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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识 ( http: / / www.21cnjy.com )结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21世纪教育网版权所有
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进阶练2：方程与不等式（组）综合（教师版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先根据不等式组有解求出k的取值范围，再解分式方程，根据方程有非负整数解，确定出k值，再由求得的k的范围内确定出k的值，再求这些值的和即可．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：，
由得：，
由得：，
不等式有解，
，
解得：，
又，
解得：，
方程有非负整数解，
当时，，最简公分母为0，不符合题意，舍，
当时，，
时，，
．
故选A．
【名师指路】
本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法的有关知识．注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．【来源：21cnj*y.co*m】
2．二元二次方程组的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：或，然后用代入消元法求解即可．
【详解详析】
，
由①得
(x-y)(x+2y)=0，
∴x-y=0或x+2y=0，
∴原方程组可变为：
或，
由③得
x=y，
把x=y代入④得
y2+4y=-2，
解得
y=-2±，
∴，；
由⑤得
x=-2y，
把x=-2y代入⑥得
4y2+4y+2=0，即2y2+2y+1=0，
=4-8=-4＜0，
∴此时方程无实数根，
综上可知，方程组有两组解：，．
故选B．
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．
3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x+1＝0 B．x2﹣1＝0 C．+1＝0 D．＝0
【标准答案】C
【思路指引】
逐个求解方程，得结论
【详解详析】
解：方程x+1＝0的解是x＝﹣1，故选项A有实数根；
方程x2﹣1＝0的解是x＝±1，故选项B有实数根；
方程+1＝0移项后得＝﹣1，因为算术平方根不能为负，故选项C没有实数根；
方程＝0的解为x＝﹣1，故选项D有实数根．
故选：C．
【名师指路】
本题考查一元一次方程的解、一元二次方程的解、无理方程的解．根据方程的步骤求解是关键．理解二次根式的双重非负性是重点．【出处：21教育名师】
4．已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，则底边y关于腰长x之间的函数关系式及定义域为（ ）【版权所有：21教育】
A．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）
C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10）
【标准答案】B
【思路指引】
根据等腰三角形的定义即三角形的周长公式 ( http: / / www.21cnjy.com )列出底边y关于腰长x之间的函数关系式，根据三角形的三边关系以及底边大于0，列出不等式组，进而求得定义域．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，
即
即
解得
即
解得
底边y关于腰长x之间的函数关系式为
故选B
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，函数解析式，掌握以上知识是解题的关键．
5．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
等式两边同时乘以去分母，再进行求解得到，再检验即可．
【详解详析】
解：去分母，可得：，
去括号，可得：，
解得，
经检验得是分式方程的解，
故选：A．
【名师指路】
本题考查解分式方程，掌握分式方程的求解步骤是解题的关键，最后记得要验根．
6．用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（ ）
A．＝11 B．＝11 C．＝8 D．＝8
【标准答案】C
【思路指引】
根据配方的基本要求规范落实即可．
【详解详析】
∵方程﹣2x﹣7＝0，
移项得：
﹣2x＝7，
配方得：
﹣2x+1＝8，
即＝8．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键．
7．如果关于x的一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（ ）
A．若方程（x﹣2）（mx＋n）＝0是半根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0
B．方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程
C．方程x2﹣4＝0是半根方程
D．若点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，则关于x的方程mx2﹣n＝0是半根方程
【标准答案】A
【思路指引】
得方程的解后即可利用半根方程的定义进行逐项判断，即可求解．
【详解详析】
解：A．∵方程（x﹣2）（mx＋n）＝0是半根方程，且x1＝2，x2＝，
∴＝1或＝4，
∴m＋n＝0，4m＋n＝0，
∵4m2＋5mn＋n2＝（4m＋n）（m＋n）＝0，此结论正确．
B．方程x2﹣x﹣2＝0的解为x1＝﹣1、x2＝2，此方程不是半根方程，此结论错误；
C．方程x2﹣4＝0的解为x1＝2、x2＝﹣2，此方程不是半根方程，此结论错误；
D．∵点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，
∴n＝2m，
解方程mx2﹣2m＝0得：x1＝，x2＝﹣，
∴此方程不是半根方程，此结论错误．
故选：A
【名师指路】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握半根方程的定义是解题的关键．
8．我国古代数学家张丘建 ( http: / / www.21cnjy.com )在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）21教育网
A．87 B．84 C．81 D．78
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意列出三元一次方程组,根据题意一一验证即可．
【详解详析】
设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解．
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令=t, (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3t
A.当z=87时,t=4,则x=16,y=﹣3,不符合实际;
B.当z=84时,t=3,则x=12,y=4,符合实际;
C.当z=81时,t=2,则x=8,y=11,符合实际;
D.当z=78时,t=1,则x=4,y=18,符合实际;
故选A．
【名师指路】
本题考查三元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
9．课本上有一例题：求方程组的自然数解，是这样解的：因为x，y为自然数，列表尝试如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可见只有，符合这个方程组，所以方程组的解为
从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是（ ）
A．先消元，然后转化为一元一次方程，解这个一元一次方程，即可得方程组的解
B．先列出第一个方程的解，再列出第二个方程的解，然后找出两个方程的公共解，即为所求的解
C．先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解
D．先任意给出的一对自然数，假定是解，然后代入两个方程分别检验，两个都成立，则可得方程组的解
【标准答案】C
【思路指引】
利用二元一次方程组的解的定义判断即可．
【详解详析】
解：从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是，先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解．21教育名师原创作品
故选：C．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．服装超市某种服装的标价为120元，五一期间以九折降价出售，仍获利20%，该服装的进货价为（ ）
A．80元 B．85元 C．90元 D．95元
【标准答案】C
【思路指引】
服装的实际售价是标价×90%=进货价+所得利 ( http: / / www.21cnjy.com )润（20% x）．设该服装的进货价为x元，根据题意列方程得x+20% x=120×90%，解这个方程即可求出进货价．
【详解详析】
解：设该服装的进货价为x元，
根据题意列方程得x+20% x=120×90%，
解得x=90．
故选：C．
【名师指路】
考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．亦可根据利润=售价-进价列方程求解．
二、填空题
11．已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】．
【思路指引】
先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可．
【详解详析】
如图所示，
∵，
∴BC==8，
∵CD是上的中线，
∴CD=BD=AD=5，
设DE=x，BE=y，
根据题意，得
，
，
解得x=，y=,
∴,
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键．
12．已知m，n都是质数，若关于的方程的解是3，则__________．．
【标准答案】13
【思路指引】
根据题意得，，所以3m和5n必有一个是奇数，一个是偶数，m，n其中有一个值是2，分情况讨论求解即可．
【详解详析】
关于的方程的解是3，
，
3m和5n必有一个是奇数，一个是偶数，
又 m，n都是质数，
m，n其中有一个值是2，
当m=2时，，这种情况不成立，
当n=2时，，，成立，
，
故答案为：13．
【名师指路】
本题主要考查一元一次方程的应用，有一定灵活性，根据题意得到3m和5n必有一个是奇数，一个是偶数，再分类讨论是解题的关键．
13．若关于x，y方程组无解，则m＝__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据第二个方程得到，代入中，得到，当时即可得解；
【详解详析】
由得，
代入得，
整理得：，
当时，即时，无解，
∴当时，原方程组无解．
故答案是．
【名师指路】
本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键．
14．已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为________．
【标准答案】或
【思路指引】
观察给出的两个方程可知：2和3也是关于的方程的两根，由此即可求得答案．
【详解详析】
解：根据题意可得：题目所给的两个方程的系数、结构都相同，
∴2和3也是关于的方程的两根，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题的关键是根据给出的方程特点，得到两个方程的解的关系．
15．已知x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，则﹣＝___．
【标准答案】
【思路指引】
把代入已知方程，得到，整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解详析】
解：∵x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，
∴把代入已知方程，则
，
∴．
故答案为：．
【名师指路】
考查了一元二次方程的解，能使一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
16．在方程中，如果设y=x2﹣4x，那么原方程可化为关于y的整式方程是__．
【标准答案】
【思路指引】
先把方程整理出含有x2-4x的形式，然后换成y再去分母即可得解．
【详解详析】
方程可变形为x2-4x++4=0,
因为，所以，
整理得，
17．方程的解是___________．
【标准答案】
【思路指引】
根据分式方程的性质求解，即可得到答案．
【详解详析】
∵
∴
∴
∵时，，即分母为0，故舍去
∴
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了分式方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解．
18．不等式组的解集是________．
【标准答案】
【思路指引】
本题是一次不等式组的计算题，按照不等式性质解题即可．
【详解详析】
解：；
解不等式①得x；
解不等式②得x；
综上此方程组的解集为：．
故答案为：．
【名师指路】
此题考查不等式组的解法，主要是运算法则的运用，难度一般．
19．方程的解是____.
【标准答案】
【思路指引】
根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．
【详解详析】
∵，
∴，
∴3-2x=x2，
∴x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
解得，x1=-3，x2=1，
经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=3时，原方程有意义，
故原方程的根是x=-3，
故答案为x=-3．
【名师指路】
本题考查无理方程，解答本题的关键是明确解无理方程的方法．
20．如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
如图，过作交于，设 由三角形的周长关系可得：再证明：利用相似三角形的性质求解再证明：可得：再解方程组可得答案．
【详解详析】
解：如图，过作交于，
设
( http: / / www.21cnjy.com / )
为的中点，
即：
解得：或，
经检验：不合题意，舍去，
故答案为：
【名师指路】
本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．21cnjy.com
三、解答题
21．已知关于的方程无解，求的值．
【标准答案】或或
【思路指引】
直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案．
【详解详析】
解：方程两边同乘以，得：
，
化简得：，
当时，原方程无解，
可能的增根是或，
当时，，当时，，
当或时，原方程唯一的实根是增根，原方程无解，
或或时原方程无解．
【名师指路】
本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键．
22．（1）解方程组：
（2）解方程组：
【标准答案】（1）或；（2）或或或
【思路指引】
（1）由①得：，将代入②中即可得到关于一元二次方程，求解代回原式分别求出的值即可；
（2）由①得：，分当或两种情况分别讨论求值即可．
【详解详析】
解：（1），
由①得：，
将代入②中得：，
整理得：
解得：或，
当时，，
当时，，
∴方程组得解为：或；
（2），
由①得：，
由②得：，
当，，
将代入中，
得：，，
∴或；
当，，
将代入，
得：，，
∴或；
综上，方程组的解为：或或或．
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组的求解，涉及到代入消元法，解一元二次方程的知识点，熟练掌握消元的方法以及解一元二次方程的解法是本题的关键．21*cnjy*com
23．解关于的一元二次方程，其中是满足不等式组的整数．
【标准答案】，方程的解为，
【思路指引】
通过解关于的不等式组以及一元二次方程的定义求得的值；然后利用因式分解法解关于的一元二次方程即可．
【详解详析】
解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组解集是：，
整数的值为0或1；
将整理得：，
又∵是关于的一元二次方程，
，
即，
，
关于的一元二次方程是，
即，
或，
∴，．
【名师指路】
本题考查了解一元二次方程因式分解法、一元二次方程的定义以及一元一次不等式组的整数解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．【来源：21·世纪·教育·网】
24．解方程：．
【标准答案】，
【思路指引】
首先设，然后将方程转化为y的一元二次方程，从而求出y的值，然后根据y的值求出x的值．
【详解详析】
解：设，则原方程化为，
解得，
当时，得 ， 当时，得 ，
经检验，，是原方程的解．
所以，原方程的解为：，
【名师指路】
本题主要考查的是分式方程的解法以及换元思想的应用，属于中等难度的题型．学会换元思想是解题的关键．
25．列分式方程解应用题．
某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提 ( http: / / www.21cnjy.com )高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？
【标准答案】50元，100件
【思路指引】
设此商品进价是x元，然后根据等量关系为：第二个月的销售量-第一个月的销售量=40，算出后可得到此商品的进价，列出方程求解即可．21*cnjy*com
【详解详析】
解：设此商品进价是x元，
则：，
解得：
经检验：x=50是方程的根．
则(件)，
答：商品进价为50元，商场第二个月共销售100件．
【名师指路】
本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
26．经预算，某工厂从202 ( http: / / www.21cnjy.com )2年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元．3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平．
（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污 ( http: / / www.21cnjy.com )染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润）
【标准答案】（1）投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为20%；（2）治理污染7个月后，所投资金开始见成效
【思路指引】
（1）设投资治污后，2月和3月每月生产 ( http: / / www.21cnjy.com )收入增长的百分率为x，再根据1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元列出方程求解即可得到答案；
（2）设治理污染y个月后，所投资金开始见成效 ( http: / / www.21cnjy.com )，先分别求出治理污染后2月份和3月份的收入，即可得到1-3月的总收入，然后判断前三个月的收入不能见效，最后根据题意列出不等式求解即可．
【详解详析】
解：（1）设投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为x，
由题意得：，
解得，
∴投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率为20%；
（2）设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，
根据（1）所求可得治理污染后2月份的生产收入是 万元，
∴治理污染后3月份的生产收入是万元，
∴治理污染后，前三个月的总收入为万元，
∵，
∴，
解得，
∵y是整数，
∴治理污染7个月后，所投资金开始见成效，
答：治理污染7个月后，所投资金开始见成效．
【名师指路】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于能够正确理解题意，列出式子求解．
27．平高集团有限公司准备生 ( http: / / www.21cnjy.com )产甲、乙两种开关，共8万件，销往东南亚国家和地区，已知2件甲种开关与3件乙种开关销售额相同；3件甲种开关比2件乙种开关的销售额多1500元．
（1）甲种开关与乙种开关的销售单价各为多少元？
（2）若甲、乙两种开关的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种开关多少万件？
【标准答案】（1）甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件；（2）至少销售甲种商品2万件
【思路指引】
（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙 ( http: / / www.21cnjy.com )种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
【详解详析】
解：（1）设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件．
（2）设销售甲种商品a万件，依题意有
900a+600（8﹣a）≥5400，
解得a≥2．
答：至少销售甲种商品2万件．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．www.21-cn-jy.com
28．2019年9月29日 ( http: / / www.21cnjy.com )，中国女排在取得世界杯11连胜成功卫冕后，掀起体育运动热潮．某网店待别推出甲 乙两种排球，已知甲种排球的售价比乙种排球多15元，学校赵老师从该网店购买了2个甲种排球和3个乙种排球，共花费255元．21·世纪*教育网
（1）该网店甲 乙两种排球的售价各是多少元
（2）根据消费者需求，该网店决定购进甲 乙两种排球共200个，且甲种排球的数量不少于乙种排球数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【标准答案】（1）甲种排球的 ( http: / / www.21cnjy.com )售价为60元，乙种排球的售价为45元；（2）购进80个甲种排球 120个乙种排球时，花费的总费用最少，最少费用为10200元，见解析
【思路指引】
（1）设甲种排球的售价为x元，乙种排球的售价为y元，根据“甲种排球的售价比乙种排球多15元，购买2个甲种排球和3个乙种排球共花费255元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种排球m个，则购进乙种排球个，根据甲种排球的数量不少于乙种排球数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该网店购买200个排球共花费w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解详析】
解：（1）设甲种排球的售价为x元，乙种排球的售价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种排球的售价为60元，乙种排球的售价为45元．
（2）设购进甲种排球m个，则购进乙种排球个，
依题意，得：，
解得：．
设该网店购买200个排球共花费w元，则．
，
∴w随m值的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，最小值为10200，
答：购进80个甲种排球 120个乙种排球时，花费的总费用最少，最少费用为10200元．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用 一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
29．要使关于的方程有实数根，整数取得的最大值是多少？
【标准答案】
【思路指引】
分和两种情况讨论，分别求出a的取值，综合分析即可求解．
【详解详析】
解：当时，关于x的方程为一元一次方程，
，
解得，满足条件；
当时，关于x的方程为一元二次方程，
，
解得，
∵是整数且，
∴；
综上所述，．
【名师指路】
本题考查了解一元一次方程和根据一元二次方程根的情况求字母取值，理解题意，分类讨论，熟知一元二次方程的根的判别式相关知识是解题关键．2-1-c-n-j-y
30．如图，在中，,点是边延长线上的一点，，垂足为的延长线交的平行线于点，联结交于点．
（1）当点是中点时，求的值；
（2）设，求关于的函数关系式；
（3）当与相似时，求线段的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）过点E作EH⊥CD于H如图易证EH是△DBC的中位线，及△AHE∽△EHD设AH=x，可得，求出x，由tan∠EAH= tan∠EAH=即可
（2）取AB中点O，连接OC、OE，如图易证点A、C、B、E四点共圆，由圆周角∠BCA=∠BAF，圆内接四边形得∠CBE+∠CAE=180 ，从而∠CBE=∠FAB，得△BCE∽△FAB，CE FA=BC AB，y=，
(3)过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，从而△BCE与△BGE相似，由∠ECG=∠EBG与点A、C、B、E四点共圆，可证∠ECB=∠ECA，EM=EH，四边形EMCH为正方形有CM=CH，再证Rt△BME≌Rt△AHE（HL）得BM=AH，设AH=a，则MB=a，CM=7-a，CH=1+a，7-a=1+a，在Rt△CHE中CE=，结合CE FA=35，求AF即可．
【详解详析】
过点E作EH⊥CD于H如图
( http: / / www.21cnjy.com / )
则有∠EHA=∠EHD=90 ，
∵∠BCD=90 ，BE=DE，
∴CE=DE，CH=DH，
∴EH=BC=，
设AH=x，则DH=CH=x+1,
∵AE ⊥BD ,
∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90 ,
∵∠AEH +∠EAH=90 ,
∴∠EAH=∠DEH ,
∴△AHE∽△EHD，
∴EH2=AH DH，
∴，
，
负根舍
∴tan∠EAH=，
∵BF∥CD，
∴∠AFB=∠EAH，
∴tan∠EAH=，
（2）取AB中点O，连接OC、OE，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BCA=∠BEA=90 ，
∴OC=OA=OB=OE，
∴点A、C、B、E四点共圆，
∴∠BCA=∠BAF，
∴∠CBE+∠CAE=180 ，
∵BF∥CD，
∴∠BFA+∠CAE=180 ，
∴∠CBE=∠FAB，
∴△BCE∽△FAB，
，
∴CE FA=BC AB，
∵∠BCA=90 ，BC=7，AC=1，
∴AB=5，
∴CE AF=7×5=35，
由CE=x，AF=y，xy=35，
∴y=，
(3)过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90 ，
∴四边形EMCH为矩形，
∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，
∴△BCE与△BGE相似，
∴∠ECG=∠EBG，
∵点A、C、B、E四点共圆，
∴∠ECA=∠EBG，
∴∠ECB=∠ECA，
∴EM=EH，
∴四边形EMCH为正方形，
∴CM=CH，
∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45 ，
∴∠EBA=∠EAB=45 ，
∴EB=EA，
∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），
∴BM=AH，
设AH=a，则MB=a，CM=7-a，CH=1+a，
∴7-a=1+a，
∴a=3，
∴CH=4，
在Rt△CHE中，
cos∠ECH=，
∴CE=，
由（2）得CE FA=35，
AF=．
【名师指路】
本题考查求∠AFB正切值，函数关系，△BGE ( http: / / www.21cnjy.com )与△BAF相似时，求线段AF的长问题，难度较大，知识点较多，是综合利用知识的典范，能引辅助线拓展条件，会证中位线，相似三角形，利用相似三角形构造方程，能利用定义求三角函数值，会证点四点共圆，由同弧所对圆周角∠BCA=∠BAF，圆内接四边形对角得∠CBE=∠FAB，利用相似三角形CE FA=BC AB，会证 四边形EMCH为正方形，来增加条件证Rt△BME≌Rt△AHE（HL）得BM=AH，够找等量关系 解直角三角形求CE，求AF是关键．
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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即 ( http: / / www.21cnjy.com )八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21教育网
亲爱的老师，如果您认可我工作室所创作的 ( http: / / www.21cnjy.com )资料，请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
进阶练2：方程与不等式（组）综合（学生版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
2．二元二次方程组的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x+1＝0 B．x2﹣1＝0 C．+1＝0 D．＝0
4．已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，则底边y关于腰长x之间的函数关系式及定义域为（ ）21·cn·jy·com
A．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）
C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10）
5．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（ ）
A．＝11 B．＝11 C．＝8 D．＝8
7．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．若方程（x﹣2）（mx＋n）＝0是半根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0
B．方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程
C．方程x2﹣4＝0是半根方程
D．若点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，则关于x的方程mx2﹣n＝0是半根方程
8．我国古代数学家张丘建 ( http: / / www.21cnjy.com )在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）2·1·c·n·j·y
A．87 B．84 C．81 D．78
9．课本上有一例题：求方程组的自然数解，是这样解的：因为x，y为自然数，列表尝试如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可见只有，符合这个方程组，所以方程组的解为
从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是（ ）
A．先消元，然后转化为一元一次方程，解这个一元一次方程，即可得方程组的解
B．先列出第一个方程的解，再列出第二个方程的解，然后找出两个方程的公共解，即为所求的解
C．先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解
D．先任意给出的一对自然数，假定是解，然后代入两个方程分别检验，两个都成立，则可得方程组的解
10．服装超市某种服装的标价为120元，五一期间以九折降价出售，仍获利20%，该服装的进货价为（ ）
A．80元 B．85元 C．90元 D．95元
二、填空题
11．已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．21cnjy.com
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12．已知m，n都是质数，若关于的方程的解是3，则__________．．
13．若关于x，y方程组无解，则m＝__________．
14．已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为________．
15．已知x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，则﹣＝___．
16．在方程中，如果设y=x2﹣4x，那么原方程可化为关于y的整式方程是__．
17．方程的解是___________．
18．不等式组的解集是________．
19．方程的解是____.
20．如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______．【来源：21·世纪·教育·网】
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三、解答题
21．已知关于的方程无解，求的值．
22．（1）解方程组：
（2）解方程组：
23．解关于的一元二次方程，其中是满足不等式组的整数．
24．解方程：．
25．列分式方程解应用题．
某商场新进一种商品，第一个月将此商品的 ( http: / / www.21cnjy.com )进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月销售多少件？
26．经预算，某工厂从2 ( http: / / www.21cnjy.com )022年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长．经预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元．3月份以后，每月的生产收入稳定在3月份的水平．21·世纪*教育网
（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果利润看作是生产累计收 ( http: / / www.21cnjy.com )入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润）
27．平高集团有限公司准备生产甲、乙两种 ( http: / / www.21cnjy.com )开关，共8万件，销往东南亚国家和地区，已知2件甲种开关与3件乙种开关销售额相同；3件甲种开关比2件乙种开关的销售额多1500元．www-2-1-cnjy-com
（1）甲种开关与乙种开关的销售单价各为多少元？
（2）若甲、乙两种开关的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种开关多少万件？
28．2019年9月29日，中国女排在取得 ( http: / / www.21cnjy.com )世界杯11连胜成功卫冕后，掀起体育运动热潮．某网店待别推出甲 乙两种排球，已知甲种排球的售价比乙种排球多15元，学校赵老师从该网店购买了2个甲种排球和3个乙种排球，共花费255元．2-1-c-n-j-y
（1）该网店甲 乙两种排球的售价各是多少元
（2）根据消费者需求，该网店决定购进甲 乙两种排球共200个，且甲种排球的数量不少于乙种排球数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21*cnjy*com
29．要使关于的方程有实数根，整数取得的最大值是多少？
30．如图，在中，,点是边延长线上的一点，，垂足为的延长线交的平行线于点，联结交于点．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）当点是中点时，求的值；
（2）设，求关于的函数关系式；
（3）当与相似时，求线段的长．
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