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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识 ( http: / / www.21cnjy.com )结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21·世纪*教育网
亲爱的老师，如果您认可我工作室所创作的资料， ( http: / / www.21cnjy.com )请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
进阶练3：函数与分析（一）综合（学生版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果点A（a，b）在第二象限，那么a、b的符号是（ ）
A．0＞a，0＞b B．0＜a，0＞b C．0＞a，0＜b D．0＜a，0＜b
2．在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2、5，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
5．今年“五一”节，小明外出爬山 ( http: / / www.21cnjy.com )，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．小明中途休息用了20分钟
B．小明在上述过程中所走路程为7200米
C．小明休息前爬山的速度为每分钟60米
D．小明休息前后爬山的平均速度相等
6．甲、乙两人在笔直的湖边公 ( http: / / www.21cnjy.com )路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ）【版权所有：21教育】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列函数中，函数值随的增大而增大的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
8．反比例函数y=的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．k>0
B．y 随x的增大而增大
C．若矩形 OABC的面积为2，则
D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O在坐标原点，另外两个顶点A、B均在反比例函数的图像上，分别过点A、点B作y轴、x轴的平行线交于点C，连接OC并延长OC交AB于点D，已知C（1，2），△BDC的面积为3，则k的值为（ ）21cnjy.com
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A．5 B．2+2 C．2+2 D．8
10．已知（，），（，），（，）是反比例函数的图像上的三个点，且，，则，，的大小关系是（ ）【出处：21教育名师】
A．； B．； C．； D．．
二、填空题
11．我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________．21·cn·jy·com
12．如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________．21*cnjy*com
13．我们把反比例函数图象上到原 ( http: / / www.21cnjy.com )点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是_____．
14．已知函数y＝，当x＝时，y＝_____．
15．小亮从家骑车上学，先经过一段 ( http: / / www.21cnjy.com )平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡到达学校，所行驶路程s（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是_______分钟．
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16．函数的定义域是______．
17．平面直角坐标系中，已知点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且点在第二象限，则点的坐标是__________．2-1-c-n-j-y
18．点在第四象限，则m的取值范围是______________．
19．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．
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20．在直角坐标系中，O是坐标原点，点P（m，n）在反比例函数的图象上．
（1）若m＝k，n＝k﹣2，则k＝_____；
（2）若m+n＝k，OP＝2，且此反比例函数，满足：当x＞0时，y随x的增大而减小，则k＝_____．
三、解答题
21．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），将线段AB平移到线段DC．
（1）如图1，直接写出线段AB和线段CD的位置和数量关系；
（2）如图2，若线段AB平移到线段DC，D、C两点恰好分别在y轴、x轴上，求点D和点C的坐标；
（3）若点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限内，且S△ACD＝5，直接写出点C、点D的坐标．
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22．如图，在直角坐标平面内有点、、．
（1）的形状是否是等腰直角三角形？为什么？
（2）课文阅读材料告诉我们，古希腊的希帕斯经过探索，发现了如此情况下的长是一个无理数，请你（不用勾股定理等后面所学习的方法）求出的长，以此向古代先贤致敬；2·1·c·n·j·y
（3）点在轴上，如果是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
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23．甲、乙两辆汽车沿同一 ( http: / / www.21cnjy.com )公路从A地出发前往路程为100千米的B地，乙车比甲车晚出发15分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用y1、y2（千米）表示，它们与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示.www.21-cn-jy.com
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（1）分别求出y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）乙车行驶多长时间追上甲车？
24．在平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图像上．过点A向x轴作垂线，垂足为C；过点B向x轴作垂线，垂足为D，且CD＝5．
（1）求m，n的值，并求出反比例函数的解析式；
（2）联结AB、AO、BO，求S△OAB．
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25．如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点．
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（1）若，求点的坐标；
（2）连接，．
①若的面积为24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
26．已知点在双曲线上．
（1）求此双曲线的表达式与点的坐标；
（2）如果点在此双曲线上，图像经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式．21*cnjy*com
27．实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x的关系可近似地用反比例函数刻画（如图）．
（1）求k的值．
（2）当时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？
（3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．假设某驾驶员晚上喝完半斤白酒，第二天早上能否驾车？请说明理由．
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28．在平面直角坐标系中，点，点，点．
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（1）的面积为______；
（2）已知点，，那么四边形的面积为______．
（3）奥地利数学家皮克发现 ( http: / / www.21cnjy.com )了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：【来源：21·世纪·教育·网】
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
6 11
四边形 8 11
五边形 20 8
根据上述的例子，猜测皮克公式为______（用m，n表示），试计算图②中六边形的面积为______（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．21世纪教育网版权所有
29．已知：如图，四边形中，，，，平分．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），，设长度是是常数，且，，，求关于的函数关系式，并写出定义域；21教育网
（3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示）
30．如图，在Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°．www-2-1-cnjy-com
（1）（图1）求DE：DF的值；
（2）（图2）连结EF，射线DF与射线BA相交于点G，当△EFG是等腰三角形时，求CF的长度；
（3）（图3）连结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．21教育名师原创作品
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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进阶3：函数与分析（一）综合（教师版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果点A（a，b）在第二象限，那么a、b的符号是（ ）
A．0＞a，0＞b B．0＜a，0＞b C．0＞a，0＜b D．0＜a，0＜b
【标准答案】C
【思路指引】
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
【详解详析】
∵点A（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0；
故选：C．
【名师指路】
此题考查直角坐标系中点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键.
2．在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2、5，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先根据点B所在的象限确定横纵坐标的符号，然后根据点B与坐标轴的距离得出点B的坐标．
【详解详析】
∵点B在第四象限内，∴点B的横坐标为正数，纵坐标为负数
∵点B到轴和轴的距离分别是2、5
∴横坐标为5，纵坐标为－2
故选：A
【名师指路】
本题考查平面直角坐标系中点的特点，在不同象限内，坐标点横纵坐标的正负是不同的：
第一象限内，则横坐标为正，纵坐标为正；
第二象限内，则横坐标为负，纵坐标为正；
第三象限内，则横坐标为负，纵坐标为负；
第四象限内，则横坐标为正，纵坐标为负．
3．已知点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据点在第四象限的坐标特点列出不等式组即可．
【详解详析】
解：∵点A（x+3，2x-4）在第四象限，
∴ ，解得-3＜x＜2．
故选A.
【名师指路】
本题考查点在第四象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组的问题．
4．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）21·世纪*教育网
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意描述的概念逐项分析即可．
【详解详析】
A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；
B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；
C、由题意可知，则点在函数图像上，故正确；
D、例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误；
故选：C．
【名师指路】
本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．
5．今年“五一”节，小明外出爬山， ( http: / / www.21cnjy.com )他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．小明中途休息用了20分钟
B．小明在上述过程中所走路程为7200米
C．小明休息前爬山的速度为每分钟60米
D．小明休息前后爬山的平均速度相等
【标准答案】B
【思路指引】
根据函数图象可知，小明40分钟爬山24 ( http: / / www.21cnjy.com )00米，40～60分钟休息，60～100分钟爬山（4800-2400）米，爬山的总路程为4800米，根据路程、速度、时间之间的关系进行解答即可．
【详解详析】
A、小明中途休息的时间是：60-40=20分钟，故本选项正确；
B、小明在上述过程中所走路程为4800米，故本选项错误；
C、小明休息前爬山的速度为=60（米/分钟），故本选项正确；
D、因为小明休息后爬山的速度是=60（米/分钟），所以小明休息前后爬山的平均速度相等，故本选项正确；
故选B．
【名师指路】
本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
6．甲、乙两人在笔直的湖边公 ( http: / / www.21cnjy.com )路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解详析】
由题意可得：甲步行速度==60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：16×60=(16﹣4)x，
解得x=80，
∴乙的速度为80米/分；
∴乙走完全程的时间=（分）；
故②结论正确；
由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4=12（分）；
故③结论正确；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣(4+30)×60=360（米），
故④结论错误；
故正确的结论有①②③共3个．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了函数图象的应用，解题的关键是正确分析函数图象并求出甲乙两人的速度，利用数形结合的思想解答．21·cn·jy·com
7．下列函数中，函数值随的增大而增大的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【标准答案】B
【思路指引】
根据函数增减性判断即可．
【详解详析】
A. ，比例系数小于0，随的增大而减小；
B. ，比例系数大于0，随的增大而增大；
C. ，不在同一象限，不能判断增减性；
D. ，不在同一象限，不能判断增减性；
故选：B．
【名师指路】
本题考查了函数的增减性，解题关键是熟悉函数的增减性，准确进行判断．
8．反比例函数y=的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．k>0
B．y 随x的增大而增大
C．若矩形 OABC的面积为2，则
D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1
【标准答案】C
【思路指引】
根据反比例函数的性质以及系数k的几何意义进行判断．
【详解详析】
解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；
B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；
D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．
故选C
【名师指路】
本题考查了反比例函数系数 ( http: / / www.21cnjy.com )k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．21*cnjy*com
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O在坐标原点，另外两个顶点A、B均在反比例函数的图像上，分别过点A、点B作y轴、x轴的平行线交于点C，连接OC并延长OC交AB于点D，已知C（1，2），△BDC的面积为3，则k的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．2+2 C．2+2 D．8
【标准答案】C
【思路指引】
过B、C分别做BE⊥x轴，CF⊥x轴，过D作DG⊥BC，DH⊥AB，设BC=a，由点C的坐标即可表示点B、C的坐标，即可得出AC与BC的比值，由相似三角形的判定易证得△COF∽△DCG，得出DG与DH的比值，得出，由三角形面积公式列出关于a的等式，求得a的值得出B点坐标，即可求得k值．
【详解详析】
解：过B、C分别做BE⊥x轴垂足为E，延长AC交x轴于F，过D作DG⊥BC，DH⊥AB，垂足为G、H．
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∵ C（1，2）
∴ OF=1，CF=2=BE，
则点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2，
设BC=a，则B（a+1，2）
∵B在反比例函数的图像上，
∴，
∵A在反比例函数的图像上，且点A的横坐标为1，
∴A点的纵坐标为：，即点A（1，2a+2），
∴ AC=AF-CF=2a+2-2=2a，
∴ ，
∵ BC//x轴，CF⊥x轴，DG⊥BC，
∠COF=∠DCG，∠CFO=∠DGC=90°，
∴ △COF∽△DCG，
∴ ，即，
∴ ，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴ B（，2），
∴ k=，
故选：C
【名师指路】
本题考查了反比函数图像上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，注意准确作出辅助线，求得点B的坐标是关键．
10．已知（，），（，），（，）是反比例函数的图像上的三个点，且，，则，，的大小关系是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【标准答案】A
【思路指引】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系即可．
【详解详析】
解：∵反比例函数中k=-4＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∴在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴0＜y1＜y2，
∵x3＞0，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【名师指路】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象在二、四象限是解答此题的关键．
二、填空题
11．我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________．
【标准答案】（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【思路指引】
根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论．
【详解详析】
解：设反比例函数y＝在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A（a，b），B（b，a）且a＞b，
∴ab＝10，
∵这两个点之间的距离为3，
∴AB＝＝3，
∴a﹣b＝3，
由解得或，
∴A（5，2），B（2，5）或A（﹣5，﹣2），B（﹣2，﹣5），
∴距离x轴较近的点的坐标为（5，2）或（﹣5，﹣2），
故答案为（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【名师指路】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求出反比例函数图象上的关联点．21*cnjy*com
12．如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________．
【标准答案】2．
【思路指引】
延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S△OCD=xy，则S△OCB′=xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于ay，即可得出答案．
【详解详析】
解：延长BC，交x轴于点D，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设点C(x，y)，AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′
再由翻折的性质得BC=B′C，
∵双曲线 (x>0)经过四边形OABC的顶点A、 C，
∴S△OCD=xy=1，
∴S△OCB′=xy=1，
由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD，
∴点A、B的纵坐标都是2y，
∵AB∥x轴，
∴点A(x a，2y)，
∴2y(x a)=2，
∴xy ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S△ABC=ay=，
∴SOABC=S△OCB′+S△AB′C+S△ABC=1++=2.
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了翻折变换的性质，反比例函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )像上点的坐标特征，角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，三角形的面积等等，解题的关键在于如何求出面积进行求解．www.21-cn-jy.com
13．我们把反比例函数图象上到原点距离相 ( http: / / www.21cnjy.com )等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是_____．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，结合反比例函数和轴对称的性质，得出B的坐标，然后根据勾股定理即可求得点A、B之间的距离，即可完成求解．
【详解详析】
由题意可知，点B与点A关于直线y=x对称，
∵点A（2，4），
∴点B（4，2），
∴，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了反比例函数、轴对称、直角坐标系、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解．
14．已知函数y＝，当x＝时，y＝_____．
【标准答案】2+
【思路指引】
把自变量x 的值代入函数关系式进行计算即可．
【详解详析】
解：当x＝时，
函数y＝＝＝＝2+，
故答案为：2+．
【名师指路】
本题考查了求函数值及分母有理化，理解求函数值的方法及分母有理化是解题关键．
15．小亮从家骑车上学，先 ( http: / / www.21cnjy.com )经过一段平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡到达学校，所行驶路程s（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是_______分钟．
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【标准答案】16.5
【思路指引】
根据图象可知：小明从家骑车上学，平路路程是1千米，用3分钟；上坡的路程是1千米，用6分钟，则上坡速度是千米/分钟；下坡路长是2千米，用3分钟，因而速度是千米/分钟，由此即可求出答案．
【详解详析】
解：根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用6分钟，
则上坡速度是千米/分钟；
下坡路长是2千米，用3分钟，
则速度是千米/分钟，
他从学校回到家需要的时间为：2÷+1÷+3＝16.5（分钟）．
故答案为：16.5．
【名师指路】
此题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要 ( http: / / www.21cnjy.com )理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．【来源：21cnj*y.co*m】
16．函数的定义域是______．
【标准答案】x≠1．
【思路指引】
根据分式有意义的条件是分母不为0,分析原函数式可得关系式x-1≠0，解可得自变量x的取值范围.
【详解详析】
解：根据题意，有x-1≠0，
解可得x≠1.
故答案为：x≠1.
【名师指路】
考查了分式有意义的条件是分母不等于0.
17．平面直角坐标系中，已知点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且点在第二象限，则点的坐标是__________．
【标准答案】(-3， 2)．
【思路指引】
设点P的坐标为（x，y），由点到轴的距离为2，到轴的距离为3，得出，再根据点P所在的象限得出答案.
【详解详析】
设点P的坐标为（x，y），
∵点到轴的距离为2，到轴的距离为3，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴x=-3，y=2，
∴点的坐标是（-3,2）
故答案为：（-3,2）.
【名师指路】
此题考查直角坐标系中点的坐标，点到坐标轴的距离，根据点所在的象限确定点的坐标，掌握点到坐标轴的距离与点的横纵坐标的关系是解题的关键.
18．点在第四象限，则m的取值范围是______________．
【标准答案】
【思路指引】
根据第四象限坐标的特点：横坐标是正数，纵坐标是负数，列出不等式解出m的范围即可.
【详解详析】
解：∵点在第四象限，
∴，
解得，
故m的取值范围是.
【名师指路】
本题考查象限点的坐标的符号特征，根据符号建立不等式是解题的关键.
19．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．21教育名师原创作品
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【标准答案】（﹣5，4）．
【思路指引】
首先由A、B两点坐标，求出AB的 ( http: / / www.21cnjy.com )长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB，从而可得到点C的横坐标；接下来在△AOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标.
【详解详析】
由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上，
∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，
由菱形邻边相等可得AD=AB=5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OD==4，
由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，
所以C（-5,4）.
故答案为（﹣5，4）．
【名师指路】
本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，运用勾股定理求出OD的长是解答本题的关键.
20．在直角坐标系中，O是坐标原点，点P（m，n）在反比例函数的图象上．
（1）若m＝k，n＝k﹣2，则k＝_____；
（2）若m+n＝k，OP＝2，且此反比例函数，满足：当x＞0时，y随x的增大而减小，则k＝_____．
【标准答案】3 1+
【思路指引】
（1）函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k≠0），即可求得k的值；
（2）根据点（x，y）到原点的距离公式d＝，得到关于m，n的方程；
再结合完全平方公式的变形，得到关于k的方程，进一步求得k值．
【详解详析】
解：（1）根据题意，得
k﹣2＝＝1，
∴k＝3．
（2）∵点P（m，n）在反比例函数y＝的图象上．
∴mn＝k
又∵OP＝2，
∴＝2，
∴（m+n）2﹣2mn﹣4＝0，
又m+n＝k，mn＝k，
得k2﹣2k＝4，
（k﹣1）2＝5，
∵x＞0时，y随x的增大而减小，则k＞0．
∴k﹣1＝，
k＝1+．
【名师指路】
本题考查求反比例函数解析式.能够熟练运用待定系数法进行求解．注意：（1）明确两点间的距离公式；（2）在中，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
三、解答题
21．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），将线段AB平移到线段DC．
（1）如图1，直接写出线段AB和线段CD的位置和数量关系；
（2）如图2，若线段AB平移到线段DC，D、C两点恰好分别在y轴、x轴上，求点D和点C的坐标；
（3）若点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限内，且S△ACD＝5，直接写出点C、点D的坐标．
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【标准答案】（1）AB＝CD，ABCD；（2）点C坐标为（1，0），点D坐标为（0，2）；（3）点C（1，2）点D（0，4）
【思路指引】
（1）由平移的性质可得结论．
（2）如图2中，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则∠AEB＝∠COD＝90°，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）如图1中，连接AC，OC． ( http: / / www.21cnjy.com )设D（0，m），则C（1，m﹣2）．根据S△ADC＝S△AOD+S△OCD﹣S△AOC，构建方程解决问题即可．
【详解详析】
解：（1）由平移的性质可知，线段AB＝CD，ABCD．
（2）如图2中，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则∠AEB＝∠COD＝90°，
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∵ABCD，
∴∠EAB＝∠OCD，
在△AEB和△COD中，
，
∴△AEB≌△COD（AAS），
∴AE＝CO，BE＝DO，
∵A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），
∴AE＝CO＝1，BE＝DO＝2，
∴点C坐标为（1，0），点D坐标为（0，2）．
（3）如图1中，连接AC，OC．设D（0，m），则C（1，m﹣2）．
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∵S△ADC＝S△AOD+S△OCD﹣S△AOC，
∴5＝×3×m+×m×1﹣×3×（m﹣2），
∴m＝4，
∴点C（1，2），点D（0，4）．
【名师指路】
本题属于全等三角形综合题，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了坐标与图形变化 平移，三角形的面积等知识，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键学会利用参数构建方程解决问题．
22．如图，在直角坐标平面内有点、、．
（1）的形状是否是等腰直角三角形？为什么？
（2）课文阅读材料告诉我们，古希腊的希帕斯经过探索，发现了如此情况下的长是一个无理数，请你（不用勾股定理等后面所学习的方法）求出的长，以此向古代先贤致敬；
（3）点在轴上，如果是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
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【标准答案】（1）是等腰直角三角形，见解析；（2）；（3）、、、
【思路指引】
（1）由等腰三角形的性质可求∠ABO=∠BAO=45°，∠ACO=∠CAO=45°，可得结论；
（2）由面积法可求AB的长；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【详解详析】
.解：（1）为直角等腰三角形
∵、、，
∴
∵
∴
同理
，
∴为直角三角形
∵，
∴为等腰直角三角形；
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（2）∵根据题意的面积
将，，代入，
有
∴（舍去）
（3）若PB=PA，则点P与点O重合，即点P坐标为（0，0）；
若BA=BP=2，且OA⊥OB，
∴OA=OP=2，
∴点P（0，-2），
若AB=AP=2，且点A（0，2），
∴点P（0，2+2）或（0，2-2），
综上所述：点P的坐标为（0，0）或（0，-2）或（0，2+2）或（0，2-2）．
【名师指路】
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．21cnjy.com
23．甲、乙两辆汽车沿同一 ( http: / / www.21cnjy.com )公路从A地出发前往路程为100千米的B地，乙车比甲车晚出发15分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用y1、y2（千米）表示，它们与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示.2·1·c·n·j·y
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（1）分别求出y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）乙车行驶多长时间追上甲车？
【标准答案】（1）； （2）25分
【思路指引】
（1）根据函数图象中的数据，可以求得、关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）令（1）中的两个函数的函数相等，求出x的值，然后再减去15，即可得到乙车行驶多长时间追上甲车．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：（1）设关于的函数解析式是，
根据题意，得：，，
关于的函数解析式是，
设关于的函数解析式是，
根据题意，得：，
解得：，，
关于的函数解析式是．
（2）根据题意，得：，
解得：，
（分钟），
答：乙车行驶25分钟追上甲车．
【名师指路】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．在平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图像上．过点A向x轴作垂线，垂足为C；过点B向x轴作垂线，垂足为D，且CD＝5．
（1）求m，n的值，并求出反比例函数的解析式；
（2）联结AB、AO、BO，求S△OAB．
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【标准答案】（1），，；（2）
【思路指引】
（1）将点A（m，6），B（n，1）代入反比例函数，得到的关系，再根据得到，求解即可；
（2）过点作轴，并反向延长交的延长线于点，为正方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．
【详解详析】
解：（1）点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝
∴，，化简得
由题意可得，，则
∴，解得，
，即反比例函数解析式为
故答案为，，
（2）过点作轴，并反向延长交的延长线于点，如下图：
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由题意可得：，
∴
故答案为
【名师指路】
此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
25．如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点．
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（1）若，求点的坐标；
（2）连接，．
①若的面积为24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）点的坐标为；（2）①；（3）②不存在．理由见解析．
【思路指引】
（1）先求出A点的坐标，然后代入反比例函数中求出k，再求出，代入反比例函数解析式即可；
（2）①设，则可推出，然后由得到，即可求出，从而求解；
②当，可证，得到，则由①可知，，则点则，，得，由此求解即可．
【详解详析】
（1）∵在正方形中，，
∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴OB=2，
∵在的图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵，
∴，
∴将代入中，得：，
∴点的坐标为；
（2）①设，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
解得，
∴；
②不存在，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
由①可知，，则点
∴，
∴得
∴，
∵，
∴不符合题意，不存在．
【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质，一次函数，反比例函数，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
26．已知点在双曲线上．
（1）求此双曲线的表达式与点的坐标；
（2）如果点在此双曲线上，图像经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式．
【标准答案】（1），；（2）．
【思路指引】
（1）把点A（2，m+3）代入求得m，即可求出结果；
（2）把点B（a，5-a）代入求得a得到B点的坐标，根据A点坐标和函数的增减性排除掉不符合题意的点，再由待定系数法求出一次函数解析式．
【详解详析】
解：（1）∵点A（2，m+3）在双曲线上，
∴，
解得：m=-6，
∴m+3=-3，
∴此双曲线的表达式为，
点A的坐标为（2，-3）；
（2）∵点B（a，5-a）在此双曲线上，
∴，
解得：a=-1或a=6，
经检验：都是原方程的根，且符合题意，
∴点B的坐标为（-1，6）或（6，-1），
∵一次函数的函数值随的增大而增大，由（1）知A（2，-3），
∴点B的坐标只能为（6，-1），
设一次函数的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
【名师指路】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．21世纪教育网版权所有
27．实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x的关系可近似地用反比例函数刻画（如图）．
（1）求k的值．
（2）当时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？
（3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．假设某驾驶员晚上喝完半斤白酒，第二天早上能否驾车？请说明理由．
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【标准答案】（1）；（2）肝功能持续受损的时间为2.25小时；（3）第二天早上7：00不能驾车去上班，理由见解析．
【思路指引】
（1）当x=1.5时，求出y=150，进而代入，代入可求得k的值；
（2）把y=75分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式，可求得x的值，则可求得持续时间；
（3）可求得时间为11小时，把x=11代入反比例函数解析式可求得酒精含量，结合规定可进行判断．
【详解详析】
（1）由题意可得：当x=1.5时，y=150，则满足 ，
∴；
（2）把y=75代入，
解得；
把代入得，，
∵3-0.75=2.25小时，
∴喝酒后血液中的酒精含量不低于75毫克的时间持续了2.25小时，
答：肝功能持续受损的时间为2.25小时；
（3）不能驾车上班，理由如下：
∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将代入，则，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
【名师指路】
本题为一次函数和反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、一元一次方程等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．
28．在平面直角坐标系中，点，点，点．
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（1）的面积为______；
（2）已知点，，那么四边形的面积为______．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速 ( http: / / www.21cnjy.com )求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
6 11
四边形 8 11
五边形 20 8
根据上述的例子，猜测皮克公式为______（用m，n表示），试计算图②中六边形的面积为______（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．21教育网
【标准答案】（1）10.5；（2）12.5；（3）10.5，12.5，23；；30
【思路指引】
（1）画出图形，根据三角形的面积公式求解；
（2）画出图形，利用割补法求解；
（3）设S=am+bn+c，其中a，b，c为常数，根据表中数据列方程组求出a，b，c，然后根据公式即可求出六边形的面积．【出处：21教育名师】
【详解详析】
（1）如图1，的底为7，高为3，所以面积为，
故答案为：10.5；
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（2）如图2，
，
故答案为：12.5；
（3）由（1）、（2）可填表格如下：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
6 11 10.5
四边形 8 11 12.5
五边形 20 8 23
设S= am+bn+c，其中a，b为常数，由题意得
，
解得
，
∴皮克公式为，
∵六边形中，m=27，n=8，
∴六边形的面积为=30．
【名师指路】
本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，三元一次方程组的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29．已知：如图，四边形中，，，，平分．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），，设长度是是常数，且，，，求关于的函数关系式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示）
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）或时，为等腰三角形
【思路指引】
（1）由题意先判断出∠DA ( http: / / www.21cnjy.com )C=∠DCA，∠BAC=∠BCA，进而得出∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，即可得出结论；
（2）由题意先判断出△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，得出比例式，即可得出结论；
（3）根据题意分三种情况，①当CE=EG时，判断出点F，G和点D重合，即：AF=AB，即可得出结论，②当CG=CE时，先判断出∠FDG=∠FGD，得出FG=FD，即可得出AF=BF，进而判断出FB=AC，即可得出结论；③当EG=GE时，判断出∠CEG=∠CBF，而∠CEG=∠CBF+∠ACB，进而判断出此种情况不存在．
【详解详析】
解：（1）证明：，
，
又平分
，，
，
四边形为平行四边形
又
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
即
；
（3）解：是等腰三角形，
①当时，
，
，
，
，
，
此时，点，和点重合，
，
，
即，
②当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
（负值已舍），
③当时，
，
，
，
，
此种情况不存在．
综上所述：或时，为等腰三角形．
【名师指路】
本题是四边形综合题，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论的思想，解答本题的关键是找出相关角之间关系．【来源：21·世纪·教育·网】
30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°．【版权所有：21教育】
（1）（图1）求DE：DF的值；
（2）（图2）连结EF，射线DF与射线BA相交于点G，当△EFG是等腰三角形时，求CF的长度；
（3）（图3）连结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
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【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）先用勾股定理求出，然后利用面积法求出，即可求出，证明△EAD∽△FCD，即可得到；
（2）先证明当△EFG是等腰三角形的时候，只存在EF=GF这种情况，再由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由△AED∽△CFD，得到，则；
（3）由，AB=3，则，根据△AED∽△CFD，得到，可以求得，，则，再由，得到，由，可得，，则．
【详解详析】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∵AD是BC边上的高，
∴，∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∴，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF即∠ADE=∠CDF，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，∠B+∠EAD=180°-∠ADB=90°，
∴∠EAD=∠C，
∴△EAD∽△FCD，
∴；
（2）如图所示，∵∠EFG=∠FDE+∠FED＞90°，
∴当△EFG是等腰三角形的时候，只存在EF=GF这种情况，
∵EF=GF，FA⊥EG，
∴A为EG的中点，
∵在直角三角形EDG中，A为EG的中点，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）∵，AB=3，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴，，
∴，
在直角三角形AEF中，，
∴
在直角三角形DEF中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴
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【名师指路】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定， ( http: / / www.21cnjy.com )勾股定理，等腰三角形的性质，列函数关系式，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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