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本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知 ( http: / / www.21cnjy.com )识结构+知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21·cn·jy·com
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1、 多边形
1、多边形：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形．
由n条线段组成的多边形就称为n边形（）．
组成多边形的每一条线段叫做多边形的边．
相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．
多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．
联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．
对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．21教育网
2、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（）．
3、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．
对于多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．
多边形的外角和等于360°．
2、 平行四边形
1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2、平行四边形的性质：
平行四边形性质定理1
如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
简述为：平行四边形的对边相等．
平行四边形性质定理2
如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
简述为：平行四边形的对角相等．
平行四边形性质定理3
如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线相互平分．
简述为：平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形性质定理4
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
3、平行四边形的判定
平行四边形判定定理1
如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，
简述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理2
如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形，
简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理3
如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，
简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理4
如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，
简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
3、 特殊的平行四边形
1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．
矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等．
菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角．
3、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【例1】 如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1080° D．1440°
【例2】 一个边长为的正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个正多边形的半径_______．
【例3】 下列四个命题中，真命题是( )
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
【例4】 如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【例5】 如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．2·1·c·n·j·y
（1）求证：△BDE≌△BAC；
（2）求证：四边形ADEG是平行四边形；
（3）若四边形ADEG是正方形，请直接写出AC与AB的数量关系（不用写证明过程）
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【例6】 如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例7】 如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）正方形的边长为______．
（2）当时，的值为______．
【例8】 已知：如图所示，四边形中，．
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（1）求证：；
（2）当时，若点分别在边上，且，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，是等腰三角形，使用含的代数式表示．
1、 梯形
1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形的底：在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）．
梯形的腰：在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰．
2、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
2、 等腰梯形的性质及判定
1、等腰梯形性质定理：
（1）等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
（2）等腰梯形两条对角线相等．
2、等腰梯形判定定理：
（1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．
3、 梯形的中位线
1、中位线：联接梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线．
2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
【例9】 如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【例10】 下列命题中，假命题是（ ）
A．两腰相等的梯形是等腰梯形
B．对角线相等的梯形是等腰梯形
C．两个底角相等的梯形是等腰梯形
D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形
【例11】 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD．
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一、单选题
1．如图，点E，D，F在△ABC的三边上，四边形AEDF是菱形，若，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
2．一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
3．如图，直角梯形中， ，且，连，则的面积为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
4．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）
A．120° B．60° C．45° D．135°
5．如图，边长为1的正方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（ ）21·世纪*教育网
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A．125° B．130° C．135° D．140°
6．如图，在△ABC中，点D、E是AB、AC的中点，若△ADE的面积是1，则四边形BDEC的面积为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，H是平行四边形ABCD的边AD上一点，且，BH与AC相交于点K，那么AK：KC等于（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
8．如图PA、PB分别与⊙O相切于A．B两点，点C为⊙O上一点，连接AC．BC，若∠ACB=60°，则 的度数为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．60° B．65° C． D．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，D，E分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )边AB，AC的中点，∠B＝50°．现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 _____．21*cnjy*com
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10．点D、E、F分别是△ABC三边的中点，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为______．
11．如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数_____．
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12．如图，的度数为_______．
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13．如图，平行四边形ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，△CDF的面积为20cm2，则△AEF的面积为 _____cm2．【来源：21cnj*y.co*m】
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14．如图，在中，点D是BC中点，点E、F分别在AB、AC上，连接DE、DF、EF，，，，，则EF的长为______．21世纪教育网版权所有
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15．如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC部分构成一个直角三角形，且，起重臂AD可以通过拉伸BD进行上下调整．现将起重臂AD从水平位置调整至位置，使货物E到达位置（挂绳DE的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E升高了24米，且到塔身AH的距离缩短了16米，测得，则AC的长为_____________米．
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16．如图，在梯形中，CD∥AB，，为中位线，EF∥AB且过与的交点，点，分别在，上． 则梯形，梯形，梯形的面积比为_______________
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17．如图所示，河堤的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，m，点A到BC的距离为m，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡CD的坡角为45°，则四边形ABCD的面积为__________．21cnjy.com
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三、解答题
18．如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）为何值时，四边形是梯形？
（2）是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由；
（3）当时，求的值．
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19．如图，已知正方形ABCD的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．【出处：21教育名师】
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（1）求证：EF＝MF；
（2）若AE＝2，求FC的长．
20．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，．
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（1）求证：D是EC中点；
（2）若，于点F，直接写出图中与CF相等的线段．
21．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动．【版权所有：21教育】
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（1）求图①中的度数
（2）图②中的度数是______，图③中的度数是______；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______．
22．如图，在四边形ABCD中，AD/ ( http: / / www.21cnjy.com )/BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．21*cnjy*com
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（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．
23．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad）．如图1，在△ABC中，AH⊥BC于点H，则qad∠BAC＝．当qad∠BAC＝时，则称∠BAC为这个三角形的“金角”．已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，△ACE的“金角”∠EAC所对的边CE在BC边上，将△ACE绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到△A'CE'，A'C交AD边于点F．21教育名师原创作品
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（1）如图2，当α＝45°时，求证：∠ACF是“金角”．
（2）如图3，当点E'落在AD边上时，求qad∠AFC的值．
四边形
知识结构
模块一：平行四边形
知识精讲
例题解析
模块二：梯形
知识精讲
例题解析
随堂检测
课后作业
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1、 多边形
1、多边形：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形．
由n条线段组成的多边形就称为n边形（）．
组成多边形的每一条线段叫做多边形的边．
相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．
多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．
联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．
对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．
2、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（）．
3、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．
对于多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．
多边形的外角和等于360°．
2、 平行四边形
1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2、平行四边形的性质：
平行四边形性质定理1
如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
简述为：平行四边形的对边相等．
平行四边形性质定理2
如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
简述为：平行四边形的对角相等．
平行四边形性质定理3
如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线相互平分．
简述为：平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形性质定理4
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
3、平行四边形的判定
平行四边形判定定理1
如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，
简述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理2
如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形，
简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理3
如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，
简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理4
如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，
简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
3、 特殊的平行四边形
1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．
矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等．
菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角．
3、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【例1】 如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1080° D．1440°
【标准答案】C
【思路指引】
多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解详析】
解：多边形的边数是：360÷45＝8．
则内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：C．
【名师指路】
本题考查正多边形的外角和、内角和，熟知公式是关键，利用外角和解决正多边形边数问题是常用思路
【例2】 一个边长为的正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个正多边形的半径_______．
【标准答案】
【思路指引】
先求出正多边形边数为6，再根据正六边形性质即可求解．
【详解详析】
解：设正多边形的边数为n，由题意得
，
解得 n=6
∴正多边形为正六边形，
∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，
∴该正多边形的半径等于4．
故答案为：4
【名师指路】
本题考查了正多边形的相关概念，和正六边形的性质，熟知相关概念是解题关键．
【例3】 下列四个命题中，真命题是( )
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
【标准答案】A
【思路指引】
根据平行四边形的判定进行判断即可．
【详解详析】
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了命题与定理和平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几个判定定理，难度不大．
【例4】 如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）【出处：21教育名师】
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A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【标准答案】C
【详解详析】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵ ABCD的周长为20cm， ∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm，
故选C.
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质、线 ( http: / / www.21cnjy.com )段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键.
【例5】 如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．
（1）求证：△BDE≌△BAC；
（2）求证：四边形ADEG是平行四边形；
（3）若四边形ADEG是正方形，请直接写出AC与AB的数量关系（不用写证明过程）
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝AB
【思路指引】
（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC；
（2）由△BDE≌△BAC，可得DE=AG．然后利用正方形性质和周角=360 推知∠EDA+∠DAG=180，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；21*cnjy*com
（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性质证得，AC=AB．
【详解详析】
（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE是正方形．
∴BD＝BA，BE=BC，∠DBA＝∠EBC＝＝90．
∴∠DBE+∠EBA=90，∠ABC+∠EBA=90．
∴∠DBE＝∠ABC．
∴△BDE≌BAC．
（2）证明：∵△BDE≌BAC．
∴DE＝AC＝AG．
∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线．
∴∠BDA＝∠BAD＝45．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45．
∠DAG＝360﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD．
＝360﹣90﹣∠BAC﹣45．
＝225﹣∠BAC．
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45+225﹣∠BAC＝180．
∴DE∥AG．
∵DE=AG．
∴四边形ADEG是平行四边形．
（3）∵当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，∠DAG=90，且AG=AD．
则∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°，
即当∠BAC=135°
∴当∠DAG=90时，∠BAC=135．
∵四边形ABDI是正方形．
∴AD=AB．
又∵四边形ACHG是正方形．
∴AC=AG．
∴AC=AB．
∴当∠BAC=135，且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．
所以AC与AB的数量关系：AC=AB．
【名师指路】
本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360．
【例6】 如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
根据顺次连接四边形的中点，得到 ( http: / / www.21cnjy.com )的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
【详解详析】
解：顺次连接四边形的中点， ( http: / / www.21cnjy.com )得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①新的四边形成为矩形，符合条件；
②四边形是平行四边形，．
．
根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③四边形是平行四边形，．
．
．
四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④，
，即平行四边形的对角线互相垂直，
新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．
故选：．
【名师指路】
本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【例7】 如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）正方形的边长为______．
（2）当时，的值为______．
【标准答案】
【思路指引】
（1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得△APE的最大面积为8，此时P、D重合，y＝AD AB＝8，即可求解；
（2）先抓住关键点，知道点P到终点时，△APE的面积是6，此时P、C重合，y＝EC AB＝6，得EC＝3，根据图象分析当x＝7时，点P在CD上，且PD＝3，再求△APE的面积．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：（1）设正方形的边长为a，
由图象可知，当P、D重合时，△APE的面积为8，
∴y＝AD AB＝8，
∴a2＝8，
解得：a＝4（ 4舍去），
∴正方形的边长为4，
故答案为：4；
（2）当点在点时，，
解得：，即，，
当x＝7时，点P在CD边上，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
y＝S正方形ABCD S△ABE S△PEC S△APD
＝4×4 ×4×1 ×3×1 ×4×3＝，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解．21教育名师原创作品
【例8】 已知：如图所示，四边形中，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）当时，若点分别在边上，且，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，是等腰三角形，使用含的代数式表示．
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90° α或180° 2α或α
【思路指引】
（1）连，由等腰三角形的性质知AB＝AD，故∠ABD＝∠ADB，而∠ABC＝∠ADC，故∠CBD＝∠CBA ∠ABD＝∠ADC ∠ADC＝∠CDB，即可求解；
（2）由旋转全等，将△ABE围绕点A旋转到ADG的位置，证明△AFE≌△AFG（SAS），即可求解；
（3）分AE＝AF、AE＝EF、AF＝EF三种情况，利用等腰三角形的性质和外角的性质即可求解．
【详解详析】
（1）如图1，连接BD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB＝AD，故∠ABD＝∠ADB，
而∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠CBA ∠ABD＝∠ADC ∠ADB＝∠CDB，
∴BC＝CD；
（2）将△ABE围绕点A旋转到ADG的位置（点G、E为对应点），
( http: / / www.21cnjy.com / )
则AE＝AG，∠GAD＝∠BAE，BE＝GD，
∵2∠EAF＝∠BAD，则∠DAF ( http: / / www.21cnjy.com )＋∠BAE＝∠FAE，
∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝BAE＋∠DAF＝∠FAE，
∵AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝GF＝FD＋GD＝FD＋BE；
（3）在四边形ABCD中，∠BAD＝180° α，
∵2∠EAF＝∠BAD，则∠EAF＝（180° α）＝90° ，
∴△AFE≌△AFG知，∠GFA＝∠EFA，∠G＝∠AEF，
①当AE＝AF时，
则∠AEF＝∠AFE＝（180° ∠EAF）＝（180° 90°＋）＝45°＋＝∠GFA，
则∠GFE＝2∠GFA＝2（45°＋）＝∠C＋∠CEF＝α＋∠CEF，
∴∠CEF＝；
②当AE＝EF时，
则∠AFE＝∠EAF＝90° ＝∠GFE＝（∠C＋∠CEF），
∴∠CEF＝180° 2α；
③当AF＝EF时，
则∠EAF＝∠ AEF＝90° ，
则∠EFA＝180° 2∠EAF＝180° 2（90° ）＝α＝∠GFE＝（∠C＋∠CEF）＝（α＋∠CEF），
∴∠CEF＝α，
综上，∠CEF为90° α或180° 2α或α．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了三角形全等、等腰三角形的性质、外角的性质、图象的旋转等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．
1、 梯形
1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形的底：在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）．
梯形的腰：在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰．
2、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
2、 等腰梯形的性质及判定
1、等腰梯形性质定理：
（1）等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
（2）等腰梯形两条对角线相等．
2、等腰梯形判定定理：
（1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．
3、 梯形的中位线
1、中位线：联接梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线．
2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
【例9】 如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【标准答案】C
【思路指引】
先根据四边形的四个内角的度数之比分别求出四个内角，根据直角梯形的特点判定这个四边形的形状．
【详解详析】
解：设四边形的四个内角的度数分别为x，2x，2x，3x，则
2x+2x+x+3x=360°，
解得x=45°．
则2x=90°，3x=135°．
∴这个四边形的形状是直角梯形．
故选：C．
【名师指路】
本题用比的形式考查了多边形内角和的公式，同时考查了直角梯形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【例10】 下列命题中，假命题是（ ）
A．两腰相等的梯形是等腰梯形
B．对角线相等的梯形是等腰梯形
C．两个底角相等的梯形是等腰梯形
D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形
【标准答案】C
【思路指引】
根据梯形的判定方法即可得到正确的答案．
【详解详析】
A、利用梯形的定义可以判定两 ( http: / / www.21cnjy.com )腰相等的梯形是等腰梯形，故本答案是真命题；
B、根据梯形的判定定理可知对角线相等的梯形是等腰梯形，故本答案是真命题；
C、根据等腰梯形的判定定理可知同一底上的两个底角相等的梯形的等腰梯形，故本答案是假命题；
D、平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形是真命题．
故选C．
【名师指路】
考查了等腰梯形的判定，解题的关键是熟知等腰梯形的判定定理．
【例11】 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析
【思路指引】
（1）连接EG，根据梯形的中位线定理得到EG=（AD+BC），EG∥AD∥BC，根据题意得到EG=BF，得到四边形BEGF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=GF，BE∥GF，进而证明AE=GF，根据平行四边形的判断定理证明结论；21世纪教育网版权所有
（2）根据矩形的性质得到OA=OG，得到∠OAG=∠OGA，根据平行线的性质得到∠DAG=∠OGA，根据角平分线的定义证明即可．
【详解详析】
解：证明：（1）连接EG交AF于点O，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵E、G分别是AB、CD的中点，
∴EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG=（AD+BC），EG∥AD∥BC，
∵BF=（AD+BC），
∴EG=BF，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∴BE=GF，BE∥GF，
∵AE=BE，
∴AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形；
（2）∵四边形AEFG是矩形，
∴OA=OG，
∴∠OAG=∠OGA，
∵AD∥EG，
∴∠DAG=∠OGA，
∴∠OAG=∠DAG，即AG平分∠FAD．
【名师指路】
本题考查的是梯形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的性质，得到OA=OG解题的关键．
一、单选题
1．如图，点E，D，F在△ABC的三边上，四边形AEDF是菱形，若，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据菱形的性质可得，进而可得，进而可得
【详解详析】
解：点E，D，F在△ABC的三边上，四边形AEDF是菱形，
，
,
故选C
【名师指路】
本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
2．一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
【标准答案】A
【思路指引】
由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．
【详解详析】
解：设新多边形的边数为n ( http: / / www.21cnjy.com )，
则（n-2） 180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．
故选：A．21cnjy.com
【名师指路】
本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2） 180°（n为边数）是解题的关键．
3．如图，直角梯形中， ，且，连，则的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
如图，过作于，过作交的延长线于，通过证明可得∠EDH=∠FDC，由已知∠EHD=∠DFC=90°，且DE=CD，可推得，
从而可得EH=FC，即可求得的面积
【详解详析】
如图，过作于，过作交的延长线于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，，
，
，
直角梯形中，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故选C．
【名师指路】
本题考查了三角形全等、直角梯形的性质等相关知识，正确画出辅助线是解题的关键．
4．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）
A．120° B．60° C．45° D．135°
【标准答案】B
【思路指引】
过点D作DE//BC，交AB于点E，则易得四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形BCDE是平行四边形，由平行四边形的性质及已知条件，可得△ADE是等边三角形，从而问题解决．
【详解详析】
如图，过点D作DE//BC，交AB于点E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB//CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=CB，CD=BE，
∵AD=BC，
∴DE=AD，
又∵AD=AB-CD，AE=AB-BE，
∴AD=AE，
∴AD=AE=DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴腰与下底的夹角为60°．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，辅助线的作法，梯形中常作的辅助线：作底边上的高，作腰的平行线等．
5．如图，边长为1的正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（ ）
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A．125° B．130° C．135° D．140°
【标准答案】C
【思路指引】
连接B′C，根据题意得B′在对角线AC上，得∠B'CO=45°，由旋转的性质证出∠OB'C是直角，得，即可得出答案．21教育网
【详解详析】
解：连接B′C，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，
∴B′在对角线AC上，
∴∠B'CO=45°，
由旋转的性质得：，AB'=AB=1，
∴
∴
故选：C．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，点D、E是AB、AC的中点，若△ADE的面积是1，则四边形BDEC的面积为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】B
【思路指引】
由DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，且DE＝BC，则△ADE∽△ABC，从而BC＝，从而解决问题．
【详解详析】
解：∵点D、E是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵△ADE的面积是1，
∴＝4，
∴＝﹣＝3，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握中位线定理，灵活运用三角形相似的性质是解题的关键．
7．如图，H是平行四边形ABCD的边AD上一点，且，BH与AC相交于点K，那么AK：KC等于（ ）
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A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【标准答案】C
【思路指引】
根据AH=DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．
【详解详析】
解：∵AH=DH，
∴AH：AD=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，ADBC，
∴AH：BC=
∴△AHK∽△CBK，
∴
故选：C．
【名师指路】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．
8．如图PA、PB分别与⊙O相切于A．B两点，点C为⊙O上一点，连接AC．BC，若∠ACB=60°，则 的度数为（ ）
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A．60° B．65° C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
连接OA，OB，根据圆周角定理求得∠AOB=2∠ACB，再根据切线性质求得，利用四边形的内角和为360°求解即可．
【详解详析】
解：连接OA，OB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB =120°，
又∵PA．PB分别与相切于A．B两点，
∴，
∴∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°，
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了圆的切线性质、圆周角定理，结合四边形内角和计算是解答的关键．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，D， ( http: / / www.21cnjy.com )E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°．现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 _____．
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【标准答案】80°
【思路指引】
由翻折的性质得∠ADE＝∠A1DE，由中位线的性质得DE//BC，由平行线的性质得∠ADE＝∠B＝50°，即可解决问题．
【详解详析】
解：由题意得：∠ADE＝∠A1DE；
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE//BC，
∴∠ADE＝∠B＝∠A1DE＝50°，
∴∠A1DA＝100°，
∴∠BDA1＝180° 100°＝80°．
故答案为：80°．
【名师指路】
本题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点．熟练掌握各性质是解题的关键．
10．点D、E、F分别是△ABC三边的中点，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为______．
【标准答案】12
【思路指引】
据D、E、F分别是AB、AC、B ( http: / / www.21cnjy.com )C的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．
【详解详析】
解：∵如图所示，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴ED、FE、DF为△ABC中位线，
∴DFBC，FEAB，DEAC，
∴△DEF的周长=DF+FE+DEBCABAC（AB+BC+CA）24＝12．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：12．
【名师指路】
本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路．
11．如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数_____．
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【标准答案】110°度
【思路指引】
过点E作EH∥AB，然后由AB∥CD，可 ( http: / / www.21cnjy.com )得AB∥EH∥CD，然后根据两直线平行内错角相等可得∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，然后根据周角的定义可求∠ABE+∠CDE的度数；再根据角平分线的定义求出∠EBF+∠EDF的度数，然后根据四边形的内角和定理即可求∠BFD的度数．
【详解详析】
解：过点E作EH∥AB，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，
∵∠BEH+∠DEH+∠BED=360°，∠BED=140°，
∴∠BEH+∠DEH=220°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠EBF+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=110°，
∵∠BFD+∠BED+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BFD=110°．
故答案为：110°．
【名师指路】
本题考查了平行线的性质，解题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．另外过点E作EH∥AB，也是解题的关键．www.21-cn-jy.com
12．如图，的度数为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【详解详析】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠1=∠D+∠F，∠2=∠A+∠E，∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：．【来源：21cnj*y.co*m】
【名师指路】
本题考查了四边形的内角和，三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
13．如图，平行四边形ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，△CDF的面积为20cm2，则△AEF的面积为 _____cm2．
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【标准答案】
【思路指引】
由DC∥AB可知，△AEF∽△CDF，再运用相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可解决问题．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴△AEF∽△CDF．
∵AE：EB＝2：3，
设AE＝2a，则BE＝3a，DC＝5a；
∵△AEF∽△CDF，
∴，而，
∴
∵△CDF的面积为20cm2，
∴△AEF的面积为cm2．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．2·1·c·n·j·y
14．如图，在中，点D是BC中点，点E、F分别在AB、AC上，连接DE、DF、EF，，，，，则EF的长为______．
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【标准答案】
【思路指引】
延长ED到G使DG=ED，连结GC，GF，过G作GH⊥AC与H，根据点D为BC中点，得出BD=CD，先证△BDE≌△CDG（SAS），可得BE=CG=3，∠B=∠GCD，得出∠GCH=∠DCG+∠ACB=∠B+∠ACB=60°，根据30°直角三角形先证可得HC=，利用锐角三角函数可求GH=cos30°GC=，在Rt△GHF中，FG=，再证，即，根据三角函数可求即可
【详解详析】
解：延长ED到G使DG=ED，连结GC，GF，过G作GH⊥AC与H，
∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG=3，∠B=∠GCD，
∵，
∴∠B+∠ACB=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∴∠GCH=∠DCG+∠ACB=∠B+∠ACB=60°，
在Rt△GCH中，∠HGC=90°-∠HCG=30°，
∴HC=，GH=cos30°GC=，
∵CF=5，
∴HF=CF-CH=5，
在Rt△GHF中，FG=，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在Rt△EFG中，
∴．
故答案为．
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【名师指路】
本题考查三角形全等判定与性质，三角形内角 ( http: / / www.21cnjy.com )和，30°直角三角形性质，锐角三角函数，勾股定理，直角三角形判定与性质，本题难度较大，综合性强，利用辅助线构造准确图形是解题关键．
15．如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC部分构成一个直角三角形，且，起重臂AD可以通过拉伸BD进行上下调整．现将起重臂AD从水平位置调整至位置，使货物E到达位置（挂绳DE的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E升高了24米，且到塔身AH的距离缩短了16米，测得，则AC的长为_____________米．
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【标准答案】7
【思路指引】
过点B作于点M，由题意易得，则有四边形是矩形，设，则，然后根据勾股定理可得AF的长，进而问他可求解．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：过点B作于点M，如图所示：
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由题意得：，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，在中，由勾股定理得：
，解得：，
∴，
设，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，整理得：，
解得：；
故答案为7．
【名师指路】
本题主要考查勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法是解题的关键．【版权所有：21教育】
16．如图，在梯形中，CD∥AB，，为中位线，EF∥AB且过与的交点，点，分别在，上． 则梯形，梯形，梯形的面积比为_______________
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【标准答案】
【思路指引】
延长BC、AD交于点P，设CD=1，则AB=3，根据梯形在性质和平行线的性质可得出MN=2，EF=，分别设△PCD、梯形，梯形，梯形的面积为S、S1、S2、S3，利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解详析】
解：延长BC、AD交于点P，设AC与BD的交点为O，
∵在梯形ABCD中，CD∥AB，MN为中位线，
∴MN∥CD∥AB，MN=（AB+CD），DM=AM，CN=NB，
由可设CD=1，则AB=3，MN=2，
∵EF∥AB，
∴CD∥MN∥AB∥EF，
∴，
又DM=AM，CN=NB，
∴DE=EM，CF=FN，
∴EF为梯形CDMN的中位线，
∴EF= （CD+MN）= ，
∵CD∥MN∥AB∥EF，
∴△PDC∽△PEF，△PDC∽△PMN，△PDC∽△PAB，
分别设△PCD、梯形，梯形，梯形的面积为S、S1、S2、S3，
∴，，，
解得：，，，
∴梯形，梯形，梯形的面积比为=，
故答案为：．
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【名师指路】
本题考查梯形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，熟练掌握梯形中位线的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．21*cnjy*com
17．如图所示，河堤的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，m，点A到BC的距离为m，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡CD的坡角为45°，则四边形ABCD的面积为__________．
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【标准答案】40 m2
【思路指引】
过A作AE⊥BC于E，DF⊥BC与F， ( http: / / www.21cnjy.com )先证四边形AEFD为矩形，得出AE=DF=4m，AD=EF=2m，根据斜坡AB的坡度为1：3，求出BE=3AE=3×4=12m，根据斜坡CD的坡角为45°，求出CF=DF=4m，再求BC=BE+EF+FC=18m，然后利用梯形面积公式计算即可．
【详解详析】
解：过A作AE⊥BC于E，DF⊥BC与F，
∴∠AEF=∠DFE=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADF+∠DFE=180°，
∴∠ADF=180°-∠DFE=180°-90°=90°，
∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，
∴四边形AEFD为矩形，
∴AE=DF=4m，AD=EF=2m，
∵斜坡AB的坡度为1：3，
∴tan∠ABE=，
∴BE=3AE=3×4=12m，
∵斜坡CD的坡角为45°，
∴tan∠C=，
∴CF=DF=4m，
∴BC=BE+EF+FC=12+2+4=18m，
∴四边形ABCD的面积为．
故答案为40 m2．
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【名师指路】
本题考查解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡 ( http: / / www.21cnjy.com )，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，掌握解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，关键是利用辅助线把梯形问题转化为直角三角形和矩形来解．
三、解答题
18．如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）为何值时，四边形是梯形？
（2）是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由；
（3）当时，求的值．
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【标准答案】（1）当时，四边形是梯形；（2）存在，当的长为或10时，；（3）．
【思路指引】
（1）当四边形是梯形时，PQBC，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，AQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值；
（2）由△APQ∽△CQB得出＝，进一步代入求x的值；
（3）当时得出CQ：AC=1：4，那么CQ=15cm，可求出x，从而求出AP，然后根据两个三角形两底上的高相等时，这两个三角形的面积比等于这两个底的比，就可解决问题．
【详解详析】
解：（1）由题意知，
四边形是梯形，
，
∴，
，
，
，，
，
，
，
当时，四边形是梯形；
（2）存在，
当时，则，
，
，
当的长为时，；
当时，则，
，解得：（舍去），
综上所述，当的长为或10时，；
（3），
，
又，
，
即，
，
此时，，
．
．
【名师指路】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质、解方程、两个三角形的面积比等于两个底的比（这两底上的高相等）等知识，利用相似三角形的性质是解决本题的关键．21·cn·jy·com
19．如图，已知正方形ABCD的边 ( http: / / www.21cnjy.com )长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：EF＝MF；
（2）若AE＝2，求FC的长．
【标准答案】（1）见解析；（2）FC=3．
【思路指引】
（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直 ( http: / / www.21cnjy.com )角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；
（2）由（1）的全等得到AE＝CM＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )，正方形的边长为6，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长，由此即可求出CF的长．
【详解详析】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FCD=∠ADC=90°，
∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠A=∠DCM=90°，AE=CM，∠ADE=∠CDM，DE=DM
∴∠FCD+∠DCM＝180°，∠ADE+∠EDC=∠CDM+∠EDC=90°，
∴F、C、M三点共线，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
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（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
即，
解得：x＝5，
∴EF＝5，
∴CF=FM-CM=EF-CM=3．
【名师指路】
本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理，关键是根据半角旋转得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得线段的长．
20．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：D是EC中点；
（2）若，于点F，直接写出图中与CF相等的线段．
【标准答案】（1）见祥解；（2）AB=DC=DE=DF=CF，证明见详解．
【思路指引】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD即（AB∥ED），AB=CD，根据，可证四边形ABDE为平行四边形，得出AB=DE即可；
（2）根据EF⊥BF，CD=ED，根据直角三角形斜边中线可得DF=CD=ED，再证△DCF为等边三角形即可．
【详解详析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD即（AB∥ED），AB=CD，
∵，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=ED，
∴点D为CE中点；
（2）结论为：AB=DC=DE=DF=CF，
∵EF⊥BF，CD=ED，
∴DF=CD=ED，
∵AB∥CD，∠ABC=60°，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴△DCF为等边三角形，
∴CF=CD=DF=AB=ED．
【名师指路】
本题考查平行四边形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，线段中点判定，直角三角形斜边中线性质，等边三角形判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质，线段中点判定，直角三角形斜边中线性质，等边三角形判定与性质是解题关键．
21．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求图①中的度数
（2）图②中的度数是______，图③中的度数是______；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______．
【标准答案】（1）120°；（2）90°，72°；（3）
【思路指引】
（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出，即可求出答案；
（2）与（1）同理，可求，根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案；
（3）与（1）（2）同理，∠APB为所在多边形的外角度数，即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）∵是正三角形，
∴，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，
∴，
∴；
（2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理，
，
∴；
由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理，
∴，
∴；
故答案为：90°；72°；
（3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=；
故答案为：；
【名师指路】
此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
22．如图，在四边形ABCD中，AD//BC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
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（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．
【标准答案】（1）存在，当秒时，四边形是平行四边形，理由见解析；（2）或15秒，理由见解析；（3）当秒或秒时，是等腰三角形，理由见解析【来源：21·世纪·教育·网】
【思路指引】
（1）由题意已知，，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解．
（2）要使以、、、为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点、分别沿、运动或点返回时，再利用梯形面积公式，即，因为、点的速度已知，、、的长度已知，用可分别表示、的长，即可求得时间；
（3）使是等腰三角形，可分三种情况，即、，可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间．
【详解详析】
解：（1）四边形是平行四边形，
，
当从运动到时，
，
解得
当秒时，四边形是平行四边形；
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（2）若点、分别沿、运动时，
，
即，
解得（秒
若点返回时，，
则
解得（秒．
故当或15秒时，以，，，为顶点的梯形面积等；
（3）当时
作于，则，
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，
秒；
当时，，，
解得（秒，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
【名师指路】
本题是四边形综合题，主要考 ( http: / / www.21cnjy.com )查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，梯形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
23．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad）．如图1，在△ABC中，AH⊥BC于点H，则qad∠BAC＝．当qad∠BAC＝时，则称∠BAC为这个三角形的“金角”．已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，△ACE的“金角”∠EAC所对的边CE在BC边上，将△ACE绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到△A'CE'，A'C交AD边于点F．
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（1）如图2，当α＝45°时，求证：∠ACF是“金角”．
（2）如图3，当点E'落在AD边上时，求qad∠AFC的值．
【标准答案】（1）见解析（2）
【思路指引】
（1）过点作于点，解直角三角形求得，进而证明,根据“金角”的定义即可证明当α＝45°时，∠ACF是“金角”．
（2）过点作于点，证明，可得，设，则，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得，进而根据定义即可求得答案
【详解详析】
解：（1）四边形ABCD是矩形，
，
△ACE的“金角”∠EAC所对的边CE在BC边上，
，BC＝6，
将△ACE绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'CE'，
，即
如图，过点作于点，
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在中，,又
设，则
在中，
在中，
四边形是平行四边形
当α＝45°时，∠ACF是“金角”．
（2）如图，过点作于点
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由（1）可知，
则
由旋转的性质可得，，
在中，，则
在中
在等腰直角三角形中，
，
设，则，
在中，
即
解得（舍）
则
【名师指路】
本题考查了“准对”，三角形的“金角”的定义，解直角三角形，相似三角形的性质，矩形的性质，旋转的性质，理解新定义是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
四边形
知识结构
模块一：平行四边形
知识精讲
例题解析
模块二：梯形
知识精讲
例题解析
随堂检测
课后作业
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