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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即 ( http: / / www.21cnjy.com )八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。www.21-cn-jy.com
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1、 平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．【来源：21cnj*y.co*m】
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限．
2、 点的坐标
1、点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．
2、平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标．
3、不同位置的点的坐标的特征：
①各象限内点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一象限x > 0，y > 0；
点P（x，y）在第二象限x < 0，y > 0；
点P（x，y）在第三象限x < 0，y < 0；
点P（x，y）在第四象限x > 0，y < 0．
②坐标轴上的点的特征：
点P（x，y）在x轴上y = 0，x为任意实数；
点P（x，y）在y轴上x= 0，y为任意实数；
点P（x，y）既在x轴上，又在y轴上x = y = 0，即点P坐标为（0，0）．
③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线上x = y；
点P（x，y）在第二、四象限夹角平分线上x + y = 0．
④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同．
3、 点的运动
1、点到坐标轴及原点的距离：
点P（x，y）到x轴的距离等于；
点P（x，y）到y轴的距离等于．
2、在直角坐标平面内：
平行于x轴的直线上的两点A（，）、B（，y）的距离；
平行于y轴的直线上的两点C（x，）、D（x，）的距离．
点P到原点的距离等于．
两点间的距离公式：点A坐标为（，），点B坐标为（，），则AB间的距离，即线段AB的长度为．2·1·c·n·j·y
3、点的对称：
若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为（a，），P关于y轴对称的点为（，b），关于原点对称的点为（，）．21*cnjy*com
4、坐标平移：
若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（，b），向右平移h个单位，坐标变为P（，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，），向下平移h个单位，坐标变为P（a，）．
【例1】 在平面直角坐标系中，若点P（，x）在第二象限，则x的取值范围为____________．
【例2】 点P在第三象限,点P到轴的距离是5,到轴的距离是3,则点P的坐标( )
A．(3,－5) B．(－5，－3) C．(－3，－5) D．(－3，5)
【例3】 点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或 C． D．
1、 函数
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．
一般地，在某一变化过程中有两个变量 ( http: / / www.21cnjy.com )x与y，如果对于变量x在允许取值范围内的每一个确定值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
2、 函数的定义域
函数自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域．
3、 函数值
如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x = a时的函数值，可记为．
【例4】 函数的定义域是__________．
【例5】 已知，那么______．
【难度】★
【例6】 已知函数，若，
那么x =______．
1、 正比例函数
如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例．
解析式形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．其中常数k叫做比例系数．
2、 反比例函数
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例．
解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数．其中常数k叫做比例系数．
3、 正比例函数、反比例函数的图像及性质
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 （k是常数，） （k是常数，）
定义域 一切实数 的一切实数
k的符号 k > 0 k < 0 k > 0 k < 0
经过象限 一、三 二、四 一、三 二、四
图像
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【例7】 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y B．y C．y D．y
【例8】 函数y（x＞0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例9】 关于反比例函数y，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点（2，2）
B．函数图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大
D．当x＞1时，y＜﹣4
【例10】 某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米 ( http: / / www.21cnjy.com )的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，其间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分之间的函数关系如图中折线OABCD所示．www-2-1-cnjy-com
（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2 : 3，试求点C的纵坐标．
函数在行程实际问题的运用．
1、 一次函数
一般的，解析式形如（k、b为常数，且）的函数叫做一次函数．
正比例函数与一次函数的关系：当时，解析式就成为（k、b为常数，且），这时，y是x的正比例函数．正比例函数是一次函数的特例．
2、 一次函数的图像和性质
函数 一次函数
解析式 （k、b为常数，且）
定义域 一切实数
k、b的符号 k > 0，b > 0 k > 0，b < 0 k < 0，b > 0 k < 0，b < 0
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
图像
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
【例11】 在登山过程中，海拔每升高1千米，气温 ( http: / / www.21cnjy.com )下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是 y＝﹣6x+2 ．2-1-c-n-j-y
【例12】 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线yx，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
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【例13】 如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
【例14】 如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A．k＞0且b＞0 B．k＞0且b＜0 C．k＜0且b＞0 D．k＜0且b＜0
【例15】 已知一次函数的图像经过点P（3，5），且平行于直线．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点Q（x，y）在该直线上，且在x轴的下方，求x的取值范围.
【例16】 一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量 ( http: / / www.21cnjy.com )为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
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1、 二次函数
一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．
二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．
2、 二次函数的图像
1、的图像：
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．21cnjy.com
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．
二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线．【来源：21·世纪·教育·网】
2、二次函数的图像：
抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点．21·世纪*教育网
3、二次函数的图像：
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．【版权所有：21教育】
抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．21教育名师原创作品
4、二次函数的图像：
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．
抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
5、二次函数的图像：
二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到．
这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位．
利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
6、二次函数的图像：
二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．
任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式．
对配方得：．
由此可知：
抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．
当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；
当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．
3、 二次函数的解析式的确定
1、一般式（）
（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；
（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．
2、顶点式（）
（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；
（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；
（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式．
3、交点式（）
（1）交点式：（），其中x1 ，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；
（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；
（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；
（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；21·cn·jy·com
（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；
（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、
（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．
4、 二次函数的图像的平移
1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：
2、二次函数的平移
（1）将二次函数左右平移：
向左平移m个单位，函数解析式变为；
向右平移m个单位，函数解析式变为．
（2）将二次函数上下平移：
向上平移n个单位，函数解析式变为；
向下平移n个单位，函数解析式变为．
（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
5、 二次函数的图像的对称
1、关于x轴对称：
关于x轴对称后，得到的解析式是；
关于x轴对称后，得到的解析式是．
2、关于y轴对称：
关于y轴对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
3、关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是．
4、关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
5、关于点（p，q）对称：
关于点（p，q）对称后，得到的解析式是．
【例17】 如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为 ．
【例18】 如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是 ．
【例19】 将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣2x﹣2 C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝x2﹣3x﹣1
【例20】 在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com )（如图）．已知抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．21世纪教育网版权所有
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
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一、单选题
1．直线经过一、三、四象限，那么点第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．如图，三角形ABC的面积等于（ ）
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A．12 B． C．13 D．
3．如图，点A、B、C的坐标分别为（ ）
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A．（6，5），（0，3），（3，0） B．（6，6），（3，0），（0，3）
C．（6，6），（0，3），（3，0） D．（5，5），（0，3），（3，0）
4．小明早晨从家骑自行车 ( http: / / www.21cnjy.com )去学校，先上坡后下坡，如图所示如果返回时上、下坡的速度仍与上学时的上、下坡速度相同，那么小亮从学校骑车回家的时间是（ ）
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A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
5．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图②所示，则的面积是（ ）
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A． B． C． D．
6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量间有如下关系，下列说法中不正确的是（ ）
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
A．x，y都是变量，x是自变量，y是x的函数
B．所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度为19cm
C．物体质量由5kg增加到7kg，弹簧的长度增加1cm
D．弹簧不挂重物时的长度为10cm
7．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程、都是行进时间的函数，它们的图像如图所示．下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②时，甲龙舟队处于领先位置；③当时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有次相距，其中正确结论的序号是（ ）
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
8．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在双曲线y＝﹣上，下列说法中错误的是（ ）
A．若x1＝x2，则y1＝y2 B．若x1＝﹣x2，则y1＝﹣y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＜y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
9．已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，如果x1＜x2，那么y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法判断
10．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题
11．已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1 k2≠0，则y关于x成 ___比例．（填“正”或“反”）21*cnjy*com
12．平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为 ___．
13．已知反比例函数的图像与正比例函数的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外一个交点的纵坐标为，那么常数k的值是__________．
14．已知函数，那么________．
15．等腰三角形中，底角的度数用x表示，顶角的度数用y表示，写出y关于x的函数解析式 ___，函数的定义域 ___．
16．在平面直角坐标系中，线段AB＝3，且ABx轴，如果点A的坐标为（﹣1，2），那么点B的坐标是 _______________．
17．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，点在第二象限，那么点在第______象限．
18．在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点，如果整点在第二象限，那么的值为______．
三、解答题
19．如图，是甲、乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量关于工作时间的函数图象，线段OA表示甲机器人的工作量（吨）关于时间（时）的函数图象，线段BC表示乙机器人的工作量（吨）关于时间（时）的函数图象．根据图象信息回答下列各题．【出处：21教育名师】
（1）填空：甲种机器人比乙种机器人早开始工作_____________小时；甲种机器人每小时的工作量是_____________吨；
（2）求直线BC的表达式．
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20．表示汽车性能的参数有很多，例如：长宽 ( http: / / www.21cnjy.com )高.轴距.排量.功率.扭矩.转速.百公里油耗等等.为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间t（h） 0 1 2 3 …
邮箱剩余油量Q（L） 100 94 88 82 …
①根据上表可知，每小时耗油升；
②根据上表的数据，写出用Q与t的关系式：；
③汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行驶了小时.
21．如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；
（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B'C′D′的顶点A′、B′两点的坐标．
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22．如图，点A、B在第一象限的反比例函数图像上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A、B的横坐标分别为6、2，AB=．
（1）求∠ACO的余弦值；
（2）求这个反比例函数的解析式．
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23．如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，是的中点，反比例函数图象过点且和相交于点．21教育网
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（1）直接写出点和点的坐标；
（2）求直线和反比例函数的解析式；
（3）连接、，求四边形的面积．
函数与分析
知识结构
模块一：平面直角坐标系
知识精讲
例题解析
模块二：函数的有关概念
知识精讲
例题解析
模块三：正比例函数与反比例函数
知识精讲
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
例题解析
A
B
C
D
O
x（分）
y（米）
20
600
模块四：一次函数
知识精讲
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
例题解析
模块五：二次函数
知识精讲
1
2
3
4
1
2
3
4
x
y
x
y
O
O
1
2
1
2
-2
-1
-2
-1
图1
图2
向上（）或向下（）平移个单位
向上（）或向下（）平移个单位
向左（）或向右（）
平移个单位
向左（）或向右（）
平移个单位
向左（）或向右（）平移个单位
并向上（）或向下（）平移个单位
例题解析
课后作业
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1、 平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．21·cn·jy·com
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限．
2、 点的坐标
1、点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．www-2-1-cnjy-com
2、平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标．
3、不同位置的点的坐标的特征：
①各象限内点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一象限x > 0，y > 0；
点P（x，y）在第二象限x < 0，y > 0；
点P（x，y）在第三象限x < 0，y < 0；
点P（x，y）在第四象限x > 0，y < 0．
②坐标轴上的点的特征：
点P（x，y）在x轴上y = 0，x为任意实数；
点P（x，y）在y轴上x= 0，y为任意实数；
点P（x，y）既在x轴上，又在y轴上x = y = 0，即点P坐标为（0，0）．
③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线上x = y；
点P（x，y）在第二、四象限夹角平分线上x + y = 0．
④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同．
3、 点的运动
1、点到坐标轴及原点的距离：
点P（x，y）到x轴的距离等于；
点P（x，y）到y轴的距离等于．
2、在直角坐标平面内：
平行于x轴的直线上的两点A（，）、B（，y）的距离；
平行于y轴的直线上的两点C（x，）、D（x，）的距离．
点P到原点的距离等于．
两点间的距离公式：点A坐标为（，），点B坐标为（，），则AB间的距离，即线段AB的长度为．
3、点的对称：
若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为（a，），P关于y轴对称的点为（，b），关于原点对称的点为（，）．
4、坐标平移：
若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（，b），向右平移h个单位，坐标变为P（，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，），向下平移h个单位，坐标变为P（a，）．
【例1】 在平面直角坐标系中，若点P（，x）在第二象限，则x的取值范围为____________．
【标准答案】
【解析】第二象限点坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正；且
．
【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点．
【例2】 点P在第三象限,点P到轴的距离是5,到轴的距离是3,则点P的坐标( )
A．(3,－5) B．(－5，－3) C．(－3，－5) D．(－3，5)
【标准答案】C
【详解详析】
分析：根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．21教育名师原创作品
详解：∵点P在第三象限，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标为 3，纵坐标为 5，
∴点P的坐标为( 3, 5).
故选C.
点睛：考查了点的坐标特征，熟记到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值.
【例3】 点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据点到轴的距离为得到点P的纵坐标为5或-5，由此得到答案.
【详解详析】
∵点到轴的距离为，
∴点P的纵坐标为5或-5，
∴点P的坐标为或，
故选：B.
【名师指路】
此题考查点与坐标轴的距离与点坐标的关系：点到x轴距离是点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点横坐标的绝对值.
1、 函数
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．
一般地，在某一变化过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个变量x与y，如果对于变量x在允许取值范围内的每一个确定值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
2、 函数的定义域
函数自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域．
3、 函数值
如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x = a时的函数值，可记为．
【例4】 函数的定义域是__________．
【标准答案】．
【解析】，定义域分别看和的取值范围，分式分母不为零，
．
【总结】考查函数的定义域求法，注意含有分母时，分母要不为零．
【例5】 已知，那么______．
【难度】★
【标准答案】．
【解析】．
【总结】考察利用代入法求函数值．
【例6】 已知函数，若，
那么x =______．
【标准答案】．
【解析】，，，经检验
是无理方程的根，所以．
【总结】考察利用代入法求函数的值，注意本题中解完方程后要检验．
1、 正比例函数
如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例．
解析式形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．其中常数k叫做比例系数．
2、 反比例函数
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例．
解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数．其中常数k叫做比例系数．
3、 正比例函数、反比例函数的图像及性质
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 （k是常数，） （k是常数，）
定义域 一切实数 的一切实数
k的符号 k > 0 k < 0 k > 0 k < 0
经过象限 一、三 二、四 一、三 二、四
图像
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【例7】 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y B．y C．y D．y
【标准答案】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：A．
【名师指路】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键．
【例8】 函数y（x＞0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】解：函数y（x＞0）的图象位于第四象限．
故选：D．
【名师指路】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象分布的象限是解题关键．
【例9】 关于反比例函数y，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点（2，2）
B．函数图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大
D．当x＞1时，y＜﹣4
【标准答案】解：A、关于反比例函数y，函数图象经过点（2，﹣2），故此选项错误；
B、关于反比例函数y，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；
C、关于反比例函数y，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；
D、关于反比例函数y，当x＞1时，y＞﹣4，故此选项错误；
故选：C．
【名师指路】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
【例10】 某山山脚的M处到山顶的N处有一条 ( http: / / www.21cnjy.com )长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，其间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分之间的函数关系如图中折线OABCD所示．
（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2 : 3，试求点C的纵坐标．
【标准答案】（1）；
（2）点C的纵坐标为．
【解析】（1）设
把代入得：
， ；
（2）设下山的两个速度分别是和
根据题意得：，，
，点C的纵坐标为．
【总结】本题考察的是函数在行程实际问题的运用．
1、 一次函数
一般的，解析式形如（k、b为常数，且）的函数叫做一次函数．
正比例函数与一次函数的关系：当时，解析式就成为（k、b为常数，且），这时，y是x的正比例函数．正比例函数是一次函数的特例．
2、 一次函数的图像和性质
函数 一次函数
解析式 （k、b为常数，且）
定义域 一切实数
k、b的符号 k > 0，b > 0 k > 0，b < 0 k < 0，b > 0 k < 0，b < 0
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
图像
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
【例11】 在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下 ( http: / / www.21cnjy.com )降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是 y＝﹣6x+2 ．
【标准答案】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：y＝﹣6x+2．
故答案为：y＝﹣6x+2．
【名师指路】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温＝地面的气温﹣降低的气温．
【例12】 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线yx，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线yx，
∴k，
∵一次函数的图象经过点A（2，3），
∴3b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为yx+2；
（2）由yx+2，令y＝0，得x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（0，y），
∵AC＝BC，
∴，
∴y，
经检验：y是原方程的根，
∴点C的坐标是（0，）．
【名师指路】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
【例13】 如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）21教育网
【标准答案】解：∵一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0＝k+3，
∴k＝﹣3，
∴y的值随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【例14】 如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A．k＞0且b＞0 B．k＞0且b＜0 C．k＜0且b＞0 D．k＜0且b＜0
【标准答案】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
故选：A．
【名师指路】本题考查了一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数图象与系数的关系，属于基础题．注意掌握直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【例15】 已知一次函数的图像经过点P（3，5），且平行于直线．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点Q（x，y）在该直线上，且在x轴的下方，求x的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设一次函数解析式为
∵该一次函数的图像经过点，∴
∴，
∴
（2）∵点在该直线上，且在轴的下方，
∴，解得：.
所以的取值范围是．
【总结】考察一次函数的平行性质即求解析式的方法以及一次函数的图像性质．
【例16】 一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时， ( http: / / www.21cnjy.com )该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b，
将（150，45）、（0，60）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴该一次函数解析式为yx+60．
（2）当yx+60＝8时，
解得x＝520．
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520＝10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
【名师指路】本题考查一次函数的应用、 ( http: / / www.21cnjy.com )待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
1、 二次函数
一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．
二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．
2、 二次函数的图像
1、的图像：
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
（3）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．【来源：21cnj*y.co*m】
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．
二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线．
2、二次函数的图像：
抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点．
3、二次函数的图像：
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．
抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
4、二次函数的图像：
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．
抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．2·1·c·n·j·y
5、二次函数的图像：
二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到．
这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位．
利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
6、二次函数的图像：
二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．
任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式．
对配方得：．
由此可知：
抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．
当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；
当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．
3、 二次函数的解析式的确定
1、一般式（）
（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；
（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．
2、顶点式（）
（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；
（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；
（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式．
3、交点式（）
（1）交点式：（），其中x1 ，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；
（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；
（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；
（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；
（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；
（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、
（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．
4、 二次函数的图像的平移
1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：
2、二次函数的平移
（1）将二次函数左右平移：
向左平移m个单位，函数解析式变为；
向右平移m个单位，函数解析式变为．
（2）将二次函数上下平移：
向上平移n个单位，函数解析式变为；
向下平移n个单位，函数解析式变为．
（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．www.21-cn-jy.com
5、 二次函数的图像的对称
1、关于x轴对称：
关于x轴对称后，得到的解析式是；
关于x轴对称后，得到的解析式是．
2、关于y轴对称：
关于y轴对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
3、关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是．
4、关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
5、关于点（p，q）对称：
关于点（p，q）对称后，得到的解析式是．
【例17】 如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为 ﹣2 ．
【标准答案】解：∵二次函数（m为常数）的图象有最高点，
∴，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【名师指路】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义确定m的值，难度不大．
【例18】 如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是 k＞2 ．
【标准答案】解：由题意可知：k﹣2＞0，
∴k＞2，
故答案为：k＞2．
【名师指路】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
【例19】 将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣2x﹣2 C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝x2﹣3x﹣1
【标准答案】解：∵将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，
∴平移后抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣1+1，即y＝x2﹣2x．
故选：A．
【名师指路】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．【版权所有：21教育】
【例20】 在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线yx2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原 ( http: / / www.21cnjy.com )点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】解：（1）把A（﹣1，0 ( http: / / www.21cnjy.com )）和点B（0，）代入yx2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为yx2+2x；
（2）∵y（x﹣2）2，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图，设CD＝t，则D（2，t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t，t），
把P（2+t，t）代入yx2+2x得（2+t）2+2（2+t）t，
整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时， （m2） 2＝8，解得m，此时M点坐标为（0，）；
当m＜0时， （﹣m2） 2＝8，解得m，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】本题考查了二次函数的综合题 ( http: / / www.21cnjy.com )：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
一、单选题
1．直线经过一、三、四象限，那么点第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【标准答案】D
【思路指引】
一次函数图象经过一、三象限则，经过三四象限则，所以的符号为，据此即可判断该点所在象限．
【详解详析】
有题意得，一次函数图象经过一、三象限则，经过三四象限则，
∴点的符号为，
∴点在第四象限，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一次函数的图象与性质，关键是掌握一次函数的系数对图象的影响．
2．如图，三角形ABC的面积等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12 B． C．13 D．
【标准答案】D
【思路指引】
过点A作轴于D，利用，求出，和进而进行求解即可．
【详解详析】
过点A作轴于D，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意可得，，，
，，
∴，
∴，
，
即，
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键．
3．如图，点A、B、C的坐标分别为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（6，5），（0，3），（3，0） B．（6，6），（3，0），（0，3）
C．（6，6），（0，3），（3，0） D．（5，5），（0，3），（3，0）
【标准答案】C
【思路指引】
根据直角坐标系即可直接写出各顶点的坐标．
【详解详析】
由图可知点A、B、C的坐标分别为（6，6），（0，3），（3，0）
故选：C．
【名师指路】
此题主要考查坐标的表示，解题的关键是熟知直角坐标系中坐标的表示方法．
4．小明早晨从家骑自行车去学校，先上坡后 ( http: / / www.21cnjy.com )下坡，如图所示如果返回时上、下坡的速度仍与上学时的上、下坡速度相同，那么小亮从学校骑车回家的时间是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【标准答案】D
【思路指引】
根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度．又已知返回途中的上、下坡的路程正好相反，故可计算出共用的时间．
【详解详析】
解：由图中可以看出：上坡速度为：3000÷15=200（米/分）；
下坡速度为：（9000-3000）÷（25-15）=600（米/分）；
小明从学校骑车回家用的时间是：（分钟）．
故选：D．
【名师指路】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，应先求出上坡速度和下坡速度，注意往返路程上下坡路程的转化．
5．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图②所示，则的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据函数图像分析各拐点的意义，时沿运动，时沿运动，可知，的值，从而求得；
【详解详析】
根据函数图像分析，
时，的值不断增大，沿运动；
时，的值没有变化，沿运动；
时，的值不断减小，沿运动；
,
四边形是矩形
故选A
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，动点问题，动点问题的函数图像的实际意义，理解函数图像中拐点的意义是解题的关键．
6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量间有如下关系，下列说法中不正确的是（ ）
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
A．x，y都是变量，x是自变量，y是x的函数
B．所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度为19cm
C．物体质量由5kg增加到7kg，弹簧的长度增加1cm
D．弹簧不挂重物时的长度为10cm
【标准答案】B
【思路指引】
由表格信息，可知弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数，设此函数的解析式为，从表中代入，理由待定系数法解题即可得到解析式表达式，即可判断A选项；由表格的信息可得，物体每增加，弹簧长度y增加，据此判断B、C选项；当时，，据此判断选项D，由此解题即可．
【详解详析】
解：设弹簧的长度与所挂物体质量的函数解析式为：，
把分别代入函数解析式中，得，
其中都是变量，是自变量，是的函数
故A正确；
由表格的信息可得，物体每增加，弹簧长度y增加，
故所挂物体的质量为时，即增加,弹簧长度为: ，
故B错误；
物体质量由5kg增加到7kg，物体的质量增加，弹簧的长度增加，
故C正确；
当时，，故弹簧不挂重物时的长度为，
故D正确，
故选：B．
【名师指路】
本题考查一次函数的应用，涉及函数的表示法—列表法、求一次函数解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程、都是行进时间的函数，它们的图像如图所示．下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②时，甲龙舟队处于领先位置；③当时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有次相距，其中正确结论的序号是（ ）
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【标准答案】C
【思路指引】
①观察图象信息，可知乙队在到达，甲队在到达，据此判断；
②结合图象信息，在时，甲队的行进路程大，据此解题；
③根据图象信息，甲队以同一速度匀速行进到终点，乙队先以一个速度匀速行进，之后改变速度再匀速行驶到终点，根据速度=路程时间，可判断甲、乙队变速前后的速度；
④根据图象信息，分三段研究：当、、时，分别解得甲、乙两支龙舟队相差的距离．
【详解详析】
．
①乙到达终点，甲到达终点，故①正确；
②由图像可得，时甲行驶路程大于乙，故②正确；
③当时，甲的速度为，乙的速度为，故③错误；从直线的倾斜程度也可得；
④当时，甲乙相距，所以在、时各有一次相距，当时，甲乙相距，所以共有次，故④正确，
故正确结论的序号是：①②④，
故选：C．
【名师指路】
本题考查函数的图象，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在双曲线y＝﹣上，下列说法中错误的是（ ）
A．若x1＝x2，则y1＝y2 B．若x1＝﹣x2，则y1＝﹣y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＜y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
【标准答案】D
【思路指引】
先把点A（x1，y1）、B（x2，y2）代入双曲线y＝，用y1、y2表示出x1，x2，据此进行判断．
【详解详析】
解：∵点（x1，y1），（x2，y2）均在双曲线y＝上，
∴y1＝，y2＝．
A、当x1＝x2时，＝，即y1＝y2，故本选项说法正确；
B、当x1＝﹣x2时，＝，即y1＝﹣y2，故本选项说法正确；
C、因为双曲线y＝位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以当0＜x1＜x2时，y1＜y2，故本选项说法正确；
D、因为双曲线y＝位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以当x1＜x2＜0时，y1y2，故本选项说法错误；2-1-c-n-j-y
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数的图象性质，熟悉掌握反比例函数的图象变化进行比较是解题的关键．
9．已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，如果x1＜x2，那么y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法判断
【标准答案】D
【思路指引】
由于未知与0的关系，故无法判断y1与y2的大小关系．
【详解详析】
点（x1，y1）和（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，
则反比例函数图象在第二、四象限，
当时，点（x1，y1）和（x2，y2）在第二象限，在第二象限反比例函数的图象随的增大而增大，则,
当时，点（x1，y1）在第二象限，点（x2，y2）在第四象限，则，
当时，，点（x1，y1）和（x2，y2）在第四象限，在第四象限反比例函数的图象随的增大而增大，则
综上所述，当未知与0的关系时，无法判断y1与y2的大小关系．
故选D
【名师指路】
本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
10．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论．【出处：21教育名师】
【详解详析】
解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴在反比例函数的解析式为：y=，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=，
∴OA1=2，
∴P2（2，），
同理，P3（22，），
…
∴Pn（2n-1，）．21*cnjy*com
当时，则有
的坐标为：（，）
故选：A．
【名师指路】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．
二、填空题
11．已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1 k2≠0，则y关于x成 ___比例．（填“正”或“反”）
【标准答案】反
【思路指引】
求出y与x的关系式即可求解．
【详解详析】
解：y与2z成反比例，则
z与x成正比例，则
将代入得
∵
∴
y关于x成反比例
故答案为：反
【名师指路】
此题考查了正比例函数和反比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数和反比例函数的定义，求得y与x的关系式．
12．平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为 ___．
【标准答案】
【思路指引】
首先可求得点向左平移m个单位后的点的坐标，再根据此点在反比例函数的图象上，把点的坐标代入函数解析式中即可求得m的值．
【详解详析】
点A（，2）向左平移m个单位后的坐标为（－m，2）
∵点（－m，2）在反比例函数y＝﹣的图象上
∴
解得：
故答案为：
【名师指路】
本题考查了平面直角坐标系中点的平移，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识是关键．
13．已知反比例函数的图像与正比例函数的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外一个交点的纵坐标为，那么常数k的值是__________．
【标准答案】3
【思路指引】
根据反比例函数与正比例函数的对称性可得图象经过的点坐标，进而求解．
【详解详析】
解：∵反比例函数的图像与正比例函数的图象都关于原点对称，
∴图象经过两点坐标为（1，3）与（-1，-3），
∴k=1×3=3．
故答案为：3．
【名师指路】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是熟练掌握两种函数的性质．
14．已知函数，那么________．
【标准答案】-1
【思路指引】
把x=-1代入函数即可求解．
【详解详析】
∵
∴
故答案为：-1．
【名师指路】
此题主要考查函数值求解，解题的关键是把自变量的值代入函数解析式．
15．等腰三角形中，底角的度数用x表示，顶角的度数用y表示，写出y关于x的函数解析式 ___，函数的定义域 ___．
【标准答案】
【思路指引】
根据等腰三角形的性质可知两底角相等，根据三角形内角和定理即可列出函数解析式，根据角度底角和顶角都大于0，列出不等式组求得定义域．
【详解详析】
等腰三角形中，底角的度数用x表示，顶角的度数用y表示，
即
解得
故答案为：，．
【名师指路】
本题考查了列函数解析式，一元一次不等式组的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理列出解析式是解题的关键．
16．在平面直角坐标系中，线段AB＝3，且ABx轴，如果点A的坐标为（﹣1，2），那么点B的坐标是 _______________．
【标准答案】（﹣4，2）或（2，2）
【思路指引】
根据ABx轴知点A、B纵坐标相等，再根据AB＝3知其横坐标的两种可能取值，从而得出答案．
【详解详析】
解：∵ABx轴且A（﹣1，2），
∴点B的纵坐标为2，
又∵AB＝3，
∴点B的横坐标为﹣1+3＝2或﹣1﹣3＝﹣4，
∴点B的坐标为（2，2）或（﹣4，2），
故答案为：（﹣4，2）或（2，2）．
【名师指路】
本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平行于坐标轴的两点的横纵坐标特点：平行于横轴时纵坐标相等，平行于纵轴时横坐标相等．
17．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，点在第二象限，那么点在第______象限．
【标准答案】三
【思路指引】
在第二象限中，横坐标小于0，在第四象限，纵坐标小于0，所以＜0，＜0，再根据每个象限的特点，得出点在第三象限，即可解答．
【详解详析】
解：∵点在第四象限，点在第二象限，
∴＜0，＜0，
∴点在第三象限，
故答案为：三．
【名师指路】
本题主要考查直角坐标平面中象限内点的坐标符号特征，由题意可知，，所以点C在第三象限.
18．在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点，如果整点在第二象限，那么的值为______．
【标准答案】0或
【思路指引】
根据点P所在的象限得出m的取值范围，再根据定义即可求得m的值．
【详解详析】
解：∵点在第二象限，
∴2m﹣1＜0且m+2＞0，
解得：﹣2＜m＜，
∵点P为整点，
∴m=0或﹣1，
故答案为：0或﹣1．
【名师指路】
本题考查已知点所在的象限、解一元一次不等式组，理解整点定义，能正确得出不等式组的整数解是解答的关键．
三、解答题
19．如图，是甲、乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量关于工作时间的函数图象，线段OA表示甲机器人的工作量（吨）关于时间（时）的函数图象，线段BC表示乙机器人的工作量（吨）关于时间（时）的函数图象．根据图象信息回答下列各题．
（1）填空：甲种机器人比乙种机器人早开始工作_____________小时；甲种机器人每小时的工作量是_____________吨；
（2）求直线BC的表达式．
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【标准答案】（1）3；；（2）．
【思路指引】
（1）观察图像理解两点的意义，根据图像中的数据求解即可；
（2）先求得的表达式，再求得线段与线段交点及点的坐标，用待定系数法求解析式即可．
【详解详析】
解：（1）点是乙种机器人开始工作的时间，所以甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时；
甲的工作总量为吨，工作时间为小时，所以，每小时的工作量为：
故答案为：3，
（2）设直线的表达式为，
把代入，得：
∴直线的表达式为，
令，得：
∴线段与线段交于点，
设直线的表达式为，
则：，
解得，
∴直线的表达式为．
【名师指路】
本题考查了一次函数图像的实际意义，待定系数法求解析式，求得线段与线段交点是解题的关键．
20．表示汽车性能的参数有很多，例如：长宽高 ( http: / / www.21cnjy.com ).轴距.排量.功率.扭矩.转速.百公里油耗等等.为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间t（h） 0 1 2 3 …
邮箱剩余油量Q（L） 100 94 88 82 …
①根据上表可知，每小时耗油升；
②根据上表的数据，写出用Q与t的关系式：；
③汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行驶了小时.
【标准答案】（1）6 (2)Q=100-6t (3)7.5
【思路指引】
①根据表中数据即可得到结论；
② ( http: / / www.21cnjy.com )由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少6L，据此可得t与Q的关系式；
③求汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行驶了多少小时即是求当Q=55时，t的值；
【详解详析】
①据上表可知，每小时耗油10 ( http: / / www.21cnjy.com )0-94=6 升；
②Q=100-6t；
③当Q=55时，55=100-6t，
6t=45，
t=7.5．
答：汽车行驶了7.5小时；21*cnjy*com
【名师指路】
此题考查常量与变量，函数的表示方法，整式的加减，解答本题的关键是列出表达式．
21．如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；
（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B'C′D′的顶点A′、B′两点的坐标．
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【标准答案】（1）5；（2）A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）．
【思路指引】
（1）过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝利用正方形的性质得AD＝DC，∠ADC＝，再根据等角的余角相等得到∠EDA＝∠OCD，利用全等三角形的判定方法可判断出△AED≌△DOC，从而得到OD＝EA＝5，于是确定点D的纵坐标；21·世纪*教育网
（2）作轴于M，轴于点N，设＝a，＝b，同理可得，利用全等的性质得，则，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，解方程组求出a、b，从而得到，两点的坐标．
【详解详析】
解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝．
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∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝，
∴∠ODC+∠EDA＝．
∵∠ODC+∠OCD＝，
∴∠EDA＝∠OCD，
在△AED和△DOC中
∴△AED≌△DOC（AAS），
∴OD＝EA＝5，
∴点D的纵坐标为5；
（2）作轴于M，轴于点N，
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设＝a，＝b，
同理可得
∴，
∴，，
∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，
∴，，
∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），
∴，两点的坐标分别为（2，4），（4，2）．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数的图象性质，正方型的性质，全等三角型的判定及性质等知识点，合理做出辅助线是解题的关键．
22．如图，点A、B在第一象限的反比例函数图像上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A、B的横坐标分别为6、2，AB=．
（1）求∠ACO的余弦值；
（2）求这个反比例函数的解析式．
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【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE ( http: / / www.21cnjy.com )⊥x轴，可证∠ACO=∠ABH，由点A、B的横坐标分别为6、2，可得AH=4，再由勾股定理可求得BH，即可求解∠ACO的余弦值；
（2）设反比例函数的解析式为，根据点A、B在第一象限的反比例函数图像上,则点A（6，），B（2，），由BH=2可得，求出k值，此题即可得解．
【详解详析】
解：（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，垂足分别为D、E，AD、BE相交于点H．
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∵BE∥y轴，
∴∠ACO=∠ABH，∠AHB=∠ADC=90°．
∵点A、B的横坐标分别为6、2，
∴AH=4．
在Rt△ABH中，∵BH=．
∴．
（2）设反比例函数的解析式为，
设点A（6，），则B（2，），
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【名师指路】
本题考查了反比例函数的图象与性质及求 ( http: / / www.21cnjy.com )锐角的三角函数值，掌握反比例函数的图象与性质并能结合反比例函数图象上的点的坐标特点求出函数表达式与角的三角函数值是解题的关键．
23．如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，是的中点，反比例函数图象过点且和相交于点．
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（1）直接写出点和点的坐标；
（2）求直线和反比例函数的解析式；
（3）连接、，求四边形的面积．
【标准答案】（1），；（2），；（3）
【思路指引】
（1）根据，和第一象限内点的坐标特征可求得B的坐标，根据E为AB的中点即可求得E点坐标；
（2）用待定系数法即可求得直线和反比例函数的解析式；
（3）根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．
【详解详析】
解：（1）∵，，四边形OABC为长方形，
∴BC⊥y轴，BA⊥x轴，，
∴
∵是的中点，
∴，
∴；
（2）设直线的解析式是，
把点坐标代入，得，
则直线的解析式是．
设反比例函数解析式是，
把点坐标代入，得，
则反比例函数的解析式是；
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（3）．
【名师指路】
本题考查待定系数法求反比例函数（一次函数）解析式和反比例函数比例系数k的几何意义的运用．理解反比例函数上任意一点向x轴（y轴）作垂线，这一点、垂足和原点所围成的三角形面积等于是解题关键．
函数与分析
知识结构
模块一：平面直角坐标系
知识精讲
例题解析
模块二：函数的有关概念
知识精讲
例题解析
模块三：正比例函数与反比例函数
知识精讲
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
例题解析
A
B
C
D
O
x（分）
y（米）
20
600
模块四：一次函数
知识精讲
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
例题解析
模块五：二次函数
知识精讲
1
2
3
4
1
2
3
4
x
y
x
y
O
O
1
2
1
2
-2
-1
-2
-1
图1
图2
向上（）或向下（）平移个单位
向上（）或向下（）平移个单位
向左（）或向右（）
平移个单位
向左（）或向右（）
平移个单位
向左（）或向右（）平移个单位
并向上（）或向下（）平移个单位
例题解析
随堂检测
课后作业
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