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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识结构 ( http: / / www.21cnjy.com )+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21教育网
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1、 等式及其性质
1、如果，那么．
2、如果，那么；如果（），那么．
2、 方程及相关概念
1、未知数：用字母x、y…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数．
2、方程：含有未知数的等式叫做方程．
3、元：在方程中，所含的未知数又称为元．
4、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程．
5、项：在方程中，被“+”、“”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“”号在内）称为一项；如在方程和中，x、2.5、、都是方程中的一项．
6、系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x的系数为1，的系数为．
7、次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x、的次数都是1．
8、常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，．
9、方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．
3、 一元一次方程
1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．
2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
3、解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）化成（）的形式；
（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解．
4、含有字母系数的一元一次方程的解法：
（1）含有字母系数的一元一次方程：在方程（）中，x是未知数，a、b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数，我们称它为含有字母系数的一元一次方程．21世纪教育网版权所有
（2）解法：（a、b）．
当方程的解是；
当，方程的解为任意数；
当，时，无解．
4、 二元一次方程
1、二元一次方程：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．
2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集．21cnjy.com
5、 二元一次方程组
1、二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组．21·cn·jy·com
2、二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解．
3、代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．www.21-cn-jy.com
4、加减消元法：通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法．2·1·c·n·j·y
6、 三元一次方程组
1、三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组．【来源：21·世纪·教育·网】
2、解三元一次方程组的思想：
7、 一元二次方程
1、式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．
2、二次方程的一般形式是（）．其中叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数．21·世纪*教育网
3、二次方程的常用解法
（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．
4、一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程（）的根的判别式为．
（1）一元二次方程（）有两个不相等实数根，即．
（2）一元二次方程（）有两个相等实数根，即．
（3）一元二次方程（）无实数根．
8、 二元二次方程（组）
1、二元二次方程：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的
整式方程，叫做二元二次方程．
2、二元二次方程组：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．www-2-1-cnjy-com
3、二元二次方程组的解法：代入消元法、加减消元法．
【例1】 二元一次方程的解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【例2】 下列对一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【例3】 如果关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）的解是x＝﹣1，那么m的值是（ ）
A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1
【例4】 《九章算术》中有一道题的条件是 ( http: / / www.21cnjy.com )：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 【版权所有：21教育】
斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
【例5】 一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于 41 ．
1、 分式方程
1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程．
2、分式方程的解法：通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．
3、增根：分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．21教育名师原创作品
4、解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．有两种方法：
①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；21*cnjy*com
②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
6、易错知识辨析：
（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项；
（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母，使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根．
（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．
7、分式方程组：由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．
2、 无理方程
1、 无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做
无理方程．
2、无理方程的解法：通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．
3、解无理方程的一般步骤：
（1）方程两边平方，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验：直接代入原 ( http: / / www.21cnjy.com )方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
【例6】 甲、乙两名学生练习打字，甲打1 ( http: / / www.21cnjy.com )35个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x，那么符合题意的方程为： ．
【例7】 下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例8】 方程的根是 x＝﹣1 ．
【例9】 方程的解为 x＝1 ．
【例10】 方程0的根是 x＝1 ．
1、 不等式
1、不等式的概念：
用不等号“>”、“<”、“”或“”表示的关系式，叫做不等式．
2、不等式的性质1：
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数 ( http: / / www.21cnjy.com )或用一个含字母的式子，不等号的方向不变．即：如果a > b，那么a + m > b + m；如果a < b，那么a + m < b + m．21*cnjy*com
3、不等式的性质2：
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．即：已知m > 0，如果a > b，那么am > bm（或）；如果a < b，那么am < bm（或）．【出处：21教育名师】
4、不等式的性质3：
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．即：已知m < 0，如果a > b，那么am < bm（或）；如果a < b，那么am > bm（或）．
2、 一元一次不等式
只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不为零的不等式，称为一元一次不等式．解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）化成（或等）的形式（其中）；
（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．
3、 一元一次不等式组
1、 一元一次不等式组：有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一
元一次不等式组．
2、不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．
3、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组．
4、解一元一次不等式组的一般步骤：
（1）求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）在数轴上表示各个不等式的解集；
（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
【例11】 已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【例12】 不等式组的解集是 ﹣1≤x＜2 ．
【例13】 不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞1 D．x＜1
一、单选题
1．商场销售某品牌冰箱，若按标价的八折销售，每件可获利200元，其利润率为10%，若按标价的九折销售，每件可获利（ ）
A．475元 B．875元 C．562.5元 D．750元
2．使得关于的方程的解是正整数的所有整数的积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于，的方程组，给出下列结论：
①是方程组的解；
②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；
③当时，方程组的解也是方程的解；
④，的都为自然数的解有3对．
其中正确的为（ ）
A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②④
4．已知关于x、y的方程组得出下列结论，正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变：④不存在a使得成立；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）（ ）
A．若，则方程可能有两个相等的实数根 B．若，则方程可能没有实数根
C．若，则方程可能有两个相等的实数根 D．若，则方程没有实数根
6．《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，塞为20m的矩形场地（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行、另一条与平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为，求道路的宽度、若设道路的宽度为，则满足的方程为（ ）
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A． B．
C． D．
7．下列关于x的方程中，整式方程的个数是（ ）
（1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如果关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
9．产品的价格是由市场价格波动产生的，而 ( http: / / www.21cnjy.com )每种产品价格自当天是固定的．某采购商欲采购A产品80件，B产品100件．甲供应商捆绑销售2件A产品和3件B产品，报价在400元～500元之间．乙供应商也捆绑销售3件A产品和2件B产品，报价在500元～600元之间，采购商打算从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件，则所要准备的资金为（ ）
A．12600元～15200元之间 B．15200元～18800元之间
C．18800元～21600元之间 D．21600元～33000元之间
10．如果a＞b，m为非零实数，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．a＋m＜b＋m B．m﹣a＜m﹣b C．am＞bm D．
二、填空题
11．不等式组的解集是_____．
12．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是_____．
13．方程＝1的解是_____．
14．关于x的一元二次方程有实数根，则2ax的值为 ___．
15．若关于x的方程x2＋kx＋6＝0的根是整数，且k＜0，则k的值是_________．
16．整数为__________．时，方程组有正整数解．
17．若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式______．
18．若关于x的方程无解，则a的值为 _____．
19．设的三边、、均为正整数，且，则当乘积最大时，的面积为________．
20．一次测验共有15道题 ( http: / / www.21cnjy.com )，做对一题得1分，已知26人的平均分不少于4.8分，其中最低分得3分，并且至少有3人得4分，那么得5分的共有______人．2-1-c-n-j-y
三、解答题
21．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x＋m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．
22．某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
23．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：【来源：21cnj*y.co*m】
第一次 第二次
甲种货车（辆） 2 5
乙种货车（辆） 3 6
累计运货（吨） 13 28
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
（2）王先生要租用该公司的 ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
24．解方程组：
25．中国古代数学著作《算法统宗》中有 ( http: / / www.21cnjy.com )这样一题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．请你求出此人第六天的路程．
26．己知关于x的方程没有实数根，试判断关于x的方程的根的情况.
方程与不等式（组）
知识结构
模块一：整式方程
知识精讲
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
例题解析
模块二：分式方程与无理方程
知识精讲
例题解析
模块三：一元一次不等式（组）
知识精讲
例题解析
随堂检测
课后作业
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1、 等式及其性质
1、如果，那么．
2、如果，那么；如果（），那么．
2、 方程及相关概念
1、未知数：用字母x、y…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数．
2、方程：含有未知数的等式叫做方程．
3、元：在方程中，所含的未知数又称为元．
4、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程．
5、项：在方程中，被“+”、“”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“”号在内）称为一项；如在方程和中，x、2.5、、都是方程中的一项．
6、系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x的系数为1，的系数为．
7、次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x、的次数都是1．
8、常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，．
9、方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．
3、 一元一次方程
1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．
2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
3、解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）化成（）的形式；
（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解．
4、含有字母系数的一元一次方程的解法：
（1）含有字母系数的一元一次方程：在方程（）中，x是未知数，a、b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数，我们称它为含有字母系数的一元一次方程．【来源：21cnj*y.co*m】
（2）解法：（a、b）．
当方程的解是；
当，方程的解为任意数；
当，时，无解．
4、 二元一次方程
1、二元一次方程：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．
2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集．
5、 二元一次方程组
1、二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组．
2、二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解．
3、代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
4、加减消元法：通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法．
6、 三元一次方程组
1、三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组．
2、解三元一次方程组的思想：
7、 一元二次方程
1、式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．
2、二次方程的一般形式是（）．其中叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数．
3、二次方程的常用解法
（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．
4、一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程（）的根的判别式为．
（1）一元二次方程（）有两个不相等实数根，即．
（2）一元二次方程（）有两个相等实数根，即．
（3）一元二次方程（）无实数根．
8、 二元二次方程（组）
1、二元二次方程：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的
整式方程，叫做二元二次方程．
2、二元二次方程组：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．
3、二元二次方程组的解法：代入消元法、加减消元法．
【例1】 二元一次方程的解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【标准答案】D
【解析】整式方程中，方程个数小于未知数个数都有无数个解．
【总结】考察方程的解的定义．
【例2】 下列对一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【标准答案】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（1）×（﹣3）＝13＞0，
∴方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【名师指路】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
【例3】 如果关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）的解是x＝﹣1，那么m的值是（ ）
A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1
【标准答案】解：把x＝﹣1，代入方程关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）得：
﹣1﹣m+2＝0，
解得：m＝1，
故选：C．
【名师指路】本题考查了一元一次方程两个概念，重点是理解一元一次方程的解和会解一元一次方程．
【例4】 《九章算术》中有一道题的 ( http: / / www.21cnjy.com )条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛
斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
【标准答案】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
则，
故5x+x+y+5y＝5，
则x+y．
答：1大桶加1小桶共盛斛米．
故答案为：．
【名师指路】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
【例5】 一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于 41 ．
【标准答案】解：依题意，一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4
∴根的判别式为：△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41
故答案为：41
【名师指路】此题主要考查一元二次方程的根 ( http: / / www.21cnjy.com )的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式：△＝b2﹣4ac，有如下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
1、 分式方程
1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程．
2、分式方程的解法：通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．
3、增根：分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．
4、解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验．有两种方法：
①将求得的整式方程的根代入最简 ( http: / / www.21cnjy.com )公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；
②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．
6、易错知识辨析：
（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项；
（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母，使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根．
（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．
7、分式方程组：由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．
2、 无理方程
1、 无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做
无理方程．
2、无理方程的解法：通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．
3、解无理方程的一般步骤：
（1）方程两边平方，化成整式方程；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；
（3）检验 ( http: / / www.21cnjy.com )：直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．21教育网
【例6】 甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用 ( http: / / www.21cnjy.com )时间与乙打180个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x，那么符合题意的方程为： ．
【标准答案】解：∵甲平均每分钟打x个字，
∴乙平均每分钟打（x+20）个字，
根据题意得：，
故答案为：．
【名师指路】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例7】 下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【标准答案】D
【解析】A答案中，偶数次方的结果都为非负数，所以方程无解；
B答案中二次根式结果均为非负数，所以方程无解；
C答案中分式方程化为整式方程解得：，代入分式方程中为增根，所以方程无解
D答案中化为整式方程为：，解得：，经检验为原方
程的增根，所以原方程的解为．
【总结】考察高次方程、分式方程、无理方程的解法．
【例8】 方程的根是 x＝﹣1 ．
【标准答案】解：方程的两边都乘以（x﹣1），得x2＝1
所以x＝±1．
当x＝1时，x﹣1＝0，所以1不是原方程的根；
当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，所以﹣1是原方程的根．
所以原方程的解为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【名师指路】本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，解分式方程易忘记检验而出错．
【例9】 方程的解为 x＝1 ．
【标准答案】解：移项，得 1，
方程两边平方，得 2x﹣1＝1，
解得 x＝1．
故答案为x＝1．
【名师指路】本题考查了无理方程，将无理方程化为一次方程是解题的关键．
【例10】 方程0的根是 x＝1 ．
【标准答案】解：原方程变形为x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x＝0或x＝1，
∴x＝0时，被开方数x﹣1＝﹣1＜0，
∴x＝0不符合题意，舍去，
∴方程的根为x＝1，
故答案为x＝1．
【名师指路】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．
1、 不等式
1、不等式的概念：
用不等号“>”、“<”、“”或“”表示的关系式，叫做不等式．
2、不等式的性质1：
不等式的两边同时加上（或减去） ( http: / / www.21cnjy.com )同一个数或用一个含字母的式子，不等号的方向不变．即：如果a > b，那么a + m > b + m；如果a < b，那么a + m < b + m．www.21-cn-jy.com
3、不等式的性质2：
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．即：已知m > 0，如果a > b，那么am > bm（或）；如果a < b，那么am < bm（或）．2·1·c·n·j·y
4、不等式的性质3：
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．即：已知m < 0，如果a > b，那么am < bm（或）；如果a < b，那么am > bm（或）．
2、 一元一次不等式
只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不为零的不等式，称为一元一次不等式．解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）化成（或等）的形式（其中）；
（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．
3、 一元一次不等式组
1、 一元一次不等式组：有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一
元一次不等式组．
2、不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．
3、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组．
4、解一元一次不等式组的一般步骤：
（1）求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）在数轴上表示各个不等式的解集；
（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
【例11】 已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【标准答案】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0，
解得：m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
【名师指路】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0是解此题的关键．
【例12】 不等式组的解集是 ﹣1≤x＜2 ．
【标准答案】解：
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
故答案为﹣1≤x＜2．
【名师指路】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．2-1-c-n-j-y
【例13】 不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞1 D．x＜1
【标准答案】解：解不等式﹣x＞3，得：x＜﹣3，
解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜﹣3．
故选：B．
【名师指路】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键.
一、单选题
1．商场销售某品牌冰箱，若按标价的八折销售，每件可获利200元，其利润率为10%，若按标价的九折销售，每件可获利（ ）21·cn·jy·com
A．475元 B．875元 C．562.5元 D．750元
【标准答案】A
【思路指引】
利用进价＝利润÷利润率可求出 ( http: / / www.21cnjy.com )该品牌冰箱的进价，设该品牌冰箱的标价为x元，根据“若按标价的八折销售，每件可获利200元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入（90%x﹣2000）中即可求出结论．
【详解详析】
解：该品牌冰箱的进价为200÷10%＝2000（元）．
设该品牌冰箱的标价为x元，
依题意得：80%x﹣2000＝200，
解得：x＝2750，
∴90%x﹣2000＝90%×2750﹣2000＝475（元）．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的运用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．使得关于的方程的解是正整数的所有整数的积为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先解该一元一次方程，然后根据a是整数和x是正整数即可得到a的值，从而得到答案．
【详解详析】
解：
去分母得，
去括号得，
整理得，
∴，
当时，
当时，
当时，
当时，
这些整数的积为，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的解法和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
3．已知关于，的方程组，给出下列结论：
①是方程组的解；
②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；
③当时，方程组的解也是方程的解；
④，的都为自然数的解有3对．
其中正确的为（ ）
A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②④
【标准答案】B
【思路指引】
①将，代入检验即可做出判断；②将和分别用表示出来，然后求出来判断；③将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④由得到、都为自然数的解有4对．
【详解详析】
解：①将，代入方程组得：
，
由①得，由②得，故①不正确．
②解方程
，
①②得：
解得：，
将的值代入①得：，
所以，故无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将代入方程组得：
，
解此方程得：
，
将，代入方程，方程左边右边，是方程的解，故③正确．
④因为，所以、都为自然数的解有，，，．故④不正确．
则正确的选项有②③．
故选：．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．解题的关键是根据条件，求出、的表达式．21·世纪*教育网
4．已知关于x、y的方程组得出下列结论，正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变：④不存在a使得成立；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【标准答案】A
【思路指引】
①把a看做已知数表示出方程组的解，把 ( http: / / www.21cnjy.com )a=0代入求出x与y的值，代入方程检验即可；②令x=y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x-y中计算得到结果，判断即可；④令2x=3y求出a的值，判断即可．
【详解详析】
解：，
①+②得：3x=3a-6，
解得：x=a-2，
把x=a-2代入①得：y=3a+3，
当a=0时，x=-2，y=3，
把x=-2，y=3代入x+y=1得：左边=-2+3=1，右边=1，是方程的解；
当x=y时，a-2=3a+3，即a=；
3x-y=3a-6-3a-3=-9，无论a为什么实数，3x-y的值始终不变，为-9；
令2x=3y，即2a-4=9a+9，即a=，存在，
则正确的结论是①②③，
故选A．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）（ ）
A．若，则方程可能有两个相等的实数根 B．若，则方程可能没有实数根
C．若，则方程可能有两个相等的实数根 D．若，则方程没有实数根
【标准答案】C
【思路指引】
先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△= ( http: / / www.21cnjy.com )b2+36a，则a＞0时，△＞0，则根据判别式的意义可对A进行判断；当a＜0时，可能△＞0或△=0或△＜0，则根据判别式的意义可对B、C、D进行判断．
【详解详析】
解：ax2+bx-9=0，
△=b2-4×a×（-9）=b2+36a
当a＞0时，△＞0，方程有两个不相等的实数根
当a＜0时，△＞0或△=0或△＜0，方程可能有两个不相等的实数根或方程有两个相等的实数根或没有实数解．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+b ( http: / / www.21cnjy.com )x+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，塞为20m的矩形场地（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行、另一条与平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为，求道路的宽度、若设道路的宽度为，则满足的方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
将6块草坪拼在一起，便组成一个长为，宽为的矩形即可列出方程．
【详解详析】
解：道路的宽度为米，
将6块草坪拼在一起，便组成一个长为，宽为的矩形，
每块草坪的面积为
则有
故选：D．
【名师指路】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题目，将6个草坪拼接成一个矩形，利用等量关系列方程．
7．下列关于x的方程中，整式方程的个数是（ ）
（1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x．
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
根据整式方程与分式方程的定义解答.分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.
【详解详析】
解：（1）；
（2）；
（3）+x＝都符合整式方程的定义；
（4）+1＝x属于分式方程.
故选：C.
【名师指路】
本题考查了整式方程，分式方程，熟练掌握各自的定义，并灵活准确判断是解题的关键．
8．如果关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
【标准答案】B
【思路指引】
由关于的不等式组可得，由关于的分式方程可得，进而可由不等式组的解有且只有两个奇数解和分式方程的解为非负整数可求解．
【详解详析】
解：由关于的不等式组可得，
∵关于的不等式组有且只有两个奇数解，
∴，解得：，
由关于的分式方程可得且，
∵关于的分式方程的解为非负整数，
∴且的整数，
∴综上可得符合条件的值有2、6、8；
∴它们的和为2+6+8=16；
故选B．
【名师指路】
本题主要考查一元一次不等式组的解法及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法及分式方程的解法是解题的关键．
9．产品的价格是由市场价格波动产生的，而每种 ( http: / / www.21cnjy.com )产品价格自当天是固定的．某采购商欲采购A产品80件，B产品100件．甲供应商捆绑销售2件A产品和3件B产品，报价在400元～500元之间．乙供应商也捆绑销售3件A产品和2件B产品，报价在500元～600元之间，采购商打算从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件，则所要准备的资金为（ ）
A．12600元～15200元之间 B．15200元～18800元之间
C．18800元～21600元之间 D．21600元～33000元之间
【标准答案】B
【思路指引】
设一件A产品x元，一件B产品y元，由已知甲供应商捆绑销售2件A产品和3件B产品，报价在400元～500元之间，乙供应商也捆绑销售3件A产品和2件B产品，报价在500元～600元之间，可得，再有已知条件建立、的不等式，求出不等式组的解集，分别求出去最大值和最小值时的值，然后分别求出从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件时至少准备的资金和至多准备的资金，即可解答；
【详解详析】
解：设一件A产品x元，一件B产品y元，
∵甲供应商捆绑销售2件A产品和3件B ( http: / / www.21cnjy.com )产品，报价在400元～500元之间，乙供应商也捆绑销售3件A产品和2件B产品，报价在500元～600元之间，
∴一件A产品比一件B产品多100元，
∴x=y+100，
根据题意得：
400≤2x+3y≤500
解之：40≤y≤60；
500≤3x+2y≤600
解之：40≤y≤60；
当y=40时，x=140
∴从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件，则至少准备的资金为140×80+40×100=15200元；
当y=60时，x=160,
∴则至多准备的资金为：160×80+100×60=18800，
∴采购商打算从甲、乙两家供应商购进A产品80件、B产品100件，则所要准备的资金为15200元～18800元之间.
故答案为：B.
【名师指路】
本题主要考查了不等式的应用，根据题意得出、之间的数量关系，列出不等式，求出的范围是解题的关键．
10．如果a＞b，m为非零实数，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．a＋m＜b＋m B．m﹣a＜m﹣b C．am＞bm D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据不等式的基本性质解答即可．
【详解详析】
解：A、如果a＞b，m为非零实数，则a＋m＞b＋m，故A不符合题意；
B、如果a＞b，m为非零实数，则m﹣a＜m﹣b，故B符合题意；
C、如果a＞b，m为非零实数，则am＞bm不一定成立，只有m＞0时才成立，故C不符合题意；
D、如果a＞b，m为非零实数，则不一定成立，只有m＞0时才成立，故D不符合题意；
故选：B．
【名师指路】
本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键，注意不等号的变化．
二、填空题
11．不等式组的解集是_____．
【标准答案】2＜x＜3
【思路指引】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，
解不等式x﹣3＜0，得：x＜3，
则不等式组的解集为2＜x＜3，
故答案为：2＜x＜3．
【名师指路】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是_____．
【标准答案】2
【思路指引】
设，则原方程可变形为y2 y-2=0，求出解，将解分别代入x+=y判断方程有无解即可．
【详解详析】
设，则原方程可变形为y2 y-2=0，
解得y1= 1，y2=2，
当y1= 1时，，化简得，
∵△=b2 4ac<0，
∴此方程无解；
当y2=2时，，化简得，
∵△=b2 4ac=0，
∴此方程有解，
∴；
故答案为：2．
【名师指路】
此题考查换元法解一元二次方程，根据题意设解方程使计算更加简便，求解后注意检验方程是否有解是解题的关键．
13．方程＝1的解是_____．
【标准答案】
【思路指引】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解详析】
解：方程两边同时乘以公分母得：x+1﹣x＝x2+x，
解得：x＝，
检验：把x＝代入公分母得：，
∴分式方程的解为x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
【名师指路】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．关于x的一元二次方程有实数根，则2ax的值为 ___．
【标准答案】
【思路指引】
根据一元二次方程有实数根可得判别式大于或等于0，进而列出不等式求解，根据二次根式的性质可得，进而根据，确定的值，代入原方程，解方程即可求得的值，进而求得2ax的值．
【详解详析】
关于x的一元二次方程有实数根，其中
且
即且
则原方程为
解得
故答案为：
【名师指路】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，二次根式的性质，解一元二次方程，求得的值是解题的关键．21cnjy.com
15．若关于x的方程x2＋kx＋6＝0的根是整数，且k＜0，则k的值是_________．
【标准答案】﹣5或﹣7-7或-5
【思路指引】
由根与系数的关系得x1 x ( http: / / www.21cnjy.com )2＝6，由关于x的方程x2＋kx＋6＝0的根是整数，且k＜0，得到x1＝2，x2＝3；x1＝1，x2＝6，进一步求得k的值．【出处：21教育名师】
【详解详析】
解：设于x的方程x2＋kx＋6＝0的根为x1、x2，
则x1 x2＝6，
∵关于x的方程x2＋kx＋6＝0的根是整数，且k＜0，
∴x1＝2，x2＝3；x1＝1，x2＝6，
∴相应k的值为﹣5或﹣7．
故答案为：﹣5或﹣7．
【名师指路】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“方程的两根为 则”是解本题的关键.
16．整数为__________．时，方程组有正整数解．
【标准答案】-4
【思路指引】
先用加减消元法解二元一次方程组得到，，再由方程组的解是正整数，得到，即可求出a．
【详解详析】
，
①-②2，得
，
，
将代入②式，得
，
又方程组是正整数解，
12时满足x、y均为正整数，
解得，
故答案为：-4．
【名师指路】
本题考查二元一次方程组的解，属于基础题，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
17．若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式______．
【标准答案】或
【思路指引】
根据二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1．
【详解详析】
解：若方程组是关于x，y的二元一次方程组，
则c＋3＝0，a 2＝1，b＋3＝1，
解得c＝ 3，a＝3，b＝ 2．
所以代数式a＋b＋c的值是 2．
或c＋3＝0，a 2＝0，b＋3＝1，
解得c＝ 3，a＝2，b＝ 2．
所以代数式a＋b＋c的值是 3．
综上所述，代数式a＋b＋c的值是 2或 3．
故答案为： 2或 3．21教育名师原创作品
【名师指路】
本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
18．若关于x的方程无解，则a的值为 _____．
【标准答案】-1或-2或
【思路指引】
化简得，整理有，分类讨论，若=0且时，则a=-1，若0，则，由x的方程无解可知x=1或x=2，则或，解得a=-2或a=．
【详解详析】
将化简
得
若=0且时
则a=-1
若0，则有
关于x的方程无解
即x-1=0、x-2=0
故x=1或2．
将x=1或2代入
有或
解得a=-2或a=．
故答案为：-1或-2或．
【名师指路】
本题考查了分式方程无解的 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，依据分式方程的无根确定字母参数的情况有1、分式方程化成的整式方程，该整式方程本事没有根，若化为的是一元一次方程，则一次项系数为0即可，若化为的一元二次方程，则判别式小于零即可；分式方程的增根有两个特点：第一：它必须是由分式方程转化成的整式方程的根；第二：它能使原分式方程的最简公分母等于0；依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤先将分式方程转化为整式方程；由题意求出增根；将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值．
19．设的三边、、均为正整数，且，则当乘积最大时，的面积为________．
【标准答案】
【思路指引】
根据三角形的三边a、b、c均为整数，将a由小到大取正整数，根据三边关系及a+b+c=40，求b、c，确定符合条件的三角形．21*cnjy*com
【详解详析】
解：先证明如下结论：设a，b两个正实数，由
即，当且仅当时取等号，
此时；
回到本题中：
∵，
∴，
又根据三角形两边之和大于第三边可知：，即，
∴，且为正整数，
故时，要想最大，此时不是整数，舍去，
时，要想最大，此时，此时，
时，要想最大，此时不是整数，舍去，
时，要想最大，此时，此时，
时，要想最大，此时不是整数，舍去，
时，要想最大，此时，此时，
时，要想最大，此时不是整数，舍去，
时，要想最大，此时，此时，
时，要想最大，此时不是整数，舍去，
……
由此可知，当，时，最大为2366，
此时三角形为等腰三角形，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时由勾股定理可知：，
，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了三角形的面积计算、勾股定理、三角形三边之间的关系、不等式的构造等知识点，本题难度比较大，具有一定的综合性．www-2-1-cnjy-com
20．一次测验共有15道题，做对一题得1 ( http: / / www.21cnjy.com )分，已知26人的平均分不少于4.8分，其中最低分得3分，并且至少有3人得4分，那么得5分的共有______人．21*cnjy*com
【标准答案】22
【思路指引】
通过理解题意可知本题的等量关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，即得3分的人数+得4分的人数+得5分的人数＝26人，得5分人的总分数+得3分人的总分数+得4分人的总分数≥26人×4.8分，根据这两个等量关系，可列出方程与不等式，再求解．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：设得5分的人数为x人，得3分的人数为y人，得4分的人数为3人．
则可得，
解得：x≥21.9
若x＝23，则23+3＝26，没有得3分的人，不符合题意，所以x＝22．
答：得5分的人数应为22人．
故答案为：22．
【名师指路】
此题考查不等式组的应用， ( http: / / www.21cnjy.com )解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．解题过程中一定要符合题目的意思，以事实为依据．
三、解答题
21．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x＋m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．
【标准答案】（1）m≤；（2）x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2＋
【思路指引】
（1）根据方程有两个实数根，结合根的判别式可得Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论可得出m可取的最大非零整数为﹣1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．
【详解详析】
解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x＋m2＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×m2＝4﹣8m≥0，
解得：m≤，
∴m的取值范围为m≤．
（2）∵m≤，
∴当m取最大非零整数时，m＝﹣1．
当m＝﹣1时，原方程为x2＋4x＋1＝0，
解得：x1＝＝﹣2﹣，x2＝＝﹣2＋．
∴当m取最大非零整数时，方程的两个根分别为x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2＋．
【名师指路】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握“利用一元二次方程根的判别式求解参数的范围”是解本题的关键.
22．某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
【标准答案】（1）360；（2）3元
【思路指引】
（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元，然后根据一共花了900元，列出方程求解即可；
（2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元，然后根据用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，列出方程求解即可．
【详解详析】
解：（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元，
由题意得：x+180+x=900，
解得：x=360，
∴购买甲种礼品一共用去360元，
故答案为360；
（2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元，
由题意得：，
解得：y＝3，
经检验，y＝3是原方程的根，并符合题意，
答：乙种礼品的单价是3元．
【名师指路】
本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程求解．
23．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：
第一次 第二次
甲种货车（辆） 2 5
乙种货车（辆） 3 6
累计运货（吨） 13 28
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
（2）王先生要租用该公司 ( http: / / www.21cnjy.com )的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
【标准答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．
【思路指引】
（1）设甲种货车每辆可装x吨货物 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙种货车每辆可装y吨货物，根据前两次甲，乙两种货车运货情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种货车每辆可装货物吨数．
（2）设甲种货车每辆需运 ( http: / / www.21cnjy.com )费m元，则乙种货车每辆需运费1.4m元，利用租车数量＝总运费÷每辆车的租金，结合租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解详析】
解答：解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．
（2）设甲种货车每辆需运费m元，则乙种货车每辆需运费1.4m元，
依题意得： ，
解得：m＝100，
经检验，m＝100是原方程的解，且符合题意，
∴1.4m＝1.4×100＝140．
答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．
【名师指路】
本题主要是考查了二元一次方程组和分式方程的实际应用，正确地从题中找到等量关系，列出对应的方程，并正确求解方程，是解决本题的关键．
24．解方程组：
【标准答案】,.
【思路指引】
先将方程①变形为（x+6y）（x﹣y）=0得x+6y=0或x﹣y=0，分别与方程组成二元一次方程组，从而求出方程的解.
【详解详析】
解：方程①可变形为（x+6y）（x﹣y）=0
得x+6y=0或x﹣y=0
将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）或（Ⅱ）
解方程组（Ⅰ），解方程组（Ⅱ），
所以原方程组的解是,．
故答案为,.
【名师指路】
此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.
25．中国古代数学著作《算法 ( http: / / www.21cnjy.com )统宗》中有这样一题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．请你求出此人第六天的路程．
【标准答案】6.
【思路指引】
设第一天走了x里，则第二天走了x里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．
【详解详析】
设第一天走了x里，
依题意得：x+x+x+x+x+x=378，
解得x=192．
则（）5x=（）5×192=6（里）．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到（）5x里是解题的难点．
26．己知关于x的方程没有实数根，试判断关于x的方程的根的情况.
【标准答案】有两个不相等的实数根.
【思路指引】
根据关于x的方程没有实数根，求出a的求值范围；再表示关于x的方程，，即可判断该方程根的情况.
【详解详析】
解：∵方程没有实数根
∴
∴
解得：
关于x的方程，
∵
∴
∴关于x的方程有两个不相等的实数根.
【名师指路】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键.
方程与不等式（组）
知识结构
模块一：整式方程
知识精讲
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
例题解析
模块二：分式方程与无理方程
知识精讲
例题解析
模块三：一元一次不等式（组）
知识精讲
例题解析
随堂检测
课后作业
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