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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识结构 ( http: / / www.21cnjy.com )+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。
亲爱的老师，如果您认可我工作室所 ( http: / / www.21cnjy.com )创作的资料，请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
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1、 长方体的元素及特征
1、元素：长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．
2、特征：
（1）长方体的每个面都是长方形．
（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．
（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．
2、 长方体的直观图画法：斜二侧画法
水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：
第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，．（如图1所示）
第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）
第三步：顺次联结E、F、G、H．（如图3所示）
第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）
图4表示的长方体通常表示为A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD-EFGH．它的六个面通常表示为：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等．
3、 长方体中棱与棱的位置关系
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．
棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．
棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．
4、 长方体中棱与平面的位置关系
如图5，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD．
如图6，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ // 平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD．2·1·c·n·j·y
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象．
棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象．
5、 长方体中平面与平面的位置关系
如图7，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面．
如图8，平面平行于平面，记作平面//平面，读作平面平行于平面．
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．
面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象．【来源：21cnj*y.co*m】
【例1】 如图，已知长方体ABCD-EFGH．
（1）哪些棱与AB平行？
（2）哪些棱与AB垂直？
（3）哪些棱与AB异面？
【标准答案】（1）棱EF、HG、DC与AB平行；
（2）棱EA、FB、DA、CB与AB相交；
（3）棱EH、GF、DH、CG与AB异面．
【解析】长方体中与一个棱平行的有3条，垂直的有4条，异面的有4条．
【总结】考查长方体中相关基本概念．
【例2】 如图，已知长方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )-EFGH，与平面ADHE平行的平面是____________，与平面ADHE垂直的平面是____________．
【标准答案】平面BCGF；平面ABFE、平面ABCD、平面DCGH、平面EFGH．
【解析】长方体中与任何一个面平行的面有1个，与任何一个面垂直的
有4个面．
【总结】考查长方体中平面间的关系．
【例3】 关于长方体有下列三个结论：
长方体中每个面都是长方形；
长方体中每两个面都互相垂直；
长方体中相对的两个面是全等的长方形．
其中结论错误的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【标准答案】B
【解析】正确；对面互相平行，错误；正确．
【总结】考查长方体中每个面的特征及面与面之间的关系．
【例4】 如图，已知长方体ABCD-EFGH．这个 ( http: / / www.21cnjy.com )长方体中与棱HE平行的平面是____________，与棱HE垂直的平面是____________．
【标准答案】平面ABCD、BCGF；平面ABFE、平面DCGH．
【解析】长方体中与任何一条棱平行的面有两个，与任何
一条棱垂直的面也有两个．
【总结】考查长方体中棱与面的位置关系．
【例5】 已知一个长方体的长、宽、高的比是3 : 2 : 1，它的所有棱长的和是72 cm，那么这个长方体的体积是______．
【标准答案】．
【解析】设长、宽、高分别为3x、2x、x，则，
解得：，∴长、宽、高分别为9、6、3，
∴体积为．
【总结】考查长方体的体积的计算．
1、 邻补角
1、邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．如图，与有一条公共边OD，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，则与互为邻补角．
2、若与互为邻补角，则．
3、互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
2、 对顶角
1、对顶角的概念：
两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．如图，与有一个公共顶点O，并且的两边OB、OC分别与的两边OA、OD互为反向延长线，则与互为对顶角．
2、对顶角相等．
3、 垂线
1、垂线的概念：
如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2、垂直的符号：
记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：，读作“AB垂直于CD”．
注：垂直是特殊的相交．
3、在平面内，过直线上或直的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．
简单地说：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直．
4、联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
5、点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．
如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零．
4、 同位角、内错角、同旁内角
若直线a，b被直线l所截：
（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．如：和．
（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．如：和．
（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．如和．
注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．
5、 平行线
1、平行线的定义：同一平面内不想交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“//”表示．
2、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
3、平行线的判定：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单地说，同位角相等，两直线平行．
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单地说，内错角相等，两直线平行．
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单地说，同旁内角互补，两直线平行．
4、平行线的性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
简单地说：两直线平行，同位角相等．
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
简单地说：两直线平行，内错角相等．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
简单地说：两直线平行，同旁内角互补相等．
（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离．
【例6】 如图，∠1与∠2是（ ）
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A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．以上都不对
【标准答案】D
【思路指引】
由同位角、内错角、同旁内角的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解详析】
解：同位角，内错角，同旁内角都只涉及到三条线（直线或射线或线段）．
∠1与∠2共涉及到四条线（直线或射线或线段），不满足“三线八角”的概念．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，解题的关键是熟记定义进行解题．
【例7】 如图，直线 MN、PQ 相交于点 O，∠1︰∠2＝2︰3，∠NOP＝130°，则∠2＝_____．
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【标准答案】30°
【思路指引】
由∠1+∠2=180°-∠NOP，利用∠1︰∠2＝2︰3即可解答.
【详解详析】
根据题意可知：∠1+∠2=180°-∠NOP=50°，
∵∠1︰∠2＝2︰3，
∴∠1=20°，∠2=30°，
故答案为：30°.
【名师指路】
此题考查角度计算，邻补角，解题关键在于掌握其定义.
【例8】 已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角
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求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
【标准答案】垂直的意义；同角的余角相等．
【思路指引】
先根据垂直的意义可得，从而可得是的余角，再根据同角的余角相等即可得证．
【详解详析】
证明：∵（已知），
∴（垂直的意义），
∴是的余角，
∵是的余角（已知），
∴（同角的余角相等），
故答案为：垂直的意义；同角的余角相等．
【名师指路】
本题考查了垂直的意义、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解题关键．
【例9】 如图，直线都与直线相交，其中不能判定的条件是（ ）．
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A．∠1=∠2 B．∠3=∠6 C．∠1=∠4 D．∠5+∠8=180°
【标准答案】C
【思路指引】
根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行分析即可．
【详解详析】
解：A、∠1=∠2可根据同位角相等，两直线平行得到a∥b，不合题意；
B、∠3=∠6可根据内错角相等，两直线平行得到a∥b，不合题意；
C、∠1=∠4不能得到a∥b，符合题意；
D、∠5+∠8=180°可得∠3+∠2=180°，可根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b，不合题意；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平行线的判定，记住同 ( http: / / www.21cnjy.com )位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，解题的关键是搞清楚同位角、内错角、同旁内角的概念，属于中考常考题型．
【例10】 已知直线//，直线分别与直线、直线相交；点A在直线上，点B在直线上，点A、B在直线的同侧；点C在直线上，且点C不在与上．设直线AC与所夹的锐角为，直线BC与所夹的锐角为．试问、、之间有怎样的数量关系？证明你的结论．
【标准答案】见解析．
【解析】（1）当点C在直线与之间时，如图1，
过点C作CE∥，
则， ，
又，
∴；
（2）当点C不在直线与之间时．
①当点C接近时，如图2，
过点C作CE∥，则，，
又，
∴；
②当点C接近时，
同理可得：．
【总结】本题综合性较强，注意考查平行线的性质及角的和差的综合性运用，注意要分类讨
论．
1、 三角形的边与角
1、三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2、三角形的高、中线、角平分线：
①在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；
②联结三角形一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线；
③三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
3、三角形的内角和：三角形的内角和等于180°．
※一个三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角．
4、三角形的外角：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的外角和定义：对于三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于360°．
5、三角形的分类
三角形（按角分）；
三角形（按边分）．
2、 全等三角形
1、全等形的概念：能够重合的两个图形叫做全等形．
2、全等三角形的性质和判定方法：
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（S．A．S．）角边角（A．S．A．）角角边（A．A．S．）边边边（S．S．S．） 具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（H．L．）
性质 对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
②全等三角形面积相等．
3、证明题的思路：
3、 等腰三角形
1、等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角．
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相重合，简称：等腰三角形三线合一．
3、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的角平分线所在的直线．
4、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形．简称：等角对等边．【出处：21教育名师】
4、 直角三角形
1、直角三角形全等的判定：
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等（H．L．）．
2、直角三角形的性质：
（1）两个定理
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）两个推论
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．
3、勾股定理
（1）如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．21*cnjy*com
（2）勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足，那么三角形是直角三角形．
【例11】 已知有理数x，y满足+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上都不对
【标准答案】B
【思路指引】
根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系判断即可；
【详解详析】
∵+=0，
∴，
∴，，
设以4，8为两边长的等腰三角形的三边长分别为a，b，c，且，，则有两种情况：
当a为等腰三角形的腰时，有，此时，该等腰三角形不存在；
当b为等腰三角形的腰时，有，，该等腰三角形存在，周长为．
故答案选B．
【名师指路】
本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，绝对值和二次根式的非负性，准确分析计算是解题的关键．
【例12】 三角形三个外角的比为 2：3：4，则对应的三个内角之比为（ ）
A．2：3：4 B．4：3：2 C．5：3：1 D．1：3：5
【标准答案】C
【思路指引】
已知三角形三个外角的度数之比，可以设一份为 ( http: / / www.21cnjy.com )k°，根据三角形的外角和等于360°列方程求三个内角的度数，确定三角形内角的度数，然后求出度数之比．
【详解详析】
设一份为k°，
∵三个外角之比为 ( http: / / www.21cnjy.com )2：3：4，
∴三个外角的度数分别为2k°，3k°，4k°，
∵2k°+3k°+4k°=360°，解得k°=40°，
∴三个外角分别为80°，120°和160°，
∵三角形外角与它相邻的内角互补，与之对应的三个内角的度数分别是100°，60°和20°，
即三个内角的度数的比为5：3：1．
故选：C．
【名师指路】
此题考查三角形外角的性质，解题的关键是沟通外角和内角的关系．
【例13】 如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出则即可求．
【详解详析】
解：∵沿线段折叠，使点落在点处，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定 ( http: / / www.21cnjy.com )理、平行线的性质；解题的关键是，理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
【例14】 （1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）推广应用：应用旋转全 ( http: / / www.21cnjy.com )等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．21教育网
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【标准答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【思路指引】
（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED ( http: / / www.21cnjy.com )到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；21·cn·jy·com
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【详解详析】
（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．
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∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
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∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
【例15】 如图，已知中，，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【解析】A、勾股定理，正确；B、射影定理，正确；
C、直角三角形斜边中线等于斜边一半，正确；D、只有当∠A=30°时才成立，错误．
【总结】考查三角形的基本性质及其推论的运用．
一、单选题
1．如图，D是等边的边AC上的一点，E是等边外一点，若，，则对的形状最准确的是（ ）．
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A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
【标准答案】C
【思路指引】
先根据已知利用SAS判定△ABD≌△ACE得出AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，从而推出△ADE是等边三角形．
【详解详析】
解：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∵BD＝CE，∠1＝∠2，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．
2．如图，有A，B，C三个地点，且∠ABC＝90°，B地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的（ ）方向．
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A．南偏东47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．北偏西47°
【标准答案】D
【思路指引】
根据方向角的概念，和平行线的性质求解．
【详解详析】
解：如图：
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∵AF∥DE，
∴∠ABE＝∠FAB＝43°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣43°＝47°，
∴C地在B地的北偏西47°的方向上．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．如图，已知直线，相交于O，平分，，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先根据角平分线的定义求得∠AOC的度数，再根据邻补角求得∠BOC的度数即可．
【详解详析】
解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，
∴∠AOC＝∠EOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°．
故选：C．
【名师指路】
本题考查角平分线的有关计算，邻补角．能正确识图是解题关键．
4．如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，同理在AC和BC上也是相同的情况，由此求解即可．
【详解详析】
解：从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次，第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为×3=2π．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P点的运动轨迹．
5．如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意由角平分线先得到是含有角的直角三角形，结合直角三角形斜边上中线的性质进而得到OP，DP的值，再根据角平分线的性质以及垂线段最短等相关内容即可得到PC的最小值．
【详解详析】
解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，
∴，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴，
∴
∵点C是OB上一个动点
∴当时，PC的值最小，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴最小值，
故选C．
【名师指路】
本题主要考查了角平分线的性质、含有角的直角三角形的选择，直角三角形斜边上中线的性质、垂线段最短等相关内容，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，∠ABC＝30°，DC＝2.动点P从点B出发，沿着B→C→A运动，当S△PBE＝4时，则∠PEB度数是（ ）
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A．105° B．75°或105° C．150° D．75°或150°
【标准答案】D
【思路指引】
分两种情况：当点P在BC边上时，连接EP，过点E作于F，根据平行线之间距离相等可得：，由含30°角的直角三角形性质可得：，再结合三角形面积即可得出，最后运用三角形内角和定理及等腰三角形性质即可；当点P在AC边上时，过点P作于点G，利用角平分线判定定理可得出：BP平分，即点P与点D重合，再利用平行线性质即可．
【详解详析】
解：当点P在BC边上时，如图1，连接EP，过点E作于F，
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∵，，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点P在AC边上时，如图2，过点P作PG⊥AB于点G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴BP平分∠ABC，即点P与点D重合，
∵，
∴，
即，
综上所述，或，
故选：D．
【点评】
本题考查了直角三角形性质，角平分线性质和判定定理，平行线性质，等腰三角形性质等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．21·世纪*教育网
7．如图，四棱柱的高为9米，底面是边长为6米的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B．那么它爬行的最短路程为（ ）21*cnjy*com
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A．10米 B．12米 C．15米 D．20米
【标准答案】C
【思路指引】
将立体图形展开，有两种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可．
【详解详析】
解：如图，
（1）AB＝＝；
（2）AB＝＝15，
由于15＜，
则蚂蚁爬行的最短路程为15米．
故选：C．
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【名师指路】
本题考查了平面展开--最短路径问题，要注意，展开时要根据实际情况将图形安不同形式展开，再计算．
8．如图，C、D在线段BE上，下列说法：
①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；
②图中至少有2对互补的角；
③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；
④若BC=2，CD=DE=3，点F ( http: / / www.21cnjy.com )是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
按照两个端点确定一条线段即可判断①；根据 ( http: / / www.21cnjy.com )补角的定义即可判断②；根据角的和差计算机可判断③；分两种情况讨论：当点F在线段CD上时点F到点B、C、D、E的距离之和最小，当点F和E重合时，点F到点B、C、D、E的距离之和最大计算即可判断④．
【详解详析】
解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故此说法正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故此说法正确；
③由∠BAE=90°，∠CAD=40° ( http: / / www.21cnjy.com )，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=3∠BAE+∠CAD=310°，故此说法错误；
④如图1，当F不在CD上时，FB+ ( http: / / www.21cnjy.com )FC+FD+FE=BE+CD+2FC，如图2当F在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD，如图3当F与E重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2ED，同理当F与B重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2BC，
∵BC=2，CD=DE=3，
∴当F在的线段CD上最小，则点F到点B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=2+3+3+3=11，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB+FE+FD+FC=17，故此说法错误．
故选B．
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【名师指路】
本题主要考查了线段的数量问题，补角的定义，角的和差，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（ ）
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A． B．1 C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据是的重心可得，过O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E，易证OM=ON，设，分别表示出四边形和的面积即可
【详解详析】
过O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E
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∵是的重心，
∴，D是BC中点
∴BD=CD，
∵MN∥BC
∴
∴,
∴
∵ME∥AB
∴
∴
∴
设
∴
∴
∴
∵x为定值
∴当y越小时值越大
∴当时最大，此时GH∥BC
故选:A
【名师指路】
题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形的性质知识点．解题的关键是表示出
．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边在△ABC外部作正方形ADEB，CBFG，ACHI．将正方形ABED沿直线AB翻折，得到正方形ABE'D'，AD'与CH交于点N，点E'在边FG上，D'E'与CG交于点M，记△ANC的面积为S1，四边形的面积为S2，若CN＝2NH，S1+S2＝14，则正方形ABED的面积为（ ）
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A．25 B．26 C．27 D．28
【标准答案】B
【思路指引】
设，则，证明，得出，根据，再证明，得出，可以得出，得出等式，求解即可得到．
【详解详析】
解：设，则，
由题意知：，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中由勾股定理得：
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故选：B．
【名师指路】
本题考查正方形的性质、三角形相似、三角形全等、勾股定理，解题的关键是掌握相应的判定定理，通过转化的思想及等量代换的思想进行求解．www-2-1-cnjy-com
二、填空题
11．正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为_______．
颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿
对应数字 1 2 3 4 5 6
【标准答案】17
【思路指引】
首先根据图形找到各颜色的对面，之后再进行计算即可．
【详解详析】
解：由长方体图可知与红色相邻的有四种颜色：紫色，白色，蓝色，黄色，所以与之相对的颜色是绿色；
与黄色相邻的为白色，红色，蓝色，绿色，所以与之相对的是紫色．
最后一组相对的颜色是蓝色与白色．
∴长方体下底面四个面应是：紫，黄，绿，白．
对应数字分别是：5，2，6，4，
∴下底面数字之和为：，
故答案为：17．
【名师指路】
本题主要考查的是生活中的立体图形中的找对面问题，根据对应问题进行分析即可．
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，直线l是它的对称轴，∠B=53°，则∠D的大小为______°．
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【标准答案】127
【思路指引】
根据轴对称性质得出∠C=∠B=53°，根据平行线性质得出∠C+∠D=180°即可．
【详解详析】
解：直线l是四边形ABCD的对称轴，∠B=53°，
∴∠C=∠B=53°，
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=180°-53°=127°．
故答案为：127．
【名师指路】
本题考查轴对称性质，平行线性质，求一个角的的补角，掌握轴对称性质，平行线性质，求一个角的的补角．
13．如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若，则_______．
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【标准答案】62°
【思路指引】
如图，根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，再利用平角等于180°，据此求解即可．
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵纸片两边平行，
∴
由折叠的性质可知，，
∴，
∴=62°．
故答案为：62°．
【名师指路】
本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
14．如图，在等边中，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得，延长交于点F，则______．
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【标准答案】2
【思路指引】
由已知可得DF⊥AB，∠D＝∠AEF＝30°，设AF＝x，根据含30°角的直角三角形性质和勾股定理算出线段长即可．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠CED+∠D，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝∠CED＝30°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝90°，
∴设AF＝x，则AE＝2x，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴AB＝AC＝BC＝4x，
∴BF＝3x，
∵CD＝CE，
∴BD＝6x，
∴，
∴ED＝，
∴．
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查等边三角形与直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形与直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用是解题关键．
15．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是___________．
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【标准答案】4
【思路指引】
连接解直角三角形求出，再证明，即可解决问题．
【详解详析】
解：连接．
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，
可以假设，，
，，
，，
，，
，
或（舍弃），
，
，
，
故答案为：4．
【名师指路】
本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．
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【标准答案】①②④
【思路指引】
根据已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．
【详解详析】
解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
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∵FB＝BC，BD⊥AC，
∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠FBC＝∠ABE，
∴∠FBA＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴△FAB≌△CBE（SAS），
∴∠F＝∠BCE，
∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠DCE＝180°，
故②正确；
∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，
∴△BDC≌△BGC（AAS），
∴AD＝GE，CD＝CG，
∵AC＝AD+DC，
∴AC＝AD+CG
＝AD+GE+CE
＝2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC＝CF﹣AF，
∴AC＝2CD﹣CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
【名师指路】
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键．
17．如图，点P是等边△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．
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【标准答案】150°
【思路指引】
如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可 ( http: / / www.21cnjy.com )得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．
【详解详析】
解：连接PP′，
∵△PAC≌△P′AB，
∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
18．在△ABC中，AB＝8，点D、E分别是AC、BC上点，连接DE，将△CDE沿DE翻折得△FDE，点C的对应点F正好落在AB上，若∠1∠2＝90°，S△ADFS△CDE，△BEF的而积为12，则点D到BC的距离为 _____．
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【标准答案】
【思路指引】
连接CF，交DE于H，作DG⊥AB于G，通过证明△AGD≌△FGD，得AD=DF，从而可证D是AC中点，再证明E是BC中点，根据相似三角形的判定与性质，．设S△CDE=m，根据△BEF的而积为12求出m，然后根据三角形的面积公式和勾股定理求解即可．
【详解详析】
解：连接CF，交DE于H，作DG⊥AB于G，则∠AGD=∠DGF=90°，
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∵∠1∠2＝90°，∠1+∠GDF＝90°，
∴∠GDF＝∠2，
∴∠GDF＝∠3．
在△AGD和△FGD中
，
∴△AGD≌△FGD，
∴DA=DF，∠A=∠1．
由折叠的性质知，△AGD≌△FGD，
∴FD=CD，FE=CE，
∴∠4=∠5，AD=CD．
∵∠A+∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠AFC=90°，
∴∠BFC=90°．
∵，FE=CE，
∴∠6=∠7．
∵∠8+∠6=90°，
∴∠B+∠7=90°，
∴∠8=∠B，
∴FE=BE，
∴CE=BE，
∴D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE//AB，．
∴△CDE∽△CAB，
∴．
设S△CDE=m，则S△ACB=4m，
∵S△ADFS△CDE，
∴S△ADFm．
∵，
∴m+m+m+12=4m，
∴m=8，
∴S△CDE=8，S△ACB=32，S△BFE=32-8-8-4=12．
∵，AB=8，
∴CF=8．
∵DE//AB，
∴△ABF与△BFE等高，
∴AF：BF=S△ABF：S△BFE=4:12=1:3，
∴BF=AB=6．
∵∠BFC=90°，
∴BC==10．
∵E为BC中点，
∴BE=CE=5．
设D到BC的距离为h，
∵，
∴∴h=．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质，勾股定理， ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及两平行线间的距离等知识，证明、E分别为AC、BC的中点是解答本题的关键．
三、解答题
19．推理填空：如图，直线，并且被直线所截，交和于点，平分，平分，使说明．
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解：∵，
∴（ ）
∵平分，平分．
∴， （ ）
∵
∴（ ）
∵
∴（ ）
【标准答案】两直线平行，同位角相等；∠CNE，角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【思路指引】
利用平行线的性质定理和判定定理解答即可．
【详解详析】
解：∵AB∥CD，
∴∠AME＝∠CNE．（两直线平行，同位角相等），
∵MP平分∠AME，NQ平分∠CNE，
∴∠1＝∠AME，=∠CNE．（ 角平分线的定义），
∵∠AME＝∠CNE，
∴∠1＝∠2．（等量代换），
∵∠1＝∠2，
∴MP∥NQ．（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；∠CNE，角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【名师指路】
此题考查的是平行线的判定及性质，掌握平行线的性质定理和判定定理是解决此题的关键．
20．已知：如图，中，与的平分线交于点D，过点D的BC的平行线分别交AB于E，交BC于F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的周长．
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【标准答案】（1）见解析；（2）9
【思路指引】
（1）根据平行线的性质与角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，同理可得，进而即可证明，即21世纪教育网版权所有
（2）根据含30度角的直角三角形的性质和（1）的结论，即可求得的周长
【详解详析】
（1）证明：∵AD平分，
∴
∵，
∴，，
∴
同理可证：
∴
即
（2）∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为：
．
【名师指路】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，掌握等角对等边是解题的关键．2-1-c-n-j-y
21．在边长为10厘米的等边三角形△ABC中，如果点M，N都以3厘米/秒的速度匀速同时出发．
（1）若点M在线段AC上由A向C运动，点N在线段BC上由C向B运动．
①如图①，当BD＝6，且点M，N在线段上移动了2s，此时△AMD和△BND是否全等，请说明理由．
②求两点从开始运动经过几秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若点M在线段AC上由A向点C方向运动 ( http: / / www.21cnjy.com )，点N在线段CB上由C向点B方向运动，运动的过程中，连接直线AN，BM，交点为E，探究所成夹角∠BEN的变化情况，结合计算加以说明．
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【标准答案】（1）①证明见解析；②经过或秒后，△CMN是直角三角形；（2）∠BEN＝60°，证明见解析
【思路指引】
（1）①根据题意得出AM＝BD，AD＝BN，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，利用SAS定理证明△AMD≌△BDN；
②分∠CNM＝90°、∠CMN＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（2）证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质得到∠ABM＝∠CAN，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解详析】
（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当点M，N在线段上移动了2s时，AM＝6厘米，CN＝6厘米，
∴BN＝BC﹣CN＝4厘米，
∵AB＝10厘米，BD＝6厘米，
∴AD＝4厘米，
∴AM＝BD，AD＝BN，
在△AMD和△BDN中，
，
∴△AMD≌△BDN（SAS）；
②设经过t秒后，△CMN是直角三角形，
由题意得：CM＝（10﹣3t）厘米，CN＝3t厘米，
当∠CNM＝90°时，
∵∠C＝60°，
∴∠CMN＝30°，
∴CM＝2CN，即10﹣3t＝2×3t，
解得：t＝，
当∠CMN＝90°时，CN＝2CM，即2（10﹣3t）＝3t，
解得：t＝，
综上所述：经过或秒后，△CMN是直角三角形；
（2）如图所示，由题意得：AM＝CN，
在△ABM和△CAN中，
，
∴△ABM≌△CAN（SAS），
∴∠ABM＝∠CAN，
∴∠BEN＝∠ABE+∠BAE＝∠CAN+∠BAE＝60°．
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【名师指路】
本题考查了全等三角形的判断以及列一元 ( http: / / www.21cnjy.com )一次方程动点相关问题，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；一元一次方程与几何图形的相结合的题，多数会涉及到动点的问题，需要对动点的位置进行讨论，讨论时要注意讨论全面，做到不重不漏，通常会按照从左到右或从上到下的方位进行考虑．
22．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tan∠A=，点D是射线AB上的一动点，联结DC，过点C作DC⊥CE，垂足为C，联结DE使得∠CDE=∠A，联结BE；设AD=x，△BDE面积为y．
（1）如图1，求证：△ACD∽△BCE；
（2）当D在AB延长线上时，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）在点D的运动过程中，记射线EB与射线CD交于点P，若△EDP是等腰三角形，直接写出x的值．
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【标准答案】（1）见解析；（2），x＞10；（3）．
【思路指引】
（1）由∠ACB＝∠DCE和∠CDE=∠A得出△CDE∽△CAB得出对应边成比例，等量代换得∠ACD＝∠BCE即可判断结论；
（2）由三角函数值和勾股定理求得BC、AC的 ( http: / / www.21cnjy.com )值，由△ACD∽△BCE，表示出BE的长度，并得出BE⊥AD，在Rt△BDE中，由三角形面积公式表示y化简即可；
（3）先判断DP=DE,表示出，再根据勾股定理解题即可求出x的值．
【详解详析】
解（1）证明：∵DC⊥CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠CDE=∠A，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tan∠A=，
∴，
则设BC＝3a，AC＝4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝102，
解得：a＝2，
∴BC＝6，AC＝8，
由△ACD∽△BCE，AD=x，△BDE面积为y．
∴∠A＝∠CBE，，即，
∴，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠CBE＝90°，即BE⊥AD，
∴在Rt△BDE中，BD＝AD－AB＝x－10，
（x＞10），
（3）如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
．
是等腰三角形
由（2）知
即当△EDP是等腰三角形时，．
【名师指路】
本题考查相似三角形综合题，涉及相似三角形的判断与性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，有难度，掌握相关知识是解题关键．21教育名师原创作品
23．在Rt△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）观察猜想： 如图（1），DP与CP之间的数量关系是 ，DP与CP之间的位置关系是 ．
（2）类比探究： 将图（1）中的△BDE ( http: / / www.21cnjy.com )绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）问题解决： 若BC＝3BD＝3， 将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB时，请直接写出线段CP的长．
【标准答案】（1）PD＝PC，PD⊥PC；（2）成立，见解析；（3）2或4
【思路指引】
（1）根据直角三角形斜边中线的性质，可得，根据角之间的关系即可，即可求解；
（2）过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O，根据全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）分两种情况，当点E在BC的上方时和当点E在BC的下方时，过点P作PQ⊥BC于Q，利用等腰直角三角形的性质求得，即可求解．
【详解详析】
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，
∵，
∴，
∵点P为AE的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴
故答案为：，．
（2）结论成立．理由如下：
过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O．
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则
∴，
∴，，
由勾股定理可得：
∴
∴
∴
∵点P为AE的中点，
∴
∴
在中，，
∴，
∴
∴
∴，
∴
∴，
∴．
（3）如图3﹣1中，当点E在BC的上方时，过点P作PQ⊥BC于Q．
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则，
∴
∵
∴
由（2）可得，，，∴为等腰直角三角形
∴
∴
由勾股定理得，
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如图3﹣2中，当点E在BC的下方时，同法可得PC＝PD＝2．
综上所述，PC的长为4或2．
【名师指路】
此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，做辅助线，构造出全等三角形．【版权所有：21教育】
长方体与三角形
知识结构
模块一：长方体的再认识
知识精讲
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
图1
图2
图3
图4
A
B
C
D
P
Q
A
B
C
D
P
Q
图5
图6
例题解析
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
模块二：相交线与平行线
知识精讲
A
D
O
B
1
2
3
4
A
B
C
D
O
a
b
l
1
2
3
4
5
6
7
8
例题解析
图2
模块三：三角形
知识精讲
例题解析
A
B
C
M
H
随堂检测
课后作业
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识结构 ( http: / / www.21cnjy.com )+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21教育网
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1、 长方体的元素及特征
1、元素：长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．
2、特征：
（1）长方体的每个面都是长方形．
（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．
（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．
2、 长方体的直观图画法：斜二侧画法
水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：
第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，．（如图1所示）
第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）21·cn·jy·com
第三步：顺次联结E、F、G、H．（如图3所示）
第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）
图4表示的长方体通常表示为ABCD- ( http: / / www.21cnjy.com )EFGH．它的六个面通常表示为：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等．21教育名师原创作品
3、 长方体中棱与棱的位置关系
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．
棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．
棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．
4、 长方体中棱与平面的位置关系
如图5，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD．21cnjy.com
如图6，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ // 平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD．21*cnjy*com
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象．
棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象．
5、 长方体中平面与平面的位置关系
如图7，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面．
如图8，平面平行于平面，记作平面//平面，读作平面平行于平面．
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．
面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象．21·世纪*教育网
【例1】 如图，已知长方体ABCD-EFGH．
（1）哪些棱与AB平行？
（2）哪些棱与AB垂直？
（3）哪些棱与AB异面？
【例2】 如图，已知长方体ABCD-E ( http: / / www.21cnjy.com )FGH，与平面ADHE平行的平面是____________，与平面ADHE垂直的平面是____________．
【例3】 关于长方体有下列三个结论：
长方体中每个面都是长方形；
长方体中每两个面都互相垂直；
长方体中相对的两个面是全等的长方形．
其中结论错误的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例4】 如图，已知长方体ABCD-E ( http: / / www.21cnjy.com )FGH．这个长方体中与棱HE平行的平面是____________，与棱HE垂直的平面是____________．
【例5】 已知一个长方体的长、宽、高的比是3 : 2 : 1，它的所有棱长的和是72 cm，那么这个长方体的体积是______．
1、 邻补角
1、邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．如图，与有一条公共边OD，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，则与互为邻补角．
2、若与互为邻补角，则．
3、互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
2、 对顶角
1、对顶角的概念：
两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．如图，与有一个公共顶点O，并且的两边OB、OC分别与的两边OA、OD互为反向延长线，则与互为对顶角．
2、对顶角相等．
3、 垂线
1、垂线的概念：
如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．【出处：21教育名师】
2、垂直的符号：
记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：，读作“AB垂直于CD”．
注：垂直是特殊的相交．
3、在平面内，过直线上或直的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．
简单地说：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直．
4、联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
5、点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．
如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零．
4、 同位角、内错角、同旁内角
若直线a，b被直线l所截：
（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．如：和．
（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．如：和．
（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．如和．
注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．
5、 平行线
1、平行线的定义：同一平面内不想交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“//”表示．
2、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
3、平行线的判定：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单地说，同位角相等，两直线平行．
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单地说，内错角相等，两直线平行．
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单地说，同旁内角互补，两直线平行．
4、平行线的性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
简单地说：两直线平行，同位角相等．
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
简单地说：两直线平行，内错角相等．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
简单地说：两直线平行，同旁内角互补相等．
（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离．
【例6】 如图，∠1与∠2是（ ）
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A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．以上都不对
【例7】 如图，直线 MN、PQ 相交于点 O，∠1︰∠2＝2︰3，∠NOP＝130°，则∠2＝_____．
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【例8】 已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角
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求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
【例9】 如图，直线都与直线相交，其中不能判定的条件是（ ）．
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A．∠1=∠2 B．∠3=∠6 C．∠1=∠4 D．∠5+∠8=180°
【例10】 已知直线//，直线分别与直线、直线相交；点A在直线上，点B在直线上，点A、B在直线的同侧；点C在直线上，且点C不在与上．设直线AC与所夹的锐角为，直线BC与所夹的锐角为．试问、、之间有怎样的数量关系？证明你的结论．
1、 三角形的边与角
1、三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2、三角形的高、中线、角平分线：
①在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；
②联结三角形一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线；
③三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
3、三角形的内角和：三角形的内角和等于180°．
※一个三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角．
4、三角形的外角：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的外角和定义：对于三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于360°．
5、三角形的分类
三角形（按角分）；
三角形（按边分）．
2、 全等三角形
1、全等形的概念：能够重合的两个图形叫做全等形．
2、全等三角形的性质和判定方法：
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（S．A．S．）角边角（A．S．A．）角角边（A．A．S．）边边边（S．S．S．） 具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（H．L．）
性质 对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
②全等三角形面积相等．
3、证明题的思路：
3、 等腰三角形
1、等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角．
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相重合，简称：等腰三角形三线合一．
3、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的角平分线所在的直线．
4、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形．简称：等角对等边．21世纪教育网版权所有
4、 直角三角形
1、直角三角形全等的判定：
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等（H．L．）．
2、直角三角形的性质：
（1）两个定理
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）两个推论
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．
3、勾股定理
（1）如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足，那么三角形是直角三角形．
【例11】 已知有理数x，y满足+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上都不对
【例12】 三角形三个外角的比为 2：3：4，则对应的三个内角之比为（ ）
A．2：3：4 B．4：3：2 C．5：3：1 D．1：3：5
【例13】 如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【例14】 （1）基础应用：如图1，在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；21*cnjy*com
（2）推广应用：应用旋转全等的 ( http: / / www.21cnjy.com )方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；【版权所有：21教育】
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．
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【例15】 如图，已知中，，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．如图，D是等边的边AC上的一点，E是等边外一点，若，，则对的形状最准确的是（ ）．2-1-c-n-j-y
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A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
2．如图，有A，B，C三个地点，且∠ABC＝90°，B地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的（ ）方向．
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A．南偏东47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．北偏西47°
3．如图，已知直线，相交于O，平分，，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
4．如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
5．如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，∠ABC＝30°，DC＝2.动点P从点B出发，沿着B→C→A运动，当S△PBE＝4时，则∠PEB度数是（ ）
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A．105° B．75°或105° C．150° D．75°或150°
7．如图，四棱柱的高为9米，底面是边长为6米的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B．那么它爬行的最短路程为（ ）
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A．10米 B．12米 C．15米 D．20米
8．如图，C、D在线段BE上，下列说法：
①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；
②图中至少有2对互补的角；
③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；
④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE ( http: / / www.21cnjy.com )上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（ ）
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A． B．1 C． D．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边在△ABC外部作正方形ADEB，CBFG，ACHI．将正方形ABED沿直线AB翻折，得到正方形ABE'D'，AD'与CH交于点N，点E'在边FG上，D'E'与CG交于点M，记△ANC的面积为S1，四边形的面积为S2，若CN＝2NH，S1+S2＝14，则正方形ABED的面积为（ ）
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A．25 B．26 C．27 D．28
二、填空题
11．正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为_______．
颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿
对应数字 1 2 3 4 5 6
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，直线l是它的对称轴，∠B=53°，则∠D的大小为______°．
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13．如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若，则_______．
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14．如图，在等边中，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得，延长交于点F，则______．
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15．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是___________．
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16．如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．
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17．如图，点P是等边△ABC内的一点， ( http: / / www.21cnjy.com )PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．
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18．在△ABC中，AB＝8，点D、E分别是AC、BC上点，连接DE，将△CDE沿DE翻折得△FDE，点C的对应点F正好落在AB上，若∠1∠2＝90°，S△ADFS△CDE，△BEF的而积为12，则点D到BC的距离为 _____．
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三、解答题
19．推理填空：如图，直线，并且被直线所截，交和于点，平分，平分，使说明．
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解：∵，
∴（ ）
∵平分，平分．
∴， （ ）
∵
∴（ ）
∵
∴（ ）
20．已知：如图，中，与的平分线交于点D，过点D的BC的平行线分别交AB于E，交BC于F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的周长．
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21．在边长为10厘米的等边三角形△ABC中，如果点M，N都以3厘米/秒的速度匀速同时出发．
（1）若点M在线段AC上由A向C运动，点N在线段BC上由C向B运动．
①如图①，当BD＝6，且点M，N在线段上移动了2s，此时△AMD和△BND是否全等，请说明理由．
②求两点从开始运动经过几秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若点M在线段AC上由 ( http: / / www.21cnjy.com )A向点C方向运动，点N在线段CB上由C向点B方向运动，运动的过程中，连接直线AN，BM，交点为E，探究所成夹角∠BEN的变化情况，结合计算加以说明．
( http: / / www.21cnjy.com / )
22．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tan∠A=，点D是射线AB上的一动点，联结DC，过点C作DC⊥CE，垂足为C，联结DE使得∠CDE=∠A，联结BE；设AD=x，△BDE面积为y．
（1）如图1，求证：△ACD∽△BCE；
（2）当D在AB延长线上时，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）在点D的运动过程中，记射线EB与射线CD交于点P，若△EDP是等腰三角形，直接写出x的值．
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23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP．www.21-cn-jy.com
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（1）观察猜想： 如图（1），DP与CP之间的数量关系是 ，DP与CP之间的位置关系是 ．
（2）类比探究： 将图（ ( http: / / www.21cnjy.com )1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．2·1·c·n·j·y
（3）问题解决： 若BC＝3BD＝3， 将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB时，请直接写出线段CP的长．【来源：21cnj*y.co*m】
长方体与三角形
知识结构
模块一：长方体的再认识
知识精讲
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
图1
图2
图3
图4
A
B
C
D
P
Q
A
B
C
D
P
Q
图5
图6
例题解析
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
模块二：相交线与平行线
知识精讲
A
D
O
B
1
2
3
4
A
B
C
D
O
a
b
l
1
2
3
4
5
6
7
8
例题解析
模块三：三角形
知识精讲
例题解析
A
B
C
M
H
随堂检测
课后作业
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