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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即 ( http: / / www.21cnjy.com )八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在85-105段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在105-120段学生使用），所有题目选自上海地区历年统考、校考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21世纪教育网版权所有
开学测试模拟卷：满分100分制，难度在八年级上学期全册+下学期前两章，既可以作为本套专辑结课测试，亦可作为名校开学测试模拟卷。21教育网
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1．二元二次方程的概念
方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
2．二元二次方程组的概念
仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．
3．二元二次方程组的解法
（1）代入消元法； （2）加减消元法．
【例1】下列方程是哪些是二元二次方程
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【标准答案】（2）、（3）、（5）．
【详解详析】根据二元二次方程的概念：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高
次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
【名师指路】考察二元二次方程的概念．
【例2】下列方程中哪些是二元二次方程组
（1）； （2）； （3）； （4）．
【标准答案】（3）．
【详解详析】根据二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整
式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．
【名师指路】考察二元二次方程组的概念．
【例3】已知与是关于x、y的二元二次方程的两组解，试求 a+b的值．
【标准答案】或
【详解详析】将，，代入，得：，解得：．
当时，；当时，；
或．
【名师指路】考察二元二次方程组的灵活应用．
【例4】解方程组：
（1）； （2）．
【标准答案】（1）；（2）．
【详解详析】（1）解：，由（1）得：（3）；
将（3）代入（2）得：，
整理得：，解得：， ．
∴原方程组的解为：；
（2）解：，由（1）得：（3）；
将（3）代入（2）得：
整理得：，解得：， ，
∴原方程组的解为：．
【名师指路】考察利用代入消元法解二元二次方程组．
【例5】解下列方程组：
（1）； （2）．
【标准答案】（1）；（2）．
【详解详析】（1）， 由（2）得：或；
将代入（1）得：，解得：，，
将代入（1）得：，，
∴原方程组的解为：；
（2），由（1）得：，或；
或
（4）得：，把代入（3），得：；
（5）（6）得：，把代入（5），得：；
∴原方程组的解为：．
【名师指路】考察解二元二次方程组的代入消元法和加减消元法的运用．
【例6】小杰和小丽分别从相距27千米的A、B两地 ( http: / / www.21cnjy.com )同时出发相向而行，3小时后相遇，相遇后两人按照原来的速度继续前进，小杰到达B地比小丽到达A地早1小时21分，小杰和小丽的行进速度分别是多少 21·cn·jy·com
【标准答案】小杰的速度是千米/时，小丽的速度是千米/时．
【详解详析】解：设小杰的速度是千米/时，小丽的速度是千米/时，1小时21分=小时，
根据题意列方程：， 解得：，
经检验，均为原分式方程的根，但不符题意，舍去．
答：小杰的速度是千米/时，小丽的速度是千米/时．
【名师指路】利用二元方程组解决行程问题，主要找到等量关系，注意解完后要检验．
【例7】某剧场管理人员为了让观众有 ( http: / / www.21cnjy.com )更舒适的欣赏环境，对座位进行了调整．已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多；现在每排减少了2个座位，并减少了5排，剧场座位数相应减少为345个，剧场原有座位的排数是多少 每排有多少个座位 【来源：21·世纪·教育·网】
【标准答案】剧场原有座位是20排，每排有25个座位．
【详解详析】解：设剧场原有座位的排座位，每排有个座位，
根据题意，可得：， 解得： ，
经检验：，都是原方程组的解，但不符题意，舍去，
所以原方程组的解为．
答：剧场原有座位是20排，每排有25个座位 .
【名师指路】考察列方程组解应用题．
一、单选题
1．如图，ABC中，若，，，则点A到BC的距离是（ ）
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A．5 B．9 C．10 D．12
【标准答案】D
【思路指引】
过作，垂足为，设，即在和中运用勾股定理列方程求解即可．
【详解详析】
解：过作，垂足为，
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设，
在中：，
在中：，
解得：，
则，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了勾股定理，运用勾股定理列出方程是解本题的关键．
2．正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ） 21cnjy.com
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A．1 B． C．2 D．
【标准答案】C
【思路指引】
由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解．
【详解详析】
解：解方程组得：，，
即：正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于两点的坐标分别为A（1，1），C（﹣1，﹣1），
所以D点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（1，0）
因为，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D
所以，△ABD与△BCD均是直角三角形
则：S四边形ABCD=BD AB+BD CD=×2×1+×2×1=2，
即：四边形ABCD的面积是2．21·世纪*教育网
故选：C．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解21*cnjy*com
3．已知点在经过原点的一条直线l上，且，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【标准答案】A
【思路指引】
将原方程组进行因式分解得到，再根据在经过原点的一条直线l上得到，代入即可．
【详解详析】
解：对方程组通分化简得到
①-②得， ③
对③式进行移项，因式分解得，
∴或
又∵在经过原点的一条直线l
∴与是正比例函数关系，即
∴，即
代入得
故答案为A．
【名师指路】
此题考查了因式分解和正比例函数的有关知识，解题的关键是对方程组进行化简然后再因式分解，求得与的关系．【来源：21cnj*y.co*m】
4．已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0，则（ ）
A．x0、y0均为偶数 B．x0、y0均为奇数
C．x0是偶数，y0是奇数 D．x0是奇数，y0是偶数
【标准答案】C
【思路指引】
运用n是奇数，m是偶数，分析方程的奇偶性，从而确定x0，y0的奇偶性．
【详解详析】
解：方程有整数解x0，y0，
∴2018x0＋3y02＝n，13x0＋28y0＝m
∵x0，y0为整数，
∴2018x0为偶数，28y0为偶数，
∵n是奇数，m是偶数，
∴3y02是奇数，13x0为偶数，
∴y0是奇数，x0为偶数，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查二元二次方程组的解以及奇数和偶数的性质，掌握方程的解的定义以及奇偶数的性质，是解题的关键.【出处：21教育名师】
5．已知x，y满足方程组．则的值为（ ）
A． B．± C． D．±
【标准答案】D
【思路指引】
利用加减消元法化简原方程组，得出xy的值，再 ( http: / / www.21cnjy.com )利用完全平方公式及开平方，得出x+2y的值，然后将要求的式子通分，最后将xy和x+2y的值代入即可得出答案．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：
②×3﹣①×2得：3xy+4xy＝108﹣94
∴xy＝2③
将③代入②得：x2+4y2＝17
∴
＝x2+4y2+4xy
＝17+8
＝25
∴x+2y＝5或x+2y＝﹣5
∴＝＝±
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查解方程组，巧妙地运用加减消元法化简得出的值，再利用完全平方公式得出的值是解题的关键．21教育名师原创作品
二、填空题
6．请写出一个解为的二元二次方程组_______．
【标准答案】（答案不唯一）．
【思路指引】
根据x与y的值列出方程组即可．
【详解详析】
解：∵，
∴，，
∴符合条件的二元二次方程是，
故答案为：（答案不唯一）．
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
7．方程组有两组相等的实数解，则的值为________．
【标准答案】
【思路指引】
将方程②变形为，代入①式中，根据一元二次方程有2个相等实根进行求解即可
【详解详析】
由②得③，
将③代入①得：，
整理得：，
原方程组有两组相等的实数解，
则，
解得．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了二元二次方程有相等实数解，转化为一元二次方程有相等实数解是解题的关键．
8．已知二元一次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元一次方程组为___________．
【标准答案】，答案不唯一
【思路指引】
可以将x2和y2相加得到一个方程，相减得到另一个方程，两个方程组成二元二次方程，切记不可相乘或相除．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
将x2和y2相加得：，
将x2和y2相减得：，
故答案为：，答案不唯一．
9．二元一次方程正整数解是_________．
【标准答案】或
【思路指引】
先将原方程变形，用x表示y，确定x的值，然后再求出y的值即可得出答案．
【详解详析】
解：将原方程变形为
因为y、x都是正整数，
∴，
即
解得
∵是正整数
∴必须为奇数且
∴或
当时，
当时，
∴方程的解为：或
故答案为：或.
【名师指路】
本题主要考查了二元二次方程的整数解，解题的关键是能够根据题意确定x的范围，然后进行求解.
10．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ___．
【标准答案】
【思路指引】
由①得出x=m+y③，把③代入② ( http: / / www.21cnjy.com )得出y2-2（m+y）+3y+4=0，整理后得出y2+y+（4-2m）=0，根据已知方程组有实数根和根的判别式得出12-4×1×（4-2m）≥0，求出不等式的解集即可．21*cnjy*com
【详解详析】
解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
整理得：，
关于、的方程组有实数解，
，
解得：，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了解二元一次方程组，根的判别式，解一元一次不等式等知识点，能把方程组转化成一元二次方程是解此题的关键．
三、解答题
11．解方程组：
【标准答案】，
【思路指引】
由②得：y=4-x③，把③代入①得：x2-x（4-x）-6（4-x）2=0，解得x1=8，x2=3，即可得到方程组的解．
【详解详析】
解：由②得：y=4-x③，
把③代入①得：x2-x（4-x）-6（4-x）2=0，
整理得x2-11x+24=0，
解得x1=8，x2=3，
当x1=8时，y=4-8=-4，
当x2=3时，y=4-3=1，
∴方程组的解为：，．
【名师指路】
本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，把二元二次方程组转化为一元二次方程．
12．解方程组：．
【标准答案】或
【思路指引】
由得，代入，可得关于的一元二次方程，即可解得原方程组的解．
【详解详析】
解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
整理得：，
解得，，
当时，，
当时，，
方程组的解为：或．
【名师指路】
本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，把二元二次方程组转化为一元二次方程．
13．解方程：
【标准答案】，
【思路指引】
由①得y=7-x，将y=7-x代入②转化为一元二次方程．用一元二次方程的知识，解出方程的根即可．
【详解详析】
解：，
由①得：y=7-x ③，
将③代入②得：x +（7-x） =25，
整理得：x -7x+12=0，
解得：x1=3，x2=4，
将上述x代入①得：y1=4，y2=3，
∴该方程组的解为，．
【名师指路】
本题考查的是解二元二次方程组，考核学生的是 ( http: / / www.21cnjy.com )解二元二次方程组的能力及转化思想，因为含有二次项，所以运用代入消元法转化成课内的一元二次方程是关键．www-2-1-cnjy-com
14．解方程组：
【标准答案】，
【思路指引】
利用完全平方公式和平方差公式将原方程组变形，再解一元一次方程组即可解答．
【详解详析】
解：方程组，
由①得：，即，
由②得：，即
所以得出新的方程组或；
解得：，；
所以原方程组的解为：，．
【名师指路】
本题考查解二元二次方程组、解一元一次方程组、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，能将二元二次方程组化为一元一次方程组是解答的关键．
15．解方程组：
【标准答案】或
【思路指引】
把第二方程化为y=2x-1代入①，解关于x的一元二次方程，求出x的值，进而即可求解．
【详解详析】
解：，
由②得：y=2x-1，代入①式得：，
化简得：，即：，
解得：x1=1，x2=，
当x=1时，y=2×1-1=1，
当x=，y=2×-1=，
∴方程组的解为：或．
【名师指路】
本题主要考查二元二次方程组，熟练掌握代入消元法和解一元二次方程的方法是解题的关键．
16．解方程组：
【标准答案】．
【思路指引】
利用代入消元法解方程组即可得．
【详解详析】
解：，
由①得：，
将代入②得：，
整理得：，即，
解得，
将代入①得：，
解得，
则方程组的解为．
【名师指路】
本题考查了利用代入消元法解方程组，熟练掌握代入消元法是解题关键．
17．对于任意实数，方程总有一个根1．
（1）求实数，；
（2）当时，求方程的另一个根．
【标准答案】（1），；（2）
【思路指引】
（1）由方程总有一个根1，把x=1代入化简得，由对任意实数，可得，解方程组即可；
（2）把，，代入原方程，得，解一元二次方程即可．
【详解详析】
解：（1）对任意实数，
方程总有一个根1，
，
对任意实数，化简得，
，
解方程组得；
（2）把，，代入原方程，
得，
解方程得，．
方程的另一个根为．
【名师指路】
本题考查方程总有一根为1求参数问题，利用实数k的性质构建方程，会解方程组与一元二次方程是解题关键．
18．解方程组：
【标准答案】，，，
【思路指引】
先把两个方程分别因式分解，再分类讨论即可．
【详解详析】
原方程组可以化为：
由方程①得：或
当时，，代入方程②得：
解得
此时方程组的解为，
当时，，代入方程②得：
解得
此时方程组的解为，
综上所述方程组的解为，，，
【名师指路】
本题考查二元二次方程组的解法，解题的关键是先利用因式分解处理方程组，转换成我们熟悉的一次方程，需要注意分类讨论不重不漏．2-1-c-n-j-y
19．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
【标准答案】（1）；（2）x2+4y2=17，xy=2；（3）或
【思路指引】
（1）把第2个方程变形为3（3x 2y）＋2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；2·1·c·n·j·y
（2）把第2个方程变形为，再与第1个方程相加，即可求解；
（3）在（2）的条件下可知x，y同号，进而即可求解．
【详解详析】
解：（1），
把②变形为9x 6y＋2y＝19，即3（3x 2y）＋2y＝19③．
把①代入③，得3×5＋2y＝19，
∴y＝2．
把y＝2代入①，得3x 2×2＝5，
∴x＝3．
∴方程组的解为；
（2），
把②变形为：③，
由①+③得：，解得：x2+4y2=17，
把x2+4y2=17，代入②得：2×17+xy=36，解得：xy=2，
综上所述：x2+4y2=17，xy=2；
（3）在（2）的条件下：x，y同号，
∵x，y为整数，
∴或．
【名师指路】
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，掌握解方程组的方法和步骤是关键，注意整体思想的运用．
20．解方程组：
【标准答案】，．
【思路指引】
由①得，代入②得，解得 ，，然后再代入求解即可．
【详解详析】
解：，
由①得：③，
将③代入②得：
解之得：，，
代入③，可得，，
∴原方程组的解是：，
【名师指路】
本题主要考查了二元二次方程组的解法，熟悉掌握求解方法是解题的关键．
二元二次方程组
知识结构
模块一：二元二次方程组的解法
知识精讲
例题解析
模块二：二元二次方程组的应用
例题解析
随堂检测
课后作业
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1．二元二次方程的概念
方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
2．二元二次方程组的概念
仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．
3．二元二次方程组的解法
（1）代入消元法； （2）加减消元法．
【例1】下列方程是哪些是二元二次方程
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【例2】下列方程中哪些是二元二次方程组
（1）； （2）； （3）； （4）．
【例3】已知与是关于x、y的二元二次方程的两组解，试求 a+b的值．
【例4】解方程组：
（1）； （2）．
【例5】解下列方程组：
（1）； （2）．
【例6】小杰和小丽分别从相距27千米的A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B两地同时出发相向而行，3小时后相遇，相遇后两人按照原来的速度继续前进，小杰到达B地比小丽到达A地早1小时21分，小杰和小丽的行进速度分别是多少 21cnjy.com
【例7】某剧场管理人员为了让观众有更舒适的 ( http: / / www.21cnjy.com )欣赏环境，对座位进行了调整．已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多；现在每排减少了2个座位，并减少了5排，剧场座位数相应减少为345个，剧场原有座位的排数是多少 每排有多少个座位 21·cn·jy·com
一、单选题
1．如图，ABC中，若，，，则点A到BC的距离是（ ）
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A．5 B．9 C．10 D．12
2．正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ） www.21-cn-jy.com
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A．1 B． C．2 D．
3．已知点在经过原点的一条直线l上，且，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
4．已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0，则（ ）
A．x0、y0均为偶数 B．x0、y0均为奇数
C．x0是偶数，y0是奇数 D．x0是奇数，y0是偶数
5．已知x，y满足方程组．则的值为（ ）
A． B．± C． D．±
二、填空题
6．请写出一个解为的二元二次方程组_______．
7．方程组有两组相等的实数解，则的值为________．
8．已知二元一次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元一次方程组为___________．
9．二元一次方程正整数解是_________．
10．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ___．
三、解答题
11．解方程组：
12．解方程组：．
13．解方程：
14．解方程组：
15．解方程组：
16．解方程组：
17．对于任意实数，方程总有一个根1．
（1）求实数，；
（2）当时，求方程的另一个根．
18．解方程组：
19．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
20．解方程组：
二元二次方程组
知识结构
模块一：二元二次方程组的解法
知识精讲
例题解析
模块二：二元二次方程组的应用
例题解析
随堂检测
课后作业
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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