2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册1.2集合间的基本关系知识点总结及练习

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集合间的基本关系：子集、相等集合、真子集、交集、并集、全集、补集
二、本节知识点讲解：
知识点一、子集、空集与Venn图
子集的定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的 ，记作（或），读作“A B”（或“B A”）。
Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合A和集合B的包含关系，可以用如下Venn图表示：
要点说明：
①子集的定义可以理解为：若 的， ，则.这可以作为证明的方法；
②当集合A 集合B（或集合B A）时，记作A B或B A，此时A中存在至少一个元素不是B中的元素；
③规定：空集是 的子集；
④任何一个集合是它本身的子集，记作AA；
⑤包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；
⑥集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
⑦注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与 之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与 之间，如0N，而不能写成0N．
知识点二、集合的相等
如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B ，记作。
要点说明：
①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可；
　②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素 无关；
③要判断两个集合是否 ，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。
④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；
⑤集合中的关系与实数中的结论类比
实数 集合
a≤b包含两层含义：a＝b，或a＜b AB包含两层含义：A＝B，或AB
若a≥b，且a≤b，则a＝b 若AB，且AB，则A＝B
若a≥b，b≥c，则a≥c 若AB，BC，则AC
知识点三、真子集
如果集合，但存在元素 ，且 ，我们称集合是集合的真子集，记作（或）。读作“A ”或“B ”.
要点说明：
理解真子集的定义要注意一下几点：
①空集是任何非空集合的真子集；
②对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C；
③若，则A与B有两种可能的关系：即A B或A=B；
知识点四、空集
我们把不含任何元素的集合叫做 ，记作；
要点说明：
空集的性质：
①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；
③空集是任何非空集合的真子集，即若，则 A，反之也成立。
④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；
三、例题解析
【例1】判断下列两个集合之间的关系.
①A={2，3，6}，B={∣是12的约数}；
②A={0，1}，B={∣，}；
③A={∣}，B={∣}；
④A={∣}，B={∣，}；
【例2】对于集合A，B，“”不成立的含义是（ ）
A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素
　C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A
【例3】已知集合M＝{∣}，N＝{∣，}，试判断集合M，N的关系．
【例4】已知集合M＝{0,1}，集合N＝{0,2,1－m}，若MN，则实数m＝__________．
【例5】已知A={∣}，B={∣}，若满足A B，则实数的取值范围为 ；
【例6】指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，nN*}，N＝{x|x＝2n＋1，nN*}．
【例8】设集合A={x|x2-3x-2＜0}，B={x|2＜2x＜8}，则（　　）
A．A=B B．A B C．A B D．A∩B=
【例9】已知集合M={x|x2-x≤0，x∈R}，集合N=（0，1]，则集合M与N的关系（　　）
A．M N B．N M C．M=N D．N M且M N
【例10】已知集合，，则集合M，N的关系是(　　)
A．MN B．MN C．NM D．NM
【例11】若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}且BA，求m的值．
【例12】已知集合A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且BA，求实数m的取值范围．
变式
1.选用适当的符号填空：
（1）已知集合A={x|x2-3x-18=0}，则有：
-6____A，{-3}____A， ___A，{6，-3}____A．
（2）已知集合A={x|-x2+3x+4≥0}，B={x|}，则有：
-4____B，3____A，{2}____B，B____A．
（3）{x|x是菱形}____{x|x是平行四边形}；
{x|x是等腰三角形}____{x|x是等边三角形}．
2.已知集合A={(x，y)|x2=y+1，|x|<2，x∈Z}，则集合A用列举法可表示为_________________________．
3.集合A={x|∈N*，x∈N*}用列举法可表示为____________．
4.若{1，2}={x|x2+bx+c=0}，则b=________，c=_________．
5.若集合{0，-1，2a}={a-1，-|a|，a+1}，则实数a的值为________．
6.已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若MP，则a的取值范围是______________．
四、课堂练习
1.用适当的符号填空： ； ； ； ；
； ；
2.满足条件的集合的个数有_____个．
3.已知集合，，则能使成立的实数 的取值范围是 ．
4.已知,若B,则实数的取值范围是 ；
5.某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人_______________
6.若集合，且，求实数的值；