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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八 ( http: / / www.21cnjy.com )讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21教育名师原创作品
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1、 数的整除
1、 整数的意义和分类：
自然数：零和正整数统称为自然数；
整数：正整数、零、负整数，统称为整数．
2、 整除：
（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．
（2）整除的条件（两个必须同时满足）：
除数、被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数且余数为零．
3、 除尽与整除的异同点：
相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除；
不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；
除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零．
4、 因数和倍数：
整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．
注意：（1）在整除的条件下，才有因数和倍数的概念；
（2）倍数和因数是相互依存的，不能单独存在．
5、 求一个数的因数的方法：
（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数．21·cn·jy·com
（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的因数．
6、 求一个数的倍数的方法：
求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数．
7、 因数和倍数的性质（规律总结）：
1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；
0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；
一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数．
8、 2的倍数的特征：
个位数字是0，2，4，6，8的数．
9、 偶数、奇数的意义以及它们的运算性质：
在自然数中，是2的倍数的数是偶数（即个位是0，2，4，6，8的数）；
在自然数中，不是2的倍数的数是奇数（即个位是1，3，5，7，9的数）
注：最小的偶数是0，没有最大的偶数；最小的奇数是1，没有最大的奇数；
一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数．
10、 5的倍数的特征：
个位数字是0或5的整数，都是5的倍数．
11、 3的倍数的特征：
一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数．
注：（1）既能被2整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0的数（或者说是10的倍数的整数）；
（2） 既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0或5，且各个位上数字相加之和是3的倍数（或者说是15的倍数的整数）；www-2-1-cnjy-com
（3）既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0，2，4，6，8且各个位上数字相加之和是3的倍数（或者说是6的倍数的整数）；
（4）既能被2整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0，且各个位上数字相加之和是3的倍数（或者说是30的倍数的整数）．
12、 素数与合数：
素数：一个正整数，如果只有1个和它本身两个因数，这样的数叫做素数．
合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数．
正整数按照含因数的个数分类，可以分为1、素数与合数．
13、 素因数和分解素因数：
素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．
分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
注：素因数相对于合数而言，不能单独存在；一个数分解素因数的形式是唯一的；书写时，一般写成“合数 = 素因数相乘”的形式．21*cnjy*com
14、 分解素因数的方法：
分解素因数的方法通常有以下两种：
树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式．
短除法：先用一个能整除这个合数 ( http: / / www.21cnjy.com )的素数（通常从最小的开始）去除；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
2、 分数
1、 分数的意义：
把一个总体平均分成若干份之后，其中的1份或若干份可以用分数表示．
2、 分数和除法的关系：
两个正整数相除，他们的商可以用分数表示，具体关系如下：
，即：，其中p为分子，q为分母．
读法：读作q分之p．特别地，当q = 1时，．
3、 用数轴上的点表示分数：
任何一个分数可以用数轴上的点来表示．
4、 分数的基本性质：
分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即：（，，）
5、 最简分数：
分子和分母互素的分数，叫做最简分数．
6、 约分：
把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分．
7、 通分：
将异分母的分数分别化为与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．
（1）两个分数的公分母：两个分数的分母的公倍数叫做这两个分数的公分母，通常取最小公倍数作公分母．
（2）通分的依据：分数的基本性质，所以通分后分数值保持不变．
（3）通分的方法：一般先求出几个分数的分母的最小公倍数，把这个最小公倍数做分母，分子扩大相应的倍数．
8、 分数的大小比较：
（1）同分母的分数，分子大的那个分数较大．
（2）同分子分数，分母大的那个分数反而小．
（3）异分母的分数，先通分，化成同分母后再按照同分母分数的大小比较的方法确定分数的大小关系．
3、 比和比例
1、 比的定义：
a、b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将a与b相除，叫做a与b的比．记做a : b，或写成，其中，读作：a比b，或a与b的比．
“:”叫做比号，读作“比”；比号前的数a叫做比的前项；比号后面的数b叫做比的后项．前项a除以后项b所得的商叫做比值．
2、 比与分数、除法之间的关系：
比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；
比号相当于分数线和除号；比值相当于分数值和除式的商．
求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位．
3、 比的基本性质：
（1）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变．即 （）．运用比的性质可以把比化成最简整数比．2·1·c·n·j·y
（2）三项连比的性质：若，，则，若，则．
4、 比例：
（1）表示两个比相等的式子，叫做比例．式子表示为：；
（2）内项、外项：b、c叫做比例的内项；a、b叫做比例的外项；
（3）比例中项：当b = c时，，b叫做比例中项．
5、 比例的基本性质：
若或，则．反之若a，b，c，d都不为零，且，则或．即：内项之积等于外项之积．
6、 比例尺：
（1）图上距离与实际距离的比叫做比例尺；
（2）图上距离：实际距离 = 比例尺；
（3）比例尺是一个比，是一个图上距离与实际距离的比．
4、 实数
1、 有理数、无理数及数轴表示：
有理数：整数与分数统称为有理数
无理数：无限，不循环小数
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫做数轴．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．
有理数在数轴上的表示：
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；反之不然，数轴上的点不一定都用来表示有理数；
在数轴上，原点左边是负有理数，原点右边是正有理数，原点为0；
数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数．
2、 相反数：
（1）相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中的一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．
（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零．
（3）互为相反数的两数和 ( http: / / www.21cnjy.com )为0；反之，如果两数和为0，那么这两个数互为相反数．即如果a、b互为相反数，那么a + b = 0．反之，如果a + b = 0，那么a、b互为相反数．【出处：21教育名师】
（4）互为相反数的两个数的几何意义：
在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧且到原点的距离相等．
3、 倒数：
乘积为1的两个有理数互为倒数．
倒数是本身的数是1和，而0没有倒数．
4、 绝对值：
（1）绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一般用符号表示a的绝对值．
（2）任何一个数的绝对值都大于或等于零，即．
（3）一个正数的绝对值是它本身；一 ( http: / / www.21cnjy.com )个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．反过来：绝对值是它本身的数是正数和零，即非负数；绝对值是它相反数的数是负数和零，即非正数；
即（互为相反数的两个数，它们的绝对值相等）．
5、 平方根、立方根、n次方根：
平方根：若一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．
立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果，那么x叫做a的立方根．任何实数有唯一确定的立方根．正数立方根是一个正数；负数立方根是一个负数；0的立方根是0．
n次方根：如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根；
奇次方根性质：实数a的奇次方根有且只有一个，用“”表示．
偶次方根性质：正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，用“”表示；0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．
6、 实数及运算：
运算：加、减、乘、除、乘方、幂运算．
7、 近似数、有效数字及科学记数法：
近似数：一个数与准确数相近（比这个准确数略多或略少），这个数称为近似数．
有效数字：是指从左边第一个不是零的数字起往右到末位数字为止的的所有数字．
科学计数法：（，n为正整数）
【例1】 （2017·上海中考真题）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
【标准答案】B
【思路指引】根据无理数的定义逐一判断即可得．
【详解详析】0，﹣2，是有理数，是无理数，故选B．
【例2】 2020的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】利用相反数的定义即可得出答案．
【详解详析】解：2020的相反数是-2020．故选：D．
【名师指路】本题考查了相反数的定义．只有符号不同的两个数称互为相反数．
【例3】 （2020·上海黄浦区·九年级二模）下列正整数中，属于素数的是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【标准答案】A
【思路指引】根据素数的定义， ( http: / / www.21cnjy.com )一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．21世纪教育网版权所有
【详解详析】解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2．故选：A．
【名师指路】本题考查了素数的定义，熟练掌握素数的定义是解答本题的关键．
【例4】 （2020·上海嘉定区·九年级二模）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是( )
A．﹣4 B． C． D．50%
【标准答案】C
【思路指引】根据分数的定义进行判断即可．
【详解详析】A．﹣4是分数，与要求不符；B．是分数，与要求不符；
C．是无理数，不是分数，与要求相符；D．50%是分数，与要求不符．故选：C．
【名师指路】本题考查了分数的定义，掌握知识点是解题关键．
【例5】 （2020·上海中考真题）计算：+﹣()﹣2+|3﹣|．
【标准答案】0．
【思路指引】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．
【详解详析】原式=+ ﹣4+3﹣
=3+﹣4+3﹣
=0．
【名师指路】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
1、 代数式
1、 代数式有关概念：
用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．如：、、、、、、0、等．21教育网
2、 整式
1、 整式概念：单项式和多项式统称为整式．
单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或者字母也叫做单项式）．如：代数式、、、2、，它们都是单项式．
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．
多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
2、 整式加减，乘除，乘方运算：
（1）加减运算：合并同类项
同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也叫同类项．（①所含字母相同；②相同字母的次数也相同．）21cnjy.com
（2）乘法，除法，幂的乘方，积的乘方
，，，，．
3、 乘法公式：
平方差公式：．
完全平方公式：．
4、 因式分解：
把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法．
3、 分式
1、 分式有关概念及基本性质：
（1）概念：一般地，如果两个整式A、B相除，即时，可以表示为．如果B中含有字母，那么叫做分式．A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．
（2）分式有意义、无意义的条件：
①分式有意义的条件是：；②分式无意义的条件是：．
（3）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
用式子表示是：，其中M、N为整式，且，，．
2、 分式加减，乘除，乘除运算
3、 分数指数幂，负指数幂及有关运算：
分数指数幂：（，m、n为正整数，）
（，m、n为正整数，）
负指数幂：（，m为正整数）
4、 二次根式
1、 二次根式有关概念：
形如（）的式子叫做二次根式．
（1）满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
被开方数中各因式的指数都为1；被开方数不含分母
（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式．21*cnjy*com
2、 二次根式的性质及运算：
（1）（）；（2）；
（3）（，）；（4）（，）
【例6】 （2020·上海中考真题）下列各式中与是同类二次根式的是
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.
【详解详析】解：A、和是最简二次根式，与的被开方数不同，故A选项错误；
B、，3不是二次根式，故B选项错误；
C、，与的被开方数相同，故C选项正确；
D、，与的被开方数不同，故D选项错误；故选：C.
【名师指路】本题主要考查同类二次 ( http: / / www.21cnjy.com )根式的定义，解题的关键是熟练的掌握同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
【例7】 下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】根据同类二次根式的定义进行逐一判断即可得解.
【详解详析】A．，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；
B．，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；
C．，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确；
D．与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意，
故选：C．
【名师指路】本题主要考查了同类二次根式的相关定义，熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的定义运用是解决本题的关键.
【例8】 某公司三月份的产值为a万元，比二月份增长了m%，那么二月份的产值（单位：万元）为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【解析】设二月份产值为万元，则有，解得：，故选C．
【总结】考查分数中的单位“1”应用问题，可用设未知数进行求解计算．
【例9】 若x = 2，y =，那么代数式的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【标准答案】B
【解析】，故选B．
【总结】考查完全平方公式的应用，简化计算．
【例10】 下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【解析】对A选项，同底数幂的的乘法运算，，A错误；对B选项，幂的
乘方运算，，B错误；对C选项，积的乘方运算，C正确；对D选项，
完全平方公式，，D错误；故选C．
【总结】考查幂的运算．
一、单选题
1．已知a＝＋2，b＝－2，则a2＋b2的值为( )
A．4 B．14 C． D．14＋4
【标准答案】B
【详解详析】
因为,所以=,故选B.
点睛:本题主要考查二次根式加法和乘法计算,解决本题的关键是利用完全平方公式进行变形,然后利用二次根式的加法和乘法法则正确计算.
2．计算2×÷的结果是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解详析】
原式=
=3÷
=
故选C．
【名师指路】
本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型．
3．面对国外对芯片技术的垄断，我国 ( http: / / www.21cnjy.com )科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（ ）
A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m
【标准答案】C
【思路指引】
根据科学记数法的表示计算即可；
【详解详析】
解：22nm＝22×10﹣9m＝2.2×10﹣8m．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键．
4．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据分式的基本性质逐项判断即可得．
【详解详析】
解：A. ，此项不成立；
B. ，此项不成立；
C. ，此项不成立；
D. ，此项成立；
故选择：D.
【名师指路】
本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题关键．
5．数学兴趣小组开展活动：把多项式分解因式，组长小明发现小组里有以下四种结果与白己的结果不同，他认真思考后，发现其中还有一种结果是正确的，你认为正确的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
首先提出二次项系数，再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解详析】
解：
故选：D．
【名师指路】
此题主要考查了分解因式，关键是掌握分解因式首先提公因式，再利用公式法进行分解．
6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【详解详析】
A、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
D、左边不是多项式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
7．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 B．6xy＝2x 3y
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）
【标准答案】D
【思路指引】
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【详解详析】
解：A、是整式的乘法，故此选项不 ( http: / / www.21cnjy.com )符合题意；
B、不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．【来源：21cnj*y.co*m】
【名师指路】
本题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
8．把边长为6a的正方形纸片按图①中的虚线剪开，无缝隙且不重叠地拼接成图②的长方形．则长方形的周长与正方形的周长比较（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．不变 B．减少2a C．增加2a D．增加4a
【标准答案】C
【思路指引】
利用无缝隙且不重叠地拼接成，求出对应剪开部分各边长的长度，然后求出长方形的周长，最后和正方形周长作对比，即可得到正确答案．
【详解详析】
解：由于是无缝隙且不重叠地拼接成，故各边长如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
正方形的周长为：，
长方形的周长为：，
故长方形周长比正方形周长增加了，
故选：C．
【名师指路】
本题主要是考查了利用代数式表示图形面积以及整式的加减运算，本题中一定要注意无缝不重叠条件，这是求解长方形周长的关键．
9．如图所示的运算程序中， ( http: / / www.21cnjy.com )若开始输入的x值为96，我们发现第一次输出的结果为48；第二次输出的结果为24，…，则第2019次输出的结果为（ ）
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A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【标准答案】B
【思路指引】
按照程序进行计算，发现规律，利用规律求解即可．
【详解详析】
解：当输入x＝96时，第一次输出96×＝48；
当输入x＝48时，第二次输出48×＝24；
当输入x＝24时，第三次输出24×＝12；
当输入x＝12时，第四次输出12×＝6；
当输入x＝6时，第五次输出6×＝3；
当输入x＝3时，第六次输出3×3﹣1＝8；
当输入x＝8时，第七次输出8×＝4；
当输入x＝4时，第八次输出4×＝2；
当输入x＝2时，第九次输出2×＝1；
当输入x＝1时，第十次输出3×1﹣1＝2；
…
∴从第8次开始，以2，1的形式循环出现，
∵（2019﹣7）÷2＝1006，
∴第2019次输出的结果为：1．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了有理数的运算，解题关键是根据运算结果发现规律，利用规律解题．
10．根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
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A．100 B．121 C．144 D．169
【标准答案】B
【思路指引】
分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
【详解详析】
解：根据图中数据可知：
则，，
∵第个图中的，
∴，
解得：或(不符合题意，舍去)
∴，
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．
11．有两个正方形A，B．现将B放在A ( http: / / www.21cnjy.com )的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．28 B．29 C．30 D．31
【标准答案】B
【思路指引】
设正方形的边长分别为，由图甲和图乙，建立关系式，再根据图丙的阴影部分面积结合关系式即可求得．
【详解详析】
设正方形的边长分别为（），由图甲可得
由图乙可得：
即
，
，
图丙的阴影部分面积为：
．
故选B．
【名师指路】
本题考查了完全平方公式的变形，求一个数的平方根，平方差公式，完全平方式与几何面积，掌握完全平方公式是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
12．已知abc＞0，则式子：＝（ ）
A．3 B．﹣3或1 C．﹣1或3 D．1
【标准答案】C
【思路指引】
根据实数的乘法法则，由abc>0，得a、b、c均为正数或者两个为负数，另外一个为正数．根据分类讨论的思想以及绝对值解决此题．21·世纪*教育网
【详解详析】
∵abc>0，
∴a、b、c均为正数或者两个为负数，另外一个为正数．
当a、b、c均为正数时，|a|＝a，|b|＝b，|c|＝c．
∴．
当a、b、c中两个为负数，另外一个为正数时，可设a＜0，b＜0，c＞0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，|c|＝c．
∴．
综上：或﹣1．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了乘法法则，绝对值的定义，分类讨论是本题的难点，同时注意分类要不遗漏不重复．
13．如图，小明在3×3的 ( http: / / www.21cnjy.com )方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【标准答案】B
【思路指引】
把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解详析】
由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
14．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（ ）
A．a2＜a＜ B．a＜＜a2 C．＜a＜a2 D．a＜a2＜
【标准答案】A
【思路指引】
根据a的取值范围，取一个具体数值代入计算从而得到三个式子的大小；
【详解详析】
解：∵0＜a＜1，
∴设a＝，，a2＝，
∵＜＜2，
∴a2＜a＜．
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查了代数式求值和有理数比大小，赋予特殊值代入计算是解题的常用方法．
15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（ ）
A．2a B．2b C．﹣2a D．2
【标准答案】C
【思路指引】
先根据a、b在数轴上的位置，即可推出，，，由此进行求解即可．
【详解详析】
解：由数轴得：，，
∵，
∴
∴，，，
∴，
故选C．
【名师指路】
本题主要考查了根据数轴判定式子的符号，无理数故值，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．www.21-cn-jy.com
二、填空题
16．如图，已知∠MON＝30°，点，…在射线ON上，点，…在射线OM上，△，△，△，…均为等边三角形．若O＝2，则△的边长为 _____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据∠MON＝30°，△是等边三角形，确定=2，依次计算，，，确定规律计算即可．
【详解详析】
∵∠MON＝30°，△是等边三角形，
∴=2，
同理可得，，，
∴=，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质，图形中的规律，利用枚举法确定规律是解题的关键．
17．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x为____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】##
【思路指引】
根据勾股定理求得的长，进而求得，由即可求得点表示的数
【详解详析】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OB＝OC＝1，
∴BC＝＝，
∴AC＝BC＝，OA＝﹣1，
∴点A表示的数为﹣+1，
故答案为﹣+1．
【名师指路】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．
18．已知a＜0＜c，ab＞0，且|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|﹣|a﹣b|＝_______．【版权所有：21教育】
【标准答案】0
【思路指引】
根据题目条件，判断出，，，然后化简绝对值求值．
【详解详析】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴原式．
故答案是：0．
【名师指路】
本题考查绝对值的化简，解题的关键是掌握化简绝对值的方法．
19．如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是_______．（用含m，n的式子表示）
【标准答案】
【思路指引】
根据数轴上两点间的距离公式解答．
【详解详析】
解：A，B间的距离是，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查数轴上两点间的距离公式：用两个点表示的数中的大数减去小数即可得到两点之间的距离，熟记公式是解题的关键．
20．已知|a|＝5，|b|＝6，且ab＜0，则a+b的值为 ___．
【标准答案】-1或1
【思路指引】
根据绝对值的性质求得，再根据，确定，的符号，求解即可．
【详解详析】
解：∵，，
∴，，
又∵，
∴或
∴或
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了绝对值的性质，代数式求值，以及有理数乘法的性质，熟练掌握相关基本性质确定，的取值和符号是解题的关键．
21．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是＝﹣，﹣的差倒数是＝，已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…．依此类推，则a4＝___；a1+a2+a3+a4+…+a2023＝___．
【标准答案】2 1013
【思路指引】
根据差倒数的定义计算即可求出a4；再通过计算发现循环规律，计算求解即可．
【详解详析】
解：根据题意可知：
a1＝2，a2＝＝﹣1；a3＝＝；a4＝＝2；
…．依此类推，
发现2，﹣1，..三个数为一个循环，
∴2023÷3＝674…1，
∵2﹣1＝，
则a1+a2+a3+a4+…+a2023＝674×+2＝1013．
故答案为：2，1013．
【名师指路】
本题考查数字的变化规律，能够通过计算，找到数字的循环规律是解题的关键．
22．一列数按某规律排列如下，…若第n个数为，则n＝_____．
【标准答案】50
【思路指引】
根据题目中的数据可以发现，分子变化是，…，分母变化是，…，从而可以求得第个数为时的值，本题得以解决．
【详解详析】
解：
∴可写成
∴分母为10开头到分母为1的数有10个，分别为
∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+9+5＝50，
故答案为50．
【名师指路】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
23．已知，那么的值是______．
【标准答案】-5
【思路指引】
先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可．
【详解详析】
解：∵，
∴
，
故答案为：-5．
【名师指路】
本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．
24．已知，则_________．
【标准答案】36
【思路指引】
先把多项式因式分解，再代入求值，即可．
【详解详析】
∵，
∴原式=，
故答案是：36．
【名师指路】
本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
25．若且，则_____．
【标准答案】
【思路指引】
根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解详析】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【名师指路】
本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
26．已知（x﹣1）x+2＝1，则整数x＝__________
【标准答案】2、0、﹣2
【思路指引】
直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解详析】
解：∵（x﹣1）x+2＝1，
∴x+2＝0且x﹣1≠0或x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1且x+2为偶数，
解得：x＝﹣2、x＝2或x＝0，
故x＝﹣2或2或0．
故答案为：2、0、﹣2．
【名师指路】
此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题关键．
27．已知，则＝__．
【标准答案】##
【思路指引】
根据得到x+y＝6xy，再化简求值即可；
【详解详析】
解：已知，
则x+y＝6xy，
∴．
故答案为．
【名师指路】
本题主要考查了分式化简求值，准确计算是解题的关键．
28．观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
29．计算：（）2010 （）2009=_____．
【标准答案】2﹣．
【思路指引】
本题可根据平方差公式和积的乘方等知识进行求解．
【详解详析】
原式=
．
【名师指路】
本题考查的知识点是二次根式的混合运算，解题关键是正确理解二次根式乘法运算规则，运用积的乘方法则．
30．观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
【标准答案】
【思路指引】
根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
【详解详析】
由题意规律可得：．
∵
∴，
∵，
∴．
．
．
……
∴．
故．
令
②-①，得
∴=
故答案为：．
【名师指路】
本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．
数与式
知识结构
模块一：实数与运算
知识精讲
例题解析
模块二：式与运算
知识精讲
例题解析
随堂检测
课后作业
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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即 ( http: / / www.21cnjy.com )八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21教育网
亲爱的老师，如果您认可我工作室所创 ( http: / / www.21cnjy.com )作的资料，请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
，
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1、 数的整除
1、 整数的意义和分类：
自然数：零和正整数统称为自然数；
整数：正整数、零、负整数，统称为整数．
2、 整除：
（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．
（2）整除的条件（两个必须同时满足）：
除数、被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数且余数为零．
3、 除尽与整除的异同点：
相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除；
不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；
除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零．
4、 因数和倍数：
整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．
注意：（1）在整除的条件下，才有因数和倍数的概念；
（2）倍数和因数是相互依存的，不能单独存在．
5、 求一个数的因数的方法：
（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数．21教育名师原创作品
（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的因数．
6、 求一个数的倍数的方法：
求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数．
7、 因数和倍数的性质（规律总结）：
1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；
0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；
一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数．
8、 2的倍数的特征：
个位数字是0，2，4，6，8的数．
9、 偶数、奇数的意义以及它们的运算性质：
在自然数中，是2的倍数的数是偶数（即个位是0，2，4，6，8的数）；
在自然数中，不是2的倍数的数是奇数（即个位是1，3，5，7，9的数）
注：最小的偶数是0，没有最大的偶数；最小的奇数是1，没有最大的奇数；
一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数．
10、 5的倍数的特征：
个位数字是0或5的整数，都是5的倍数．
11、 3的倍数的特征：
一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数．
注：（1）既能被2整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0的数（或者说是10的倍数的整数）；
（2） 既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0或5，且各个位上数字相加之和是3的倍数（或者说是15的倍数的整数）；21·cn·jy·com
（3）既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0，2，4，6，8且各个位上数字相加之和是3的倍数（或者说是6的倍数的整数）；【来源：21·世纪·教育·网】
（4）既能被2整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0，且各个位上数字相加之和是3的倍数（或者说是30的倍数的整数）．21*cnjy*com
12、 素数与合数：
素数：一个正整数，如果只有1个和它本身两个因数，这样的数叫做素数．
合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数．
正整数按照含因数的个数分类，可以分为1、素数与合数．
13、 素因数和分解素因数：
素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．
分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
注：素因数相对于合数而言，不能单独存在；一个数分解素因数的形式是唯一的；书写时，一般写成“合数 = 素因数相乘”的形式．
14、 分解素因数的方法：
分解素因数的方法通常有以下两种：
树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式．
短除法：先用一个能整除这个合数 ( http: / / www.21cnjy.com )的素数（通常从最小的开始）去除；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
2、 分数
1、 分数的意义：
把一个总体平均分成若干份之后，其中的1份或若干份可以用分数表示．
2、 分数和除法的关系：
两个正整数相除，他们的商可以用分数表示，具体关系如下：
，即：，其中p为分子，q为分母．
读法：读作q分之p．特别地，当q = 1时，．
3、 用数轴上的点表示分数：
任何一个分数可以用数轴上的点来表示．
4、 分数的基本性质：
分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即：（，，）2-1-c-n-j-y
5、 最简分数：
分子和分母互素的分数，叫做最简分数．
6、 约分：
把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分．
7、 通分：
将异分母的分数分别化为与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．
（1）两个分数的公分母：两个分数的分母的公倍数叫做这两个分数的公分母，通常取最小公倍数作公分母．
（2）通分的依据：分数的基本性质，所以通分后分数值保持不变．
（3）通分的方法：一般先求出几个分数的分母的最小公倍数，把这个最小公倍数做分母，分子扩大相应的倍数．21世纪教育网版权所有
8、 分数的大小比较：
（1）同分母的分数，分子大的那个分数较大．
（2）同分子分数，分母大的那个分数反而小．
（3）异分母的分数，先通分，化成同分母后再按照同分母分数的大小比较的方法确定分数的大小关系．
3、 比和比例
1、 比的定义：
a、b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将a与b相除，叫做a与b的比．记做a : b，或写成，其中，读作：a比b，或a与b的比．【版权所有：21教育】
“:”叫做比号，读作“比”；比号前的数a叫做比的前项；比号后面的数b叫做比的后项．前项a除以后项b所得的商叫做比值．
2、 比与分数、除法之间的关系：
比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；
比号相当于分数线和除号；比值相当于分数值和除式的商．
求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位．
3、 比的基本性质：
（1）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变．即 （）．运用比的性质可以把比化成最简整数比．【来源：21cnj*y.co*m】
（2）三项连比的性质：若，，则，若，则．
4、 比例：
（1）表示两个比相等的式子，叫做比例．式子表示为：；
（2）内项、外项：b、c叫做比例的内项；a、b叫做比例的外项；
（3）比例中项：当b = c时，，b叫做比例中项．
5、 比例的基本性质：
若或，则．反之若a，b，c，d都不为零，且，则或．即：内项之积等于外项之积．
6、 比例尺：
（1）图上距离与实际距离的比叫做比例尺；
（2）图上距离：实际距离 = 比例尺；
（3）比例尺是一个比，是一个图上距离与实际距离的比．
4、 实数
1、 有理数、无理数及数轴表示：
有理数：整数与分数统称为有理数
无理数：无限，不循环小数
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫做数轴．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．
有理数在数轴上的表示：
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；反之不然，数轴上的点不一定都用来表示有理数；
在数轴上，原点左边是负有理数，原点右边是正有理数，原点为0；
数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数．
2、 相反数：
（1）相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中的一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．
（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零．
（3）互为相反数的两数和为0； ( http: / / www.21cnjy.com )反之，如果两数和为0，那么这两个数互为相反数．即如果a、b互为相反数，那么a + b = 0．反之，如果a + b = 0，那么a、b互为相反数．21·世纪*教育网
（4）互为相反数的两个数的几何意义：
在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧且到原点的距离相等．
3、 倒数：
乘积为1的两个有理数互为倒数．
倒数是本身的数是1和，而0没有倒数．
4、 绝对值：
（1）绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一般用符号表示a的绝对值．
（2）任何一个数的绝对值都大于或等于零，即．
（3）一个正数的绝对值是它本身；一 ( http: / / www.21cnjy.com )个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．反过来：绝对值是它本身的数是正数和零，即非负数；绝对值是它相反数的数是负数和零，即非正数；
即（互为相反数的两个数，它们的绝对值相等）．
5、 平方根、立方根、n次方根：
平方根：若一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．
立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果，那么x叫做a的立方根．任何实数有唯一确定的立方根．正数立方根是一个正数；负数立方根是一个负数；0的立方根是0．2·1·c·n·j·y
n次方根：如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根；
奇次方根性质：实数a的奇次方根有且只有一个，用“”表示．
偶次方根性质：正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，用“”表示；0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．
6、 实数及运算：
运算：加、减、乘、除、乘方、幂运算．
7、 近似数、有效数字及科学记数法：
近似数：一个数与准确数相近（比这个准确数略多或略少），这个数称为近似数．
有效数字：是指从左边第一个不是零的数字起往右到末位数字为止的的所有数字．
科学计数法：（，n为正整数）
【例1】 （2017·上海中考真题）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
【例2】 2020的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【例3】 （2020·上海黄浦区·九年级二模）下列正整数中，属于素数的是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例4】 （2020·上海嘉定区·九年级二模）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是( )
A．﹣4 B． C． D．50%
【例5】 （2020·上海中考真题）计算：+﹣()﹣2+|3﹣|．
1、 代数式
1、 代数式有关概念：
用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．如：、、、、、、0、等．www-2-1-cnjy-com
2、 整式
1、 整式概念：单项式和多项式统称为整式．
单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或者字母也叫做单项式）．如：代数式、、、2、，它们都是单项式．www.21-cn-jy.com
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．
多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
2、 整式加减，乘除，乘方运算：
（1）加减运算：合并同类项
同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也叫同类项．（①所含字母相同；②相同字母的次数也相同．）
（2）乘法，除法，幂的乘方，积的乘方
，，，，．
3、 乘法公式：
平方差公式：．
完全平方公式：．
4、 因式分解：
把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法．
3、 分式
1、 分式有关概念及基本性质：
（1）概念：一般地，如果两个整式A、B相除，即时，可以表示为．如果B中含有字母，那么叫做分式．A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．
（2）分式有意义、无意义的条件：
①分式有意义的条件是：；②分式无意义的条件是：．
（3）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
用式子表示是：，其中M、N为整式，且，，．
2、 分式加减，乘除，乘除运算
3、 分数指数幂，负指数幂及有关运算：
分数指数幂：（，m、n为正整数，）
（，m、n为正整数，）
负指数幂：（，m为正整数）
4、 二次根式
1、 二次根式有关概念：
形如（）的式子叫做二次根式．
（1）满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
被开方数中各因式的指数都为1；被开方数不含分母
（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式．21*cnjy*com
2、 二次根式的性质及运算：
（1）（）；（2）；
（3）（，）；（4）（，）
【例6】 （2020·上海中考真题）下列各式中与是同类二次根式的是
A． B． C． D．
【例7】 下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【例8】 某公司三月份的产值为a万元，比二月份增长了m%，那么二月份的产值（单位：万元）为（ ）
A． B． C． D．
【例9】 若x = 2，y =，那么代数式的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【例10】 下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．已知a＝＋2，b＝－2，则a2＋b2的值为( )
A．4 B．14 C． D．14＋4
2．计算2×÷的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．面对国外对芯片技术的垄断，我 ( http: / / www.21cnjy.com )国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（ ）21cnjy.com
A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m
4．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．数学兴趣小组开展活动：把多项式分解因式，组长小明发现小组里有以下四种结果与白己的结果不同，他认真思考后，发现其中还有一种结果是正确的，你认为正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 B．6xy＝2x 3y
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）
8．把边长为6a的正方形纸片按图①中的虚线剪开，无缝隙且不重叠地拼接成图②的长方形．则长方形的周长与正方形的周长比较（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．不变 B．减少2a C．增加2a D．增加4a
9．如图所示的运算程序中，若开 ( http: / / www.21cnjy.com )始输入的x值为96，我们发现第一次输出的结果为48；第二次输出的结果为24，…，则第2019次输出的结果为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
10．根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．100 B．121 C．144 D．169
11．有两个正方形A，B．现将B放在A的内 ( http: / / www.21cnjy.com )部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．28 B．29 C．30 D．31
12．已知abc＞0，则式子：＝（ ）
A．3 B．﹣3或1 C．﹣1或3 D．1
13．如图，小明在3×3的方格纸上 ( http: / / www.21cnjy.com )写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
14．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（ ）
A．a2＜a＜ B．a＜＜a2 C．＜a＜a2 D．a＜a2＜
15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（ ）
A．2a B．2b C．﹣2a D．2
二、填空题
16．如图，已知∠MON＝30°，点，…在射线ON上，点，…在射线OM上，△，△，△，…均为等边三角形．若O＝2，则△的边长为 _____．
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17．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x为____．
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18．已知a＜0＜c，ab＞0，且|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|﹣|a﹣b|＝_______．【出处：21教育名师】
19．如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是_______．（用含m，n的式子表示）
20．已知|a|＝5，|b|＝6，且ab＜0，则a+b的值为 ___．
21．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是＝﹣，﹣的差倒数是＝，已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…．依此类推，则a4＝___；a1+a2+a3+a4+…+a2023＝___．
22．一列数按某规律排列如下，…若第n个数为，则n＝_____．
23．已知，那么的值是______．
24．已知，则_________．
25．若且，则_____．
26．已知（x﹣1）x+2＝1，则整数x＝__________
27．已知，则＝__．
28．观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
29．计算：（）2010 （）2009=_____．
30．观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
第一讲：数与式
知识结构
模块一：实数与运算
知识精讲
例题解析
模块二：式与运算
知识精讲
例题解析
随堂检测
课后作业
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