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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知 ( http: / / www.21cnjy.com )识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21教育网
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进阶练5：长方体与三角形（学生版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（ ）
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A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
2．如图，在矩形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（ ）
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A．30° B．36° C．37.5° D．45°
3．如图，在Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（ ）21cnjy.com
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A．50 B．50 C．100 D．100
4．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
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A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
5．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PGAD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③CH=HE；④∠PCF＝∠CPF；⑤∠CPA＝∠CEA．其中，正确的有（ ）21·cn·jy·com
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A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；www.21-cn-jy.com
⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（ ）
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A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．点 B．点 C．点 D．点
8．如图，E在线段BA的延长线上 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E＋∠EAG＋∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）2·1·c·n·j·y
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤．其中正确的结论有（ ）个．21·世纪*教育网
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A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则PQE的周长的最小值是_______．www-2-1-cnjy-com
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12．如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是______．2-1-c-n-j-y
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13．如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将△ECD沿直线ED翻折至矩形ABCD所在平面内，得到△EC′D，连结BC′，并延长BC′交AD于点F，则△C′DF的面积为__________．
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14．如图，在△ABC中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4，AC＝6，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME∥AD交AC于F，交BA的延长线于E．则BE＝___．21*cnjy*com
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15．如图所示，△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．【出处：21教育名师】
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16．如图，在矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB＝30，BC＝40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将△OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F．若△PDF为直角三角形，则PD的长为______．21教育名师原创作品
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17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC，点N在边AD上，ND＝2，点M在边BC上，BM＝1，点E在DC的延长线上，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线MN于点F，当AE＝EF时，DE的长为 _____．
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18．如图，已知Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．21*cnjy*com
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19．如图，在四边形中，，分别是的中点，分别以为直径作半圆，这两个半圆面积的和为，则的长为_______．
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20．如图，四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO＝4OD，则的值为_____
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三、解答题
21．如图1所示，MN//PQ，∠ABC与MN，PQ分别交于A、C两点
（1）若∠MAB＝∠QCB＝20°，则B的度数为 度．
（2）在图1分别作∠NAB与∠PCB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②若∠ABC＝n°，求∠AFC的度数（用含有n的代数式表示）；
（3）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝m∠MAE， ∠BCP＝m∠DCP，试探究∠CDA与∠ABC的数量关系
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22．如图，点O为上一点，过点O作射线，使，将一个含的直角三角板的一个顶点放在O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方
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（1）将图1中的三角板绕着O逆时针旋转，如图2所示，此时 ．
（2）接着将图2中的三角形绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使在的内部，请探究：与的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，旋转到多少秒时，．
23．在三角形ABC中，AC＝AB，∠CAB＝α，点D是平面内不与B，C重合的任意一点，连接CD，将线段绕点逆时针旋转α得到线段CE，连接AD，BE，DE．
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（1）如图1，当α＝60°时，＝ ，并求出直线BE与直线AD所夹的劣角是多少度？
（2）如图2，当α＝90°时，若点P，Q分别是AC，AB的中点，点D在直线PQ上，求点A，D，E在同一直线上时的值．【版权所有：21教育】
24．在《几何原本》著作中，命题47： ( http: / / www.21cnjy.com )在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上的正方形的和．古代人还没有发明勾股定理，他们如何证明这个命题是真命题．已知△ABC，∠BAC＝90°；求证：以BC为边正方形的面积＝以BA为边正方形的面积+以AC为边正方形的面积．
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25．已知，等边，D在下方，，连接．
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（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，点E为上一点，连接并延长，交于点F，若，求证：．
（3）如图3，在（2）问的条件下，过点C作CGBD点G，点H在上，，，，求线段的长．
26．四边形ABCD中，的平分线与边BC交于点E；的平分线交直线AE于点O．
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（1）若点O在四边形ABCD的内部．
①如图1，若，，，则______．
②如图2，试探索、、之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请探究、、之间的数量关系，并说明理由．
27．如图，点P是正方形边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求．
28．如图，Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，以AC为边向右作正方形ACDE，点P从点C出发，沿射线CD以1cm/s的速度向右运动，过点P作直线l与射线BA交于点Q，使得∠BPQ＝∠B，设运动时间为t（s），△BPQ与正方形ACDE重合部分的面积为S（cm2）．
（1）当直线l经过点E时，t的值为 ．
（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
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29．如图，△ABC为等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，点D是射线AC上一点（点D与点A不重合），连接BD，以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE交BC于点F．
（1）如图1，点D在线段AC上．
①求证：AF＝EF；
②已知AD＝，BF＝，m，n都是整数，求m，n的值；
（2）如图2，如果点D在AC延长线上（其它条件不变），AD＝3BF，求AD的长．
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30．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．
（2）如图②，△ABC和△A ( http: / / www.21cnjy.com )DE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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进阶练5：长方体与三角形（教师版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（ ）
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A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【标准答案】D
【思路指引】
①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△ ( http: / / www.21cnjy.com )OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；
②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD ( http: / / www.21cnjy.com )，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；
【详解详析】
解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，
∵△DFE为等边三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，
∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，
∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，
∴∠ADF＝∠EFC，
∴∠BDE＝∠EFC，
故结论①正确；
②如图，连接OE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由①得AD＝OD，DF＝DE，∠ODA＝60°，∠EDF60°，
∴∠ADF＝∠ODE，
在△DAF和△DOE中，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE和△OCE中，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，
故结论②正确；
③ 由②得∠ODE＝∠ADF，∠OCE＝∠ODE，
∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，
故结论③正确；
④如图，
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延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，
∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，
∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，
∵OE′＝OD＝AD＝AB tan∠ABD＝6 tan30°＝2，
∴点E运动的路程是2，
故结论④正确；
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了矩形性质， ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识．
2．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（ ）
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A．30° B．36° C．37.5° D．45°
【标准答案】C
【思路指引】
根据矩形和平行线的性质，得；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得；根据全等三角形性质，通过证明，得；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得，再根据余角的性质计算，即可得到答案．21·cn·jy·com
【详解详析】
∵矩形ABCD
∴
∴
∵OB＝EB，
∴
∴
∵点O为对角线BD的中点，
∴
和中
∴
∴
∵EG⊥FG，即
∴
∴
∴
故选：C．
【名师指路】
本题考查了矩形、平行线、全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
3．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝ ( http: / / www.21cnjy.com )60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（ ）21教育名师原创作品
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A．50 B．50 C．100 D．100
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意过D作DN⊥BF于N，连接D ( http: / / www.21cnjy.com )I，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可.21世纪教育网版权所有
【详解详析】
解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，
∴BC＝AB＝5，AC＝＝5，
过D作DN⊥BF于N，连接DI，
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在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
同理，Rt△MND≌Rt△OCB，
∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC，
∴EM＝DO，
∴DN＝BC＝CI，
∵DN∥CI，
∴四边形DNCI是平行四边形，
∵∠NCI＝90°，
∴四边形DNCI是矩形，
∴∠DIC＝90°，
∴D、I、H三点共线， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI，
∴△FME≌△DOI（AAS），
∵图中S2＝SRt△DOI，S△BOC＝S△MND，
∴S2+S4＝SRt△ABC．S3＝S△ABC，
在Rt△AGE和Rt△ABC中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL），
同理，Rt△DNB≌Rt△BHD，
∴S1+S2+S3+S4+S5
＝S1+S3+（S2+S4）+S5
＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
＝Rt△ABC的面积×4
＝5×5÷2×4
＝50．
故选：B．
【名师指路】
本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．www-2-1-cnjy-com
4．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
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A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
【标准答案】B
【思路指引】
分析题意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可．
【详解详析】
解：连接AD，
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在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，将图形中角的关系利用三角形的内角和等于180°进行转化，再运用等量代换是解题的关键．
5．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PGAD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③CH=HE；④∠PCF＝∠CPF；⑤∠CPA＝∠CEA．其中，正确的有（ ）
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A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【标准答案】A
【思路指引】
①根据角平分线的性质和外角的性质即可得到结 ( http: / / www.21cnjy.com )论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；
⑤先求出∠DCB=2∠CAP+2∠CPA，再求出∠DCB=2∠CAP+2∠CEA，即可得出结果．
【详解详析】
解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM=PN=PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB=（AC PN）：（AB PM）=AC：AB；故②正确；
∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
∴CH=HE，故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF，
∴∠PCF=∠CPF，故④正确．
∵CP是∠DCB的角平分线，
∴∠DCP=∠DCB=∠CAP+∠CPA，
∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA，
∵BE＝BC，
∴∠CEA=∠BCE，
∴∠CBA=2∠CEA，
∵∠DCB=2∠CAP+∠CBA=2∠CAP+2∠CEA，
∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA=2∠CAP+2∠CEA，
∴∠CPA＝∠CEA，故⑤正确．
故选A．
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【名师指路】
本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，根据角平分线的性质和平行线的性质解答是解题的关键．
6．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；
⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（ ）
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A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【标准答案】D
【思路指引】
由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得∠ACD=∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；由△ACD≌△BCE， 可得∠CAP=∠CBQ，可得 故⑤正确，角边角证明△ACP≌△BCQ得AP=BQ，其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ是等边三角形，结论⑥正确；∠CPQ=∠ACB=60°判定两线，结论②正确；反证法证明命题DE≠DP，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在∠AOE的平分线上，结论⑦正确；即正确结论共6个．
【详解详析】
解：如图1所示：
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∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD， ∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE， ∴结论①正确；
∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAP=∠CBQ，
故⑤正确，
又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠BCD=60°，
在△ACP和△BCQ中，，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，PC=QC， 故③正确，
∴△PCQ是等边三角形，故⑥正确
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∴， 故②正确，
若DE=DP，
∵DC=DE， ∴DP=DC， ∴∠PCD=∠DPC，
又∵∠PCD=60°，
∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立， ∴结论④错误；
过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点， 如图2所示：
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∵CM⊥AD，CN⊥BE，
∴CM=CN，
又∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，
∴结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
故选：D．
【名师指路】
本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．
7．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
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A．点 B．点 C．点 D．点
【标准答案】A
【思路指引】
先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．
【详解详析】
解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ，
即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知：
分针转动： ，
由每一大格对应30°知： ，
即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：
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由此确定此时是10点48分；
故答案为：A．
【名师指路】
此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．
8．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E＋∠EAG＋∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【标准答案】B
【思路指引】
根据平行线的判定定理得到AD∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质得到∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解详析】
解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，
∵EF∥CH，
∴∠EPQ=∠CQP，
∵∠EPQ=∠E+∠EAG，
∴∠CQG=∠E+∠EAG，
∵AD∥BC，
∴∠HCK+∠CQG=180°，
∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9．如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤．其中正确的结论有（ ）个．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】D
【思路指引】
根据∠ACB=90°，BF⊥AE，得 ( http: / / www.21cnjy.com )出∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，推出∠F=∠ADC，证△BCF≌△ACD，根据全等三角形的性质即可判断①②；用AAS证明△BCF≌△ACD，求出CD=CF，再根据ASA证明，得出AB=AF，即可判断③；根据△BCF≌△ACD，得到CF=CD，可得∠FDC，即可判断④；根据全等三角形的判定ASA得出△BEA≌△FEA，推出BE=EF，即可判断⑤．
【详解详析】
解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE，
∴∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，
∴∠F+∠FBC=90°，∠BDE+∠FBC=90°，
∴∠F=∠BDE，
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠F=∠ADC，
∵AC=BC，
∴△BCF≌△ACD，
∴AD=BF，故①正确；
∵AF＞AD，
∴BF≠AF，故②错误；
在和中，
∴△BCF≌△ACD（AAS），
∴CF=CD，
∴，
∵AE平分，
∴，，
在和中，
∴（ASA），
∴AB=AF，
∴，故③正确；
连接DF，∵△BCF≌△ACD，
∴CF=CF，
∴∠FDC=45°，故④正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
由△BCF≌△ACD，
∴AD=BF，
∵AE平分∠BAF，AE⊥BF，
∴∠BEA=∠FEA=90°，∠BAE=∠FAE，
∵AE=AE，
∴△BEA≌△FEA，
∴BE=EF，故⑤正确；
故选D．
【名师指路】
本题主要考查对三角形的内角和定理 ( http: / / www.21cnjy.com )，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，垂线，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是证此题的关键．
10．如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据平行线的性质，以及角平分线的定义，三角形内角和定理，求得,进而发现规律，即可求得的度数．
【详解详析】
，分别平分，；
同理可得
……
发现规律：
故选B
【名师指路】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，发现规律是解题的关键．
二、填空题
11．如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则PQE的周长的最小值是_______．
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【标准答案】
【思路指引】
分别作点E关于直线AB、AD的对称点M、N，连接PM、NQ、MN，根据对称性质得到PM=PE，QN=QE，则PQE的周长=PE+PQ+QE=PM+PQ+QN，根据两点之间线段最短可知，当M、P、Q、N四点共线时PQE的周长最小，最小值为MN的长，连接EM交AB延长线于H，过点N作NG⊥ME交ME延长线于G，根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质等知识分别求解GN、GM，进而利用勾股定理求解即可．
【详解详析】
解：分别作点E关于直线AB、AD的对称点M、N，连接PM、NQ、MN，
由对称性质得：PM=PE，QN=QE，
则PQE的周长=PE+PQ+QE=PM+PQ+QN，
根据两点之间线段最短可知，当M、P、Q、N四点共线时，PQE的周长最小，最小值为MN的长，
连接EM交AB延长线于H，则ME⊥AB于H，
过点N作NG⊥ME交ME延长线于G，连接BD、NE，则NE⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=12，
∴AB=BC=CD=12，AD∥BC，AB∥CD，∠C=∠BAD=60°，
∴△BCD是等边三角形，∠EBH=∠DAB=60°，
∵点E为BC在中点，
∴CE=BE=BC=6，DE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴DE⊥AD，又 NE⊥AD，
∴点D在线段NE上，
在Rt△CDE中，∠C=60°，
∴，∠CDE=90°－∠C=30°，
∴NE=2DE= ，
∵AB∥CD，NG⊥ME，ME⊥AB，
∴NG∥AB∥CD，
∴∠GNE=∠CDE=30°，
∴在Rt△NGE中，GE=NE=，
∴，
在Rt△BHE中，∠BEH=90°－∠EBH=90°－60°=30°，BE=6，
∴BH=BE=3，
∴，
∴EM=2EH=，
∴GM=GE+EM=，
∴在Rt△MGN中，，
即PQE的周长的最小值是，
故答案为：．
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【名师指路】
本题考查最短路径问题，涉及两点之间 ( http: / / www.21cnjy.com )线段最短、对称性质、菱形的性质、等边三角形的判断与性质、勾股定理、平行线的判断与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，作为一道填空题，难度偏大，解答的关键是认真分析，灵活运用相关知识解决问题．2·1·c·n·j·y
12．如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是______．
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【标准答案】
【思路指引】
作于，作关于和的对称点和，连接交于，交于，则，求得即可；
【详解详析】
解：如图2，作于，作关于和的对称点和，
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连接交于，交于，
由对称性得，
，，
，，，，
，即△DEF周长的最小值是GH的长，
，
，
是正三角形，
，
，
，
，
，
的周长的最小值是；
故答案为：
【名师指路】
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是运用“将军饮马”模型和将问题转化为AD的最值问题．
13．如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将△ECD沿直线ED翻折至矩形ABCD所在平面内，得到△EC′D，连结BC′，并延长BC′交AD于点F，则△C′DF的面积为__________．
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【标准答案】
【思路指引】
根据翻折的性质得出，根据条件得出是等腰三角形，利用外角的性质得出，从而进一步得出，利用等面积法得出：，再根据即可求解．
【详解详析】
解：根据将△ECD沿直线ED翻折至矩形ABCD所在平面内，得到△EC′D，
，
E是BC的中点，
，
，
是等腰三角形，
，
根据外角的性质可得：
，
，
，
分别过点作垂线相交于，
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，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案是：．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质、翻折、等腰三角形的判定及性质、三角形外角、平行线的判定、勾股定理，解题的关键是将求面积转化成几个面积的差．【来源：21·世纪·教育·网】
14．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME∥AD交AC于F，交BA的延长线于E．则BE＝___．
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【标准答案】5
【思路指引】
过点B作BN∥AC交AD延长线于N，先证明△DBN∽△DCA，得到，再由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，则∠BAD=∠N，从而推出BN=AB=4；即可得到，再由M是BC的中点，得到BC=2CM，则，再由ME∥AD，得到∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE，，可以得到，AE=AF，由此求解即可．
【详解详析】
解：如图所示，过点B作BN∥AC交AD延长线于N，
∴∠N=∠CAD，∠NBD=∠C，
∴△DBN∽△DCA，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠N，
∴BN=AB=4，
∵AC=6，
∴，
∴，即
∵M是BC的中点，
∴BC=2CM，
∴，即，
∵ME∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE，，
∴∠E=∠AFE，，
∴AE=AF，
∴AF=AC-CF=1，
∴AE=1，
∴BE=AB+AE=5，
故答案为：5．
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【名师指路】
本题主要考查了平行线的性质，平行线分线 ( http: / / www.21cnjy.com )段成比例，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．
15．如图所示，△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．
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【标准答案】5
【思路指引】
（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC，再运用S△ABC=AB CM=AC BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【详解详析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴；
如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
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∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∵ ,
∴．
故答案为：5；．
【名师指路】
本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P、Q的位置是解题关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝30， ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将△OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F．若△PDF为直角三角形，则PD的长为______．
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【标准答案】5或
【思路指引】
分情况进行讨论，当∠DPF=90°时，过点O作OH⊥AD于H，先证△DHO∽△DAB，得到，求出，，证明∠HOP=∠HPO=45°，得到OH=PH=15，则PD=HD-PH=5；当∠PFD=90°时，先求出，得到，从而得到∠DAO=∠ODA；证明△OFE∽△BAD，推出，则，最后证明△PDF∽△BDA，则．
【详解详析】
解：如图1所示，当∠DPF=90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∴∠HPF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=2OD，∠BAD=∠OHD=90°，AD=BC=40，
∴OH∥AB，
∴△DHO∽△DAB，
∴，
∴，，
由折叠的性质可得：，
∴∠HOP=45°，
∴∠HOP=∠HPO=45°，
∴OH=PH=15，
∴PD=HD-PH=5；
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如图2所示，当∠PFD=90°时，
∴∠OFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=30，
∴，
∴，
∴∠DAO=∠ODA，
由折叠的性质可知：AO=EO=25，∠PEO=∠DAO=∠ODA，
又∵∠OFE=∠BAD=90°，
∴△OFE∽△BAD，
∴，
∴，
∴，
∵∠PFD=∠BAD，∠PDF=∠BDA，
∴△PDF∽△BDA，
∴，
∴，
∴综上所述，当△PDF为直角三角形，则PD的长为5或，
故答案为：5或．
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【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．2-1-c-n-j-y
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC，点N在边AD上，ND＝2，点M在边BC上，BM＝1，点E在DC的延长线上，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线MN于点F，当AE＝EF时，DE的长为 _____．
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【标准答案】
【思路指引】
过点F作FG⊥DG交DC延长线于G，过点N作NL⊥FG交BC于H，交FG于L，先证明四边形NLGD是矩形，得到LG=ND=2，∠DNL=90°，NL=DG，再证明四边形NHCD是矩形，得到HH=CD=6，CH=ND=2，则；然后证明△EFG≌△AEF得到FG=DE，，则，设，则，，证明△NMH∽△NFL，的，即，由此求解即可．21*cnjy*com
【详解详析】
解：如图所示，过点F作FG⊥DG交DC延长线于G，过点N作NL⊥FG交BC于H，交FG于L，
∴∠NLG=∠G=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，∠D=∠BCD=90°，，
∴四边形NLGD是矩形，
∴LG=ND=2，∠DNL=90°，NL=DG，
∴四边形NHCD是矩形，
∴HH=CD=6，CH=ND=2，
∴；
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AED+∠FEG=90°，
又∵∠FEG+∠EFG=90°，
∴∠EFG=∠AED，
又∵AE=EF，∠D=∠G=90°，
∴△EFG≌△AEF（AAS），
∴FG=DE，，
∴，
设，则，，
∵∠NHM=∠NLF=90°，∠MNH=∠FNL，
∴△NMH∽△NFL，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：．
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【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．
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【标准答案】1或
【思路指引】
根据题意分三种情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，进而利用勾股定理构建方程求解即可，③反证法证明的情形不成立．
【详解详析】
解：①如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．
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∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，
在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝，
∴PB＝．
②如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．
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过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），
∴PB＝1，
③若，如图点C与C′是关于直线AP的对称点，连接
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由题意可得
若，
根据对称性可得
,
根据平行线之间的距离相等，
若，则到的距离等于4
而
不平行
假设不成立
综上所述，PB的值为：1或．
【名师指路】
本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
19．如图，在四边形中，，分别是的中点，分别以为直径作半圆，这两个半圆面积的和为，则的长为_______．
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【标准答案】4
【思路指引】
根据题意连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM=AB，FM=CD，EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，求出∠EMF=90°，根据勾股定理求出ME2+FM2=EF2，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．
【详解详析】
解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，
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∵∠ABC+∠DCB=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM=AB，FM=CD，EM∥AB，FM∥CD，
∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，
∴∠NMF=180°-90°=90°，
∴∠EMF=90°，
由勾股定理得：ME2+FM2=EF2，
∴阴影部分的面积是：π（ME2+FM2）=EF2π=8π，
∴EF=4.
故答案为：4．
【名师指路】
本题主要考查对勾股定理，三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解答此题的关键．
20．如图，四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO＝4OD，则的值为_____
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【标准答案】
【思路指引】
在AB上截取AE=AD，BF=BC，连接OE、OF，根据AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，可得△AOD≌△AOE，△BOC≌△BOF，从而得到∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF，进而得到∠AOE =∠BOF=45°，∠AOB=135°，OF平分∠BOE，然后设 的OD边的高为 ，AD边的高为 ，设 的BO边的高为 ，AB边的高为 ，则 ，，根据角平分线的性质，可得 ，从而得到，同理 ，再由OF平分∠BOE，同理 ，即可求解．
【详解详析】
解：如图，在AB上截取AE=AD，BF=BC，连接OE、OF，
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∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，
∴ ，，
∵AE=AD，BF=BC，AO=AO，BO=BO，
∴△AOD≌△AOE，△BOC≌△BOF，
∴∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF，
∵∠DAB＋∠ABC＝90°，
∴∠OAE＋∠OBF＝45°，
∴∠AOD=∠BOC=45°，
∴∠AOE =∠BOF=45°，∠AOB=135°，
∴∠BOE=90°，
∴∠EOF=∠BOF=45°，即OF平分∠BOE，
设 的OD边的高为 ，AD边的高为 ，设 的BO边的高为 ，AB边的高为 ，则， ，，
∵AC平分∠BAD，
∴ ，
∵BO＝4OD，
∴ ，
同理 ，
∴AB=4AD，
∴ ，
∵OF平分∠BOE，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴．
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题
21．如图1所示，MN//PQ，∠ABC与MN，PQ分别交于A、C两点
（1）若∠MAB＝∠QCB＝20°，则B的度数为 度．
（2）在图1分别作∠NAB与∠PCB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②若∠ABC＝n°，求∠AFC的度数（用含有n的代数式表示）；
（3）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝m∠MAE， ∠BCP＝m∠DCP，试探究∠CDA与∠ABC的数量关系
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【标准答案】（1）40；（2）①见解析；②；（3）m∠CDA＋∠ABC＝180°
【思路指引】
（1）作MN、PQ的平行线HG，根据两直线平行，内错角相等即可解答；
（2）①根据题意作图即可，②过F作 ，根据两直线平行，同旁内角互补和内错角相等即可解答；
（3）延长AE交PQ于点G，设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，知∠BAM＝m∠MAE＝mx°，∠BCP＝m∠DCP＝my°，∠BCQ＝180° my°，根据（1）中所得结论知∠ABC＝mx°＋180° my°，即y° x°＝ ，由MNPQ知∠MAE＝∠DGP＝x°，根据∠CDA＝∠DCP ∠DGC可得答案．
【详解详析】
解：（1）作 ，
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∵MN//PQ，
∴，
∴ ，
∴ ；
（2）①如图所示，
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②过点F作 ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）延长AE交PQ于点G，
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设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，则∠BAM＝m∠MAE＝mx°，∠BCP＝m∠DCP＝my°，
∴∠BCQ＝180° my°，
由（1）知，∠ABC＝mx°＋180° my°，
∴y° x°＝，
∵MNPQ，
∴∠MAE＝∠DGP＝x°，
则∠CDA＝∠DCP ∠DGC
＝y° x°
＝，
即m∠CDA＋∠ABC＝180°．
【名师指路】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和判定等知识点．
22．如图，点O为上一点，过点O作射线，使，将一个含的直角三角板的一个顶点放在O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方www.21-cn-jy.com
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（1）将图1中的三角板绕着O逆时针旋转，如图2所示，此时 ．
（2）接着将图2中的三角形绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使在的内部，请探究：与的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，旋转到多少秒时，．
【标准答案】（1）90°；（2）+=135°，理由见解析 （3）15或55秒
【思路指引】
（1）利用旋转的性质可得∠DON的度数，根据平角的性质即可求解；
（2）利用∠NOM＝45°与∠COD=180°即可可判断与的数量关系；
（3）在旋转的过程中，∠COM与∠CON互补，可求出ON旋转67.5°或247.5°，即可得出结果．
【详解详析】
解：（1）∵，∠DOB=45°
∴∠COD=180°
∵旋转90°
∴∠DON=90°
∴180°-∠DON=90°
故答案为：90°；
（2）+=135°，理由如下：
∵∠NOM＝45°，∠COD=180°
∴+=∠COD-∠NOM=135°
即+=135°；
（3）当OM、ON都在OC右侧时，∠COM＋∠CON＝2∠COM＋45°＝180°，
∴∠COM＝67.5°，
故旋转的度数∠BOM=∠BOC-∠COM＝67.5°
时间为：67.5°÷4.5＝15s；
当OM、ON都在OC左侧，∠COM＋∠CON＝2∠CON＋45°＝180°，
∴∠CON＝67.5°，
∴旋转的度数为∠COD+∠CON＝247.5°
时间为：247.5°÷4.5＝55，
故旋转到15或55秒时，．
【名师指路】
本题考查了等腰直角三角形的性质、角度的和差关系、旋转的性质等知识，熟练掌握三角板的特点以及旋转的性质是解题的关键．
23．在三角形ABC中，AC＝AB，∠CAB＝α，点D是平面内不与B，C重合的任意一点，连接CD，将线段绕点逆时针旋转α得到线段CE，连接AD，BE，DE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，当α＝60°时，＝ ，并求出直线BE与直线AD所夹的劣角是多少度？
（2）如图2，当α＝90°时，若点P，Q分别是AC，AB的中点，点D在直线PQ上，求点A，D，E在同一直线上时的值．
【标准答案】（1）（2）或
【思路指引】
（1）证明即可求得，延长交于点，设，根据三角形内角和即可求得即直线BE与直线AD所夹的劣角；
（2）①当点在线段上时，根据分别为的中点，可得是的中位线，进而可得，证明，设，则，设，则，代入比例式求得，进而证明，设，，进而即可求得的值，②当在线段上时，同理可得，，进而即可求得的值
【详解详析】
解：（1）在三角形ABC中，AC＝AB，∠CAB＝60°
是等边三角形
，
将线段绕点逆时针旋转得到线段CE，
是等边三角形
，
，
如图，延长交于点
( http: / / www.21cnjy.com / )
，设
则
在中，
即直线BE与直线AD所夹的劣角是
（2）①当点在线段上时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，是等腰直角三角形，
,
分别为的中点，
设，则，，设，则
即
又
则
设，
解得（舍）
，
②如图，当在线段上时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可得，
综上所述的值为或
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，设参数法求解是解题的关键．
24．在《几何原本》著作中，命题 ( http: / / www.21cnjy.com )47：在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上的正方形的和．古代人还没有发明勾股定理，他们如何证明这个命题是真命题．已知△ABC，∠BAC＝90°；求证：以BC为边正方形的面积＝以BA为边正方形的面积+以AC为边正方形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】见解析
【思路指引】
连接AF,由旋转的性质可得S△ABD=S△FBC，由平行线的性质可得S△FBC=S△ABF=S正方形ABFG，可得S正方形ABFG=S 矩形BDLM，同理可得S 正方形ACKH=S 矩形CELM，即可得结论．【出处：21教育名师】
【详解详析】
证明：如图，△ABC为直角三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )且∠BAC＝90°，分别以AB、AC、BC为边向外做正方形ABFG，正方形ACKH和正方形BCED，连接FC、AD，并作AL⊥ED于L，交BC于M，连接AF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由旋转知识可得：△ABD≌△FBC，
∴S△ABD＝S△FBC，
∵四边形ABFG是正方形，
∴AG∥BF，
∴S△FBC＝S△ABF＝S正方形ABFG，
同理，S△ADB＝S正方形ABFG，
∴S正方形ABFG＝S 矩形BDLM，
同理，S 正方形ACKH＝S 矩形CELM，
∴S正方形ABFG+S 正方形ACKH＝S 矩形BDLM+S 矩形CELM，
可得：S正方形ABFG+S正方形ACKH＝S正方形BCED．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，正方形的性质，平行线的性质，灵活运用这些的性质是本题的关键．21·世纪*教育网
25．已知，等边，D在下方，，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，点E为上一点，连接并延长，交于点F，若，求证：．
（3）如图3，在（2）问的条件下，过点C作CGBD点G，点H在上，，，，求线段的长．
【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7
【思路指引】
（1）延长DC到E使得CE=BD， ( http: / / www.21cnjy.com )先证明△ABD≌△ACE，得到AD=AE，∠ADB=∠AEC，则∠ADE=∠AED，即可推出∠ADB=∠ADC，即可证明AD平分∠BDC；21*cnjy*com
（2）设AD与BC的交点为O，由（1）得BD平分∠BDC，，再由∠AOB=∠COD，即可得到∠BAO=∠DCO，则可以推出∠DCO+∠DAC=60°，再由∠DFC=∠DAF+∠ADF，∠ADF=2∠BAD，得到∠DFC=∠DAF+2∠DCO=60°+∠DCO，根据∠DCF=∠DCO+∠ECF=60°+∠DCO，即可得到∠DCF=∠DFC，则CD=DF；
（3）延长CG交AD于P，由平行线的性质可得 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BDC+∠PCD=180°，则∠PCD=60°，即可得到∠BCD=∠ACP，再由∠PDC=60°，可证△PDC是等边三角形，得到PC=DC，∠DPC=∠DCP=60°；证明△CDG≌△PCH得到HP=CG，设∠BCD=∠BAD=∠ACP=x，则∠DFC=∠DCF=60°+x，则∠GCE=∠GCD-∠BCD=60°-x，∠ADF=2x，从而得到∠EDC=∠ADC-∠ADF=60°-2x，则∠GEC=∠GDC+∠BCD=60°-x，即可得到CG=GE=HP，再由DP=DH+HP，DF=DE+GE+GF，DP=DC=DF，即可推出DH=DP-HP=DF-GE=DE+GF=7．
【详解详析】
解：（1）如图所示，延长DC到E使得CE=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵∠BDC=120°，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACD+∠ACE=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠ADC，
∴AD平分∠BDC；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图所示，设AD与BC的交点为O，
由（1）得BD平分∠BDC，
∴，
又∵∠AOB=∠COD，
∴∠BAO=∠DCO，
∴∠BAC=∠BAO+∠DAC=∠DCO+∠DAC=60°，
∵∠DFC=∠DAF+∠ADF，∠ADF=2∠BAD，
∴∠DFC=∠DAF+2∠DCO=60°+∠DCO，
又∵∠DCF=∠DCO+∠ECF=60°+∠DCO，
∴∠DCF=∠DFC，
∴CD=DF；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图所示，延长CG交AD于P，
∵CG∥BD，
∴∠BDC+∠PCD=180°，
∴∠PCD=60°，
∴∠BCD+∠PCB=∠ACP+∠PCB=60°，
∴∠BCD=∠ACP，
又∵∠PDC=60°，
∴△PDC是等边三角形，
∴PC=DC，∠DPC=∠DCP=60°，
又∵∠CDG=∠PCH，
∴△CDG≌△PCH（ASA），
∴HP=CG，
设∠BCD=∠BAD=∠ACP=x，则∠DFC=∠DCF=60°+x，
∴∠GCE=∠GCD-∠BCD=60°-x，∠ADF=2x，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADF=60°-2x
∴∠GEC=∠GDC+∠BCD=60°-x，
∴∠GEC=∠GCE，
∴CG=GE=HP，
∵DP=DH+HP，DF=DE+GE+GF，DP=DC=DF，
∴DH=DP-HP=DF-GE=DE+GF=7．
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【名师指路】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定， ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件．
26．四边形ABCD中，的平分线与边BC交于点E；的平分线交直线AE于点O．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若点O在四边形ABCD的内部．
①如图1，若，，，则______．
②如图2，试探索、、之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请探究、、之间的数量关系，并说明理由．
【标准答案】（1）120°；（2）；（3）
【思路指引】
（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性质可求∠AEC，再根据四边形内角和等于360°可求∠DOE的度数；
②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系；
（2）根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，于是得到结论．
【详解详析】
解:（1）①∵
∴
又∵∠B=50°，∠C=70°
∴∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAD=130°，∠ADC=110°
∵AE、DO分别平分∠BAD、∠ADC
∴∠BAE=65°，∠ODC=55°
∴∠AEC=115°
∴∠DOE=360°-115°-70°-55°=120°
故答案为：120°
②，理由如下：
平分
平分
即
（2），理由如下：
平分
平分
即：.
【名师指路】
本题考查多边形内角与外角平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于360°，这是解题的重点．21cnjy.com
27．如图，点P是正方形边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求．
【标准答案】（1）32°；（2）；（3）
【思路指引】
（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠A ( http: / / www.21cnjy.com )PD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；
（2）首先证得△PAD≌△EQP，可以证得△BEQ是等腰直角三角形，可以证得∠EBQ=45°，即可证得∠CBE=45°；
（3）先由△PFD∽△BFP，得出PD BF=PB PF，再判断出△DAP∽△PBF，得出PD BF=AP PF，进而得出PA=PB，即可得出AB=2PA，即可得出结论．
【详解详析】
（1）证明：∵四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠FPB=32°；
（2）解：过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP=∠A=90°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△PAD与△EQP中，
，
∴△PAD≌△EQP（AAS），
∴，AD=AB=PQ，
∴AP=EQ=BQ，
∴∠CBE=∠EBQ=45°；
∴
（3）∵△PFD∽△BFP，
∴，
∴PD BF=PB PF，
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A=90°，
∴△DAP∽△PBF
∴，
∴PD BF=AP PF，
∴PB PF=AP PF，
∴PA=PB，
∵AB=PA+PB=2PA，
∴
【名师指路】
此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出PA=PB是解本题的关键．
28．如图，Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，以AC为边向右作正方形ACDE，点P从点C出发，沿射线CD以1cm/s的速度向右运动，过点P作直线l与射线BA交于点Q，使得∠BPQ＝∠B，设运动时间为t（s），△BPQ与正方形ACDE重合部分的面积为S（cm2）．
（1）当直线l经过点E时，t的值为 ．
（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
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【标准答案】（1）7；（2）
【思路指引】
（1）根据正方形的性质可证得△EPD≌△ABC（AAS），即可求得答案；
（2）分三种情况：①当0≤t≤3时，如图2，设PQ与AC交于点F，由△FPC∽△ABC，可求得，再运用三角形面积公式即可；
②当3＜t≤4时，如图3，设PQ与AE交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )G，过点A作AF∥PQ交CD于点F，先证明四边形AFPG是平行四边形，再证明△AFC≌△ABC（AAS），即可求得答案；
③当4＜t≤7时，如图4，PQ交AE于G ( http: / / www.21cnjy.com )，交DE于H，由△PHD∽△GHE，△ABC∽△HPD，S＝S正方形ACDE﹣S△EGH，即可求得答案；
④当t＞7时，S＝16．
【详解详析】
（1）∵四边形ACDE是正方形，CP＝tcm，
∴∠ACD＝∠CDE＝90°，AC＝CD＝DE＝4cm，
∵直线l经过点E，∠BPQ＝∠B，
∴△EPD≌△ABC（AAS），
∴PD＝BC＝3cm，
∴CP＝CD+PD＝4+3＝7（cm），
∴t＝7，
故答案为：7；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）①
( http: / / www.21cnjy.com / )
当0≤t≤3时，如图2，设PQ与AC交于点F，
∵∠FCP＝∠ACB＝90°，∠FPC＝∠ABC，
∴△FPC∽△ABC，
，即，
，
；
②
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当3＜t≤4时，如图3，设PQ与AE交于点G，
过点A作AF∥PQ交CD于点F，
∵四边形ACDE是正方形，
∴AE∥CD，
∴四边形AFPG是平行四边形，
∵AF∥PQ，
∴∠AFC＝∠BPQ，
∵∠BPQ＝∠ABC，∠ACF＝∠ACB＝90°，AC＝AC，
∴△AFC≌△ABC（AAS），
∴CF＝CB＝3cm，
∴FP＝CP﹣CF＝（t﹣3）cm，
；
③
( http: / / www.21cnjy.com / )
当4＜t≤7时，如图4，PQ交AE于G，交DE于H，
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠PDH＝∠E＝90°，∠PHD＝∠GHE，
∴△PHD∽△GHE，
，即，
∵∠ACB＝∠HDP＝90°，∠ABC＝∠HPD，
∴△ABC∽△HPD，
，即，
，
，
，
，
；
④当t＞7时，S＝16；
综上所述，．
【名师指路】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解决问题的关键．
29．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB＝90°，AC＝1，点D是射线AC上一点（点D与点A不重合），连接BD，以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE交BC于点F．
（1）如图1，点D在线段AC上．
①求证：AF＝EF；
②已知AD＝，BF＝，m，n都是整数，求m，n的值；
（2）如图2，如果点D在AC延长线上（其它条件不变），AD＝3BF，求AD的长．
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【标准答案】（1）①见解析；②m＝4，n＝2或m＝6，n＝1；（2）
【思路指引】
（1）①过点E作EG⊥BC于G，证明△ ( http: / / www.21cnjy.com )EGB≌△BCD，根据全等三角形的性质得到EG＝BC＝AC，再证明△EGF≌△ACF，根据全等三角形的性质证明结论；
②根据全等三角形的性质得到BG＝CD，GF＝FC，得到（m﹣3）（2n﹣1）＝3，根据题意列出方程组求解即可；
（2）过点E作EH⊥CB交CB的延长线于 ( http: / / www.21cnjy.com )点H，证明△EHB≌△BCD，根据全等三角形的性质得到CD＝BH，EH＝AC＝BC＝1，证明△EFH≌△AFC，得到HF＝FC，根据题意计算即可．【版权所有：21教育】
【详解详析】
（1）①证明：如图1，过点E作EG⊥BC于G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠BEG＋∠EBG＝90°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DBC＋∠EBG＝90°，
∴∠BEG＝∠DBC，
在△EGB和△BCD中，
，
∴△EGB≌△BCD（AAS），
∴EG＝BC＝AC，
在△EGF和△ACF中，
，
∴△EGF≌△ACF（AAS），
∴AF＝EF；
②解：∵△EGB≌△BCD，
∴BG＝CD，
∴CG＝AD＝，
∵△EGF≌△ACF，
∴GF＝FC＝，
∴1﹣＝，
整理得：2mn﹣m＝6n，
∴2mn﹣6n＝m，
∴2n（m﹣3）﹣（m﹣3）＝3，
∴（m﹣3）（2n﹣1）＝3，
∵m，n都是整数，
∴或，
解得：或，
∴m＝4，n＝2或m＝6，n＝1；
（2）解：如图2，过点E作EH⊥CB交CB的延长线于点H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠BEH＋∠EBH＝90°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DBC＋∠EBH＝90°，
∴∠BEH＝∠DBC，
在△EHB和△BCD中，
，
∴△EHB≌△BCD（AAS），
∴CD＝BH，EH＝AC＝BC＝1，
∴△EFH≌△AFC（AAS），
∴HF＝FC＝CH，
设CD＝BH＝x，
∴CH＝1＋x，
∴BF＝（1＋x）﹣x＝﹣x，
∵AD＝3BF，
∴1＋x＝3（﹣x），
解得：x＝，
∴AD＝1＋＝．
【名师指路】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
30．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．
（2）如图②，△ABC和△ADE互 ( http: / / www.21cnjy.com )为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．
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【标准答案】（1）∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由见解析；（2）见解析；（3）∠B+∠C＝180°，理由见解析
【思路指引】
（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC＝∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，得到答案；（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）延长DC至点P，使DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可．
【详解详析】
（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE，
理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE；
（2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM平分∠BME．
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（3）∠B+∠C＝180°，
理由如下：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD，
∵∠ADP＝60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAP，
在△BAD和△CAP中，
，
∴△BAD≌△CAP（SAS），
∴∠B＝∠ACP，
∵∠ACD+∠ACP＝180°，
∴∠B+∠ACD＝180°．
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【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定，以及等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并证明是本题关键．
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