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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”， ( http: / / www.21cnjy.com )即八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21cnjy.com
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1、 平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．2-1-c-n-j-y
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限．
2、 点的坐标
1、点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．
2、平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标．
3、不同位置的点的坐标的特征：
①各象限内点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一象限x > 0，y > 0；
点P（x，y）在第二象限x < 0，y > 0；
点P（x，y）在第三象限x < 0，y < 0；
点P（x，y）在第四象限x > 0，y < 0．
②坐标轴上的点的特征：
点P（x，y）在x轴上y = 0，x为任意实数；
点P（x，y）在y轴上x= 0，y为任意实数；
点P（x，y）既在x轴上，又在y轴上x = y = 0，即点P坐标为（0，0）．
③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线上x = y；
点P（x，y）在第二、四象限夹角平分线上x + y = 0．
④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同．
3、 点的运动
1、点到坐标轴及原点的距离：
点P（x，y）到x轴的距离等于；
点P（x，y）到y轴的距离等于．
2、在直角坐标平面内：
平行于x轴的直线上的两点A（，）、B（，y）的距离；
平行于y轴的直线上的两点C（x，）、D（x，）的距离．
点P到原点的距离等于．
两点间的距离公式：点A坐标为（，），点B坐标为（，），则AB间的距离，即线段AB的长度为．21教育网
3、点的对称：
若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为（a，），P关于y轴对称的点为（，b），关于原点对称的点为（，）．
4、坐标平移：
若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（，b），向右平移h个单位，坐标变为P（，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，），向下平移h个单位，坐标变为P（a，）．
【例1】 在平面直角坐标系中，若点P（，x）在第二象限，则x的取值范围为____________．
【标准答案】
【解析】第二象限点坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正；且
．
【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点．
【例2】 点P在第三象限,点P到轴的距离是5,到轴的距离是3,则点P的坐标( )
A．(3,－5) B．(－5，－3) C．(－3，－5) D．(－3，5)
【标准答案】C
【详解详析】
分析：根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
详解：∵点P在第三象限，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标为 3，纵坐标为 5，
∴点P的坐标为( 3, 5).
故选C.
点睛：考查了点的坐标特征，熟记到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值.
【例3】 点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据点到轴的距离为得到点P的纵坐标为5或-5，由此得到答案.
【详解详析】
∵点到轴的距离为，
∴点P的纵坐标为5或-5，
∴点P的坐标为或，
故选：B.
【名师指路】
此题考查点与坐标轴的距离与点坐标的关系：点到x轴距离是点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点横坐标的绝对值.
1、 函数
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与 ( http: / / www.21cnjy.com )y，如果对于变量x在允许取值范围内的每一个确定值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
2、 函数的定义域
函数自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域．
3、 函数值
如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x = a时的函数值，可记为．
【例4】 函数的定义域是__________．
【标准答案】．
【解析】，定义域分别看和的取值范围，分式分母不为零，
．
【总结】考查函数的定义域求法，注意含有分母时，分母要不为零．
【例5】 已知，那么______．
【难度】★
【标准答案】．
【解析】．
【总结】考察利用代入法求函数值．
【例6】 已知函数，若，
那么x =______．
【标准答案】．
【解析】，，，经检验
是无理方程的根，所以．
【总结】考察利用代入法求函数的值，注意本题中解完方程后要检验．
1、 正比例函数
如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例．
解析式形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．其中常数k叫做比例系数．
2、 反比例函数
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例．
解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数．其中常数k叫做比例系数．
3、 正比例函数、反比例函数的图像及性质
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 （k是常数，） （k是常数，）
定义域 一切实数 的一切实数
k的符号 k > 0 k < 0 k > 0 k < 0
经过象限 一、三 二、四 一、三 二、四
图像
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【例7】 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y B．y C．y D．y
【标准答案】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：A．
【名师指路】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键．
【例8】 函数y（x＞0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】解：函数y（x＞0）的图象位于第四象限．
故选：D．
【名师指路】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象分布的象限是解题关键．
【例9】 关于反比例函数y，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点（2，2）
B．函数图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大
D．当x＞1时，y＜﹣4
【标准答案】解：A、关于反比例函数y，函数图象经过点（2，﹣2），故此选项错误；
B、关于反比例函数y，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；
C、关于反比例函数y，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；
D、关于反比例函数y，当x＞1时，y＞﹣4，故此选项错误；
故选：C．
【名师指路】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
【例10】 某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为6 ( http: / / www.21cnjy.com )00米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，其间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分之间的函数关系如图中折线OABCD所示．2·1·c·n·j·y
（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2 : 3，试求点C的纵坐标．21教育名师原创作品
【标准答案】（1）；
（2）点C的纵坐标为．
【解析】（1）设
把代入得：
， ；
（2）设下山的两个速度分别是和
根据题意得：，，
，点C的纵坐标为．
【总结】本题考察的是函数在行程实际问题的运用．
1、 一次函数
一般的，解析式形如（k、b为常数，且）的函数叫做一次函数．
正比例函数与一次函数的关系：当时，解析式就成为（k、b为常数，且），这时，y是x的正比例函数．正比例函数是一次函数的特例．
2、 一次函数的图像和性质
函数 一次函数
解析式 （k、b为常数，且）
定义域 一切实数
k、b的符号 k > 0，b > 0 k > 0，b < 0 k < 0，b > 0 k < 0，b < 0
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
图像
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
【例11】 在登山过程中，海拔每升高1千 ( http: / / www.21cnjy.com )米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是 y＝﹣6x+2 ．21世纪教育网版权所有
【标准答案】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：y＝﹣6x+2．
故答案为：y＝﹣6x+2．
【名师指路】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温＝地面的气温﹣降低的气温．【来源：21cnj*y.co*m】
【例12】 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线yx，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线yx，
∴k，
∵一次函数的图象经过点A（2，3），
∴3b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为yx+2；
（2）由yx+2，令y＝0，得x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（0，y），
∵AC＝BC，
∴，
∴y，
经检验：y是原方程的根，
∴点C的坐标是（0，）．
【名师指路】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
【例13】 如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）21*cnjy*com
【标准答案】解：∵一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0＝k+3，
∴k＝﹣3，
∴y的值随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【名师指路】本题考查了一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【例14】 如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A．k＞0且b＞0 B．k＞0且b＜0 C．k＜0且b＞0 D．k＜0且b＜0
【标准答案】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
故选：A．
【名师指路】本题考查了一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数图象与系数的关系，属于基础题．注意掌握直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【例15】 已知一次函数的图像经过点P（3，5），且平行于直线．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点Q（x，y）在该直线上，且在x轴的下方，求x的取值范围.
【标准答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设一次函数解析式为
∵该一次函数的图像经过点，∴
∴，
∴
（2）∵点在该直线上，且在轴的下方，
∴，解得：.
所以的取值范围是．
【总结】考察一次函数的平行性质即求解析式的方法以及一次函数的图像性质．
【例16】 一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时， ( http: / / www.21cnjy.com )该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
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【标准答案】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b，
将（150，45）、（0，60）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴该一次函数解析式为yx+60．
（2）当yx+60＝8时，
解得x＝520．
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520＝10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
【名师指路】本题考查一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
1、 二次函数
一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．
二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．
2、 二次函数的图像
1、的图像：
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．
二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线．
2、二次函数的图像：
抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点．
3、二次函数的图像：
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．
抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
4、二次函数的图像：
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．
抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
5、二次函数的图像：
二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到．
这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位．
利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
6、二次函数的图像：
二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．
任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式．
对配方得：．
由此可知：
抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．
当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；
当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．
3、 二次函数的解析式的确定
1、一般式（）
（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；
（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．
2、顶点式（）
（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；
（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；
（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式．
3、交点式（）
（1）交点式：（），其中x1 ，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；
（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；
（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；
（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；
（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；
（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、
（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．
4、 二次函数的图像的平移
1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：
2、二次函数的平移
（1）将二次函数左右平移：
向左平移m个单位，函数解析式变为；
向右平移m个单位，函数解析式变为．
（2）将二次函数上下平移：
向上平移n个单位，函数解析式变为；
向下平移n个单位，函数解析式变为．
（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
5、 二次函数的图像的对称
1、关于x轴对称：
关于x轴对称后，得到的解析式是；
关于x轴对称后，得到的解析式是．
2、关于y轴对称：
关于y轴对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
3、关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是．
4、关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
5、关于点（p，q）对称：
关于点（p，q）对称后，得到的解析式是．
【例17】 如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为 ﹣2 ．
【标准答案】解：∵二次函数（m为常数）的图象有最高点，
∴，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【名师指路】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义确定m的值，难度不大．
【例18】 如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是 k＞2 ．
【标准答案】解：由题意可知：k﹣2＞0，
∴k＞2，
故答案为：k＞2．
【名师指路】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
【例19】 将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣2x﹣2 C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝x2﹣3x﹣1
【标准答案】解：∵将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，
∴平移后抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣1+1，即y＝x2﹣2x．
故选：A．
【名师指路】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．
【例20】 在平面直角坐标系xOy中（如图）．已 ( http: / / www.21cnjy.com )知抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C ( http: / / www.21cnjy.com )移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
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【标准答案】解：（1）把A（﹣1，0）和点B ( http: / / www.21cnjy.com )（0，）代入yx2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为yx2+2x；
（2）∵y（x﹣2）2，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图，设CD＝t，则D（2，t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t，t），
把P（2+t，yx2+2x得（2+t）2+2（2+t）t，
整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时， （m2） 2＝8，解得m，此时M点坐标为（0，）；
当m＜0时， （﹣m2） 2＝8，解得m，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】本题考查了二次函数的综合题 ( http: / / www.21cnjy.com )：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
一、单选题
1．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
… -2 0 1 3 …
… 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【标准答案】C
【思路指引】
利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．
【详解详析】
解：设二次函数的解析式为，
依题意得：，解得：，
∴二次函数的解析式为=，
∵，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．
2．已知抛物线，是常数，且，下列选项中可能是它大致图像的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】D
【思路指引】
根据抛物线对称轴位置和a，b ( http: / / www.21cnjy.com )的关系以及利用图象开口方向与a的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x轴正半轴，利用图象与y轴交点和c的符号，进而得出答案．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解：∵抛物线，a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a 2＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝2，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：D．
【名师指路】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握图象对称轴位置与a，b的关系是解题关键．
3．若二次函数的图像经过一、二、三象限，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．．
【标准答案】D
【思路指引】
二次函数的图像经过一、二、三象限,则此二次函数开口向上,与y轴交于(0,1),对称轴在y轴左侧,按此分析各选项即可;【出处：21教育名师】
【详解详析】
解: 的图像经过一、二、三象限
∴二次函数开口向上,即,故B错;
二次函数与x轴有两个交点,即,故A错;
对称轴在y轴左侧,即＜0,又可得,故C错;
当x=1时,y＞0,∴a-b+1＞0,即,故D对．
故答案为:D
【名师指路】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出系数间的关系是解题的关键．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图像的对称轴是直线x＝1，其图像一部分如图所示，对于下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．abc＞0 B．a﹣b+c＜0
C．b+c＜0 D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
【标准答案】B
【思路指引】
根据二次函数图像与系数的关系，求得的符号，再根据特殊点的值，判断的符号，再根据函数图像确定y＞0的范围即可．
【详解详析】
解：由函数图像可知，开口向下，对称轴在右侧，与轴交点在轴上方
∴，异号，
∴
∴，，即A、C选项错误，不符合题意；
对称轴，和，函数值相等，由图像可得，，
∴，，即，B选项正确，符合题意；
由图像可得，，，很显然当﹣1＜x＜3时，y不一定大于0，D选项错误，不符合题意；
故选B
【名师指路】
此题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的有关性质．
5．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据图象的性质，当y＜-1即图象在y轴右方，x＞0．
【详解详析】
解：根据图象和数据可知，当y＜-1即图象在y轴右方，x＞0．
故选：D．
【名师指路】
本题考查一次函数与一元一次不等式，关键把握准：y＞-1，图象在y轴左方，y＜-1，图象在y轴右方，y=-1，看图象与y轴交点．
6．一次函数，当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据一次函数图像的性质，当时，，而，随的增大而减小，据此判断即可．
【详解详析】
一次函数中，，随的增大而减小，
当时，，
当时，．
故选B．
【名师指路】
本题考查了一次函数的性质，根据一次函数解析式判断函数的增减性是解题的关键．
7．已知一次函数y=(1+m)x 1的图像上有两点A(0，y1)，B(1，y2)，其中y1>y2，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先根据0＜1时，y1＞y2，得到y随x的增大而减小，所以x的比例系数小于0，那么1+m＜0，解不等式即可求解．
【详解详析】
解：∵0＜1时，，y1＞y2，
∴y随x的增大而减小，
∴1+m＜0，
∴m＜-1．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一次函数的图象性质：当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．
8．下列各点中，在正比例函数的图象上的是（ ）
A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，1） D．（6，3）
【标准答案】B
【思路指引】
将四点的横坐标x代入正比例函数解析式求出函数值，然后利用正比例函数图象上点的坐标特征验证四个选项中的点是否在正比例函数图象上即可得解．
【详解详析】
解：A、当x=时，，
∴点不在正比例函数的图象上；
B、当x=﹣3时，，
∴点（﹣3，﹣1）在正比例函数的图象上；
C、当x=0时，，
∴点（0，1）不在正比例函数的图象上；
D、当x=6时，，
∴（6，3）不在正比例函数的图象上．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx是解题的关键．
9．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（ ）
A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点 D．y的值随x的增大而增大
【标准答案】D
【思路指引】
根据正比例函数的定义与性质判定即可．
【详解详析】
解：A、由解析式可得它是正比例函数，故函数图象经过原点，说法正确，不合题意；
B、由k＜0可得图象经过二、四象限，说法正确，不合题意；
C、当x＝时，y＝﹣2，图象经过点，说法正确，不合题意；
D、由k＜0可得y的值随x的增大而减小，说法错误，符合题意；
故选：D．
【名师指路】
本题考查正比例函数的图像与性质，充分掌握正比例函数图象性质与系数之间的关系是解题关键．
二、填空题
10．一次函数的图像如图所示，那么不等式的解集是__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】x＜-2
【思路指引】
结合函数图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解详析】
解：当x＜-2时，y＜0，
∴不等式的解集为x＜-2．
故答案为x＜-2．
【名师指路】
本题考查了一次函数与一元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．21·世纪*教育网
11．已知一次函数的图像如图，根据图像填空：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）的值随的值增大而______；
（2）求不等式的解集___．
【标准答案】增大 x＞3
【思路指引】
（1）根据函数图象经过的象限即可求解；
（1）依据一次函数的图象与性质即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）由图可得，函数图象经过一、三、四象限，
则y的值随着x的值的增大而增大；
（2）由图可得，当y＞4时，x＞3，即不等式kx+b>4的解集为x＞3．
故答案为：增大；x＞3．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数的图象与性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降．【版权所有：21教育】
12．正比例函数y＝（3m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ___．
【标准答案】
【思路指引】
先根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解详析】
∵正比例函数 y=（3m+1）x 中，y随x的增大而减小，
∴3m+1＜0，
解得．
故答案为；．
【名师指路】
本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小．
13．已知正比例函数图像上有一个点，点的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根，则点的纵坐标为 ___．
【标准答案】或
【思路指引】
根据因式分解法解一元二次方程，进而将两根分别代入正比例函数解析式即可求得点的纵坐标
【详解详析】
x2+6x﹣91＝0
即
解得
点的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根，
当，解得，当时，解得
点的纵坐标为或
故答案为：或
【名师指路】
本题考查了解一元二次方程，正比例函数上点的特征，正确的解一元二次方程是解题的关键．
14．已知抛物线y＝x2，把该抛物线沿x轴方向向右平移，使平移后的抛物线经过点A（1，4），那么平移后的抛物线的表达式是 ___．
【标准答案】
【思路指引】
可设所求的函数解析式为 ，把A坐标代入可得平移后的抛物线．
【详解详析】
解：设抛物线沿x轴方向向右平移k个单位，则
设所求的函数解析式为，
∵点A（1，4）在抛物线上，
∴
解得：k=-1（舍去），k=3
∴平移后的抛物线的表达式是 ．
故答案为：．
【名师指路】
考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：左右平移不改变二次项系数及顶点的纵坐标，只改变顶点的横坐标，左加右减．
15．已知抛物线y＝ax2+bx ( http: / / www.21cnjy.com )+c的开口向下，对称轴为直线x＝1，若点A（2，y1）与B（3，y2）是此抛物线上的两点，则y1___y2（填“＞”或“＜“）．
【标准答案】＞
【思路指引】
根据二次函数在对称轴左右两侧的增减性求解即可．
【详解详析】
解：由题意可得，对称轴为，
∴时，随的增大而减小
又∵
∴
故答案为＞
【名师指路】
此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质．
16．已知点、都在二次函数的图象上，那么、的大小关系是：______．（填“”、“”或“”
【标准答案】
【思路指引】
根据题意先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解详析】
解：由二次函数可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
17．抛物线的图像，当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）
【标准答案】增大
【思路指引】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到时，随的增大而增大．
【详解详析】
解：函数，
该函数图象开口向下，
当时，随的增大而增大，
故答案为：增大．
【名师指路】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．已知关于原点对称的两条平行线l1、l2，其中一条过(0，)，另一条过(1，0)，如果直线y=kx+1与l1、l2分别交于点M、N，则线段MN的最小值是______．
【标准答案】
【思路指引】
设直线l1的解析式为y=ax+b，直线l2的解析式为y=ax-b，分别把(0，)，(1，0)代入求得两直线的解析式，当MN⊥直线l1，则线段MN取得最小值，利用菱形的面积即可求解
【详解详析】
解：设直线l1的解析式为y=ax+b，则关于原点对称的另一条平行线l2的解析式为y=ax-b，
不妨设直线l1经过(0，)，则直线l2经过(1，0)，
∴，解得，
∴直线l1的解析式为，l2的解析式为，
如图，直线l1与坐标轴交于A、B，直线l2与坐标轴交于C、D，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则A(0，)，C(0，)，B(-1，0)，D(1，0)，
∴四边形ABCD是菱形，且CD=，
直线y=kx+1与l1、l2分别交于点M、N，当MN⊥直线l1，则线段MN取得最小值，
∵S菱形ABCD=ACBD=CDMN，
即2=2MN，∴MN=．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：；
（3）若点是抛物线上的一点，且，求直线的表达式．
【标准答案】（1）；（2）见解析；（3）直线的解析式为或
【思路指引】
（1）根据抛物线与轴交于，两点，将抛物线表示式设为，然后将代入表达式求出a的值，即可求出抛物线的表达式；
（2）连接．首先根据A，B，C三点的坐标求出，，，然后根据对应边成比例且夹角相等证明出，然后根据相似三角形对应角相等即可证明出；
（3）首先由，得到，然后由相似三角形对应角相等得到，进而得到，根据题意当点P在线段BC下方的抛物线上时，可得，设设，在中，根据勾股定理列方程求出OD的长度，即可得到点D的坐标，然后根据待定系数法即可求出直线的解析式；当点P在线段BC上方的抛物线上时，根据题意得到，即可得出的解析式为．
【详解详析】
解：（1）设抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）如图1所示：连接．
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由题意可知，，，，
．
又，
．
．
（3）①如图2所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
．
，
．
．
．
设，则．
在中，由勾股定理得：，即．解得：．
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将，代入得：，解得：，
直线的解析式为．
如图3所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
．
，
．
．
．
的解析式为．
综上所述，直线的解析式为或．
【名师指路】
此题考查了勾股定理，待定系数 ( http: / / www.21cnjy.com )法求一次函数和二次函数解析式，二次函数综合题中的角度问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，通过分析题目中角度之间的关系得到线段之间的关系．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．
（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）45°，18；（2）（2，4）；（3）y＝或y＝﹣x
【思路指引】
（1）可得出OA＝OB，∠AOB＝90°，从而求得结果；
（2）求出l的解析式，与y＝2x联立方程组，解得结果；
（3）分为点P在BA上和BA的延长线上 ( http: / / www.21cnjy.com )，当点P在AB上时，作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，可推出PD＝2PC，代入y＝﹣x＋6求得；当点P在BA的延长线上时，作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，求得AP＝BP＝6，进而求得结果．
【详解详析】
解：（1）∵A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA
＝
＝
＝45°，
S△AOB＝＝＝18；
（2）设直线AB的解析式是：y＝kx＋b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x＋6，
∴，
∴，
∴P（2，4）；
（3）如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设点P（a，b），
当点P在AB上时，
作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，
∵，
，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴PD＝2PC，
∴a＝2b，
又∵b＝﹣a＋6，
∴a＝4，b＝2，
∴P（4，2），
设直线l的解析式是y=mx，代入（4，2）得2=4m
∴m=
∴直线l的解析式是：y＝x，
如图2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当点P在BA的延长线上时，
作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，
∴∠AFP＝∠AOB＝90°，
∵，
∴＝，
∴AP＝BP，
∴AP＝AB，
∵∠OAB＝∠PAF，
∴△APF≌△ABO（AAS），
∴AF＝OA＝6，PF＝OB＝6，
∴OF＝12，
∴P（12，﹣6），
设直线l的解析式是y=nx，代入（12，﹣6）得-6=12n
∴n=-
∴直线l的解析式是：y＝﹣；
综上所述：直线l的解析式是：y＝或y＝﹣x．
【名师指路】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质．
21．将抛物线，与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式和点D的坐标；
（2）∠ACB与∠ABD是否相等？请证明你的结论；
（3）点P在抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1），；（2）相等，理由见解析；（3），
【思路指引】
（1）根据抛物线与轴交于点和点，将点和点代入，求出即可，再化为顶点式；
（2）先由、两点的坐标，得出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，则由正切函数的定义求出，在中，由正切函数的定义也求出，得出，则，即；
（3）设点的坐标为，先由相似三角形的形状相同，得出是锐角三角形，则，再根据，得到与是对应点，所以分两种情况进行讨论：①；
②．根据相似三角形对应边的比相等列出关于的方程，解方程即可．
【详解详析】
解：（1）将点和点代入，
，
解得：，
，
，
顶点的坐标为；
（2）与相等，理由如下：
如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
点时，，即点坐标为，
又，，
，．
在中，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即；
（3）点在平移后的抛物线的对称轴上，而的对称轴为，
可设点的坐标为．
是锐角三角形，
当与相似时，也是锐角三角形，
，即点只能在点的下方，
又，
与是对应点，分两种情况：
①如果，那么，
即，解得，
点的坐标为；
②如果，那么，
即，解得，
点的坐标为．
综上可知点的坐标为或．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的 ( http: / / www.21cnjy.com )知识点有求抛物线的解析式，对称轴、顶点坐标的求法，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．解题的关键是注意两个三角形相似没有明确对应顶点时要注意分析题意分情况讨论结果．21·cn·jy·com
22．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝+bx﹣4经过点A（4，0），与y轴交于点C，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称．21*cnjy*com
（1）求这条抛物线的解析式并求出点B的坐标；
（2）连结AC、BC，点P在y轴上，使得当A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似时，求点P的坐标；
（3）连结AC、BC，点D在直线AC上且tan∠BDC＝3，求点D的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1），点B的坐标为（-2，0）；（2）当P点坐标为（0，2）或（0，）时，使得当A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似；（3）D点坐标为（2，-2）
【思路指引】
（1）把A点坐标代入抛物线解 ( http: / / www.21cnjy.com )析式求解即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线的对称轴，再根据点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称，即可求出B点坐标；
（2）先求出C点坐标，从而求出OA=4，OB=2，OC=4，OA=OC，AB=6，，，∠ACO=∠CAO=45°，然后证明∠BCA=∠OCB+∠ACO＜90°，得到△ABC是锐角三角形，即可推出点P必须在y轴正半轴，设P点坐标为（0，m），则OP=m，，再由∠ACO=∠CAO=45°，得到△CPA∽△ABC或△CAP∽△ABC，由此利用相似三角形的性质进行求解即可；
（3）连接BD，过点B作BE⊥AC于E，先求出，再由，得到，则， 然后求出直线AC的解析式为，设D点坐标为（t，t-4），则即，解方程即可．
【详解详析】
解：（1）∵抛物线经过A（4，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称，
∴点B的坐标为（-2，0）；
（2）令得，
∴C点坐标为（0，-4），
∵A（4，0），B（-2，0），
∴OA=4，OB=2，OC=4，
∴OA=OC，AB=6，
∵∠BOC=∠AOC=90°，
∴，，∠ACO=∠CAO=45°，
设P点坐标为（0，m），
∵OB＜OC，
∴∠OCB＜∠OBC，即∠OCB＜45°，
∴∠BCA=∠OCB+∠ACO＜90°，即△ABC是锐角三角形，
∵以A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴点P必须在y轴正半轴，
∴OP=m，
∴，
∵∠ACO=∠CAO=45°，
∴△CPA∽△ABC或△CAP∽△ABC，
当△CPA∽△ABC时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P点坐标为（0，2）；
当△CAP∽△ABC时，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴P点坐标为（0，）；
综上所述，当P点坐标为（0，2）或（0，）时，使得当A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图所示，连接BD，过点B作BE⊥AC于E，
∴∠BEA=∠BEC=90°，
∵∠BAE=45°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=45°，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为，
设D点坐标为（t，t-4），
∴即，
解得或（此时D与C重合，舍去），
∴D点坐标为（2，-2）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了二次函数综 ( http: / / www.21cnjy.com )合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数综合，解直角三角形，两点距离公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
函数与分析
知识结构
模块一：平面直角坐标系
知识精讲
例题解析
模块二：函数的有关概念
知识精讲
例题解析
模块三：正比例函数与反比例函数
知识精讲
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
例题解析
A
B
C
D
O
x（分）
y（米）
20
600
模块四：一次函数
知识精讲
x
y
O
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例题解析
模块五：二次函数
知识精讲
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图1
图2
向上（）或向下（）平移个单位
向上（）或向下（）平移个单位
向左（）或向右（）
平移个单位
向左（）或向右（）
平移个单位
向左（）或向右（）平移个单位
并向上（）或向下（）平移个单位
例题解析
随堂检测
课后作业
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”， ( http: / / www.21cnjy.com )即八讲 知识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21·cn·jy·com
亲爱的老师，如果您认可我工作室所创作的资 ( http: / / www.21cnjy.com )料，请您在评论区点评，如果您不认可我工作室所创作的资料，请您在评论区批评，未来朝夕，愿与君共同进步。
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1、 平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．21*cnjy*com
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限．
2、 点的坐标
1、点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．
2、平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标．
3、不同位置的点的坐标的特征：
①各象限内点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一象限x > 0，y > 0；
点P（x，y）在第二象限x < 0，y > 0；
点P（x，y）在第三象限x < 0，y < 0；
点P（x，y）在第四象限x > 0，y < 0．
②坐标轴上的点的特征：
点P（x，y）在x轴上y = 0，x为任意实数；
点P（x，y）在y轴上x= 0，y为任意实数；
点P（x，y）既在x轴上，又在y轴上x = y = 0，即点P坐标为（0，0）．
③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线上x = y；
点P（x，y）在第二、四象限夹角平分线上x + y = 0．
④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同．
3、 点的运动
1、点到坐标轴及原点的距离：
点P（x，y）到x轴的距离等于；
点P（x，y）到y轴的距离等于．
2、在直角坐标平面内：
平行于x轴的直线上的两点A（，）、B（，y）的距离；
平行于y轴的直线上的两点C（x，）、D（x，）的距离．
点P到原点的距离等于．
两点间的距离公式：点A坐标为（，），点B坐标为（，），则AB间的距离，即线段AB的长度为．21世纪教育网版权所有
3、点的对称：
若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为（a，），P关于y轴对称的点为（，b），关于原点对称的点为（，）．
4、坐标平移：
若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（，b），向右平移h个单位，坐标变为P（，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，），向下平移h个单位，坐标变为P（a，）．
【例1】 在平面直角坐标系中，若点P（，x）在第二象限，则x的取值范围为____________．
【例2】 点P在第三象限,点P到轴的距离是5,到轴的距离是3,则点P的坐标( )
A．(3,－5) B．(－5，－3) C．(－3，－5) D．(－3，5)
【例3】 点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或 C． D．
1、 函数
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与 ( http: / / www.21cnjy.com )y，如果对于变量x在允许取值范围内的每一个确定值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
2、 函数的定义域
函数自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域．
3、 函数值
如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x = a时的函数值，可记为．
【例4】 函数的定义域是__________．
【例5】 已知，那么______．
【例6】 已知函数，若，
那么x =______．
1、 正比例函数
如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例．
解析式形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．其中常数k叫做比例系数．
2、 反比例函数
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例．
解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数．其中常数k叫做比例系数．
3、 正比例函数、反比例函数的图像及性质
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 （k是常数，） （k是常数，）
定义域 一切实数 的一切实数
k的符号 k > 0 k < 0 k > 0 k < 0
经过象限 一、三 二、四 一、三 二、四
图像
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【例7】 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y B．y C．y D．y
【例8】 函数y（x＞0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例9】 关于反比例函数y，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点（2，2）
B．函数图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大
D．当x＞1时，y＜﹣4
【例10】 某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为60 ( http: / / www.21cnjy.com )0米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，其间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分之间的函数关系如图中折线OABCD所示．21cnjy.com
（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2 : 3，试求点C的纵坐标．2·1·c·n·j·y
1、 一次函数
一般的，解析式形如（k、b为常数，且）的函数叫做一次函数．
正比例函数与一次函数的关系：当时，解析式就成为（k、b为常数，且），这时，y是x的正比例函数．正比例函数是一次函数的特例．21·世纪*教育网
2、 一次函数的图像和性质
函数 一次函数
解析式 （k、b为常数，且）
定义域 一切实数
k、b的符号 k > 0，b > 0 k > 0，b < 0 k < 0，b > 0 k < 0，b < 0
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
图像
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
【例11】 在登山过程中，海拔每升高1千米，气 ( http: / / www.21cnjy.com )温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是 y＝﹣6x+2 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【例12】 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线yx，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．【出处：21教育名师】
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
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【例13】 如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）21教育名师原创作品
【例14】 如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，那么k、b应满足的条件是（ ）21*cnjy*com
A．k＞0且b＞0 B．k＞0且b＜0 C．k＜0且b＞0 D．k＜0且b＜0
【例15】 已知一次函数的图像经过点P（3，5），且平行于直线．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点Q（x，y）在该直线上，且在x轴的下方，求x的取值范围.
【例16】 一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余 ( http: / / www.21cnjy.com )油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
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1、 二次函数
一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．
二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．
2、 二次函数的图像
1、的图像：
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．2-1-c-n-j-y
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．
二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线．【来源：21cnj*y.co*m】
2、二次函数的图像：
抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点．
3、二次函数的图像：
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．
抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
4、二次函数的图像：
一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．
抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
5、二次函数的图像：
二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到．
这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位．
利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
6、二次函数的图像：
二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．
任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式．
对配方得：．
由此可知：
抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．
当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；
当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．
3、 二次函数的解析式的确定
1、一般式（）
（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；
（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．
2、顶点式（）
（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；
（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；
（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式．
3、交点式（）
（1）交点式：（），其中x1 ，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；
（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；
（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；
（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；
（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；
（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、
（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．
4、 二次函数的图像的平移
1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：
2、二次函数的平移
（1）将二次函数左右平移：
向左平移m个单位，函数解析式变为；
向右平移m个单位，函数解析式变为．
（2）将二次函数上下平移：
向上平移n个单位，函数解析式变为；
向下平移n个单位，函数解析式变为．
（3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．21教育网
5、 二次函数的图像的对称
1、关于x轴对称：
关于x轴对称后，得到的解析式是；
关于x轴对称后，得到的解析式是．
2、关于y轴对称：
关于y轴对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
3、关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是．
4、关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于y轴对称后，得到的解析式是．
5、关于点（p，q）对称：
关于点（p，q）对称后，得到的解析式是．
【例17】 如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为 ．
【例18】 如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是 ．
【例19】 将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣2x﹣2 C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝x2﹣3x﹣1
【例20】 在平面直角坐标系xOy中（如图） ( http: / / www.21cnjy.com )．已知抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．www-2-1-cnjy-com
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原 ( http: / / www.21cnjy.com )点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
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一、单选题
1．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
… -2 0 1 3 …
… 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当时，y的值随x值的增大而增大
2．已知抛物线，是常数，且，下列选项中可能是它大致图像的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．若二次函数的图像经过一、二、三象限，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图像的对称轴是直线x＝1，其图像一部分如图所示，对于下列说法正确的是（ ）
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A．abc＞0 B．a﹣b+c＜0
C．b+c＜0 D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
5．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．
6．一次函数，当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知一次函数y=(1+m)x 1的图像上有两点A(0，y1)，B(1，y2)，其中y1>y2，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各点中，在正比例函数的图象上的是（ ）
A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，1） D．（6，3）
9．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（ ）
A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点 D．y的值随x的增大而增大
二、填空题
10．一次函数的图像如图所示，那么不等式的解集是__________．
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11．已知一次函数的图像如图，根据图像填空：
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（1）的值随的值增大而______；
（2）求不等式的解集___．
12．正比例函数y＝（3m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ___．
13．已知正比例函数图像上有一个点，点的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根，则点的纵坐标为 ___．【版权所有：21教育】
14．已知抛物线y＝x2，把该抛物线沿x轴方向向右平移，使平移后的抛物线经过点A（1，4），那么平移后的抛物线的表达式是 ___．
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口 ( http: / / www.21cnjy.com )向下，对称轴为直线x＝1，若点A（2，y1）与B（3，y2）是此抛物线上的两点，则y1___y2（填“＞”或“＜“）．
16．已知点、都在二次函数的图象上，那么、的大小关系是：______．（填“”、“”或“”
17．抛物线的图像，当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）
18．已知关于原点对称的两条平行线l1、l2，其中一条过(0，)，另一条过(1，0)，如果直线y=kx+1与l1、l2分别交于点M、N，则线段MN的最小值是______．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：；
（3）若点是抛物线上的一点，且，求直线的表达式．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．
（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．
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21．将抛物线，与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式和点D的坐标；
（2）∠ACB与∠ABD是否相等？请证明你的结论；
（3）点P在抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．
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22．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝+bx﹣4经过点A（4，0），与y轴交于点C，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称．www.21-cn-jy.com
（1）求这条抛物线的解析式并求出点B的坐标；
（2）连结AC、BC，点P在y轴上，使得当A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似时，求点P的坐标；
（3）连结AC、BC，点D在直线AC上且tan∠BDC＝3，求点D的坐标．
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函数与分析
知识结构
模块一：平面直角坐标系
知识精讲
例题解析
模块二：函数的有关概念
知识精讲
例题解析
模块三：正比例函数与反比例函数
知识精讲
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
例题解析
A
B
C
D
O
x（分）
y（米）
20
600
模块四：一次函数
知识精讲
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
例题解析
模块五：二次函数
知识精讲
1
2
3
4
1
2
3
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x
y
x
y
O
O
1
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图1
图2
向上（）或向下（）平移个单位
向上（）或向下（）平移个单位
向左（）或向右（）
平移个单位
向左（）或向右（）
平移个单位
向左（）或向右（）平移个单位
并向上（）或向下（）平移个单位
例题解析
随堂检测
课后作业
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