中小学教育资源及组卷应用平台
学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识结构 ( http: / / www.21cnjy.com )+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21世纪教育网版权所有
亲爱的老师，如果您认可我工作室 ( http: / / www.21cnjy.com )所创作的资料，请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
进阶练1：数与式综合（学生版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．化简：＝（ ）
A． B． C． D．
2．若，，化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．化简分式过程中开始出现错误的步骤是（ ）
…………①
………②
…………③
…………④
A．① B．② C．③ D．④
5．下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
6．已知，，那么的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
7．如果一元二次方程x2 - mx + 2 = 0的解为两个不相等的负实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．无解
8．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消灭绝对贫困的艰巨任务，把“万”用科学记数法表示应是（ ）21教育网
A． B． C． D．
9．下列各数中无理数是（ ）
A． B． C． D．
10．△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
二、填空题
11．如果，那么________．
12．已知a，b为有理数且满足，则__________．
13．二项方程在实数范围内的解是_______________
14．定义一种法则“ ”如下：a b，例如：1 2，若p 3，则p的值是____．
15．单项式的次数是_____．
16．在实数范围内分解因式：________．
17．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是 ______．
18．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______．
19．已知，化简____________________．
20．已知实数x、y满足y＝++9，则值是___．
三、解答题
21．计算：
（1）；
（2）．
22．己知，求的值．
23．在实数范围内因式分解
（1）；
（2）．
24．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．21·cn·jy·com
印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)【来源：21·世纪·教育·网】
根据上述信息解决下列问题：
（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是
（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
25．若一个三位数（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为．例如，536的差数．21·世纪*教育网
（1）___________，____________；
（2）若一个三位数（其中且都不为0），求证：能被99整除；
（3）若s、t是各数位上的数字均不为0且互不相等两个三位自然数，s的个位数字为1，十位数字是个位数字的3倍，百位数字为x，t的百位数字为y，十位数字是百位数字的2倍，t的个位数字与s的百位数字相同（，），若能被3整除，能被11整除，求的值．
26．一个两位正整数m，如果m满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在m的后面组成第一个四位数，把m放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以99所得的商记为．例如：时，，2-1-c-n-j-y
（1）计算________，_________；
（2）若s，t都是“相异数”，其中（且a，b，x，y为整数）规定：若满足被5除余1，且，求的最小值．
27．先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）．www-2-1-cnjy-com
例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20
（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？21*cnjy*com
（2）探索发现：
计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ．
由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）
（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+．
28．在数轴上，点A表示－2，点B表示6．
（1）点A与B的距离为_______________；
（2）点C表示的数为c，设，若，则c的值为___________；
（3）点P从原点O出发，沿数轴负方向以速度向终点A运动，同时，点Q从点B出发沿数轴负方向以速度向终点O运动，运动时间为t．21cnjy.com
①点P表示的数为__________，点Q表示的数为___________（用含、、t的代数式表示）；
②点N为O、Q之间的动点，在P、Q运动过程中，NP始终为定值，设，，若，探究、满足的等量关系．www.21-cn-jy.com
29．如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）【来源：21cnj*y.co*m】
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．【出处：21教育名师】
求：①P、Q相遇时求P对应的数；
②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果）【版权所有：21教育】
30．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0．
（1）a＝________，b＝_________；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；
②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．2·1·c·n·j·y
③若点P从点A出发，同时，另一动点Q ( http: / / www.21cnjy.com )从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值．21教育名师原创作品
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识结构 ( http: / / www.21cnjy.com )+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21·世纪*教育网
亲爱的老师，如果您认可我工作室所创作 ( http: / / www.21cnjy.com )的资料，请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
进阶练1：数与式综合（教师版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．化简：＝（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
首先根据二次根式有意义的条件判断，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解详析】
解：＝＝，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．若，，化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先根据二次根式的乘法对式子变形，然后利用化简 ，注意，，最后加减运算即可．
【详解详析】
解：
，，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，属于基础题，熟练掌握二次根式的运算法则以及是解题关键．
3．下列变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断．
【详解详析】
解：A、，故A不正确；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D正确．
故答案为：A．
【名师指路】
本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．化简分式过程中开始出现错误的步骤是（ ）
…………①
………②
…………③
…………④
A．① B．② C．③ D．④
【标准答案】B
【思路指引】
利用异分母的分式的加减法则，可找出错误的步骤．
【详解详析】
解：
，
．
即从②开始错误．
故选：B．
【名师指路】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础
5．下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【标准答案】C
【思路指引】
利用完全平方公式把A分解，利用十字乘法把B分解，再分别令再计算根的判别式，从而可判断C，D，从而可得答案.21世纪教育网版权所有
【详解详析】
解：故A不符合题意；
故B不符合题意；
令
则
所以在实数范围内不能分解，故C符合题意；
令
则
故D不符合题意；
故选：C
【名师指路】
本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2·1·c·n·j·y
6．已知，，那么的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据完全平方公式求出，再把原式因式分解后可代入求值．
【详解详析】
解：因为，，
所以，
所以
故选：D
【名师指路】
考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．
7．如果一元二次方程x2 - mx + 2 = 0的解为两个不相等的负实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．无解
【标准答案】B
【思路指引】
根据方程有两个不相等实数解，△＞0，得到m2 - 8 ＞ 0，解得m > 或 m < ，再根据公式法求出方程的解，根据方程有两个不相等的负实数根即可判断m的取值．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
若方程有两个不相等实数解，则m2 - 8 ＞ 0，
通过数形结合可知m > 或 m < ，
方程两个解为，
若m > ，则一定有一个正实数根，所以m < ，
当m < 时，
因为一定小于0，所以比较与0大小，
假设＜0，那么解得 -8 ＜ 0 ，即m为一切实数，
故选：B．
【名师指路】
此题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，实数的大小比较，解题的关键是熟知根的判别式与数形结合思想.2-1-c-n-j-y
8．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消灭绝对贫困的艰巨任务，把“万”用科学记数法表示应是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可得答案．
【详解详析】
12.8万＝128000=1.28×105，
故选：B．
【名师指路】
本题考查用科学记数法表示较大的数，科学计数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a和n的值是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
9．下列各数中无理数是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的 ( http: / / www.21cnjy.com )概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解详析】
解：∵是无理数，
∴A正确；
∵是有理数，
∴B错误；
∵＝2是有理数，
∴C错误；
∵＝3是有理数，
∴D错误；
故选：A．
【名师指路】
本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数，无理数的定义是解题的关键．
10．△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【标准答案】D
【思路指引】
由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．【出处：21教育名师】
【详解详析】
∵
又∵
∴
∴
∴
∴△ABC为直角三角形
故选：D．
【名师指路】
本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．【版权所有：21教育】
二、填空题
11．如果，那么________．
【标准答案】-1
【思路指引】
根据已知条件先确定a的取值范围，再化简即可．
【详解详析】
解：∵，
∴，
∴，，
，
=，
=，
=，
=，
=-1．
【名师指路】
本题考查了二次根式化简和绝 ( http: / / www.21cnjy.com )对值的意义，解题关键根据一个数的绝对值与它本身的商为-1，这个数是负数确定a的取值范围，熟练运用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简．www.21-cn-jy.com
12．已知a，b为有理数且满足，则__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据绝对值和平方的非负性求出a，b，代入计算即可；
【详解详析】
∵，
∴，，
∴，，
∴；
故答案是．
【名师指路】
本题主要考查了绝对值非负性的应用、有理数的乘方运算，准确计算是解题的关键．
13．二项方程在实数范围内的解是_______________
【标准答案】x=-3
【思路指引】
由2x3+54=0，得x3=-27，解出x值即可．
【详解详析】
由2x3+54=0，得x3=-27，
∴x=-3，
故答案为x=-3．
【名师指路】
本题考查了立方根，正确理解立方根的意义是解题的关键．
14．定义一种法则“ ”如下：a b，例如：1 2，若p 3，则p的值是____．
【标准答案】2．
【思路指引】
已知等式利用题中的新定义化简，求出方程的解即可得到的值．
【详解详析】
解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则的值为2．
故答案为：2．
【名师指路】
此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15．单项式的次数是_____．
【标准答案】6
【思路指引】
根据单项式的次数是所有字母的指数和判断即可；
【详解详析】
由题可得，单项式次数为；
故答案是6．
【名师指路】
本题主要考查了单项式的次数，准确计算是解题的关键．
16．在实数范围内分解因式：________．
【标准答案】
【思路指引】
令先利用公式法求解一元二次方程的根，再分解因式即可.
【详解详析】
解：令
故答案为：
【名师指路】
本题考查的是在实数范围内分解因式，利用公式法解一元二次方程，掌握“利用公式法求解一元二次方程的根，再把代数式分解因式”是解本题的关键.21教育名师原创作品
17．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是 ______．
【标准答案】且
【思路指引】
根据a﹣p（a≠0，p为正整数）先计算x﹣1，再计算括号里面的减法，然后再次计算（）﹣1即可．
【详解详析】
解：原式＝（1）﹣1
＝（）﹣1
．
故答案为：且．
【名师指路】
此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数为正整数指数的倒数．
18．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______．
【标准答案】且
【思路指引】
由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．
【详解详析】
解：∵分式的值大于零，
∴x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为x＞﹣2且x≠1．
【名师指路】
本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．
19．已知，化简____________________．
【标准答案】
【思路指引】
利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可
【详解详析】
，
原式
故答案为：
【名师指路】
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
20．已知实数x、y满足y＝++9，则值是___．
【标准答案】3
【思路指引】
根据1-2x≥0且2x-1≥0计算x的值，后计算y的值，最后计算即可．
【详解详析】
∵实数x、y满足y＝++9，
∴1-2x≥0且2x-1≥0，
解得x=，
∴y=9，
∴==3，
故答案为：3．
【名师指路】
本题考查了二次根式的非负性，分数指数幂，熟练掌握二次根式的性质，灵活运用分数指数幂的运算法则是解题的关键．21cnjy.com
三、解答题
21．计算：
（1）；
（2）．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减法则进行计算；
（2）利用二次根式的乘除法则及分式乘法运算法则进行计算即可．
【详解详析】
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【名师指路】
本题考查了二次根式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
22．己知，求的值．
【标准答案】．
【思路指引】
先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可．
【详解详析】
解：∵，
，
∴，，
∴．
【名师指路】
本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对a、b分母有理化是解答本题的关键．
23．在实数范围内因式分解
（1）；
（2）．
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；
（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．
【详解详析】
解：（1）
=
=
=；
（2）令=0，
，
∴，
∴或，
∴=．
【名师指路】
此题主要考查了在实属范围内分解因式，正确求出方程的根是解题关键．
24．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．21*cnjy*com
印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)
根据上述信息解决下列问题：
（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是
（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可；
【详解详析】
(1)p=，
∴三角形的面积是：
；
(2) ，
∴，
，
∴，
∴
，
又，
∴，
∴这个零件平面图的面积是．
【名师指路】
本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力．21·cn·jy·com
25．若一个三位数（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为．例如，536的差数．
（1）___________，____________；
（2）若一个三位数（其中且都不为0），求证：能被99整除；
（3）若s、t是各数位上的数字均不为0且互不相等两个三位自然数，s的个位数字为1，十位数字是个位数字的3倍，百位数字为x，t的百位数字为y，十位数字是百位数字的2倍，t的个位数字与s的百位数字相同（，），若能被3整除，能被11整除，求的值．
【标准答案】（1）396，495；（2）见解析；（3）495
【思路指引】
（1）根据的定义求解即可；
（2）先根据的定义，求出关于，，的代数式，即可证明它能被99整除；
（2）先列出，的代数式，根据能被3整除，能被11整除确定，的值，再根据的定义求解即可
【详解详析】
解：（1），，
故答案为：396，495；
（2）且都不为0，
，
能被99整除；
（3）由题意，，，
，
，能被3整除，
，4，7
①当时，，
、是各数位上的数字均不为0且互不相等，
不符合题意，舍去
②当时，
，能被11整除，
，即，
、是各数位上的数字均不为0且互不相等，
不符合题意，舍去
③当时，
，能被11整除，
，即，
．
【名师指路】
本题考查的是因式分解的应用，解题的关键是掌握对数字拆分组合的能力，这类题目多需要根据题设进行讨论求解．
26．一个两位正整数m，如果m满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在m的后面组成第一个四位数，把m放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以99所得的商记为．例如：时，，
（1）计算________，_________；
（2）若s，t都是“相异数”，其中（且a，b，x，y为整数）规定：若满足被5除余1，且，求的最小值．
【标准答案】（1）36，-45；（2）
【思路指引】
（1）根据题意可得，；
（2）根据s，t都是“相异数”，其中，，可得，，再由，可以推出；根据满足被5除余1，得到满足被5除余1，即可推出，从而得到，即，由，，，可得当最大，最小时，最大，即最大，由此分别求出的最大值和的最小值，即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：36，-45；
（2）∵s，t都是“相异数”，其中，，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∵满足被5除余1，
∴满足被5除余1，
∵，
∴，
当时，不满足被5除余1，
当时，不满足被5除余1，
当时，不满足被5除余1，
当时，满足被5除余1，
当时，不满足被5除余1，
当时，不满足被5除余1，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，，，
当时，，，
当时，，，
∵，，，
∴当最大，最小时，最大，即最大，
∵，，
∴当，，，
当，，，
当，，，
∴．
【名师指路】
本题主要考查了新定义下的实数运算，解题的关键在于能够正确理解题意进行求解．
27．先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）．www-2-1-cnjy-com
例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20
（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？
（2）探索发现：
计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ．
由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）
（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+．
【标准答案】（1）56种；（2）3，1，4，10，5，15；Ckn+ nk+1＝Cn+1k+1；（3）165
【思路指引】
（1）根据材料给出组合的方法直接计算即可；
（2）根据新定义分别进行计算；利用计算结果得∵+=，+＝，由此规律可得+=， ；
（3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可．
【详解详析】
解：（1）根据公式＝＝56，
答：共有56种选法．
（2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15，
∵+＝3+1＝4=，
+＝10+5=15=，
∴+=，
故答案为3；1；4；10；5；15；
（3）++++…+，
＝+++…+，
＝++…+，
＝，
＝，
＝165．
【名师指路】
本题考查组合新定义计算，有理数的乘除法混合计算，掌握新定义的计算方法与性质，有理数的乘除法混合计算法则是解题关键．21教育网
28．在数轴上，点A表示－2，点B表示6．
（1）点A与B的距离为_______________；
（2）点C表示的数为c，设，若，则c的值为___________；
（3）点P从原点O出发，沿数轴负方向以速度向终点A运动，同时，点Q从点B出发沿数轴负方向以速度向终点O运动，运动时间为t．
①点P表示的数为__________，点Q表示的数为___________（用含、、t的代数式表示）；
②点N为O、Q之间的动点，在P、Q运动过程中，NP始终为定值，设，，若，探究、满足的等量关系．
【标准答案】（1）8；（2）4或10；（3）①，；②
【思路指引】
（1）将B点表示的数减去A点表示的数即可求得的距离；
（2）分C点在线段的延长线上，线段上，线段的延长线上三种情况分析，根据，则点C不可能在线段的延长线上，根据另两种情况分析列出一元一次方程解方程求解即可；
（3）①根据速度乘以时间得到路程，根据运动方向即可求得P,Q点表示数；
②先求得，根据求得，即可求得点表示的数，进而求得的长度，根据NP始终为定值，即可求得、满足的等量关系
【详解详析】
（1）点A表示－2，点B表示6
的距离为：
故答案为：8
（2）点C表示的数为c，设，若，
①点C在线段上时，则，
则
解得
②点C在线段的延长线上，则，
则
解得
故答案为：4或10
（3）①点P从原点O出发，沿数轴负方向以速度向终点A运动，同时，点Q从点B出发沿数轴负方向以速度向终点O运动，运动时间为t
则点P表示的数为，点Q表示的数为
故答案为：，
②由题意得，点A表示－2，点B表示6， Q表示的数为
表示的数为
始终为定值
与时间t无关
【名师指路】
本题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，整式加减中无关类型，数形结合是解题的关键．
29．如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．
求：①P、Q相遇时求P对应的数；
②P、Q运动的同时M以3 ( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果）
【标准答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①，②16．
【思路指引】
（1）根据中点的定义可得；
（2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，据此知点M的运动时间为秒，再根据路程＝速度×时间可得答案．
【详解详析】
解：（1）根据题意知点C表示的数为4，
故答案为：4；
（2）设点C表示的数为x，
当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去；
当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6，
当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14，
即点C表示的数为﹣6或14；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，
由题意知﹣4+t＝12﹣2t，
解得：t，
则相遇时点P对应的数为﹣4；
②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，
∴点M的运动时间为秒，
则点M所经过的总路程是316单位．
【名师指路】
本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键．
30．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0．
（1）a＝________，b＝_________；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；
②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．
③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出 ( http: / / www.21cnjy.com )发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值．
【标准答案】（1）-2，6；（2）①6，②2，③5.
【详解详析】
试题分析：（1）根据非负数的性质即可求出的值；
（2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出 ，，利用建立方程，求解即可；
②根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算
即可；
③分类讨论.
试题解析：
解得：
故答案为
①
解得：
②AP的中点F表示的数是
OB的中点E表示的数是
所以
所以
③
解得：
,解得：
解得：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
