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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识结 ( http: / / www.21cnjy.com )构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。
亲爱的老师，如果您认可我工作室所创作的资料， ( http: / / www.21cnjy.com )请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
进阶练6：四边形（教师版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（ ）
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A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④
【标准答案】B
【思路指引】
由平行四边形的性质结合等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质可得∠DFC＝∠BCF，∠DFC＝∠DCF，可证明①；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，再证明 FG⊥CE，可证明②；根据平行线的性质可得∠AEC＝∠DCE＝90°，进而可证明③；而无法证明④．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DFC＝∠BCF，
∵点F是AD的中点，
∴AD＝2DF，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴DF＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；
取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴FG∥AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∴EF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；
∵CE⊥AB，AB∥CD，
∴CE⊥CD，
∴∠AEC＝∠DCE＝90°，
即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCF，
∵∠DCF＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；
∵
而不一定等于
∴不一定等于，故④错误；
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识的综合运用，灵活运用等腰三角形的性质是解题的关键．21教育名师原创作品
2．如图，直角梯形中，，将腰绕点D逆时针方向旋转并缩短，恰好使，连接，则的面积是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
过D作DG⊥BC于点G，过E作EF垂直于A ( http: / / www.21cnjy.com )D交AD的延长线于F，证明△EDF∽△CDG，根据DE和CD的关系得到相似比，再求出CG，得到EF，利用三角形面积公式计算结果．21世纪教育网版权所有
【详解详析】
解：如图，过D作DG⊥BC于点G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，
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则∠FDG=90°，即∠CDG+∠CDF=90°，
由旋转可知：∠CDE=90°，即∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠EDF=∠CDG，
又∠F=∠CGD=90°，
∴△EDF∽△CDG，
又，
∴，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG=3，
∴CG=BC-BG=2，
∴，则EF=，
∴△ADE的面积=，
故选B．
【名师指路】
本题考查了梯形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，利用相似比求出相应线段．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为6 ( http: / / www.21cnjy.com )，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
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A． B． C．4.5 D．4.3
【标准答案】A
【思路指引】
根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH＝DE，利用勾股定理求出DE的长即可得出答案．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，
∴∠CDF+∠DCH＝90°，
∴∠DHC＝∠DHE＝90°，
∵点G为DE的中点，
∴GH＝DE，
∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
∴，
∴GH＝．
故选A．
【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF交于点H．下列结论：①CF＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH PC；④PE：BC＝（2﹣3）：3．正确的有（ ）2·1·c·n·j·y
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】D
【思路指引】
由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解详析】
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE，
∵AD∥BC，
∴∠FEP＝∠PBC，∠EFP＝∠PCB，
∵∠EPF＝∠BPC，
∴∠FEP＝∠EFP＝∠EPF＝60°，
∴△EFP是等边三角形，
∴BE＝CF，
∴CF＝2AE，
故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
故②正确；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH PC，
故③正确；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°，
∴AE＝AB＝BC，
∵∠DCF＝30°，
∴DF＝DC＝BC，
∴EF＝AE+DF﹣BC＝BC﹣BC，
∴FE：BC＝（2﹣3）：3，
∵EF＝PE，
∴PE：BC＝（2﹣3）：3，
故④正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．【来源：21·世纪·教育·网】
5．如图，四边形ABCD中，∠A=60°， ( http: / / www.21cnjy.com )AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值． 连接DB，过点D作DH⊥AB交AB于点H，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
【详解详析】
解：∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=DN，
∴DN最大时，EF最大，
∴N与B重合时DN=DB最大，
在Rt△ADH中， ∵∠A=60°
∴AH=2×=1，DH=，
∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2，
∴DB=，
∴EFmax=DB=，
∴EF的最大值为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选A
【名师指路】
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用中位线求得EF=DN是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．16 B．24 C．32 D．40
【标准答案】C
【思路指引】
由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．
【详解详析】
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
在△MBD和△EDA中，，
∴△MBD≌△EDA，
∴MD=AE，DE=MB，
∵DE//MB，
∴四边形DMBE是平行四边形，
∴MD=BE，
∵AC＝18，BC＝14，
∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．
故选：C．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，，则（ ）
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A．6 B．18 C．4 D．9
【标准答案】B
【思路指引】
先求解，再利用平行四边形的性质证明，得到，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出两个三角形的面积关系可得答案．
【详解详析】
解：∵AE=2ED，AD=AE+DE=3DE，
∴ ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∴∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠CBF，
，
，
∴，
，
．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似两个三角形的面积之间的关系，掌握以上知识是解题的关键．
8．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．110° B．118° C．120° D．130°
【标准答案】C
【思路指引】
先根据四边形的内角和可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得．
【详解详析】
解：在四边形中，，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了四边形的内角和、三角形全等的判定定理与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．
9．如图，AD是△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G，则下列关系正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．且
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
证明△ADE≌△ADF（HL），利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定一一判断即可．
【详解详析】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE= DF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（HL），
∴AE= AF，
∴AD是线段EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF且EG=FG，故选项B正确；
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴∠BAC+∠EDF=360°-∠AED-∠AFD =180°，
∵∠BAC不一定等于90°，
∴∠EDF也不一定等于90°，故选项C错误；
∵∠EDF90°，而∠AFD=90°，
∴∠EDF+∠AFD180°，
∴DE与AC不一定平行，故选项D错误；
∵∠AED=90°，DE与AE不一定相等，
∴AG与DG也不一定相等，故选项A错误；
故选：B．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，四边形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．www.21-cn-jy.com
10．垦区小城镇建设如火如荼， ( http: / / www.21cnjy.com )小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【标准答案】C
【思路指引】
从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【详解详析】
解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；
正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面．
故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了平面镶嵌．解这类题，根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．
二、填空题
11．平面直角坐标系中，四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是__________．
【标准答案】菱形
【思路指引】
先在坐标系中画出四边形ABCD，由A、B、C、D的坐标即可得到OA=OC=3，OB=OD=2，再由AC⊥BD，即可得到答案．
【详解详析】
解：图象如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A（-3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，-2），
∴OA=OC=3，OB=OD=2，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
故答案为：菱形．
【名师指路】
本题主要考查了菱形的判定，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的判定条件．
12．如图，正方形ABCD的面积为18，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 _____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
由正方形的对称性可知，PB＝PD，当B、P、E共线时PD+PE最小，求出BE即可．
【详解详析】
解：∵正方形中B与D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE，此时PD+PE最小，
∵正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，
∴BE＝3，
∴PD+PE最小值是3，
故答案为：3．
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【名师指路】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
13．如图，在 ABCD，AB＝2cm，BC＝16cm，∠A＝45°、点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时这运动，经过__s时，EF＝AB．
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【标准答案】4或
【思路指引】
分两种情况：①四边形ABFE是平行四边形；②四边形ABFE是等腰梯形；根据长度之间的等量关系列出方程求解即可．
【详解详析】
解：如图，过点B作BG⊥AD于G，
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∵AB＝2cm，∠A＝45°，BG⊥AD，
∴BG＝AG＝2（cm），
设经过ts时，EF＝AB，
当四边形ABFE是平行四边形时，
∴BF＝AE，
∴t＝16﹣2t，
∴t＝，
当四边形ABFE是等腰梯形，
∴t+2×2＝16﹣2t，
∴t＝4，
综上所述：经过4或s时，EF＝AB，
故答案为4或．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰梯形两腰相等的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质.www-2-1-cnjy-com
14．将直角梯形平移得梯形，若，则图中阴影部分的面积为_________平方单位．
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【标准答案】36
【思路指引】
根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积．21*cnjy*com
【详解详析】
根据平移的性质得S梯形ABCD =S梯形EFGH，
DC = HG = 10，MC= 2，MG = 4，
DM = DC - MC = 10 - 2 = 8，
S阴影= S梯形ABCD-S梯形EFMD
=S梯形EFGH-S梯形EFMD
=S梯形HGMD
=
=×(8+10)×4
= 36．
故答案为：36．
【名师指路】
主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意 ( http: / / www.21cnjy.com )平移前后图形的形状和大小不变，本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积．
15．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是_____．
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【标准答案】
【思路指引】
通过“”得到、，求得四个直角三角形的面积，围成的图形面积，就是梯形减去四个直角三角形的面积，即可求解．
【详解详析】
解：由题意可得：、、
∴
∵AE⊥AB
∴，即
∴、
又∵
∴
∴，
同理可得：
∴，
∴
，
所围成的图形的面积
故答案为
【名师指路】
本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
16．如图，在ABC中，∠BAC＝120°，点E、F分别是ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H、G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠GAH＝60°，④GD＝GH．则其中正确的结论有__．
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【标准答案】①②③
【思路指引】
①根据四边形AEDF的内角和为360° ( http: / / www.21cnjy.com )，计算∠EDF便可判断①的结论的正确与否；
②连接BD、CD，根据垂直平分线的性质得HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，进而由等腰三角形的性质得结论∠DAH＝∠DAG，从而得出②的结论正确与否；
③证明∠BAH＋∠DAF＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∠BAH＝∠ADF，即可判断③的结论是否正确；
④由∠DHG＝∠BHE＝90° ∠B，∠DGH＝∠CGF＝90° ∠C，当AB≠AC时，∠B≠∠C，∠DHG≠∠DGH≠60°，此时GD≠GH，由此判断④的结论正确与否．
【详解详析】
解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠A ( http: / / www.21cnjy.com )ED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EDF＝360° ∠AED ∠AFD ∠BAC＝60°，
∴①的结论正确；
②连接BD、CD，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，
∴∠ABH＝∠BAH，∠ACG＝∠CAG，∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠DBC，
∴∠DAH＝∠DBH＝∠DCG＝∠DAG
∴AD平分∠HAG，
∴②的结论正确；
③∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴HB＝HA，GA＝GC，
∴∠HBA＝∠HAB，∠GAC＝∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＋∠C＝∠HAB＋∠GAC＝60°，
∴∠HAG＝60°，
∴③的结论正确；
④∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DHG＝∠BHE＝90° ∠B，
∠DGH＝∠CGF＝90° ∠C，
当AB≠AC时，用∠B≠∠C，
∴∠DHG≠∠DGH，
∴DH≠DG，
∵∠HDG＝60°，
∴△DHG不是等边三角形，
∴GD≠GH，
∴④的结论不正确．
故答案为：①②③．
【名师指路】
本题是三角形的一个综合题，主要考查了三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，正确地作辅助线是解决本题的关键．
17．如图，在 ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝4，AD＝2，∠ABC＝120°．E，F分别是边CD和AB上的点，将 ABCD沿EF对折．若点B和点D重合，则折痕EF＝___；若点A和点C重合，则折痕EF＝___
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【标准答案】2
【思路指引】
取AB的中点G，连接BD，首先证明△ADG是等边三角形，继而证明∠ADB=90°，若点B和点D重合，再证明四边形AFED是平行四边形，即可求得EF=AD=2；作出如图的辅助线，利用30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得AO、 BH、CH的长，再证明△AFO△ACH，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解详析】
解：取AB的中点G，连接BD，如图：
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∵AB=4，AD=2，∠ABC=120°，
∴∠A=60°，AD=AG=BG=2，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠AGD=60°，
∴∠ABD=∠GDB=∠AGD=30°，
∴∠ADB=∠ADG+∠GDB=90°，
将 ABCD沿EF对折，且点B和点D重合，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴EF垂直平分BD，
∴EF∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥AF，
∴四边形AFED是平行四边形，
∴EF=AD=2；
点A和点C重合，连接BD、AC相交于O，过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴EF垂直平分AC，且EF经过点O，
∵∠ADB=90°，AB=4，AD=2，
DB=，
在Rt△ODA中，OD=DB，AD=2，
∴AO=，
在Rt△CBH中，∠CBH=180°-120°=60°，∠BCH=30°，BC=AD=2，
∴BH=BC=1，CH=，
∴AH=5，
∵∠AOF=∠AHC=90°，∠FAO=∠CAH，
∴△AFO△ACH，
∴，即，
∴OF=，
由平行四边形的对称性，知EF=2OF=；
故答案为：2；；
【名师指路】
本题考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
18．在平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，若EC平分∠BED，∠BED＝2∠D，则cos∠ABE＝________．
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【标准答案】
【思路指引】
在BF上取一点G，连接AG，使，作AF⊥BE于点F，设，，，根据相似三角形的判定及性质可得：，，依据平行四边形的性质、各角之间的关系及等角对等边可得：，将线段长代入，可得一元二次方程，求出该方程的一个正根就是BA的长，即可求出的值．21cnjy.com
【详解详析】
解：如图，在BE上取一点G，连接AG，使，作AF⊥BE于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【名师指路】
题目主要考查相似三角形的判定和性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质、一元二次方程的求解、余弦函数的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识是解题关键．
19．如图，在 ABCD中，BC ( http: / / www.21cnjy.com )＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG＝______，点G到AB的距离为______．【出处：21教育名师】
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【标准答案】2
【思路指引】
根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．
【详解详析】
解：如图，GF⊥AB于点F，
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∵点E是CD边上的中点，
∴CE=DE=2，
由折叠可知：∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
在 ABCD中，BC=AD=3，BC∥AD，
∴∠D+∠C=180°，BG=AD，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AED，
在△ABG和△EAD中，，
∴△ABG≌△EAD（AAS），
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于点F，
∴∠AFG=∠BFG=90°，
在Rt△AFG和△BFG中，
根据勾股定理，得AG2-AF2=BG2-BF2，即22-AF2=32-（4-AF）2，
解得AF=，
∴GF2=AG2-AF2=4-=，
∴GF=，
故答案为2，．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明△ABG≌△EAD是解题的关键．
20．在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF＝DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是______．①tan∠GFB＝．②MN＝NC；③．④S四边形GBEM＝．
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【标准答案】①②④
【思路指引】
①证明，由可得；
②结合①，证明；
③证明，得；
④求出和的面积，进而由它们的差可得．
【详解详析】
解：，，，
，
，
，
故①正确，
由①可得：，
，，
，
，
故②正确，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故③不正确，
，，
，
，，
，
，
，
，
故④正确，
故答案是：①②④．
【名师指路】
本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析．21教育网
三、解答题
21．问题提出：
（1）如图①，是等边三角形，，若点O是的外心，则的长为_____．
问题探究：
（2）如图②，在四边形中，，若，对角线，求四边形的最大面积；
问题解决：
（3）第十四届全国运动会将在陕西西安举行，乘承“智慧全运迎面来，高科技扮舰十四运”的理念，西安高新一中初中校区steam社团为西安奥体中心设计了一款智能光伏发电零件，可以有效降低能耗，节约能源．如图③，五边形为一个新材料结构的光伏发电零件，根据设计要求：，，，，且，．请你根据以上信息，帮助steam社团的同学们计算这个新材料结构的光伏发电零件的最大面积．21*cnjy*com
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【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）利用等边三角形的性质结合锐角三角函数即可解题；
（2）先得到和是等腰直角三角形，找出四边形面积与三角形面积的关系即可解题；
（3）先找出是等腰直角三角形，要使五边形面积最大，即要使面积最大，利用锐角三角函数求出的长度，即可求出，再求出，相加即可．
【详解详析】
解：（1）∵是等边三角形，
∴的外心在它的高上，
如图，分别作与的角平分线，、交于点、，
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∵，
∴，，
，
，
∴；
（2）要使四边形的面积最大，则需高最大，即和的高最大，
∵
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴使四边形是梯形，
∴梯；
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（3）连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
综合第（2）问，要使五边形面积最大，即要使面积最大，
∴四边形要为一个梯形面积最大，
∵,
∴，
∴为直角梯形，
过点作于点，
∴，
∴，，，
∴，
∴梯，
，
∴，
∴最大梯
．
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【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质，锐角三角函数，三角形面积和四边形面积等知识点，添加恰当的辅助线是解题的关键．
22．如图，在梯形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t等于多少时，四边形ABPQ的面积为18cm2；
（2）若以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）2；（3）或．
【思路指引】
（1）根据梯形的面积公式即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况①利用等腰三角形的三线合一的性质得出，再用矩形的对边相等建立方程求解即可；
②利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）由题意得， ，
当四边形的面积为时
，
解得；
所以，时，四边形的面积为；
（2）由题意得， ，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
解得；
综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，的值是2；
（3）①如图①，若，过作于，
则，
，
，
易证四边形是矩形，
，
，
解得
②如图②，若，过作于，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得
综上所述，当或．
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【名师指路】
此题是四边形综合题，主要考查了梯形的面积公式，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是用方程的思想解决问题．
23．如图1，四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD和四边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．
（1）求证：△ABH≌△HEF；
（2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长；
（3）如图3，将菱形CEFG绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长．
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【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）根据两个菱形中，点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上这一特殊的位置关系和CE＝BH可证明相应的边和角分别相等，从而证明结论；
（2）由AB＝BC，∠ABC＝，可证明△ABC是等边三角形，从而证明∠AHB＝90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE＝∠AHB＝90°，再得∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，在Rt△DPF中用勾股定理求出DF的长；
（3）作FM⊥BG于点M，当EH⊥BC时，可证明CH＝CM＝CG＝BH，从而求出BM、FM的长，再由勾股定理求出BF的长．
【详解详析】
解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，
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∴AB＝BC，CE＝EF，
∵CE＝BH，
∴BH＝EF，
∵BH+CH＝CE+CH，
∴BC＝HE，
∴AB＝HE；
∵点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，
∴AB∥DG∥EF，
∴∠B＝∠E，
在△ABH和△HEF中，
，
∴△ABH≌△HEF（SAS）．
（2）如图2，设FH交CG于点P，连结CF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BH＝CH，
∴AH⊥BC，
∴∠AHB＝90°，
由（1）得，△ABH≌△HEF，
∴∠HFE＝∠AHB＝90°，
∵DG∥EF，
∴∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，
∴PF⊥CG，
∵CG＝FG，∠G＝∠E＝∠B＝60°，
∴△GFC是等边三角形，
∴PC＝PG＝CG；
∵BC＝AB＝2，
∴CG＝EF＝BH＝BC＝1，
∴PC＝；
∵CD＝AB＝2，
∴PD＝+2＝，
∵CF＝CG＝1，
∴PF2＝CF2﹣PC2＝12﹣（）2＝，
∴．
（3）如图3，作FM⊥BG于点M，则∠BMF＝90°，
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∵EH⊥BC，即EH⊥BG，
∴EH∥FM，
∵∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴EF∥MH，
∴四边形EHMF是平行四边形，
∵∠EHM＝90°，
∴四边形EHMF是矩形，
∴EH＝FM；
∵EF＝EC，∠CEF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴CE＝CF，
∵∠EHC＝∠FMC＝90°，
∴Rt△EHC≌Rt△FMC（HL），
∴CH＝CM＝CG；
∵CG＝CE＝BH，
∴CH＝BH，
∴CM＝CH＝BC＝×2＝，
∴CF＝CG＝2CM＝2×＝，
∴＝（）2﹣（）2＝，
∵BM＝2+＝，
∴．
【名师指路】
本题主要考查了几何综合，其中涉及到了菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质等，熟悉掌握几何图形的性质和合理做出辅助线是解题的关键．
24．如图1，在正方形ABCD和正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )AEFG中，边AE在边AB上，AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）如图2，当α＞0°时，求证：△DAG≌△BAE；
（2）在旋转的过程中，设BE的延长线交直线DG于点P．
①如果存在某时刻使得BF＝BC，请求出此时DP的长；
②若正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°，求旋转过程中点P运动的路线长．
【标准答案】（1）见解析；（2）①；②．
【思路指引】
（1）由正方形的性质得出AD=AB，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，由∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠DAG+∠EAD=∠EAG，推出∠BAE=∠DAG，由SAS即可证得△DAG≌△BAE；
（2）①由AB=2AE=4，得出AE=2，由勾股定理得AF=AE=2，易证△ABF是等腰三角形，由AE=EF，则直线BE是AF的垂直平分线，设BE的延长线交AF于点O，交AD于点H，则OE=OA=，由勾股定理得OB=，由cos∠ABO=，cos∠ABH=，求得BH=，由勾股定理得AH==，则DH=AD-AH=4-，由∠DHP=∠BHA，∠BAH=∠DPH=90°，证得△BAH∽△DPH，得出，即可求得DP；
②由△DAG≌△BAE，得出∠ABE=∠ADG，由∠BPD=∠BAD=90°，则点P的运动轨迹为以BD为直径的，由正方形的性质得出BD=AB=4，由正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°，得出∠BAE=60°，由AB=2AE，得出∠BEA=90°，∠ABE=30°，B、E、F三点共线，同理D、F、G三点共线，则P与F重合，得出∠ABP=30°，则所对的圆心角为60°，由弧长公式即可得出结果．
【详解详析】
（1）证明：连接DG，如图2，
在正方形ABCD和正方形AEFG中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD=AB，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠DAG+∠EAD=∠EAG，
∴∠BAE=∠DAG，
在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS）；
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（2）解：①∵AB=2AE=4，
∴AE=2，
由勾股定理得，AF=AE=2，
∵BF=BC=4，
∴AB=BF=4，
∴△ABF是等腰三角形，
∵AE=EF，
∴直线BE是AF的垂直平分线，
设BE的延长线交AF于点O，交AD于点H，
如图3所示：
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则OE=OA=，
∴OB=，
∵cos∠ABO=，cos∠ABH=，
∴，
∴BH=，
AH==，
∴DH=AD-AH=4-，
∵∠DHP=∠BHA，∠BAH=∠DPH=90°，
∴△BAH∽△DPH，
∴，即：，
∴DP=；
②∵△DAG≌△BAE，
∴∠ABE=∠ADG，
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴点P的运动轨迹为以BD为直径的，
BD=AB=4，
∵正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°，
∴∠BAE=60°，
∵AB=2AE，
∴∠BEA=90°，∠ABE=30°，
∴B、E、F三点共线，
同理D、F、G三点共线，
∴P与F重合，
∴∠ABP=30°，
∴所对的圆心角为60°，
∴旋转过程中点P运动的路线长为：．
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【名师指路】
本题考查了正方形的性质、旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识，综合性强，难度大，知识面广．
25．在菱形中，，．点E为平面内一动点，．
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（1）当点E在菱形内部时，如图1，连接，，将线段绕点D逆时针转得线段，连接．
①求证：；
②如图2，连接，若，求四边形的面积；
（2）如图3，若，，当点E在平面内运动时，连接，取的中点F，连接，则的最大值为 ．（直接写出结果）
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【标准答案】（1）①见解析；②；（2）7
【思路指引】
（1）①连接BD，先根据菱形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )证明△BCD是等边三角形，得到BD=CD，再由旋转的性质得到DE=DF，∠EDF=60°，从而推出EDB=∠FDC，证明△EDB≌△FDC即可得到BE=CF；
②先证明△ADE≌△BDF得到∠AED=∠BFD，从而求出∠AEB=150°，过点B作BH⊥AE，交AE的延长线于点H，则∠BEH=30°，设，，则，在直角三角形AHB中，由AH2+BH2=AB2，即，，过点A作AG⊥BD于G，求出再由S四边形DEBF=S△DEB+S△DFB=S△DEB+S△AED=S△DAB-S△AEB进行求解即可；
（2）连AC，取AC的中点O，连OF，则OF=2，点F在以O为圆心，2为半径的圆上运动，OB=5，BF的最大值为5+2=7，
【详解详析】
解：（1）①连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠DAB=180°-60°=120°，
∴∠BDC=，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=CD，
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又∵线段DE绕点D逆时针旋转60°得线段DF
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠BDC=∠EDF，
∴∠EDB+∠BDF=∠FDC+∠BDF，即∠EDB=∠FDC，
∴△EDB≌△FDC（SAS），
∴BE=CF；
②∵∠EDF=60°，∠EBF=90°，
∴∠DEB+∠DFB=360°-(∠EDF+∠EBF) =210°，
由①得BD=CD，
∴BD=AD，
∵∠ADB=，∠DEF=60°，
∴∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB，即∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴∠AED=∠BFD，
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∴∠AED+∠DEB=∠DEB+∠DFB=210°，
∴∠AEB=360°-(∠AED+∠DEB)=150°，
过点B作BH⊥AE，交AE的延长线于点H，
∴∠BEH=180°-∠AEB=30°，
设，
∴，
∴，
∴在直角三角形AHB中，由AH2+BH2=AB2，即，
解得，（舍去），
∴BH=，
过点A作AG⊥BD于G，
∴∠DAG=30°，
∴，
∴，
∴
∴S四边形DEBF=S△DEB+S△DFB=S△DEB+S△AED=S△DAB-S△AEB=AB2-AE BH=；
（2）如图所示，连AC，取AC的中点O，连OF，
∵O为AC的中点，F为CE的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴，
∴F在以O为圆心，半径为2的圆上，
∴当O、B、F共线，且F在O点上方时，BF有最大值，
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD与AC的交点即为O点，
∴，
∴，
∴BF的最大值为7，
故答案为：7．
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【名师指路】
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )与判定，旋转的性质，圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
26．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点．
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（1）求点E的坐标及折痕DB的长；
（2）如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设，四边形OHGC面积为y，写出y关于x的关系式以及x的取值范围；
（3）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且，取线段BA段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形BMNF的周长最小？请画出示意图并求出周长最小值．
【标准答案】（1）点坐标为，；（2）；（3）当M运动到时，四边形BMNF的周长最小，最小值为22
【思路指引】
（1）根据矩形的性质得到，，再根据折叠的性质得到，，易得，则，即可得到点坐标；在中，设，则，利用勾股定理可计算出，再在中，利用勾股定理计算出；
（2）过点作于，则，从而在中可用表示出的长，利用梯形的面积公式可用表示出，点与点重合时是取得最大值的点；
（3）如图所示，过点B作，且，作F关于x轴的对称点，从而推出四边形BMNF的周长，则要使四边形BMNF的周长最小，即最小，即最小，故当，N，三点共线时，有最小值，即，根据两点距离公式即可求出，然后求出直线的解析式，即可求出N点坐标，从而得到M点坐标．
【详解详析】
解：（1）∵四边形为矩形，
∴，，
∵沿折叠，使点恰好落在边点上，
∴，，
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在中，，，
∴，
∴，
∴点坐标为；
在中，设，则，
∵
∴，
解得，
∴
在中，；
（2）过点作于，
∵BC∥OA，MH⊥BC，
∴∠CMH=∠HMG=∠MHO=∠MHA=90°，
又∵∠OCH=90°，
∴四边形OCMH是矩形
∴，，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴，即，
当点与点重合点与点重合、点与点重合分别是点的两个极限，
当点与点重合时，由①的结论可得，此时，
当点与点重合时，，
综上可得：；
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（3）如图所示，过点B作，且，作F关于x轴的对称点，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵OA=10，AB=8，F为AB中点，
∴B点坐标为（10，8），F坐标为（10，4），
∴的坐标为（10，-4），的坐标为（15，8），
∴四边形BMNF的周长，
∴要使四边形BMNF的周长最小，即最小，即最小，
∴当，N，三点共线时，有最小值，即，
∵的坐标为（15，8），的坐标为（10，-4），
∴，
∴四边形BMNF的周长的最小值=13+9=22，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
令，，
∴N点坐标为，
∴M点坐标为，
∴当M运动到时，四边形BMNF的周长最小，最小值为22．
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【名师指路】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径 ( http: / / www.21cnjy.com )的知识，综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，在求自变量范围的时候，要注意寻找极限点，不要想当然的判断．2-1-c-n-j-y
27．如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果APC是等腰三角形，且ABC与APD相似，则我们称APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ；
（2）如图3，在四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；
（3）已知RtAPC，若RtAPC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，ABC与APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．
【标准答案】（1）45°；（2）图见解析，证明见解析；（3）或
【思路指引】
（1）根据平行四边形的性质、“等腰邻相似三角形”的定义构建方程即可解决问题；
（2）在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC即为所求；
（3）分四种情形分别求解即可解决问题；
【详解详析】
解：（1）如图2中，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠D＝∠B＝45°
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AP＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，∵∠BAC＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠CAP＝∠PCA，
在△ADC中，∠D+∠DCA+∠DAC＝180°，
∴3∠PCA＝135°
∴∠PCA＝45°．
故答案为45°．
（2）如图3中，
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在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC是等腰三角形，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠DPC＝∠PAC+∠PPCA＝2∠PAC，
∵∠BAC＝2∠CAD，
∴∠BAC＝∠DPC，
∵∠BCA＝∠D，
∴△CBA∽△DCP，
∴△PAC是一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，
（3）由题意△APC是等腰直角三角形，
∵△APC与△ABC，△ABC与△PCD相似，
∴△PDC，△ABC都是等腰直角三角形；
如图4中，当点P在线段AD上，∠ABC＝90°时，易证∠DAB＝90°，AB＝AP＝PD＝1，BD＝＝．21·世纪*教育网
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如图5中，当点P在线段AD上，∠BAC＝90°时，作BE⊥DA交DA的延长线于E．易知DE＝3，EB＝1，BD＝＝．
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当∠ACB＝90°时，四边形ABCD不存在，不符合题意；
如图6中，如图7中，BD的长度与图4，图5类似．
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综上所述，满足条件的BD的长度为或．
【名师指路】
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
28．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
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（1）图1中，观察猜想线段M、NP的数量关系是 ，∠MNP的大小为 ；
（2）把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MMP的形状，并说明理由；
（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．
【标准答案】（1）相等，；（2）等边三角形，理由见解析；（3）
【思路指引】
（1）先证明由，，得，再由三角形的中位线定理得与的数量关系，由平行线性质得的大小；
（2）先证明得，再由三角形的中位线定理得，由平行线性质得，再根据等边三角形的判定定理得结论；
（3）由，得，再由等边三角形的面积公式得的面积关于的函数关系式，再由函数性质求得最大值便可．
【详解详析】
解：（1），，
，
点、、分别为、、的中点，
，，，，
，，，
，
，
，
故答案为：；；
（2）是等边三角形．
理由如下：由旋转可得，，
又，，
，
，，
点、、分别为、、的中点．
，，，，
，，，
，
，
，
是等边三角形；
（3）根据题意得，，即，
，
的面积，
的面积的最大值为．
【名师指路】
本题是三角形的一个综合题，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了等边三角形的判定，三角形的中位线定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，解题的关键是证明三角形全等和运用三角形中位线定理使已知与未知联系起来．
29．如图1，若是的中位线，则，解答下列问题：
（1）如图2，点是边上一点，连接、
①若，则 ；
②若，，连接，则 ， ， ．
（2）如图3，点是外一点，连接、，已知：，，，求的值；
（3）如图4，点是正六边形内一点，连接、、，已知：，，，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）①4；②2，3，10；（2）；（3）36
【思路指引】
（1）①由三角形的中位线定理可得 ( http: / / www.21cnjy.com )DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，可求S△PDE＝S△BDE＝1，即可求解；②由三角形的中位线定理可得DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，可得S△PBD＝S△APD＝2，S△APE＝S△PEC＝3，即可求解；21·cn·jy·com
（2）连接AP，由三角形的中位线定理可得DE ( http: / / www.21cnjy.com )∥BC，AE＝EC，AD＝BD，可得S△PBD＝S△APD＝4，S△APE＝S△PEC＝5，可求S△ADE，即可求解；
（3）先证△NFK是等边三角形，可得NF＝NK＝NK＝FG＝KJ，可得S△PGF＝S△PFN＝7，S△PKJ＝S△PKN＝8，即可求解．
【详解详析】
解：（1）如图2，连接BE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，
∴S△PDE＝S△BDE＝1，
∴S△ABE＝2，
∴S△ABC＝4，
故答案为：4；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，
∴S△PBD＝S△APD＝2，S△APE＝S△PEC＝3，
∴S△ABC＝10；
故答案为：2，3，10；
（2）如图3，连接AP，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，S△ABC＝4S△ADE，
∴S△PBD＝S△APD＝5，S△APE＝S△PEC＝5，
∴S△ADE＝S△APD+S△APE﹣S△PDE＝4，
∴S△ABC＝4S△ADE＝16；
（3）如图4，延长GF，JK交于点N，连接GJ，连接PN，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵六边形FGHIJK是正六边形，
∴FG＝FK＝KJ，∠GFK＝∠JKF＝120°，S六边形FGHIJK＝2S四边形FGJK，
∴∠NFK＝∠NKF＝60°，
∴△NFK是等边三角形，
∴NF＝NK＝FK＝FG＝KJ，
∴S△PGF＝S△PFN＝7，S△PKJ＝S△PKN＝8，FK是△NGJ的中位线，
∴S△NFK＝S△PFN+S△PKN﹣S△PFK＝6，
∵FK是△NGJ的中位线，
∴S△NGJ＝4S△NFK＝24；
∴S四边形FGJK＝24﹣6＝18，
∴S六边形FGHIJK＝36．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正六边形的性质等知识，熟练运用三角形中位线定理是解题的关键．
30．在中，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图①，、的平分线相交于点，则________；
（2）如图②，的外角、的平分线相交于点，则_________；
（3）探究
探究一：如图③，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，求的度数．（用的代数式表示）
探究二：已知，四边形的内角的平分线所在直线与其外角的平分线所在直线相交于点，，
①如图④，若，则__________（用、的代数式表示）
②如图⑤，若，则___________（用、的代数式表示）
【标准答案】（1）125；（2）55；（3）探究一：；探究二：①；②
【思路指引】
（1）求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）探究一：根据提供的信息，根据三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠OBC表示出∠OCE，再利用外角性质得到∠BOC=∠OCE-∠OBC，然后整理即可得到∠BOC的度数．
探究二：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOC+∠OBC=∠OCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=×110°=55°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；
（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∵、分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠=∠DBC，∠=∠ECB，
∴∠+∠=（180°+∠A），
∴∠=180°-（∠+∠）=180°-（180°+∠A）=90°-∠A=55°；
（3）探究一：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCE=（∠A+∠ABC）=∠A+∠OBC，
∵∠OCE是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠A+∠OBC-∠OBC=∠A=n°；
探究二：①由四边形内角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性质得，∠OCE=∠O+∠OBC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BO、CO分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE，
∴∠BOC+∠OBC=（∠A+∠D+∠ABC-180°）=（∠A+∠D）+∠ABC90°，
∴∠BOC=（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=n°，∠D=m°，
∴∠BOC=（n°+m°）-90°；
②如图：同①可求，∠FBC=∠ABC，∠GCE=∠DCE，
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∴∠BCO=∠GCE=∠DCE，
∴∠BOC+∠BCO=，
∴∠BOC+∠GCE=，
∴，
∴
∴
∴∠BOC=90°（n°+m°）．
故答案为：125；55；（n°+m°）-90°；90°-（n°+m°）．
【名师指路】
本题考查了多边形的内角和公式，三角形的外角 ( http: / / www.21cnjy.com )性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识 ( http: / / www.21cnjy.com )结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。2·1·c·n·j·y
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进阶练6：四边形（学生版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④
2．如图，直角梯形中，，将腰绕点D逆时针方向旋转并缩短，恰好使，连接，则的面积是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．4.5 D．4.3
4．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF交于点H．下列结论：①CF＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH PC；④PE：BC＝（2﹣3）：3．正确的有（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，四边形ABCD中，∠A=60°， ( http: / / www.21cnjy.com )AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
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A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．16 B．24 C．32 D．40
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，，则（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．18 C．4 D．9
8．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．110° B．118° C．120° D．130°
9．如图，AD是△ABC的角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G，则下列关系正确的是（ ）【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．且
C． D．
10．垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼 ( http: / / www.21cnjy.com )．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）21教育名师原创作品
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、填空题
11．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是__________．21教育网
12．如图，正方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 _____．21*cnjy*com
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13．如图，在 ABCD，AB＝2cm，BC＝16cm，∠A＝45°、点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时这运动，经过__s时，EF＝AB．www.21-cn-jy.com
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14．将直角梯形平移得梯形，若，则图中阴影部分的面积为_________平方单位．
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15．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是_____．
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16．如图，在ABC中，∠BAC＝120°，点E、F分别是ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H、G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠GAH＝60°，④GD＝GH．则其中正确的结论有__．
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17．如图，在 ABCD中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4，AD＝2，∠ABC＝120°．E，F分别是边CD和AB上的点，将 ABCD沿EF对折．若点B和点D重合，则折痕EF＝___；若点A和点C重合，则折痕EF＝___
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18．在平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，若EC平分∠BED，∠BED＝2∠D，则cos∠ABE＝________．
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19．如图，在 ABCD中，BC＝3 ( http: / / www.21cnjy.com )，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG＝______，点G到AB的距离为______．
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20．在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF＝DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是______．①tan∠GFB＝．②MN＝NC；③．④S四边形GBEM＝．
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三、解答题
21．问题提出：
（1）如图①，是等边三角形，，若点O是的外心，则的长为_____．
问题探究：
（2）如图②，在四边形中，，若，对角线，求四边形的最大面积；
问题解决：
（3）第十四届全国运动会将在陕西西安举行，乘承“智慧全运迎面来，高科技扮舰十四运”的理念，西安高新一中初中校区steam社团为西安奥体中心设计了一款智能光伏发电零件，可以有效降低能耗，节约能源．如图③，五边形为一个新材料结构的光伏发电零件，根据设计要求：，，，，且，．请你根据以上信息，帮助steam社团的同学们计算这个新材料结构的光伏发电零件的最大面积．
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22．如图，在梯形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t等于多少时，四边形ABPQ的面积为18cm2；
（2）若以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0( http: / / www.21cnjy.com / )
23．如图1，四边形ABCD和四边形C ( http: / / www.21cnjy.com )EFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．
（1）求证：△ABH≌△HEF；
（2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长；
（3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋 ( http: / / www.21cnjy.com )转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长．
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24．如图1，在正方形ABCD和 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形AEFG中，边AE在边AB上，AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）．
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（1）如图2，当α＞0°时，求证：△DAG≌△BAE；
（2）在旋转的过程中，设BE的延长线交直线DG于点P．
①如果存在某时刻使得BF＝BC，请求出此时DP的长；
②若正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°，求旋转过程中点P运动的路线长．
25．在菱形中，，．点E为平面内一动点，．
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（1）当点E在菱形内部时，如图1，连接，，将线段绕点D逆时针转得线段，连接．
①求证：；
②如图2，连接，若，求四边形的面积；
（2）如图3，若，，当点E在平面内运动时，连接，取的中点F，连接，则的最大值为 ．（直接写出结果）21·世纪*教育网
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26．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点．
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（1）求点E的坐标及折痕DB的长；
（2）如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设，四边形OHGC面积为y，写出y关于x的关系式以及x的取值范围；
（3）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且，取线段BA段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形BMNF的周长最小？请画出示意图并求出周长最小值．
27．如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果APC是等腰三角形，且ABC与APD相似，则我们称APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．
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（1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ；
（2）如图3，在四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；
（3）已知RtAPC，若RtAPC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，ABC与APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．21·cn·jy·com
28．如图1，在等腰三角形ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
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（1）图1中，观察猜想线段M、NP的数量关系是 ，∠MNP的大小为 ；
（2）把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MMP的形状，并说明理由；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．
29．如图1，若是的中位线，则，解答下列问题：
（1）如图2，点是边上一点，连接、
①若，则 ；
②若，，连接，则 ， ， ．
（2）如图3，点是外一点，连接、，已知：，，，求的值；
（3）如图4，点是正六边形内一点，连接、、，已知：，，，求的值．
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30．在中，．
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（1）如图①，、的平分线相交于点，则________；
（2）如图②，的外角、的平分线相交于点，则_________；
（3）探究
探究一：如图③，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，求的度数．（用的代数式表示）21cnjy.com
探究二：已知，四边形的内角的平分线所在直线与其外角的平分线所在直线相交于点，，
①如图④，若，则__________（用、的代数式表示）
②如图⑤，若，则___________（用、的代数式表示）
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