满足
【答案】C
【分析】
先根据定义计算出的值，从而得到，再根据反比例函数图像的性质进行逐一判断即可.
【详解】
解：∵
∴
∴
A、把点（1，3）代入函数解析式中，可以知道此点在函数图像上，故此说法正确；
B、因为函数，即，所以在当时，随的增大而减小，故此说法正确；
C、因为函数，即，所以此函数图像经过第一、三象限，故此说法错误；
D、因为函数，即，所以在当时，随的增大而减小，即当，，当，，故当时，函数值满足，故此说法正确.21·cn·jy·com
故选C.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解判断.
【例3】如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴正半轴，OB＝1．设点A的纵坐标为m，△OAB的面积为S，当1≤S≤3时，m的取值范围是（ ）
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A．1≤m≤3 B．≤m≤ C．2≤m≤6 D．≤m≤3
【答案】B
【分析】
先求出点A的横坐标，再根据三角形面积公式求解．
【详解】
解：把y＝m代入中得，
∴点A坐标为（），
∴△OAB的面积为，
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
【例4】为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据函数图像先求出关于t的函数解析式，进而求出关于t的解析式，再判断各个选项，即可．
【详解】
解：∵由题意得：当1≤t≤6时，=2t+3，
当6＜t≤25时，=15，
当25＜t≤30时，=-2t+65，
∴当1≤t≤6时，=，
当6＜t≤25时，=，
当25＜t≤30时，=
= ，
∴当t=30时，=13，符合条件的选项只有A．
故选A．
【点睛】
本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键．
1．函数的概念和图像及性质
（1）定义：解析式形如的函数叫做一次函数．
（2）一次函数的图象满足：
①形状是一条直线；②始终经过（0，b）和（，0）两点；
（3）定义：直线与y轴的交点坐标是，截距是b；
（4）一次函数，当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当 时，函数值y随自变量x的值增大而减小．21教育名师原创作品
2．函数的应用
（1）实际问题；
（2）数形结合类．
【例5】（1）已知一次函数，当x=-3时，y=1；当x=2时，y=-6，求这个一次函数的解析式；
（2）已知一次函数y=f（x），且f（-1）=-3，f（1）=1，求函数f（x）的解析式．
【标准答案】（1）；（2）．
【详解详析】（1）由题意可得：，解得：，
则一次函数解析式为；
（2）设，
由题意可得：， 解得：，
则一次函数解析式为．
【名师指路】考察利用待定系数法求一次函数解析式的求解析式．
【例6】若一次函数（为常数且）满足如表，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
方程ax+b=0的解为y=0时函数y=ax+b的x的值，根据图表即可得出此方程的解．
【详解】
由表格可得：当时，，
方程的解是
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程之间的关系：方程ax+b=0的解为函数值y=0时函数y=ax+b自变量x的取值．【版权所有：21教育】
【例7】如图1，已知一条笔直的公路上有三地，地位于两地之间．甲车从地出发，驶向地，同时乙车从地出发驶向地，到达地并停留了小时后，按原路返回地．两车沿公路匀速行驶，甲车的速度比乙车的速度慢千米/时，设两车行驶时间为小时．图2中线段和折线分别表示甲、乙两车各自到地的距离(千米)与行驶的时间小时)的函数图象，请结合图象信息，解答下列问题：
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（1）两地之间的路程为 千米，乙车的速度是 千米/时；
（2）求乙车从地返回地时(线段)的路程(千米)与时间小时)之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围)；
（3）出发多少小时后．行驶中的两车之间距离等于千米？
【答案】（1）120；75 （2） （3），，
【分析】
（1）如图2所示，根据甲车到地的距离(千米)与行驶的时间小时)的函数图象可知之间的路程，进而算出甲的行驶速度，即可得到乙的行驶速度；
（2）如图2所示，可以根据乙的速度求出地到地的距离，即可得到点的坐标，根据到达地并停留了小时，即可得到点的坐标，根据（1）中求得的乙的速度即可求得乙车从地返回地时(线段)的路程(千米)与时间小时)之间的函数关系式；
（3）根据运动过程，可以求得甲车路程(千米)与时间小时)之间的函数关系式，乙车从地到地时(线段)的路程(千米)与时间小时)之间的函数关系式，进而求得辆车相遇的时间，然后分3种情况讨论，分别为相遇前1种情况和相遇后2两种情况，然后根据各自时间段的函数解析式进行计算，并注意每一种情况的取值范围．21教育网
【详解】
（1）由图2甲车到地的距离(千米)与行驶的时间小时)的函数图象可知，
之间的路程为，
∴V甲，
∴V乙；
（2）如图，地到地的距离，
∴，，
∵乙的速度不变，
∴，
设 ，
将代入得，
，
解得：，
∴乙车从地返回地时，函数关系式为:.
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（3）①∵甲的速度为
∴，
∵乙的速度为，段经过，
∴，
∴两车相遇的时间，，
解得：，
此时乙从向地行驶，可得，
，
解得：，
②当时，乙在点，甲在距离，处，
∴此时距离差为，
当时，
此时可令，
解得：，
③当时，由于乙的速度大于甲的速度，
∴乙距离甲越来越近，
∴，
解得：，
∴出发小时后，行驶中的两车之间距离等于千米．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的意义，进而列出等式求解．www.21-cn-jy.com
【例8】已知直线y=kx+4经过点P（1，m），且平行于直线y=-2x+1，它与x轴相交于点A，求△OPA的面积．【出处：21教育名师】
【标准答案】2．
【详解详析】∵直线y=kx+4平行于直线y=-2x+1， ∴， 则，
则它与x轴相交于点．
∵直线经过点P（1，m），∴， ∴．
∴△POA的面积为：．
【名师指路】考察一次函数的图像性质及与三角形面积的结合．
【例9】已知直线l过点（-2，4），且与两坐标轴围成一个等腰三角形，
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）所得三角形的周长及面积．
【标准答案】见解析．
【详解详析】设一次函数的解析式为，
∵函数图像与两坐标轴围成一个等腰三角形， ∴，则
当时，一次函数为，直线l过点（-2，4），∴，∴
与坐标轴的交点为，，此时周长为，面积为18；
当时，一次函数为，直线l过点（-2，4），∴，∴，
与坐标轴的交点为，，此时周长为，面积为2．
【名师指路】考察一次函数的性质，注意线段长与点坐标之间的转换．
【例10】如图，已知在平面直角坐标系中，等腰的边在y轴的正半轴上，且，点C在第一象限，过点的直线经过点C．
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（1）求点C的坐标及直线的解析式．
（2）点E为直线上的动点，若的面积等于面积的一半，求点E的坐标．
（3）点F为y轴上的动点，若，求点F的坐标．
【答案】（1），；（2）或；（3）点F坐标为，．
【分析】
（1）直接利用待定系数法求解直线的解析式，然后根据点的坐标特点求得点的坐标；
（2）设点的横坐标为，根据题意可知的面积，的面积，根据的面积等于面积的一半，即可求得的值；21cnjy.com
（3）由已知条件可知，可以分为点F在点D下方和上方两种情况讨论，点F在点D下方时，过点A作交直线于点H，过点H作轴于点G，过点C作轴于点M，根据角度相等可证明，进而可以证明，则，，即可得到的坐标，通过待定系数法即可得到直线的解析式，即可得到F的坐标，因为轴，所以另一个点F关于对称，即可求得．
【详解】
（1）设直线：，
把代入，得，
，
∴，，
∴，
设点C的坐标为，代入，
解得，，
∴点；
（2）三角形的面积：，
设点的横坐标为，
∴三角形的面积：，
∴ ，
∴，
∴点E的横坐标为，
①当时，，
②当时，，
∴点E的坐标为或；
（3）①当点F在点D下方时，
是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
过点A作交直线于点H，
过点H作轴于点G，过点C作轴于点M，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
得：点H的坐标为，
把H，C(4,4)代入到得，
解得：
∴直线的解析式为：，
将，代入到解析式中，得，
∴点坐标为，
②当点F在点D上方时，
设点F在点D上方时，为，
∵轴，
∴此时点与①中所求的点关于对称，
∵C(4，4)，D(0，4)，，
∴点的坐标为，
∴点F坐标为，．
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【点睛】
本题考查了待定系数法求一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数解析式、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、三角形全等等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，正确找出点F，并分情况进行讨论．2·1·c·n·j·y
【例11】如图，一次函数的图像与与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，
求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．
【标准答案】（1）；（2）6．
【详解详析】（1）∵点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，
且两点都在反比例函数的图像上，
∴，
∵两点都在一次函数上，
∴， ∴，
∴一次函数解析式为：；
（2）∵一次函数与轴的交点为，
∴．
【名师指路】考察反比例函数和一次函数解析式的求法及三角形面积的求法．
【例12】已知反比例函数的图像与一次函数的图像的一个交点的横坐标是．下列结论：①；②当时，；③随的增大而增大；④以双曲线与直线的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积是．其中不正确的是_____________ （填序号）．
【答案】③
【分析】
把交点的横坐标代入一次函数中求出交点坐标，再代入反比例函数中求得，即可判断②；作出函数图象，通过图象观察，即可判断②③；联立两个函数解析式的方程组，解方程组求得交点坐标，并求得直线与轴的交点，利用三角形面积公式求得构成三角形的面积是，即可判断④．
【详解】
解：把代入中，得，
交点为，
把代入比例函数中，得，故结论①正确；
把代入，解得，如图：
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由图象可知，当时，，故结论②正确；
在每个象限内，随的增大而减小，故结论③错误；
联立方程组，
解得，或，
交点坐标为：和，
直线与轴的交点，
双曲线与直线的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为：，
故结论④正确；
故答案为③．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了待定系数法，函数图象与方程的解的关系，函数图象与不等式的解集的关系，数形结合是解题的关键．
一、单选题
1．已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，3），则关于x的方程＝kx的两个实数根分别为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝2
【标准答案】D
【思路指引】
根据正、反比例函数图象的对称性可得出点A、B关于原点对称，由点A的坐标即可得出点B的坐标，结合A、B点的横坐标即可得出结论．
【详解详析】
解：∵正比例函数图象关于原点对称，反比例函数图象关于原点对称，
∴两函数的交点A、B关于原点对称，
∵点A的坐标为（﹣2，3），
∴点B的坐标为（2，﹣3）．
∴关于x的方程＝kx的两个实数根为x1＝﹣2，x2＝2．
故选：D
【名师指路】
本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
2．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k≠0）的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】A
【思路指引】
由于本题不确定k的符号，可以根据一次函数经过的象限判断出k的符号，然后确定反比例函数经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案．
【详解详析】
解：A、∵一次函数y=kx-k 经过一、二、四象限，∴k＜0，则反比例函数经过二、四象限，故此选项符合题意；
B、∵一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限，∴k＞0，则反比例函数经过一、三象限，故此选项不符合题意；
C、∵一次函数y=kx-k 经过一、二、四象限，∴k＜0，则反比例函数经过二、四象限，故此选项不符合题意；
D、∵一次函数解析式为y=kx-k ，∴一次函数图像不可能经过第一、二、三象限，故此选项不符合题意；
故选A．
【名师指路】
本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键．
3．正比例函数y＝2x和反比例函数y都经过的点是（ ）
A．（0，0） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，4）
【标准答案】B
【思路指引】
联立正比例函数与反比例函数解析式，求出它们的交点坐标即可得到答案．
【详解详析】
解：联立得：，
解得，
∴解得或
∴正比例函数和反比例函数都经过（1，2）或（-1，-2），
故选B．
【名师指路】
本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握求正比例函数与反比例函数交点坐标的方法．【来源：21cnj*y.co*m】
4．已知点在函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【标准答案】A
【思路指引】
根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出的值，然后比较大小即可．
【详解详析】
∵点在函数的图象上
∴，
∴
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5．反比例函数经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．点（﹣1，﹣2）在函数图象上
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当y≥4时，0＜x≤
【标准答案】C
【思路指引】
利用待定系数法求得k的值，再利用反比例函数图象的性质对每个选项进行逐一判断即可．
【详解详析】
解：∵反比例函数经过点（2，1），
∴k＝2．
∴﹣1×（﹣2）＝2，故A正确；
∵k＝2＞0，
∴双曲线y＝分布在第一、三象限，
故B选项正确；
∵当k＝2＞0时，反比例函数y＝在每一个象限内y随x的增大而减小，故C选项错误，
当y≥4时，0＜x≤，D选项正确，
综上，说法错误的是C，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，反比例函数图象的性质．利用待定系数法求得k的值是解题的关键．2-1-c-n-j-y
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若，，则的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．20 B．20 C．－5 D．5
【标准答案】D
【思路指引】
先根据直线解析式求得点C的坐标，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论．
【详解详析】
解：∵直线y=k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
∴OC=4，
过B作BD⊥y轴于D，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵S△OBC=2，
∴，
∴BD=1，
∵tan∠BOC=，
∴，
∴OD=5，
∴点B的坐标为（1，5），
∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B，
∴k2=1×5=5．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
7．已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，1） B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1 D．y随着x的增大而减小
【标准答案】D
【思路指引】
根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【详解详析】
解：A、x=1，y==1，∴图象经过点（1，1），正确；
B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；
C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；
D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
8．如图，和均为等腰直角三角形，且顶点A、C均在函数的图象上，连结交于点E，连结．若，则k的值为（ ）
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A． B． C．4 D．
【标准答案】C
【思路指引】
先证明可得如图，过作轴于 利用等腰直角三角形的性质证明再利用反比例函数值的几何意义可得答案.
【详解详析】
解： 和均为等腰直角三角形，
如图，过作轴于
( http: / / www.21cnjy.com / )
为等腰直角三角形，
反比例函数的图象在第一象限，则
故选C
【名师指路】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，反比例函数值的几何意义，掌握“反比例函数k值的几何意义”是解本题的关键.
二、填空题
9．设直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为_______．21·世纪*教育网
【标准答案】-10
【思路指引】
首先根据正比例函数和反比例函数的性质得到A、两点关于原点对称，然后将A（x1，y1）代入双曲线y＝得到，最后代入x1y2﹣3x2y1计算即可．
【详解详析】
解：∵直线y＝kx与双曲线y＝交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴A、两点关于原点对称，
∴，，
把A（x1，y1）代入双曲线y＝得到，
∴，
∴．
故答案是：-10．
【名师指路】
此题考查了正比例函数和反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质．
10．如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是_________．
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【标准答案】
【思路指引】
根据反比例函数与一次函数的图象性质分析判断即可；
【详解详析】
观察图象可知，当时，则的取值范围是，；
故答案是，．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为m，n，则__________．【来源：21·世纪·教育·网】
【标准答案】0
【思路指引】
联立两函数解析式得到m，n的值，代入即可．
【详解详析】
解：∵直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为m，n，
∴，得y2=a
∴，
∴，
故答案为：0．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，属于基础题．
12．如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=8，则k的值为___________ ．
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【标准答案】
【思路指引】
作轴于，得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出，即可求出的值．
【详解详析】
解：过点作轴，垂足为点，
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设，把代入中，得，
，
由勾股定理，得，即，
解得（负值舍去）．
．
把代入，得，
故答案是：．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法，解题的关键是求出点的坐标是解决问题的关键．
13．在直角坐标系中，已知、，为轴正半轴上一点，且平分，过的反比例函数交线段于点，为的中点，与交于点，若记的面积为，的面积为，则________．
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【标准答案】
【思路指引】
过点作于，根据，可得，再由平分，可得，则，设，证明四边形是矩形，得到，，再由则有，得到，则，，然后求出直线BC的解析式为，从而可求出D点坐标，求出直线BC的解析式，得到C点坐标即可得到E点坐标，然后求出直线OD，BE的解析式即可得到F的坐标，最后根据进行求解即可．
【详解详析】
解：如图，过点作于．
( http: / / www.21cnjy.com / )
、，
，，，
，
平分，
，
，
，
设，
，，
=90°，
四边形是矩形，
，，
在△BCH中，则有，
∴，
，
，
设直线BC的解析式为，
∴，
∴，
直线的解析式为，
反比例函数经过点，
，
由，解得或，
，
设直线OD的解析式为，
∴，
∴
直线的解析式为，
，
，，
设直线BE的解析式为，
∴，
∴，
直线的解析式为，
由，
解得，
，，
∴，，
，
∴，
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求两直线的交点等等，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式．www-2-1-cnjy-com
14．一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝的图象交点的纵坐标为2，当﹣3＜x＜﹣1时，反比例函数y＝中y的取值范围是 _____．21*cnjy*com
【标准答案】＜y＜2
【思路指引】
把一个交点的纵坐标是2代入y=-x+1求出横坐标为-1，把（-1，2）代入y＝求出k，令-3＜x＜-1，求出y＝的取值范围，即可求出y的取值范围．21*cnjy*com
【详解详析】
解：令y=2，则2=-x+1，
∴x=-1，
把（-1，2）代入y＝，
解得：k=-2，
∴反比例函数为y＝，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当x=-3时，代入y＝得y=，
∴x=-3时反比例函数的值为：，
当x=-1时，代入y=得y=2，
又知反比例函数y=在-3＜x＜-1时，y随x的增大而增大，
即当-3＜x＜-1时反比例函数y的取值范围为：＜y＜2．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点及正比例函数与反比例函数的性质，难度不大，关键是掌握用待定系数法求解函数的解析式．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（2，0），顶点B（0，4），∠BAC＝90°，AB＝AC，点C是反比例函数y（k≠0，x＞0）图象上一点．
（1）求反比例函数y（k≠0，x＞0）的表达式；
（2）连接OC，将直线OC沿y轴向上平移m个单位后经过反比例函数y（k≠0，x＞0）图象上的点（3，n），则m＝ （直接填空）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）3
【思路指引】
（1）过点C作CD⊥x轴于D，先证明∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AO=∠ACD，即可利用AAS证明△BAO≌△ACD得到CD=OA，AD=BO，从而可以求得C点坐标，然后把C点坐标代入反比例函数解析式求解即可；
（2）先根据点（3，n）在反比例函数图像上，求出n=4，再求出直线OC的解析式，从而得到直线OC向上平移m个单位后的解析式为，再由点（3，4）在直线函数图像上，进行求解即可．
【详解详析】
解：（1）如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠AOB=∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
又∵BA=AC，
∴△BAO≌△ACD（AAS），
∴CD=OA，AD=BO，
∵A（2，0），B（0，4），
∴AD=BO=4，CD=OA=2，
∴OD=OA+AD=6，
∴点C的坐标为（6，2），
∵点C在反比例函数上，
∴，
∴；
∴反比例函数解析式为；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）∵点（3，n）在反比例函数的图像上，
∴，
设直线OC的解析式为，
∴，
解得，
∴直线OC的解析式为，
∴直线OC沿y轴向上平移m个单位后的解析式为，
∵点（3，4）在直线函数图像上，
∴，
∴，
故答案为：3．
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，反比例函数与一次函数综合，解题的关键在于能够求出点C的坐标．
16．如图，直线y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A（1，3），B（3，n），与x，y轴分别交于P，C．
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（1）求k的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）观察图象指出，当x取何值时﹣x+4＞．
【标准答案】（1）k=3；（2）4；（3）当1＜x＜3时，-x+4＞
【思路指引】
（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出k值；
（2）由（1）得反比例函数解析式，进而得 ( http: / / www.21cnjy.com )出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式，即可求出一次函数解析式；由直线解析式求得D（0，4），根据△AOB的面积=△BOD的面积-△AOD的面积求得△AOB的面积；
（3）结合图像直接得出x的范围．
【详解详析】
解：（1）将点A（1，3）代入y＝（x＞0）得：3=k，
解得k=3，
（2）由（1）得：反比例函数的表达式为：y＝，
将点B（3，n）代入y＝得：n=1，
∴点B（3，1），
∴C（0，4），
如图，连接OA，OB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△AOB的面积=△BOC的面积-△AOC的面积=；
（3）当-x+4＞时，即y=-x+4的图象在y=上方，
由图象可知，此时1＜x＜3，
即当1＜x＜3时，-x+4＞．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
17．一次函数y＝k1x+b和反比例函数y＝的图象的相交于A（2，3），B（﹣3，m），与x轴交于点C，连接OA，OB．
（1）请直接写出m的值为 ，反比例函数y＝的表达式为 ；
（2）观察图象，请直接写出k1x+b﹣＞0的解集；
（3）求△AOB的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）-2；；（2）或；
【思路指引】
（1）先把A点坐标代入到反比例函数解析式求出反比例函数解析式，即可求出m的值；
（2）观察图像可知，不等式k1x+b﹣＞0的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围，由此求解即可；
（3）先求出直线AB的解析式，然后求出C点坐标，再由进行求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数的函数图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点B（﹣3，m）在反比例函数的图像上，
∴，
故答案为：-2；；
（2）观察图像可知，不等式k1x+b﹣＞0的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围，
∴不等式k1x+b﹣＞0的解集为或；
（3）把A、B坐标代入到直线AB的解析式中得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为，
∵C是直线AB与x轴的交点，
∴C点坐标为（-1，0），
∴OC=1，
∴．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，图像法解不等式，求三角形面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求函数解析式．
18．如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
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【标准答案】（1）反比例函数解析式；（2）P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）
【思路指引】
（1）根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可．
【详解详析】
解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点，
∴m＝×4，
解得m＝2，
即A（4，2），
把A点坐标代入反比例函数得，，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为；
（2）设P点的坐标为（n，0），
若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OA＝OP时，
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由（1）知，A（4，2），
∴n＝，
即P（，0）；
②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H，
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∵A（4，2），
∴OH＝4，
∵OA＝AP，
∴OP＝2OH＝2×4＝8，
即P（8，0）；
③当OP＝AP时，
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∵A（4，2），
∴n＝，
即n2＝（4﹣n）2+22，
解得n＝，
即P（，0），
综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）．
【名师指路】
本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及分类讨论思想是解题的关键．
函数的复习
知识结构
模块一：正反比例函数
知识精讲
例题解析
模块二：一次函数
知识精讲
例题解析
模块三：综合
例题解析
A
B
O
ED
x
y
随堂检测
课后作业
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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