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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知 ( http: / / www.21cnjy.com )识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21教育名师原创作品
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进阶练4：函数与分析（二）综合（教师版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图像上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．3
【标准答案】B
【思路指引】
观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．
【详解详析】
令|x2-2x-3|=0可得x2-2 ( http: / / www.21cnjy.com )x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
令x=0可得y=3，
∴与y轴的交点坐标为（0,3），，故①正确；
观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x=1，故②正确；
又对称轴是直线x=1，
∴当或时，，函数值y随x值的增大而增大，故③正确；
由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0，故④正确；
由图象可知，函数图像向两边无限延伸，没有最 ( http: / / www.21cnjy.com )大值，故⑤错误；
由图象可知，函数图像与直线y=2有四个交点，即当b＝2时，可以找到4个不同的点P．故⑥正确；
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综上，正确的有5个．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．经过点A（m，n），点B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则当m＞﹣时，n的取值范围是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先用两种方法求对称轴,列方程求出c ( http: / / www.21cnjy.com )=2-m，代入原抛物线关系式，根据抛物线与x轴有两个公共点列不等式求出解集，再根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方得c＞0，求出m＜2，最后根据抛物线的递增情况求n的取值范围．
【详解详析】
∵A（m，n），B（m-4，n），
∴抛物线对称轴是直线x=m-2，
∵抛物线对称轴是直线，
∴c=2-m，
∴抛物线y=x2+2（2-m）x+2-m，
∵抛物线y=x2+2（2-m）x+2-m与x轴有两个公共点，
∴Δ＞0，
（4-2m）2-4（2-m）＞0，
（m-1）（m-2）＞0，
或，
解得，m＜1或m＞2，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴2-m＞0，
∴m＜2，
∴m＜1，
把A（m，n）代入y=x2+2（2-m）x+2-m得，
n=-m2+3m+2，
∵-1＜0，对称轴是直线，
∵-＜m＜1，
∴n随着m的增大而增大，
当m=-时，n=，
当m=1时，n=4，
∴＜n＜1，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了二次函数的性质及坐标特点，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．
3．已知抛物线y1：y＝4（x﹣3 ( http: / / www.21cnjy.com )）2+1和抛物线y2：y＝﹣4x2﹣16x﹣6，若无论k取何值，直线y＝kx﹣km+n被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，则（ ）
A．mn＝ B．mn＝3 C．mn＝ D．mn＝
【标准答案】D
【思路指引】
根据直线解析式可得直线过定点，根据题意可知两个函数的开口大小相等，其关于中心对称，进而即可求得的值
【详解详析】
解： 若无论k取何值，直线y＝kx﹣km+n被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，
y＝kx﹣km+n，则直线过定点
y＝4（x﹣3）2+1的对称轴为，顶点坐标为
y＝﹣4x2﹣16x﹣6的对称轴为,顶点坐标为
且两个函数的开口大小相等，根据对称性可得关于，即中心对称，即直线经过定点 ，即
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选D
【名师指路】
本题考查了二次函数的性质，直线过定点问题，中心对称的性质，理解题意中所截线段相等是解题的关键．
4．边长都为4的正方形ABCD和正EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合，现将EFG沿AB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止，在这个运动过程中，正方形ABCD和EFG重合部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】C
【思路指引】
由题意知当t=2时，三角形和正方形重合一半面积，由此可列0≤t≤2和2≤t≤4分段函数．
【详解详析】
当0≤t≤2时，设运动时GF与AD交于点H
∵四边形ABCD为正方形，三角形EFG为正三角形
∴∠FAH=90°，∠AFH=60°
∴AF=t，AH=tan 60°·AF=t
，开口向上
( http: / / www.21cnjy.com / )
当2≤t≤4时，设运动时GE与AD交于点O
∵四边形ABCD为正方形，三角形EFG为正三角形
∴∠EAO=90°，∠OEA=60°
∴AF=t，EA=4-t，AO=tan 60°·EA=（4-t）
，开口向下
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上所述，由图象可知仅C选项满足两段函数．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了动点的图像问题， ( http: / / www.21cnjy.com )做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，并观察确定图像分为几段，弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等．匀速变化呈现直线段的形式，平行于x轴的直线代表未发生变化，成曲线的形式需要看切线的坡度的大小确定变化的快慢．
5．小明和小李住在同一个小区，暑 ( http: / / www.21cnjy.com )假期问，他们相约去缙云山某地露营；小明先出发5分钟后，小李以65米/分的速度从小区出发，小明到达相约地点后放下装备，休息了10分钟，立即按原路以另一速度返回，途中与小李相遇，随后他们一起步行到达目的地．小李与小明之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的关系如图，则下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．小明首次到达目的地之前的速度是75米/分
B．小明首次到达目的地时，小李距离目的地还有200米
C．从小区到目的地路程为2800米
D．小明返回时的速度是33米分
【标准答案】C
【思路指引】
根据图象可知，小明5分钟行走400米，可求 ( http: / / www.21cnjy.com )速度，到达目的地用时35分，可求总路程，再根据小李行走时间可知小李走的路程，利用两人相向而行时，两分钟相遇可求小明返回时速度，即可得出答案．
【详解详析】
解：A、小明首次到达目的地之前的速度是米/分，A不正确；
B、两地间的距离为：80×35＝2800（米）．
小李在小明到达目的地时行走的路程为：65×（35-30）＝1950（米）．
2800-1950=850（米），
此时，小李距目的地还有850米，B不正确；C正确；
D、850-65×10=200（米），200÷（47-45）＝100（米/分），100-65=35（米/分）．D不正确；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了行程问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，点的坐标的运用，解答时认真分析函数图象的意义是关键．21*cnjy*com
6．如图，正方形ABCD中，点E为边CD上一动点，将线段BE绕点E顺时针旋转90°到EF，连接BF、DF，当DEF面积取最大值时，再将BEF绕点B逆时针旋转90°，BF的对应边BF ′与边AD相交于点G，则的比值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先证明平面直角坐标系中两直线，垂直时，有（）；然后以D为原点，以AD所在的直线为y轴，以CD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为2，E点的坐标为（m，0），F的坐标为（s，t）则B点坐标为（2，2），设直线BE与直线EF的解析式分别为，，即可得到从而推出，再由BE=EF即可得到，即可求得F的坐标为（，），由，则当时，有最大值，故E点坐标为（1，0），F的坐标为（3，-1），由此求出BE的长，BF的解析式，从而得到直线的解析式为，即可求出G点坐标，从而得到AG的长，利用勾股定理求出BG的长即可得到答案．
【详解详析】
解：如图所示平面直角坐标系作直线与直线垂直（其中），
在直线上找一点A，作直线AB∥y轴，交直线于B，
设（），则，
∴，，，
∵直线与直线垂直，
∴∠AOB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵任何直线都可以经过平移得到，
故当两直线，垂直时，有（）；
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图所示，以D为原点，以AD所 ( http: / / www.21cnjy.com )在的直线为y轴，以CD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为2，E点的坐标为（m，0），F的坐标为（s，t）则B点坐标为（2，2），
设直线BE与直线EF的解析式分别为，，
∴，，
解得，
∵将线段BE绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴直线BE⊥直线EF，BE=EF，
∴即，
∴，
∵，，
∴，
设，，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴F的坐标为（，），
∴，
∴当时，有最大值，
∴E点坐标为（1，0），F的坐标为（3，-1），
∴，
设直线BF的解析式为
，
∴，
∴可设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵G点是与AD的交点，
∴G点的坐标为（0，） ，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质，一次函数与几何综合，换元法，二次函数的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7．如图，在平面直角坐标系x ( http: / / www.21cnjy.com )Oy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
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A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
【标准答案】B
【详解详析】
解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作且，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO，
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∴四边形MNOC为平行四边形，
∴，，
∴，
在中，，即，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，取得最小值，
∵，，
设，则，
，
解得：，
即：，，
，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
即：，
∴，
故选：B．
【名师指路】
题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．【出处：21教育名师】
8．如图，在平面直角坐标系中，函数 y ( http: / / www.21cnjy.com )＝2x 和 y＝﹣x 的图象分别为直线 l1， l2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l1于点 A1，过 A1点作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交 l1于点 A3，过点 A3作 y 轴的垂线交 l2于点 A4，… 依次进行下去，则点 A2021的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（1012，1016） B．（-1012，1014） C．（，） D．（，）
【标准答案】C
【思路指引】
先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标．
【详解详析】
解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，，
，，，为自然数
，
点的坐标为，即
故选C．
【名师指路】
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”是解题的关键．21*cnjy*com
9．对于坐标平面内的点，先将该点向右 ( http: / / www.21cnjy.com )平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
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A．12 B．14 C．16 D．18
【标准答案】A
【思路指引】
连接CQ，根据中心和轴对称的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解详析】
解：连接CQ，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由中心对称可知，AQ＝BQ，
由轴对称可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，
∵A（2，0），C（8，6），
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵，
∴∠AEC＝45°，
∴E点坐标为（14，0），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得：，
解得：，
∴y＝﹣x+14，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，
解得：n＝4，
∴B（6，8），
∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12，
故选：A．
【名师指路】
本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到的坐标是解本题的关键．
10．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（ ）
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A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【标准答案】C
【思路指引】
先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得△，得到，当点是中点时，最短，当最短时，的面积最小，即阴影部分的面积最小，故可得到阴影部分的面积先减小后增大．
【详解详析】
解：令，解得，，
，，
令，解得，
，
∵点D与点C关于x轴对称，故，
，，
则四边形是正方形，
将绕点顺时针旋转得到，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，
又，，
△，
，阴影部分的面积=的面积，
当点是中点时，最短，即最短时，的面积最小，
故可得到阴影部分的面积先减小后增大．
故选：C．
【名师指路】
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像及正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质．
二、填空题
11．甲、乙两人分别加工100 ( http: / / www.21cnjy.com )个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间为______________
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】或或
【思路指引】
结合题意，首先计算得甲加工到100个零件 ( http: / / www.21cnjy.com )需要的时间、乙在3小时后的每小时加工零件数；再根据一次函数的性质，分别得甲、乙两人各自加工的零件数和加工零件的时间的函数解析式；再结合函数图像，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
根据题意，甲加工到100个零件，需要的时间为：（小时）
∴甲加工零件的时间（时）
∴甲加工的零件数为，即
∵乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务
∴乙在3小时后，每小时加工零件数为：（个）
∴乙加工的零件数为，即
甲、乙两人相差15个零件，分甲比乙少15个零件和甲比乙多15个零件两种情况；
根据y与x之间的函数图象，当甲比乙少15个零件时，得：
∴；
当甲比乙多15个零件时，分和两种情况；
当时，得
∴
当时，
∴；
故答案为：或或．
【名师指路】
本题考查了一次函数、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
12．如图，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，A（0，6），B（﹣4，0），C（2，0），点D，E分别在射线CA上，并且DE＝AC，P为线段AB上一点，当△DPE为以ED为斜边的等腰直角三角形时，Р点坐标为____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
如图所示，过点P作直线l∥y轴，分别过点D作DG⊥直线l于G，EH⊥直线l于H，过点D作DN⊥y轴于N，过点E作EM⊥x轴于M,设直线AB，直线CD的解析式分别为，，则可求得直线AB，直线CD的解析式分别为，，然后证明△NDA≌△MCE得到DN=CM，NA=EM，△PDG≌△EPH得到DG=PH，GP=EH，设，，则，，，，，，，由此即可得到，解方程即可．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：如图所示，过点P作直线l∥y轴，分别过点D作DG⊥直线l于G，EH⊥直线l于H，过点D作DN⊥y轴于N，过点E作EM⊥x轴于M，设直线AB，直线CD的解析式分别为，，
∴，
解得，，
∴直线AB，直线CD的解析式分别为，，
∵DE=AC，
∴DA=CE，
∵DN⊥y轴，EM⊥x轴
∴DN∥CM，∠DNA=∠CME=90°
∴∠NDA=∠MCE，
∴△NDA≌△MCE（AAS），
∴DN=CM，NA=EM，
∵△DPE是以DE为斜边的等腰直角三角形，
∴PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠DPG+∠EPH=90°，
∵DG⊥GH，EH⊥GH，
∴∠DGP=∠PHE=90°，
∴∠PDG+∠DPG=90°，
∴∠PDG=∠EPH，
∴△PDG≌△EPH（AAS），
∴DG=PH，GP=EH，
∵A（0，6），B（-4，0），C（2，0），
∴OA=6，OB=4，OC=2，
设，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，解题的关键在于能够构造全等三角形进行求解．
13．在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线y＝﹣x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝_______．
【标准答案】或
【思路指引】
分两种情况分别讨论：如图①所示，以 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，求出m，也就求出正方形的边长；如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，根据一次函数与坐标轴的特点求出45°角，再根据正方形的性质用x表示出边长，根据线段之和求出x的值，从而求出正方形的边长．
【详解详析】
解：①如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，
∴CD＝DE，
设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，
得m＝﹣m+3，
m＝，
∴D（，）
∴正方形的边长是；
②如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，
令x＝0，y＝3，y＝0，x＝3，
∴OB＝OA，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD＝DE＝FE，CF∥BA，
∴∠OCF＝∠OBA＝45°，∠CFO＝∠OAB＝45°，
设OF＝x，则CF＝x，
∴EF＝x，
在Rt△FEA中，sin45°＝，
∴AF＝2x，
∵OF+AF＝OA，
∴x+2x＝3，
解得x＝1．
∴EF＝，
∴正方形的边长是；
综上所述：正方形的边长是或．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：或．
【名师指路】
考查了过定点的直线、一次函数性质、正方形性质，解题关键是掌握这几个知识点的综合应用和分情况讨论．
14．函数（b，c为常数）的图像关于直线对称，当时，函数最大值为________．
【标准答案】9
【思路指引】
由已知条件可以得到函数与x轴的交点坐标，从而得到函数表达式为，将函数表达式变形为，设，得到，结合得到，利用函数的图象性质即可得到答案．
【详解详析】
解：∵
∴令，得
即或
∴
即：该函数图象必与x轴有交点
又∵函数图象关于直线对称
∴函数图象与x轴的另外两个交点分别是
∴
∴函数表达式为：
∴
令
则
∵
∴
∵函数的开口向上，且对称轴
∴当时，；当时，
∴
∴当时，函数最大值为9
故答案为：9
【名师指路】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，两点式求二次函数表达式，配方法求最值等知识点，牢记二次函数的图象性质是解题的关键．
15．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O、A1；将C1绕A1能转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3.此进行下去，直至得到C2021，若顶点P（m，n）在第2021段抛物线C2021上，则m＝___．
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【标准答案】4041
【思路指引】
根据题意，通过求解一元二次方程，得；根据二次方程的性质，得抛物线对称轴，从而求得C1的顶点；根据旋转的性质，得C2的顶点，同理得C3的顶点；根据数字规律的性质计算，即可得到答案．
【详解详析】
∵
∴，
∵C1与x轴交于两点O、A1；
∴
∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，
∴抛物线对称轴为：
∴C1的最大值为：
∴C1的顶点为：
将C1绕A1能转180°得到C2，交x轴于A2；
∴C2的顶点为：，即
将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3.
∴C3的顶点为：，即
∴C2021的顶点为：，即
∵顶点P（m，n）在第2021段抛物线C2021上
∴
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了二次函数、一元二次方程、旋转、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、旋转的性质，从而完成求解．
16．如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则_______________．【版权所有：21教育】
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【标准答案】
【思路指引】
连接OD，做BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP、BP相交于点P．根据旋转作图和“心”形的对称性得到∠COB=30°，∠BOG=60°，设OM=m，得到点B坐标为，把点B代入，求出m，即可得到点A、B坐标，根据勾股定理即可求出AB．
【详解详析】
解：如图，连接OD，做BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP、BP相交于点P．
∵点C绕原点O旋转60°得到点D，
∴∠COD=60°，
由“心”形轴对称性得AB为对称轴，
∴OB平分∠COD，
∴∠COB=30°，
∴∠BOG=60°，
设OM=m，在Rt△OBM中，BM=,
∴点B坐标为，
∵点B在抛物线上，
∴，
解得，
∴点B坐标为，点A坐标为，
∴AP=，BP=9，
在Rt△ABP中，．
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故答案为：
【名师指路】
本题考查了抛物线的性质，旋转、轴对称、勾股定理、三角函数等知识，综合性较强，理解题意，表示出点B坐标是解题关键．
17．已知函数y＝﹣x2+2x+5，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是5≤y≤6，则实数m的取值范围是 _____．
【标准答案】
【思路指引】
求出二次函数最大值，再把对应的另一个函数值代入求出自变量值即可．
【详解详析】
解：函数y＝﹣x2+2x+5化成顶点式为函数y＝﹣（x-1）2+6，
所以，当x=1时，函数的最大值为6，
把y=5代入函数解析式，5＝﹣x2+2x+5，
解得，，；
根据题意，顶点一定在0≤x＜m范围内，而且此范围内的最小值为5，
故m的取值范围是．
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【名师指路】
本题考查了二次函数的性质，解题关键是树立数形结合思想，求出分界值．
18．在平面直角坐标系中，函数和的函数图象相交于点P，Q．若P，Q两点都在x轴的上方，则实数a的取值范围是__________．
【标准答案】或
【思路指引】
由一次函数和二次函数图象及其性质对a的取值范围分类讨论．
【详解详析】
的图象是抛物线，开口向上，与x轴的交点为（0，0）和（a，0），
的图象是直线，y随x增大而减小，与y轴交点为3a+2
当a>0时，若P，Q两点都在x轴的上方
当x=a时，
解得a＞-1，
故a>0
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当a＜0时，若P，Q两点都在x轴的上方
当x=0时，
解得a＞
故
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综上所述，a的取值范围为a>0或．
故答案为：a>0或．
【名师指路】
本题考查了一次函数和二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象及其性质，由一次函数和二次函数的图象及其性质，得出只要右侧的点的值大于0即可，故对a进行分类讨论是解题的关键．
19．如图，在等腰直角中，，点E是边上一点，点D是边上的中点，连接，过点E作，满足，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点P，若，则的长度是________．
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【标准答案】
【思路指引】
以点A为坐标原点，AC，AB分别为x，y轴建立直角坐标系，过点E作EG⊥AB于G，根据，可求出点E（2， 6），点F（8，8），从而直线BC的函数解析式为：y＝x 8，直线DF的函数解析式为：y＝ 2x＋8，联立得到M点坐标，再根据翻折得到DM=DN，证明△DNS≌△MDR求出N点坐标，再联立直线求出P点坐标，根据坐标与勾股定理即可解决问题．
【详解详析】
解：如图，以点A为坐标原点，AC，AB分别为x，y轴建立直角坐标系，
∵AB＝AC＝8，
∴B（0， 8），C（8，0），△ABC是等腰直角三角形
∵点D是AC边上的中点，
∴AD＝4，
∴D（4，0），
过点E作EG⊥AB于G，过点E作EH⊥AC于H，作EH⊥FQ于Q点，过N点作NS⊥AC与S点，过M点作MR⊥AC于R点
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∵，∠ABC=45°
∴△BEG是等腰直角三角形
∴EG＝BG，EG2+BG2=BE2
∴EG＝BG＝2，
∴E（2， 6），
∵，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=90°，∠DEH+∠QEF=90°
又∠EFQ+∠QEF=90°
∴∠DEH＝∠EFQ，
又∠DHE=∠EQF=90°DE=FE
∴△DEH≌△EFQ（AAS），
∴EQ＝HD，HE＝QF，
∴F（8，-8），
设直线BC的解析式为y=ax+b，把B（0， 8），C（8，0）代入得
解得
∴直线BC的函数解析式为：y＝x 8，
设直线DF的解析式为y=mx+n，把D（4，0），F（8，-8）代入得
解得
∴直线DF的函数解析式为：y＝ 2x＋8，
当x 8＝ 2x＋8时，
∴x＝，
∴y＝ 8＝ ，
∴M（， ），
∵将沿翻折，得到，
∴∠NDM＝2∠EDF＝90°，DN=DM
∴∠RDM+∠SDN=90°
∵∠SND+∠SDN=90°
∴∠SND=∠RDM，
又∠DSN＝∠MRD，DN=DM
∴△DNS≌△MDR（AAS），
∴SD=RM=，SN=DR=-4=，AS=AD-SD=4-=
∴N（， ），
设直线DE的解析式为y=px+q，把D（4，0），E（2， 6）代入得
解得
∴直线DE的函数关系式为：y＝3x 12，
设直线NF的解析式为y=cx+f，把N（， ），F（8，-8）代入得
解得
∴直线NF的函数解析式为：y＝ x，
当3x 12＝ x时，
∴x＝3，
∴y＝ 3，
∴点P（3， 3），
∴=．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了正方形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，建立坐标系，运用代数方法解决几何问题，求出相应的函数解析式是解题的关键．2-1-c-n-j-y
20．某自动贩卖机售卖A、B两种盲盒， ( http: / / www.21cnjy.com )B种盲盒的价格比A种盲盒价格的6倍少60元，该贩卖机存储的A种盲盒不低于22个，B种盲盒的数量不少于A种的2倍，且最多可存储两种盲盒100个，某天上午售卖后，工作人员及时补货，将售卖机装满，该天下午，由于系统bug，B种盲盒的价格变为原来A种的价格，而A种的价格变为原来价格的5倍少50元后再打了个六折，下午A种盲盒的销量变为上午的2倍，而B种盲盒的销量不变，结果上午的销售额比下午多390元，其中两种盲盒的价格均为整数，则下午贩卖的盲盒的销售额最多可为____________元．
【标准答案】8080
【思路指引】
设A种盲盒的价格为元，则B种盲盒的价格为元，A种盲盒的数量为个，则，B种盲盒的数量为，设上午种盲盒售出个，B种盲盒售出个，则上午的销售额为该天下午， A种盲盒的价格为即元，B种盲盒的价格为元，种盲盒售出个，B种盲盒售出个，种盲盒售出个，B种盲盒售出个，进而求得下午的销售额，根据题意列出关系式，根据不等式确定的范围，进而根据一次函数的性质，确定的值，根据78的因数为2,3,13，进而求得的值，根据一次函数的性质确定取最大值时，下午的销售额取得最大值即可求解．
【详解详析】
解：设A种盲盒的价格为元，则B种盲盒的价格为元，A种盲盒的数量为个，则，B种盲盒的数量为，
根据题意可得，，
，则
设上午种盲盒售出个，B种盲盒售出个，则上午的销售额为
该天下午， A种盲盒的价格为即元，B种盲盒的价格为元，种盲盒售出个，B种盲盒售出个，
则下午的销售额为
由上午的销售额比下午多390元，可得
且
，，为整数
，
即且
且
由于下午的销售额为：设，
则当取最大值时候，销售额取得最大值，
设，
则当取得最大值，取得最大值，
或或或，
或，或
或，或
解得或，或，
或，或（舍去），
当时，
故答案为：
【名师指路】
本题考查了一次函数的性质，不等式组的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
21．如图，过点F（0，2）的直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（M在N的左侧），分别过M、N作直线l：y＝﹣2的垂线，垂足分别是M1、N1，点L是线段M1N1的中点．
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（1）如图1，证明LF⊥MN；
（2）如图2，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论；
（3）如图3，证明：无论k取何实数，为定值，并求出该值．
【标准答案】（1）见解析；（2）是直角三角形，证明见解析；（3）见解析，
【思路指引】
（1）由题得出，把代入中得，故直线为，把直线和抛物线联立得，由根与系数的关系得出，，故可得，故可求出直线LF解析式，即可得出答案；
（2）求出，，，由勾股定理的逆定理即可得出答案；
（3）求出，，代入进行化简即可得出答案．
【详解详析】
（1），，
，，
是的中点，
，
把代入中得：，
直线为，
得，
，，
故，
设直线的解析式为，
把，代入解得：，
，
，
；
（2）是直角三角形，理由如下：
，，
，
，
，
满足勾股定理，
是直角三角形；
（3），
，
，
，
，
，
，，
，
无论k取何实数，为定值，．
【名师指路】
本题考查二次函数与一次函数综合问题，根与系数的关系以及勾股定理的逆定理，由根与系数的关系化简线段长度是本题的关键．
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，，对称轴为，点为此抛物线的顶点．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上，两点之间的距离是________；
（3）点是第一象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值；
（4）点在抛物线对称轴上，平面内存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标．
【标准答案】（1）；（2）；（3）面积的最大值为；（4）点P的坐标为或或或．
【思路指引】
（1）先根据对称轴可得的值，再根据可得点的坐标，代入抛物线的解析式即可得；
（2）利用抛物线的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；
（3）过点作轴的垂线，交于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，从而可得和的坐标，然后根据可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；
（4）设点的坐标为，分①当为矩形的边时，②当为矩形的边时，③当为矩形的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得．
【详解详析】
解：（1）抛物线的对称轴为，
，
，
，且点在轴负半轴上，
，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为；
（2）化成顶点式为，
则顶点的坐标为，
当时，，即，
则抛物线上两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）如图，过点作轴的垂线，交于点，
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，抛物线的对称轴为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
，
，
，
由二次函数的性质得：在内，当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为；
（4）设点的坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①当为矩形的边时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
则直线的解析式为，
将点代入得：，即，
②当为矩形的边时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
则直线的解析式为，
将点代入得：，即，
③当为矩形的对角线时，则，
，
即，
解得或，
或，
综上，点P的坐标为或或或
【名师指路】
本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），正确分三种情况讨论是解题关键．21·cn·jy·com
23．如图，在中，，，．点P从点出发，沿折线向终点C运动，点P在边、边上的运动速度分别为、．在点P的运动过程中，过点P作所在直线的垂线，交边或边于点Q，以为一边作矩形，且，与在的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形与重叠部分的面积为．
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（1）求边的长．
（2）当时， ，当时， ．（用含t的代数式表示）
（3）当点M落在上时，求的值．
（4）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与的函数关系式．
【标准答案】（1）；（2）；（3）或；（4）
【思路指引】
（1）利用勾股定理直接计算即可；
（2）先求解再用含的代数式表示 再利用三角函数建立方程求解两种情况下的即可；
（3）分两种情况讨论：如图，当在上，落在上，如图，当在上，落在上，则重合，再利用矩形的性质结合三角函数可得结论；
（4）如图，当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形， 当时，重叠部分为四边形，如图， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，当第2次落在上时， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，再利用图形的性质列面积函数关系式即可.
【详解详析】
解：（1） ，，，
（2）当时，在上，
而四边形为矩形，
当时，在上，如图，
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此时，
，
，
故答案为：
（3）如图，当在上，落在上，
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此时
解得：
如图，当在上，落在上，则重合，
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同理可得：
解得：
（4）当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，
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此时
当落在上时，如图，
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同理可得：
解得：
当时，重叠部分为四边形，如图，
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同理可得：
如图，当落在上时，
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同理可得： 而
解得：
当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，
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此时
当第2次落在上时，
当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，
同理可得：
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综上：
【名师指路】
本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，列面积函数关系式，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.21cnjy.com
24．如图，抛物线的图像与x轴的交分别为点A、点B，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线解析式
（2）点D是对称轴左侧抛物线上一点，过点D作于点E，交AC于点P，，求点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接AD并延长交y轴于点F，点G在AC的延长线上，点C关于x轴的对称点为点H，连接AH，GF、GH，点K在AH上，，，，过点C作，垂足为点R，延长RC交抛物线于点Q，求点Q坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
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【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）根据求出点C的坐标，把点C的坐标代入即可求出a，即可得出抛物线解析式；
（2）先求直线AC解析式，设，则可表示点P坐标，y值相减即可得出答案；
（3）作的角平分线为AM，作交于点N，过点K作轴交于点T，
由（2）得点D坐标，求出直线AD解析式，令，求出F点坐标，由对称得出点H坐标，求出直线AH的解析式，求出AK、AH的值，可得GF、FG，FH满足勾股定理，即，求出点G坐标，得出直线FG解析式，即可得出直线CR解析式，与抛物线解析式联立，即可求出点Q的坐标．
【详解详析】
（1）由题得：，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
把代入得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）设直线AC的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
设，则，
∴，
解得：或，
∵的对称轴为直线，点D是对称轴左侧抛物线上一点，
∴，
∴，
∴；
（3）
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如图，作的角平分线为AM，作交于点N，过点K作轴交于点T，
由，得直线AD解析式为，
∴，，
∵H是点C的对称点，
∴，
由，得直线AH解析式为，
∴，
设，，
则，，，
，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
，即，
解得：，
，
，
由题知：，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
设，
，
解得：，
，
∴，
由，得直线FG的解析式为，
∵，
∴，
∴直线CR解析式为，
把代入得：，
，
解得：或，
∴．
【名师指路】
本题考查二次函数综合问题，还涉及了解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，属于中考压轴题，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
25．如图①，二次函数（a≠0）的图象经过点A（，），并且与直线相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，过点A，C作直线，求证AC⊥BC；
（4）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式；若不存在，请说明理由．
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【标准答案】（1）；（2）4；（3）见解析；（4）存在，和.
【思路指引】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PD⊥x轴于D，交BC于点E，并设点P（x，x2﹣x﹣2），进而根据S△CPB＝S△CPE+S△BPE=，进行计算即可求解；
（3）根据点C（0-，2），点B（4，0），点A（，），得出OB＝4，OC＝2，OA＝1，在Rt△OBC中，根据勾股定理BC＝，在Rt△OAC中，AC＝，AB=OA+OB=4-（-1）=5，根据勾股定理逆定理，即即可；
（4）根据题意分点Q在BC下方、在AC的延长线上取一点F，使CF＝AC，作出∠ABQ＝2∠ABC，连接BF，设BF与抛物线交于点，过点F作FN⊥y轴于N，FH⊥x轴于H，点Q在BC上方，延长FH到M，使HM＝HF，连接BM并延长BM交y轴于G，作出∠MBH＝∠FBH＝2∠ABC，两种情况求出点F，和点M的坐标，进而利用待定系数法求BQ解析式即可求解．
【详解详析】
解：（1）∵交坐标轴于B，C两点，
当x=0时，y=-2,点C（0-，2），
当y=0时，，
解得，点B（4，0），
∵A（，），
∴
，
解得，
∴二次函数解析式为：；
（2）过点P作PD⊥x轴于D，交BC于E，
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设P点的横坐标为m，则 P（，），E（，），
∴PE＝＝，
∵OB＝4，
∴S△CPB＝S△CPE+S△BPE=，
= ，
∴S△CPB＝，
当时，
，
∴S的最大值为4；
（3）证明：点C（0-，2），点B（4，0），点A（，），
∴OB＝4，OC＝2，OA＝1，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
在Rt△OBC中，根据勾股定理BC＝，
在Rt△OAC中，AC＝，
AB=OA+OB=4-（-1）=5，
∵，即，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC；
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（4）存在点Q，使∠ABQ＝2∠ABC．
当点Q在x轴下方的抛物线上时：
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在AC的延长线上取一点F，使CF＝AC，连接BF，若BF与抛物线有交点，设BF与抛物线交于点，过点F作FN⊥y轴于N，FH⊥x轴于H.
∵∠FNC＝∠AOC＝90°，∠FCN＝∠ACO，AC＝CF，
∴△FNC≌△AOC，
∴FN＝AO＝1，
∵FH⊥x轴，
∴OH＝NF＝1，
∵BC⊥AC，AC＝CF，
∴∠ABF＝2∠ABC，
∵AC＝CF，AO＝OH，
∴HF＝2OC＝4，
∴F（，），
设的解析式为：，
∴ ，
解得：，，
∴的解析式为：．
∵ ，
，
，
，
∴方程组有两个不同的解，直线BF与抛物线有两个不同的交点，存在．
当点Q在x轴上方的抛物线上时：
延长FH到M，使HM＝HF，连接BM并延长BM交y轴于G，若BG与抛物线有交点，设BG交抛物线于点，
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∵FH⊥x轴，FH＝MH，
∴∠MBH＝∠FBH＝2∠ABC，M（1,4），
∴的解析式为：．
∵ ，
，
，
，
∴方程组有两个不同的解，直线BM与抛物线有两个不同的交点，存在．
∴存在抛物线上点Q，使∠ABQ＝2∠ABC，直线BQ的解析式有两个，它们是：
和．
【名师指路】
本题考查待定系数法求二次函数解析式和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，一次函数解析式，三角形面积的最值，直线的位置关系，二倍角的函数解析式，一元二次方程，三角形全等判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，本题综合性强，难度大，是中考压轴题，利用辅助线作出准确图形，熟练掌握所需知识是解题关键．
26．抛物线经过A、B(1，0)、C(0，-3)三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PB+PC最小，求出P点坐标；
（3）在线段AC上找一点M，使AOM∽ABC，请你直接写出点M的坐标；
（4）在y轴上是否存在一点E，使ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）P(－1，－2)；（3）(，)；（4）存在，E1(0，－3)或E2(0，－1)或E3(0，)或E4(0，)
【思路指引】
（1）把B、C坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（2）连接AP，先求出A点 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标，然后根据抛物线的对称性得到AP=BP，则PB+PC的最小值，即为PA+PC的最小值，故当P、A、C三点共线时，PA+PC最小，即P在P1所在的位置，求出直线AC的解析式，即可求出P点坐标；
（3）由△AOM∽△ABC，得到∠AOM=∠ABC，则OM∥BC，求出直线BC的解析式为，直线OM的解析式为，联立，即可求出点M的坐标为（，）；
（4）先求出D点坐标为（-1，4），设E点坐标为（0，m），由两点距离公式得到，，，然后分三种情况进行讨论：当∠ADE=90°，当∠AED=90°，当∠DAE=90°．
【详解详析】
解：（1）∵抛物线经过B（1，0），C（0，-3），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，连接AP，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵A是抛物线与x轴的另一个交点，B（1，0），
∴A（-3，0），
∵A、B关于抛物线对称轴对称，
∴AP=BP，
∴PB+PC的最小值，即为PA+PC的最小值，
∴当P、A、C三点共线时，PA+PC最小，即P在P1所在的位置，
设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为，
∴当时，，
∴P点坐标为（-1，-2）；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）∵△AOM∽△ABC，
∴∠AOM=∠ABC，
∴OM∥BC，
设直线BC的解析式为，直线OM的解析式为，
∴，
∴
∴直线BC的解析式为，直线OM的解析式为，
联立，
解得，
∴点M的坐标为（，）；
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（4）∵抛物线解析式为，
∴D点坐标为（-1，4），
设E点坐标为（0，m），
∴，，
，
如图4-1所示，当∠EAD=90°，
∴，
∴，
解得，
∴此时E点坐标为（0，）；
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图4-2，当∠ADE=90°时，
∴，
∴，
解得，
∴此时E点坐标为（0，）；
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理当∠AED=90°时，
∴，
∴，
解得或
∴此时E点坐标为（0，-1）或（0，-3）；
∴综上所述，E点坐标为（0，-3）或（0，-1）或（0，）或（0，）时，△ADE是直角三角形．
【名师指路】
本题主要考查了二次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )综合，两点距离公式，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，二次函数最短路径问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
27．己知：如图点A（8，6）在正比 ( http: / / www.21cnjy.com )例函数图象上，点B坐标为（16，0），连接AB，点C是线段AB的中点，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由点O向点B运动，点Q在射线OA上由点O向点A运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒．
（1）求该正比例函数的解析式：
（2）当秒，且时，求点Q的坐标：
（3）连接CP，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由
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【标准答案】（1）；（2）；（3）全等，每秒个单位或每秒个单位
【思路指引】
（1）设正比例函数的解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式为y=kx，然后将点A的坐标代入求解即可；
（2）由t=2，可知OP=4，然后根据三角形的面积公式Q点纵坐标，再代入正比例函数解析式即可；
（3）先由距离公式求出OA=AB=10得到∠QOP=∠CBP，由△OPQ与△BPC全等可知：OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB，从而可求得点Q的运动速度．
【详解详析】
（1）解：设正比例函数的解析式为．
把A（8，6）代入得：．
解得：．
故该正比例函数的解析式为；
（2）当时，．
如图，过点Q作轴于点H，
，
．
把代入中，得 ，
．
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（3）设Q点运动速度为v，则
∵A（8，6），B（16，0），
∴，
∴，
∵点C是线段AB的中点，
，．
若与全等，
则有，或，．
①当，时，
由，可知：．
解得：．
，
，
．
解得；．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
②当，时，
由可知：，
解得：．
，
．
解得：．
点Q运动的速度为个单位秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等．
【名师指路】
本题主要考查的是一次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )综合应用，全等三角形的性质、两点间的距离公式、三角形的面积公式，根据三角形全等得出对应边相等从而求得点P的运动时和点Q运动的距离是解题的关键．
28．已知抛物线过定点A．
（1）求定点A的坐标；
（2）若抛物线过点，已知点，，在抛物线对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，请问抛物线上是否存在一点，使的值最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21世纪教育网版权所有
【标准答案】（1）A的坐标为（-1，0）；（2）F的坐标为（1，）；（3）K点坐标为（2，3）
【思路指引】
（1）可以对抛物线解析式进行因式分解得到，由此即可得到答案；
（2）先把B点坐标代入求出抛物线解析式，然后连接AF，BF，HF，连接BH交直线于，根据A、B两点关于直线对称，得到AF=BF，则AF+HF=BF+HF，要想AF+HF的值最小，即BF+HF的值最小，故当H、B、F三点共线时，BF+HF的值最小，此时F在的位置，BF+HF的最小值即为BH，求出直线BH的解析式，即可得到F点坐标；21教育网
（3）设K点坐标为（n，），即可推出，则KF的长，可以看作是点K到直线的距离，如图所示，过点K作KC⊥直线于C，则KF+KG=KC+KG，要想使KF+KG最小，则KC+KG最小，当G、K、C三点共线时，KC+KG最小，最小值即为图中的，由此即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）∵抛物线解析式为
，
∴当时，
∴抛物线过定点（-1，0），
∴A的坐标为（-1，0）；
（2）∵抛物线过点B（3，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
如图所示，连接AF，BF，HF，连接BH交直线于
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点A（-1，0），点B（3，0）在抛物线上，
∴A、B两点关于直线对称，
∴AF=BF，
∴AF+HF=BF+HF，
∴要想AF+HF的值最小，即BF+HF的值最小，
∴当H、B、F三点共线时，BF+HF的值最小，此时F在的位置，BF+HF的最小值即为BH，
设直线BH的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BH的解析式为，
当时，，
∴F的坐标为（1，）；
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（3）设K点坐标为（n，），
∴
，
∴KF的长，可以看作是点K到直线的距离；
如图所示，过点K作KC⊥直线于C，
∴KF+KG=KC+KG，
∴要想使KF+KG最小，则KC+KG最小，
∴当G、K、C三点共线时，KC+KG最小，最小值即为图中的
∵G（2，0），
∴K点横坐标为2，
∴K点纵坐标为
∴K点坐标为（2，3）．
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【名师指路】
本题主要考查了二次函数综合，二次函数的对称性，求二次函数解析式，求一次函数解析式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
29．如图1所示，直线l：y＝mx＋5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，设Q线段AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于点M，BN⊥OQ于点N，若AM＝4，求MN的长；
（3）如图3，当m取不同的 ( http: / / www.21cnjy.com )值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想△ABP的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由；
（4）如图3，当m取不同的值时 ( http: / / www.21cnjy.com )，点B在y轴正半轴上运动，以B为边在第二象限作等直角△ABE，则动点E在直线 上运动（直接写出直线的解析式）．
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【标准答案】（1）y＝x+5；（2）7；（3）△ABP的面积不变，S△ABP＝；（4）y＝﹣x+5
【思路指引】
（1）求出A与B坐标，根据OA＝OB，求出m的值，即可确定出直线解析式；
（2）由OA＝OB，对顶角相等，且一对直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度即可；
（3）如图，作EK⊥y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA＝BK，EK＝OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求得PB的长，继而求得△ABP的面积；
（4）由（3）可得OA＝BK＝5， ( http: / / www.21cnjy.com )EK＝OB＝5m，则可得OK＝OB+BK＝5m+5，即可得点E（﹣5m，5m+5），继而可知动点E在直线y＝﹣x+5上运动．
【详解详析】
解：（1）在y＝mx+5m中，令x＝0得y＝5m，令y＝0得x＝﹣5，
∴A（﹣5，0），B（0，5m），
∵OA＝OB，
∴5m＝5，解得m＝1，
∴直线l解析式为：y＝x+5；
（2）∵∠AOM＝90°﹣∠BON，∠OBN＝90°﹣∠BON，
∴∠AOM＝∠OBN，
在△AMO与△ONB中，
，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM＝ON＝4，
∵OA＝5，AM＝4，
∴OM＝＝3，
∴MN＝OM+ON＝7．
（3）结论：△ABP的面积不变，S△ABP＝；
理由如下：如图3中，作EK⊥y轴于K点，连接AP，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠EBK+∠ABO＝90°，
∵∠EBK+∠BEK＝90°，
∴∠ABO＝∠BEK，
在△AOB和△BKE中，
，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA＝BK，EK＝OB，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB＝BF，
∴EK＝BF，
在△EKP和△FBP中，
，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK＝PB，
∴PB＝BK＝OA＝，
∴△ABP的面积S△ABP＝PB OA＝××5＝；
（4）作EK⊥y轴于K点，如图4：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（3）知：BK＝OA＝5，EK＝OB＝5m，
∴OK＝OB+BK＝5m+5，
∴E（﹣5m，5m+5），
令x＝﹣5m，y＝5m+5，
∴y＝﹣x+5，
∴动点E在直线y＝﹣x+5上运动，
故答案为：y＝﹣x+5．
【名师指路】
此题属于一次函数综合题，涉及 ( http: / / www.21cnjy.com )的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
（1）求m和b的值；
（2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）m的值是4，b的值是；（2）①5；②存在，4或6
【思路指引】
（1）根据点在直线上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数的图象上，可以得到b的值；21·世纪*教育网
（2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据的面积为12，即可得到t的值；②先写出使得为直角三角形时t的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的t的值即可解答本题．
【详解详析】
解：（1）∵点在直线上，
∴，
∴点，
∵函数的图象过点，
∴，
解得，
即m的值是4，b的值是；
（2）①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点，点，
∵函数的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为，
∴，
∵的面积为12，
∴，
解得，．
即当的面积为12时，t的值是5；
②存在，当t＝4或t＝6时，是直角三角形，理由如下：
第一种情况：当时，
∵，，
∴，
∵，
即，
解得，；
第二种情况：当时，，
∵点，点，点，点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：；
综上所述，当或时，是直角三角形
【名师指路】
本题考查了一次函数的综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八 ( http: / / www.21cnjy.com )讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21cnjy.com
亲爱的老师，如果您认可我工 ( http: / / www.21cnjy.com )作室所创作的资料，请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
进阶练4：函数与分析（二）综合（学生版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图像上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．经过点A（m，n），点B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则当m＞﹣时，n的取值范围是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
3．已知抛物线y1：y＝4（x﹣3）2+1和 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线y2：y＝﹣4x2﹣16x﹣6，若无论k取何值，直线y＝kx﹣km+n被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，则（ ）2·1·c·n·j·y
A．mn＝ B．mn＝3 C．mn＝ D．mn＝
4．边长都为4的正方形ABCD和正EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合，现将EFG沿AB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止，在这个运动过程中，正方形ABCD和EFG重合部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．小明和小李住在同一个小区，暑假期问 ( http: / / www.21cnjy.com )，他们相约去缙云山某地露营；小明先出发5分钟后，小李以65米/分的速度从小区出发，小明到达相约地点后放下装备，休息了10分钟，立即按原路以另一速度返回，途中与小李相遇，随后他们一起步行到达目的地．小李与小明之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的关系如图，则下列说法正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．小明首次到达目的地之前的速度是75米/分
B．小明首次到达目的地时，小李距离目的地还有200米
C．从小区到目的地路程为2800米
D．小明返回时的速度是33米分
6．如图，正方形ABCD中，点E为边CD上一动点，将线段BE绕点E顺时针旋转90°到EF，连接BF、DF，当DEF面积取最大值时，再将BEF绕点B逆时针旋转90°，BF的对应边BF ′与边AD相交于点G，则的比值是（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直 ( http: / / www.21cnjy.com )线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）【版权所有：21教育】
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A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
8．如图，在平面直角坐标系中，函数 y ( http: / / www.21cnjy.com )＝2x 和 y＝﹣x 的图象分别为直线 l1， l2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l1于点 A1，过 A1点作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交 l1于点 A3，过点 A3作 y 轴的垂线交 l2于点 A4，… 依次进行下去，则点 A2021的坐标为（ ）21教育网
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A．（1012，1016） B．（-1012，1014） C．（，） D．（，）
9．对于坐标平面内的点，先将该点向右平 ( http: / / www.21cnjy.com )移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）21教育名师原创作品
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A．12 B．14 C．16 D．18
10．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（ ）
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A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
二、填空题
11．甲、乙两人分别加工100 ( http: / / www.21cnjy.com )个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间为______________
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．如图，在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，A（0，6），B（﹣4，0），C（2，0），点D，E分别在射线CA上，并且DE＝AC，P为线段AB上一点，当△DPE为以ED为斜边的等腰直角三角形时，Р点坐标为____．
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13．在平面直角坐标系xOy中，直线y ( http: / / www.21cnjy.com )＝﹣x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝_______．
14．函数（b，c为常数）的图像关于直线对称，当时，函数最大值为________．
15．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2） ( http: / / www.21cnjy.com )（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O、A1；将C1绕A1能转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3.此进行下去，直至得到C2021，若顶点P（m，n）在第2021段抛物线C2021上，则m＝___．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．如图，“心”形是由抛物线和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则_______________．
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17．已知函数y＝﹣x2+2x+5，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是5≤y≤6，则实数m的取值范围是 _____．
18．在平面直角坐标系中，函数和的函数图象相交于点P，Q．若P，Q两点都在x轴的上方，则实数a的取值范围是__________．www-2-1-cnjy-com
19．如图，在等腰直角中，，点E是边上一点，点D是边上的中点，连接，过点E作，满足，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点P，若，则的长度是________．
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20．某自动贩卖机售卖A、B两 ( http: / / www.21cnjy.com )种盲盒，B种盲盒的价格比A种盲盒价格的6倍少60元，该贩卖机存储的A种盲盒不低于22个，B种盲盒的数量不少于A种的2倍，且最多可存储两种盲盒100个，某天上午售卖后，工作人员及时补货，将售卖机装满，该天下午，由于系统bug，B种盲盒的价格变为原来A种的价格，而A种的价格变为原来价格的5倍少50元后再打了个六折，下午A种盲盒的销量变为上午的2倍，而B种盲盒的销量不变，结果上午的销售额比下午多390元，其中两种盲盒的价格均为整数，则下午贩卖的盲盒的销售额最多可为____________元．
三、解答题
21．如图，过点F（0，2）的直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（M在N的左侧），分别过M、N作直线l：y＝﹣2的垂线，垂足分别是M1、N1，点L是线段M1N1的中点．
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（1）如图1，证明LF⊥MN；
（2）如图2，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论；
（3）如图3，证明：无论k取何实数，为定值，并求出该值．
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，，对称轴为，点为此抛物线的顶点．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上，两点之间的距离是________；
（3）点是第一象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值；
（4）点在抛物线对称轴上，平面内存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标．21世纪教育网版权所有
23．如图，在中，，，．点P从点出发，沿折线向终点C运动，点P在边、边上的运动速度分别为、．在点P的运动过程中，过点P作所在直线的垂线，交边或边于点Q，以为一边作矩形，且，与在的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形与重叠部分的面积为．
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（1）求边的长．
（2）当时， ，当时， ．（用含t的代数式表示）
（3）当点M落在上时，求的值．
（4）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与的函数关系式．
24．如图，抛物线的图像与x轴的交分别为点A、点B，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线解析式
（2）点D是对称轴左侧抛物线上一点，过点D作于点E，交AC于点P，，求点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接AD并延长交y轴于点F，点G在AC的延长线上，点C关于x轴的对称点为点H，连接AH，GF、GH，点K在AH上，，，，过点C作，垂足为点R，延长RC交抛物线于点Q，求点Q坐标．21·世纪*教育网
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25．如图①，二次函数（a≠0）的图象经过点A（，），并且与直线相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，过点A，C作直线，求证AC⊥BC；
（4）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式；若不存在，请说明理由．
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26．抛物线经过A、B(1，0)、C(0，-3)三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PB+PC最小，求出P点坐标；
（3）在线段AC上找一点M，使AOM∽ABC，请你直接写出点M的坐标；
（4）在y轴上是否存在一点E，使ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
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27．己知：如图点A（8，6）在正比例 ( http: / / www.21cnjy.com )函数图象上，点B坐标为（16，0），连接AB，点C是线段AB的中点，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由点O向点B运动，点Q在射线OA上由点O向点A运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒．www.21-cn-jy.com
（1）求该正比例函数的解析式：
（2）当秒，且时，求点Q的坐标：
（3）连接CP，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由
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28．已知抛物线过定点A．
（1）求定点A的坐标；
（2）若抛物线过点，已知点，，在抛物线对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，请问抛物线上是否存在一点，使的值最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图1所示，直线l：y＝mx＋5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图2 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，设Q线段AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于点M，BN⊥OQ于点N，若AM＝4，求MN的长；
（3）如图3，当m取不同的值时，点B在y ( http: / / www.21cnjy.com )轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想△ABP的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由；
（4）如图3，当m取不同的值时，点B ( http: / / www.21cnjy.com )在y轴正半轴上运动，以B为边在第二象限作等直角△ABE，则动点E在直线 上运动（直接写出直线的解析式）．
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30．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
（1）求m和b的值；
（2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．21*cnjy*com
①当的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
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