2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.1.1 函数的概念 知识点总结及练习

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函数定义：设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合到集合的一个函数．
二、本节知识点讲解：
知识点一、函数的定义
定义：设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有 的数和它对应，那么就称：→为从集合到集合的 ．
记作： ，∈。
其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的 ；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{| ∈ }叫做函数的 ．
显然，值域时集合的子集。
要点说明：
①“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域。定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．
③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．
知识点二、区间的概念
区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．
设，是两个实数，而且＜．我们规定：
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做 区间，表示为[a，b]；
（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做 区间，表示为(a，b)；
（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做 区间，分别表示为[a，b)，(a，b]．
这里的实数a与b都叫做相应区间的 ．其中a叫做 ，b叫做 ．
（4）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为 ．
区间的几何表示如下表所示：
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
半开半闭区间 [a，＋∞)
{x|x＞a} 开区间 (a，＋∞)
{x|x≤a} 半开半闭区间
{x|x＜a} 开区间 (－∞，a)
R 开区间 (－∞，＋∞)
要点说明：
(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称之为 ，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}。
(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个 表示。
(3)用数轴来表示区间时，要特别注意 与空心的区别。
(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区间也可以用集合，还可以用不等式直接表示。
(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立。
如x[2，＋∞)，[0,6)[－1,3]＝[0,3]等．
(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则：数集是连续的，左小右大，开或闭不能混淆。
(7)无穷大是一个符号，不是一个数．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号．
知识点三、对符号f(x)的理解
①表示关于的函数，又可以理解为自变量对应的函数值，是一个整体符号。分开写符号，如： 等是没有意义的．
符号可以看作是对“”施加的某种法则或运算，例如，当时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；
②对于中的理解，虽然与从等号右边的表达式来看是一样的，但由于施加法则的对象不一样(一个为，而另一个为)，因此函数解析式也是不一样的；
③函数符号并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；
④与，的关系：表示自变量为x的函数，表示的是变量，表示当时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如，当时，．
知识点四、函数的相等
定义：如果两个函数的定义域 ，并且对应关系 ，我们就称这两个函数 。
要点说明：
1.值域是由定义域和对应关系决定的；
2.判断两个函数是否为相同函数，抓住以下两点：
(1)定义域是否相同；
(2)对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)．只有定义域和对应关系都相同的两个函数才是相同函数．
3.当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系。例如：函数f(x)＝x和函数f(x)＝－x的定义域相同，均为R；值域也相同，均为R，但这两个函数不是同一函数．
知识点五、函数定义域的求法
自变量的 称为函数的定义域，其常见的求法有以下几种：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。
三、例题解析
【例1】下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)
A．AR，BR，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
【例2】求下列函数的定义域：
①；②；③；④；
⑤．
【例3】求下列函数的值域：
①，；②，；
③，．
【例4】试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），；
【例5】已知函数，则（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【例6】函数的定义域是（ ）.
A. B.
C. D.
【例7】已知函数，若，则a=（ ）.
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
【变式】
1.下列与函数y=x是同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.设，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知 ，，则（ ）
A.－4 B.4 　 C.－2 D.2
四、课堂练习
1求一次函数f(x)，使f[f(x)]＝9x＋1.
2将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，销售单价应定为多少元？
3求下列函数的定义域．
(1)y＝x＋；　(2)y＝；(3)y＝＋(x－1)0.
4(1)已知f(x)＝2x－3，x∈{0，1，2，3}，求f(x)的值域．
(2)已知f(x)＝3x＋4的值域为{y|－2≤y≤4}，求此函数的定义域．
5（1）已知f(x)的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x-1)的定义域；
（2）已知f (2x-1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f(x)的定义域；
（3）已知f(x)的定义域为[0，1]，求函数y=f(x＋a)+f(x－a)(其中0＜a＜)的定义域．