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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”， ( http: / / www.21cnjy.com )即八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。2-1-c-n-j-y
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。【出处：21教育名师】
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1．无理方程的概念
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2．解无理方程的方法
通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．
3．解无理方程的一般步骤
（1）方程两边平方，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．21*cnjy*com
【例1】下列方程是哪些是关于的无理方程
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【标准答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程．
【详解详析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方
程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程，，可知（3）也
是无理方程．
【名师指路】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．
【例2】下列哪个方程有实数解（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【详解详析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，，此时，故方程
无实数解；对B选项，，可知方程无实数解；对C选项，，
无解，即方程无实数解；故选D．
【名师指路】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定．
【例3】若方程有解，则的取值范围是________．
【标准答案】．
【详解详析】移项得，方程有解，根据二次根式的非负性，可得，得．
【名师指路】考查无理方程有解的应用，根据二次根式的非负性即可进行判断．
【例4】用换元法解方程时，设．则该方程转换整式方程是____________．
【标准答案】．
【详解详析】由，可得，原方程即为，
整理即为．
【名师指路】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式形式．
3．增根的概念
无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根．www.21-cn-jy.com
【例5】关于的方程有一个增根x=4，求：
（1） a的值；
（2） 方程的根．
【标准答案】（1）；（2）
【详解详析】（1）移项，两边平方得：，移项得，
两边平方得：，将代入有，
整理得，解得：，，当时，是方程增根，
当时，不是方程增根，由此即得；
（2）将代入上述平方整理的方程即有，
移项整理得，解得：，，
由题意可得是原方程的增根，即得原方程的根是．
【名师指路】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．
【例6】若方程有一个根是，求实数m的值．
【标准答案】．
【详解详析】因为方程有一个根是，所以代入得，平方整理得，
解得：，，经检验，是方程的增根，应舍去，即得．
【名师指路】考查无理方程根的意义，代入转化为其它未知数的求值即可．
4．应用
寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．
【例7】用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米， 求这个直角三角形的另两条边的长度．21·世纪*教育网
【标准答案】和．
【详解详析】设另外一条直角边长为，根据勾股定理可得斜边长为，
依题意可得，解得：，经检验，是原方程的根且符合
题意，则斜边长为，即另两边长分别为和．
【名师指路】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根．
【例8】m、n为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A在公路n上，距离公路m为1千米．工 厂B距离公路m为2千米，且距离公路n为3千米，现在要在公路m上选一个地址造 一个车站P，使它与A、B两厂的距离和为千米，试指出车站P的位置 21教育网
【标准答案】车站在两公路交点上方或处．
【详解详析】以直线为轴，以直线为轴，两直线交点为
坐标原点，建立平面直角坐标系，
依题意有，，设点，
根据两点间距离公式，
依题意可得，
二次平方后，整理得：，解得：，，
经检验，，都是原方程的根，
即车站在两公路交点上方或处．
【名师指路】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题．
一、单选题
1．下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
方程两边都乘以x+2，求出x=± ( http: / / www.21cnjy.com )2，再进行检验，即可判断A；移项后两边平方，求出方程的解，即可判断B；先移项，再根据偶次方的非负性即可判断C；根据根的判别式即可判断D．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：A、，
方程两边都乘以x+2得：x2=4，
解得：x=±2，
经检验x=2是原方程的解，x=-2是增根，舍去，
即方程有实数根，故本选项符合题意；
B、，
移项，得，
两边平方，得x-2=x2，
即x2-x+2=0，
∵△=（-1）2-4×1×2=-7＜0，
∴此方程无解，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
C、，
移项，得x2=-2，
∵不论x为何值，x2都是非负数，
∴此方程无解，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
D、，
∵△=12-4×1×2=-7＜0，
∴此方程无解，
即方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：A．
【名师指路】
本题考查了解无理方程，算术平方根，根的判别式，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程、把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．21*cnjy*com
2．下列方程中，有实数解的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，分别解方程即可得答案．
【详解详析】
解：A、由x2+1=0，得x2=-1，
∵x2≥0，
∴原方程无实数根，
故A选项不符合题意；
B、得x2-x+1=0，
而x2-x+1=0的判别式Δ=-3＜0，
∴原方程无实数根，
故B选项不符合题意；
C、由得x2-2x-3=0，
解得x=3或x=-1，
经检验，x=-1是原方程的根，
故C符合题意；
D、由得x=-2，
经检验：x=-2是原方程增根，
∴原方程无实数根，
故D不符合题意，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了一元二次方程、分式方程及无理方程的解，熟练应用相关方法进行求解是解决本题的关键，特别注意分式方程和无理方程都要检验．21教育名师原创作品
3．下列无理方程中有实数解的是（ ）
A．+＝2 B．＝2 C．＝x D．＝2+
【标准答案】C
【思路指引】
分别解各选项的方程，即可得出正确答案．
【详解详析】
解：A选项，根据二次根式有意义的条件得：x-1≥0，1-x≥0，
∴x-1=0，
∴x=1，
当x=1时，0+0≠2，
所以方程没有实数根，不合题意；
B选项，两边平方得：5+2x2=4，
∴2x2=-1，
∴方程没有实数根，不合题意；
C选项，两边平方得：2-x=x2，
∴x2+x-2=0，
∴x=，
∴x=1（负值舍去），
检验：当x=1时，左边=右边，
∴x=1是原方程的解，符合题意；
D选项，两边平方得：x+1=4++x，
∴=-3，
∴方程没有实数根，不合题意；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了无理方程，两边分别平方是解无理方程常用的方法，注意无理方程要检验．
4．下列方程中，是无理方程的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据无理方程的定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程；逐个判断即可．21·cn·jy·com
【详解详析】
A．根号下不含未知数，是有理方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，不是无理方程，故本选项不符合题意；
B．根号下不含未知数，是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意；
C．方程中含有二次根式，且被开方数含有x，所以是无理方程，故本选项符合题意；
D．根号下不含未知数，是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意；
故选：C．2·1·c·n·j·y
【名师指路】
本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键．
5．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先移项，再根据算术平方根的非负性即可判断A；根据根的判别式即可判断B；根据算术平方根的非负性得出且，即可判断C；方程两边都乘以，再求出方程的解，进行检验后即可判断D．
【详解详析】
解：A、，
移项，得，
不论为何值，，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B、，
△，
此方程无解，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
C、，
且，
此时不存在，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
D、，
方程两边都乘以，得，
解得：，
经检验是增根，是原方程的解，
即原方程有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了解无理方程，算术平方根，四次方根，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
6．下列方程中，无理方程是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程．
【详解详析】
解：A项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，
B项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，
C项的根号内含有未知数，所以是无理方程，故本选项正确，
D项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查无理方程的定义，关键在于分析看看哪一项符合无理方程的定义．
7．下列无理方程有解的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据二次根式双重非负性逐一判断即可得．
【详解详析】
解：A、由知，此方程无实数解；
B、由题意得，解得无解知，此方程无实数根；
C、由题意得，解得知，此方程有实数根；
D、由题意得，解得无解知，此方程无实数根；
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
二、填空题
8．方程的解是______．
【标准答案】
【思路指引】
根据二次根式的运算性质转化为有理方程求解即可．
【详解详析】
解：移项，得，
两边平方，得，
∴
检验：当时，左边=左边=右边；
当时，左边=左边=右边．
∴都是原方程的根．
故答案为：
【名师指路】
本题考查了解无理方程，运用平方根的定义求解是解题的基础，正确地将无理方程转化为有理方程是解题的关键．21世纪教育网版权所有
9．方程﹣1＝0的解是____．
【标准答案】x=2
【思路指引】
移项得出=1，两边平方得出3-x=1，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解详析】
解：移项，得=1，
两边平方，得3-x=1，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，
所以原方程的解是x=2．
故答案为：x=2．
【名师指路】
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
10．方程＝0的根是______．
【标准答案】x＝3
【思路指引】
根据题意，得x﹣1＝0或x﹣3＝0，然后根据算术平方根的性质可得答案．
【详解详析】
解：依题意得，x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x＝1或x＝3，
当x＝1时，x﹣3＜0，
∴x＝1不合题意，舍去，
∴x＝3，
故答案为：x＝3．
【名师指路】
此题考查的是无理方程，掌握其非负数的性质是解决此题的关键．
11．如果关于x的方程2﹣+k＝0无实数解，那么k的取值范围是_______．
【标准答案】k＜﹣2
【思路指引】
根据关于x的方程没有实数根，可知2+k＜0，从而可以求得k的取值范围．
【详解详析】
解：∵，即无实根，
∴k+2＜0，
∴k＜﹣2．
故答案为：k＜﹣2．
【名师指路】
本题考查方程有无实数解，解题的关键是明确方程的解答方法，无实数根应满足什么条件．
12．无理方程（x+4） ＝0的解是_______．
【标准答案】x＝﹣3
【思路指引】
根据ab＝0，得a＝0或b＝0，注意被二次根式开方数大于等于0．
【详解详析】
解：∵
∴或，
解得，，
当时，被开方数无意义；
故方程的解为，
故答案为：．
【名师指路】
此题主要考查了无理方程的求解，掌握无理方程的求解方法是解题的关键．
13．若，则________．
【标准答案】4
【思路指引】
设，将原方程变形，进而解一元二次方程即可求得的值，进而求得的值．
【详解详析】
设，原方程为：
即
解得：
故答案为：
【名师指路】
本题考查了无理方程，换元法是解题的关键．
14．方程的解是___________．
【标准答案】x=3
【思路指引】
先把无理方程化为或，，分别求解，再检验，即可．
【详解详析】
解：∵，
∴或，
解得：x=2或x=3，
经检验：x=3是方程的解，x=2不是方程的解，
∴x=3，
故答案是：x=3．
【名师指路】
本题主要考查解无理方程，无理方程要对根进行检验．
三、解答题
15．下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程：
原方程可变形为3﹣x＝……（第一步）
两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步）
整理，得﹣3x＝6……（第三步）
解得x＝2……（第四步）
检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步）21cnjy.com
所以，原方程的解是x＝2．……（第六步）
请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题：
（1）以上小明的解题过程中，从第 步开始出错；
（2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程．
【标准答案】（1）二；（2）见解析
【思路指引】
（1）移项后两边平方即可；
（2）先移项，再两边平方，求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解详析】
解：（1）以上小明的解题过程中，从第二步开始出错，
故答案为：二；
（2），
移项，得，
两边平方，得（3-x）2=2x-3，
整理得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
经检验：x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解，
所以原方程的解是x=2．
【名师指路】
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
16．解方程：．
【标准答案】
【思路指引】
根据方程的特点可以构造平方差公式，进而转化为一元二次方程，解一元二次方程即可，最后根据无理方程的特点，要进行检验．【版权所有：21教育】
【详解详析】
①
设②
①×②得：
③
①＋③得：
两边平方得：
解得
经检验，是原方程的解．
【名师指路】
本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的技巧和解一元二次方程是解题的关键．
17．（1）解方程：
（2）解方程：
【标准答案】（1）x=6；（2）x=7．
【思路指引】
（1）移项后两边平方，即可把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）移项后两边平方，即可把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解详析】
解：（1）移项得：，
两边平方得：x-2=x2-8x+16，
整理得：x2-9x+18=0，
解得：x1=3，x2=6，
经检验x=3是原方程的增根，舍去；x=6是原方程的解，
所以原方程的解为x=6；
（2）移项得：，
两边平方得：，
整理得：，
两边平方得：x+2=x2-8x+16，
整理得：x2-9x+14=0，
解得：x1=2，x2=7，
经检验x=2是原方程的增根，舍去；x=7是原方程的根，
所以原方程的解为x=7．
【名师指路】
本题考查了解无理方程和解一元二次方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
18．求直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐标．
【标准答案】（9，3）或（-9，3）
【思路指引】
设满足题意的点为A（x，y），再根据两点距离公式列方程组，解方程即可求得点A的坐标．
【详解详析】
解：设满足题意的点为A（x，y），由题意得，
，
解得，或，
经检验，两组都是方程组的解，
所以A（9，3）或A（-9，3）．
答：直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐标为（9，3）或（-9，3）．
【名师指路】
本题考查了平面直角坐标系，无理方程的应用，掌握两点距离公式列方程组是解题的关键．
19．阅读下列材料，解决问题：
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一 ( http: / / www.21cnjy.com )些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）用“转化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一瑞固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）﹣2，8；（2）x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2；（3）4米
【思路指引】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）分析方程的结构，发现（x2+x﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2，所以有（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2，得到2（x2+3x﹣4）（2x2﹣7x+6）＝0，然后得到两个一元二次方程，求出方程有四个根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解．
【详解详析】
解：（1）x3﹣6x2﹣16x＝0，
x（x2﹣6x﹣16）＝0，
x（x+2）（x﹣8）＝0
所以x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8；
故答案为：﹣2，8；
（2）（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2
（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7 ( http: / / www.21cnjy.com )x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2﹣2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝（3x2﹣6x+4）2
2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0
（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0
（x+2）（x﹣1）（2x﹣3）（x﹣2）＝0
x+2＝0或x﹣1＝0或2x﹣3＝0或x﹣2＝0．
解得x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2；
（3）因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m
设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m
因为BP+CP＝10，
BP＝，CP＝．
∴＝10
∴＝10﹣．
两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2
整理，得5＝4x+9
两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0
即（x﹣4）2＝0
所以x＝4．
经检验，x＝4是方程的解．
答：AP的长为4m．
【名师指路】
本题考查矩形的性质、解一元二次方程-因式分解法、无理方程、一元二次方程的应用，理解相关性质和计算法则是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
20．解方程：．
【标准答案】
【思路指引】
移项后两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解详析】
解：，
移项，得：，
两边平方，得：，
整理，得：，
化简得：，
解得：，
经检验，是方程的增根，应舍去；
所以，原方程的解为．
【名师指路】
本题考查了解无理方程和解一元二次方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
无理方程
知识结构
模块一：无理方程的概念和解法
知识精讲
例题解析
模块二：无理方程的根的讨论
知识精讲
例题解析
模块三：无理方程的应用
知识精讲
例题解析
A
B
n
m
随堂检测
课后作业
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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法” ( http: / / www.21cnjy.com )，即八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21cnjy.com
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。2·1·c·n·j·y
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1．无理方程的概念
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2．解无理方程的方法
通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．
3．解无理方程的一般步骤
（1）方程两边平方，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．21·cn·jy·com
【例1】下列方程是哪些是关于的无理方程
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【例2】下列哪个方程有实数解（ ）
A． B．
C． D．
【例3】若方程有解，则的取值范围是________．
【例4】用换元法解方程时，设．则该方程转换整式方程是____________．
3．增根的概念
无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根．www.21-cn-jy.com
【例5】关于的方程有一个增根x=4，求：
（1） a的值；
（2） 方程的根．
【例6】若方程有一个根是，求实数m的值．
4．应用
寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．
【例7】用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米， 求这个直角三角形的另两条边的长度．【来源：21·世纪·教育·网】
【例8】m、n为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A在公路n上，距离公路m为1千米．工 厂B距离公路m为2千米，且距离公路n为3千米，现在要在公路m上选一个地址造 一个车站P，使它与A、B两厂的距离和为千米，试指出车站P的位置 21·世纪*教育网
一、单选题
1．下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，有实数解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列无理方程中有实数解的是（ ）
A．+＝2 B．＝2 C．＝x D．＝2+
4．下列方程中，是无理方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．下列方程中，无理方程是（ ）
A． B． C． D．
7．下列无理方程有解的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．方程的解是______．
9．方程﹣1＝0的解是____．
10．方程＝0的根是______．
11．如果关于x的方程2﹣+k＝0无实数解，那么k的取值范围是_______．
12．无理方程（x+4） ＝0的解是_______．
13．若，则________．
14．方程的解是___________．
三、解答题
15．下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程：
原方程可变形为3﹣x＝……（第一步）
两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步）
整理，得﹣3x＝6……（第三步）
解得x＝2……（第四步）
检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步）21世纪教育网版权所有
所以，原方程的解是x＝2．……（第六步）
请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题：
（1）以上小明的解题过程中，从第 步开始出错；
（2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程．
16．解方程：．
17．（1）解方程：
（2）解方程：
18．求直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐标．
19．阅读下列材料，解决问题：
求解一元二次方程，把它转化为两个一元 ( http: / / www.21cnjy.com )一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知．21教育网
用“转化”的数学思想，我们还可以解 ( http: / / www.21cnjy.com )一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）用“转化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一瑞固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
20．解方程：．
无理方程
知识结构
模块一：无理方程的概念和解法
知识精讲
例题解析
模块二：无理方程的根的讨论
知识精讲
例题解析
模块三：无理方程的应用
知识精讲
例题解析
随堂检测
课后作业
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