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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 ( http: / / www.21cnjy.com )知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。2·1·c·n·j·y
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。www-2-1-cnjy-com
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1、一元整式方程的概念
方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式．
2、解一元一次方程的方法
方程中未知数系数都是数字，将未知数字母系数化成1；
方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论，方法如下：
一元一次方程
当时，方程有唯一解；
当时，方程无解；（应改为a=0,b≠0）
当时，方程有无数解．
【例1】 判断下列关于的方程，哪些是一元整式方程．
1 ； ②； ③； ④；
5 ；⑥．（、为常数）
【标准答案】①⑤⑥．
【详解详析】根据一元整式方程的定义，只含有一个未知数，且方程两边都是关于未知数的整式，
可知①⑤⑥为一元整式方程，②为无理方程，错误；③为分式方程，错误；④含有两个
未知数，是二元方程，错误；综上所述，①⑤⑥为一元整式方程．
【名师指路】考查一元整式方程的概念．
【例2】 已知关于的方程的解是负数，求k的取值范围．
【标准答案】．
【详解详析】解方程得：，方程解为负数，即，得：．
【名师指路】考查方程解得意义，先解方程，再根据题目要求求解．
【例3】 如果关于的方程无解，那么=_________．
【标准答案】
【详解详析】整理方程得，方程无解，则有且，得．
【名师指路】考查方程无解的情况，则有，．
【例4】 解关于的方程：
（1）； （2）； （3）．
【标准答案】略．
【详解详析】（1）整理方程得，由此进行分类讨论：
当，即时，方程无解；当，即时，方程解为；
（2）整理方程得，由，得，则方程解为；
（3）整理方程得，由此进行分类讨论：
当且，即且时，方程无解；
当且，即且时，方程有无数解；
当，即时，方程解为．
【名师指路】考查解含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论．
【例5】 关于的方程，分别求为何值时，原方程：
（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解．
【标准答案】（1），n为任意数；（2）且；（3）且．
【详解详析】方程整理成一般形式即为，由此进行分类讨论：
（1）当，即时，方程有唯一解；
（2）当且，即且时，方程有无数解；
（3）当且，即且时，方程无解．
【名师指路】考查含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论．
1、含有字母系数的一元二次方程的解法
方程中未知数系数都是数字，用开平方法、配方法、因式分解法、公式法解方程；
方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论．
【例6】已知（是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．一切实数
【标准答案】C
【详解详析】方程是一元二次方程，则必有，得且，
故选C．
【名师指路】考查一元二次方程的定义，二次项系数不能为0．
【例7】若关于的方程有两个实数根，求的取值范围．
【标准答案】且．
【详解详析】方程有两个实数根，方程为一元二次方程，则有二次项系数，且有方程根的
判别式，即得且．
【名师指路】考查一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不能为0的前提条件．
【例8】求为什么实数时，方程①有实数根；②没有实数根．
【标准答案】①；②．
【详解详析】①当，即时，方程为一元一次方程，必有实数根；当，即
时，方程为一元二次方程，方程有实数根，则有，得且；
综上，的取值范围为；
②方程没有实数根，则有，得．
【名师指路】考查含有字母系数的方程与一元二次方程根的判别式的结合应用，由于本题中并未说明是什么方程，因此要对二次项系数进行分类讨论．21教育网
【例10】 解关于的方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【标准答案】略．
【详解详析】（1）当，即时，原方程即为，解得：；
当，即时，方程为一元二次方程，分解因式得，
解得：，；
（2）配方法得，即，由，得，则有，解得：，；
（3）整理方程得，由此可得，即时，方程无解；
当，即时，则有，解得：，．
【名师指路】考查含有字母系数的一元二次方程形式的方程与方程根的判别式的结合应用，注意对二次项系数进行分类讨论．【来源：21cnj*y.co*m】
1、二项方程的概念
二项方程：一边只含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是0的一元次方程；
2、二项方程的解法
关于的一元次二项方程的一般形式：，是正整数)
该方程的根的情况是：
为奇数时，方程有且只有一个实数根；
为偶数时，若，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若，那么方程没有实数根．
3、双二次方程的概念
双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程．
4、双二次方程的解法
换元法解关于x的双二次方程：
步骤：
①换元，用新未知数代替方程中的，同时用代替，将原方程转化为关于y的
一元二次方程：；
②解一元二次方程：；
③回代．
5、特殊高次方程的解法
对于某些特殊的高次方程，先将方程化为一般式，可尝试将方程左边分解因式，转化为 一元一次方程或者一元二次方程来解．2-1-c-n-j-y
【例11】下列方程中，不是二项方程的为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【详解详析】根据二项方程的定义，方程中只能含有一个未知项，B选项中含有两个未知项，不
满足二项方程的条件，故选B．
【名师指路】考查二项方程的判断．
【例12】下列方程中，①；②；③；
2 ，是双二次方程的是____________．
【标准答案】①
【详解详析】根据定义，只含有偶次项的一元四次方程是双二次方程，可知①是双二次方程，②
中没有常数项，不是；③是含有奇次项的二次方程，不是；④是二次方程，不是．
【名师指路】考查双二次方程的判断，根据定义把握相关要点．
【例13】解关于的方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【标准答案】（1），；（2），；（3），；
（4）．
【详解详析】（1）开平方得，即可解得：，；
（2）开平方得，则有，即可解得：，；
（3）开平方得，则有，即可解得，；
（4），即可得，解得．
【名师指路】考查形如二项方程形式的高次方程的求解．
一、单选题
1．如图，一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A，则方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
一个一次函数解析式可以看做是一个二元一次方程，两个一次函数解析式可以组合成一个二元一次方程组，方程组的解就是两函数图象的交点．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：∵点A的纵坐标为3，
当2x+1=3时，，
∴一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A坐标为（1，3），
又∵方程组可变形为，
∴方程组的解为：．
故选：C．
【名师指路】
此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
2．体育课上，20人一组进行足球比赛，每人 ( http: / / www.21cnjy.com )射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（ ）
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 5 x y 3 2
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据根据进球总数为49个，总共20人，分别列出的关系式即可．
【详解详析】
根据进球总数为49个得：，
整理得：，
∵20人一组进行足球比赛，
∴，
整理得：．
．
故选C．
【名师指路】
本题考查了两直线交点与二元一次方程组，理解题意列出关系式是解题的关键．
3．直线y＝kx＋1与y＝x﹣1平行，则y＝kx＋1的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【标准答案】A
【思路指引】
根据两直线平行得到k＝1，然后根据一次函数图象与系数的关系判断y＝kx＋1的图象经过的象限．
【详解详析】
解：∵直线y＝kx＋1与y＝x 1 ( http: / / www.21cnjy.com )平行，
∴k＝1，
即直线y＝kx＋1的解析式为y＝x＋1，
∴y＝kx＋1的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．21·cn·jy·com
【名师指路】
本题考查了两直线相交或平 ( http: / / www.21cnjy.com )行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．同时考查了一次函数图象与系数的关系．
4．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解详析】
解：∵一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
5．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【标准答案】A
【思路指引】
先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解详析】
解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
【名师指路】
本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
6．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
【标准答案】D
【思路指引】
利用根与系数的关系得到再利用完全平方公式得到然后利用整体代入的方法计算．
【详解详析】
解：根据题意得
所以
故选：D．
【名师指路】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键．
7．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【标准答案】B
【思路指引】
根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．
【详解详析】
解： 关于的一元二次方程有两个实数根，，
故选B．
【名师指路】
本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
8．下列关于x的方程中，一定有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
利用a=0可对A、B进行判断；根据判别式的意义可对C进行判断；利用立方根的定义可对D进行判断．
【详解详析】
解：A、当a=0时，方程ax-1=0没有实数解，所以A选项不符合题意；
B、当a=0时，方程a2x-1=0没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、当a＜0时，Δ=02+4a=4a＜0，方程没有实数解，所以C选项不符合题意；
D、x3=a，则x=，所以D选项符合题意．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了根的判别式：一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．下列方程中是二项方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．据此可以判断．
【详解详析】
，有2个未知数项，故A选项不合题意；
，没有非0常数项，故B选项不合题意；
，有2个未知数项且等号另一端不为0，故C选项不合题意；
，D选项符合题意．
故选D．
【名师指路】
本题考核知识点：二项方程，解题关键点为理解二项方程的定义．
10．下列方程中，是二项方程的是（ ）
A．； B．； C．； D．
【标准答案】C
【思路指引】
二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是非0常数项；结合选项进行判断即可．21*cnjy*com
【详解详析】
A. 中两项都含未知数x，所以不是二项方程；
B. 中有三项，所以不是二项方程；
C. 其中一项含未知数x，另一项是非0常数项，所以是二项方程；
D. 中有三项，所以不是二项方程.
故选：C.
【名师指路】
本题考查了二项方程的定义，注意二项方程只有两项，一项含未知数，一项是非0常数．
二、填空题
11．当x___时，直线y＝﹣x+1在直线y＝﹣2x+4上方．
【标准答案】＞3
【思路指引】
先求出两条直线的交点，然后x取不同于交点横坐标的任一值分别代入y=-x+1和y=-2x+4求出函数值进行比较即可．
【详解详析】
解：由，得，
∴两条直线的交点为：（3，-2），
当x=4时，y=-x+1=-3，
y=-2x+4=-8+4=-4，
∴-x+1＞-2x+4，
∴x＞3时，直线y=-x+1在直线y=-2x+4上方，
故答案为：＞3．
【名师指路】
本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，关键是求出两条直线的交点．
12．二项方程x4﹣8＝0的实数根是_______．
【标准答案】x＝±2
【思路指引】
先求x2的解，再求实数根即可．
【详解详析】
解：x4﹣8＝0．
∴．
∴x2＝4（负值舍去）．
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
【名师指路】
本题考查高次方程的解法，关键在于降次，利用开平方即可降次是关键．
13．如果函数的图像平行于直线且在轴上的截距为，那么函数的解析式是__________．
【标准答案】
【思路指引】
利用两直线平行得到k的值，利用在y轴上的截距的意义得到b的值，从而可确定函数y=kx+b的解析式．
【详解详析】
∵函数y=kx+b的图象平行于直线y=3x-1且在y轴上的截距为2，
∴k=3，b=2，
∴函数y=kx+b的解析式为y=3x+2．
故答案为y=3x+2．
【名师指路】
本题考查了两条直线的交点或平行问题：两条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
14．直线y1＝k1x＋b1(k1＞0 ( http: / / www.21cnjy.com ))与y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1－b2等于________．【出处：21教育名师】
【标准答案】4
【详解详析】
试题分析：根据解析式求得与坐标轴的交点，从而求得三角形的边长，然后依据三角形的面积公式即可求得．
试题解析：如图，直线y=k1x+b1（k ( http: / / www.21cnjy.com )1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，
∵△ABC的面积为4，
∴OA×OB+OA×OC=4，
∴，
解得：b1﹣b2=4．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：两条直线相交或平行问题．
15．用换元法解方程时，如果设，那么原方程化成关于的整式方程是________
【标准答案】y -3y+2=0
【思路指引】
将原方程左右两边同时乘以，再将代入即可.
【详解详析】
解：∵，
∴，
设，
则原方程可化成y -3y+2=0.
故答案为y -3y+2=0.
【名师指路】
本题主要考查整体思想，解此题的关键在于根据题找到原方程与所求式子之间的关系.
16．有一个解为，那么这个方程的另一个解为________．
【标准答案】
【思路指引】
将代入原方程求出m的值，再把m的值代回原方程，通过直接开平方法解原方程，得到方程的两个解，可得答案．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
将x=7代入方程，得，即，
故原方程为：，
移项，得：，
两边直接开4次方，得：或，
解得：，
故答案为．
【名师指路】
本题考查了解二项方程，根据方程的解求得字母的值是解题的关键．
17．一次函数y1＝ax＋b与y2＝mx＋n的部分自变量和对应函数值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y1 … 2 1 …
x … 0 1 2 3 …
y2 … ﹣3 ﹣1 1 3 …
则关于x的方程ax﹣mx＝n﹣b的解是_________．
【标准答案】
【思路指引】
根据统计表确定两个函数的的交点，然后判断即可．
【详解详析】
解：根据表可得一次函数y1＝ax＋b与y2＝mx＋n的交点坐标是（2，1）．
故可得关于x的方程ax﹣mx＝n﹣b的解是，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了一次函数的性质，正确确定交点坐标是关键．
18．如图，直线与直线相交于点B，直线与y轴交于点A，直线与x轴交于点D与y轴交于点C，交x轴于点E．直线上有一点P（P在x轴上方）且，则点P的坐标为_______．21世纪教育网版权所有
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【标准答案】（-3，4）
【思路指引】
先求出A（0，4），D（-1，0），C（0，-2），得到AC=6，再求出B点坐标，从而求出△ABC的面积；然后求出直线AE的解析式得到E点坐标即可求出DE的长，再由进行求解即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：∵A是直线与y轴的交点，C、D是直线与y轴、x轴的交点，
∴A（0，4），D（-1，0），C（0，-2），
∴AC=6；
联立 ，
解得，
∴点B的坐标为（-2，2），
∴，
∵，
∴可设直线AE的解析式为，
∴，
∴直线AE的解析式为，
∵E是直线AE与x轴的交点，
∴点E坐标为（2，0），
∴DE=3，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（-3，4），
故答案为：（-3，4）．
( http: / / www.21cnjy.com )
【名师指路】
本题主要考查了一次函数综合，求一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点坐标，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．21cnjy.com
三、解答题
19．已知：一次函数y＝（m﹣2）x＋4的图像经过点A（2，6）且与x轴相交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【标准答案】（1）y=x+4；（2）12
【思路指引】
（1）把A（2，6）代入一次函数y=（m-2）x+4求出m的值，即可得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的图象与x轴交于点B求出其坐标，根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解详析】
解：（1）把A（2，6）代入一次函数y=（m-2）x+4，
得：6=2（m-2）+4，m=3，
∴直线的解析式为：y=x+4；
（2）y=x+4与x轴相交于点B，
B点坐标为：（-4，0），
所以△AOB的面积=×OB×6=12．
故△AOB的面积为12．
【名师指路】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数解析式图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出一次函数解析式．21·世纪*教育网
20．ax4+7＝1﹣3x4．
【标准答案】
【思路指引】
先移项、合并同类项，再开方．
【详解详析】
解：移项得：
，
，
，
当时，即时，此方程无解．
当时，即时，
∴．
【名师指路】
本题考查高次方程的解法，在解含有待定系数的方程时时需要根据情况进行分类讨论的．
21．已知一次函数y1＝mx﹣2m+4（m≠0）．
（1）判断点（2，4）是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）若一次函数y2＝﹣x+6，当m＞0，试比较函数值y1与y2的大小；
（3）函数y1随x的增大而减小，且与y ( http: / / www.21cnjy.com )轴交于点A，若点A到坐标原点的距离小于6，点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．求△ABC面积的取值范围．21教育名师原创作品
【标准答案】（1）在，理由见解析；（2）当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2；（3）6＜S△ABC＜821*cnjy*com
【思路指引】
（1）把点（2，4）代入解析式即可判断；
（2）求得两直线的交点为（2，4），根据一次函数的性质即可比较函数值y1与y2的大小；
（3）根据题意求得A的纵坐标的取值，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解详析】
解：（1）把x＝2代入y1＝mx﹣2m+4得，y1＝2m﹣2m+4＝4，
∴点（2，4）在该一次函数的图象上；
（2）∵一次函数y2＝﹣x+6的图象经过点（2，4），点（2，4）在一次函数y1＝mx﹣2m+4的图象上，
∴一次函数y2＝﹣x+6的图象与函数y1＝mx﹣2m+4的图象的交点为（2，4），
∵y2随x的增大而减小，y1随x的增大而增大，
∴当x＞2时，y1＞y2；
当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2；
（3）由题意可知，﹣6＜﹣2m+4＜6且m＜0，
∴﹣1＜m＜0，
∵点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．
∴6＜AB＜8，
∴6＜S△ABC＜8．
【名师指路】
本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
22．小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解
令则2t-3=0 所以
【标准答案】详见解析.
【思路指引】
此方程可用换元法解方程．（1）令=t，则原方程可化为t2+2t-3=0；
（2）令=t，则原方程可化为t2+t-2=0．
【详解详析】
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解
2-3=0 令=t则 2t-3=0 t= t=＞0 =，所以 x=
x+2-3=0 令＝t，则t2+2t-3=0 t=1t=-3 t=1＞0t=-3＜0 ＝1，所以x=1
x+-4=0 令＝t，则t2+t-2=0， t=-2t=1 t=-2＜0，t=1＞0 =1，所以x=3
一元整式方程
知识结构
模块一：含有字母的一元一次方程
知识精讲
例题解析
模块二 含有字母系数的一元二次方程
知识精讲
例题解析
模块三：特殊的高次方程
知识精讲
例题解析
随堂检测
课后作业
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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知 ( http: / / www.21cnjy.com )识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21世纪教育网版权所有
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。21教育网
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1、一元整式方程的概念
方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式．
2、解一元一次方程的方法
方程中未知数系数都是数字，将未知数字母系数化成1；
方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论，方法如下：
一元一次方程
当时，方程有唯一解；
当时，方程无解；（应改为a=0,b≠0）
当时，方程有无数解．
【例1】 判断下列关于的方程，哪些是一元整式方程．
1 ； ②； ③； ④；
5 ；⑥．（、为常数）
【例2】 已知关于的方程的解是负数，求k的取值范围．
【例3】 如果关于的方程无解，那么=_________．
【例4】 解关于的方程：
（1）； （2）； （3）．
【例5】 关于的方程，分别求为何值时，原方程：
（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解．
1、含有字母系数的一元二次方程的解法
方程中未知数系数都是数字，用开平方法、配方法、因式分解法、公式法解方程；
方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论．
【例6】已知（是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．一切实数
【例7】若关于的方程有两个实数根，求的取值范围．
【例8】求为什么实数时，方程①有实数根；②没有实数根．
【例10】 解关于的方程：
（1）；
（2）；
（3）．
1、二项方程的概念
二项方程：一边只含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是0的一元次方程；
2、二项方程的解法
关于的一元次二项方程的一般形式：，是正整数)
该方程的根的情况是：
为奇数时，方程有且只有一个实数根；
为偶数时，若，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若，那么方程没有实数根．
3、双二次方程的概念
双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程．
4、双二次方程的解法
换元法解关于x的双二次方程：
步骤：
①换元，用新未知数代替方程中的，同时用代替，将原方程转化为关于y的
一元二次方程：；
②解一元二次方程：；
③回代．
5、特殊高次方程的解法
对于某些特殊的高次方程，先将方程化为一般式，可尝试将方程左边分解因式，转化为 一元一次方程或者一元二次方程来解．www.21-cn-jy.com
【例11】下列方程中，不是二项方程的为（ ）
A． B． C． D．
【例12】下列方程中，①；②；③；
2 ，是双二次方程的是____________．
【例13】解关于的方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
一、单选题
1．如图，一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A，则方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
2．体育课上，20人一组进 ( http: / / www.21cnjy.com )行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（ ）21·cn·jy·com
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 5 x y 3 2
A． B．
C． D．
3．直线y＝kx＋1与y＝x﹣1平行，则y＝kx＋1的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
4．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
5．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
6．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
7．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
8．下列关于x的方程中，一定有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列方程中是二项方程的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列方程中，是二项方程的是（ ）
A．； B．； C．； D．
二、填空题
11．当x___时，直线y＝﹣x+1在直线y＝﹣2x+4上方．
12．二项方程x4﹣8＝0的实数根是_______．
13．如果函数的图像平行于直线且在轴上的截距为，那么函数的解析式是__________．
14．直线y1＝k1x＋b1(k1 ( http: / / www.21cnjy.com )＞0)与y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1－b2等于________．2·1·c·n·j·y
15．用换元法解方程时，如果设，那么原方程化成关于的整式方程是________
16．有一个解为，那么这个方程的另一个解为________．
17．一次函数y1＝ax＋b与y2＝mx＋n的部分自变量和对应函数值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y1 … 2 1 …
x … 0 1 2 3 …
y2 … ﹣3 ﹣1 1 3 …
则关于x的方程ax﹣mx＝n﹣b的解是_________．
18．如图，直线与直线相交于点B，直线与y轴交于点A，直线与x轴交于点D与y轴交于点C，交x轴于点E．直线上有一点P（P在x轴上方）且，则点P的坐标为_______．【来源：21·世纪·教育·网】
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三、解答题
19．已知：一次函数y＝（m﹣2）x＋4的图像经过点A（2，6）且与x轴相交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
20．ax4+7＝1﹣3x4．
21．已知一次函数y1＝mx﹣2m+4（m≠0）．
（1）判断点（2，4）是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）若一次函数y2＝﹣x+6，当m＞0，试比较函数值y1与y2的大小；
（3）函数y1随x的增大而减小，且与y轴交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点A，若点A到坐标原点的距离小于6，点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．求△ABC面积的取值范围．21·世纪*教育网
22．小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．www-2-1-cnjy-com
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解
令则2t-3=0 所以
一元整式方程
知识结构
模块一：含有字母的一元一次方程
知识精讲
例题解析
模块二 含有字母系数的一元二次方程
知识精讲
例题解析
模块三：特殊的高次方程
知识精讲
例题解析
随堂检测
课后作业
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