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学科君工作室小注：
本专辑专为2022年上海初中数学寒假研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：采取“二八法”，即八讲 知识结构+ ( http: / / www.21cnjy.com )知识精讲+例题解析+随堂检测+课后作业专练（适合分数在100-130段学生使用），八讲 进阶综合练（适合分数在130-150段学生使用），所有题目选自上海地区历年中考、一二模、名校月考等试卷中，知识难度层层递进，由简到难。21·世纪*教育网
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一、平面向量的相关概念
1、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；
2、向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；
3、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；
4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；
5、互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；
6、 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
二、实数与向量相乘的运算
设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．
1、 如果，且，那么的长度；
的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向．
2、 如果k = 0或，那么．
三、实数与向量相乘的运算律
设m、n为实数，则
（1） ；（2）； （3）．
四、平行向量定理
如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．
5、 单位向量
单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．
单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．
对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．
由实数与向量的乘积可知：，．
【例1】 向量是既有______又有______的量，它的______也叫向量的长度．
【标准答案】大小，方向，大小．
【解析】根据向量的定义，可知向量是既有大小又有方向的量．
【总结】考查向量的基本概念．
【例2】 有下列说法：
①互相平行且长度相等的两个向量是相等的向量；
②方向相同且长度相等的两个向量是相等的向量；
③方向相反且长度相等的两个向量是相反的向量．
其中正确的说法的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【标准答案】C
【解析】根据相等向量和相反向量的概念，可知②③正确，①错误，故选C．
【总结】考查相等向量和相反向量的概念．
【例3】 下列关于向量的等式中，不正确的是( )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据平面向量的加法法则判定即可．
【详解详析】
A、，正确，本选项不符合题意；
B、，错误，本选项符合题意；
C、，正确，本选项不符合题意；
D、，正确，本选项不符合题意；
故选B．
【名师指路】
本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【例4】 已知在平行四边形ABCD中，设，,那么用向量、表示向量=_____．
【标准答案】
【思路指引】
由在平行四边形ABCD中，可得，即可得，又有，即可求得答案．
【详解详析】
如图所示：
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
故答案是：.
【名师指路】
考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
1、 平面向量的加减法则
1、几个向量相加的多边形法则；
2、向量减法的三角形法则；
3、向量加法的平行四边形法则．
2、 向量的线性运算
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．
如、、、等，都是向量的线性运算．
一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．21cnjy.com
3、 向量的合成与分解
如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．21·cn·jy·com
平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．
【例5】 已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，．
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（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）
（2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
【标准答案】（1）；；（或）；（2）图见解析， ．
【思路指引】
（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出；
（2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出．
【详解详析】
（1）．
∵，，
∴，
∴．
；
（2）作图如下：
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∵，为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
【名师指路】
本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键．
【例6】 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．21世纪教育网版权所有
（1）求FG的长；
（2）设，，用、的线性组合表示．
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【标准答案】（1）；（2）见解析.
【思路指引】
（1）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例，可得成比例的关系式，进而可求出FG的长；
（2）根据比例关系和线性向量可代入可求解.
【详解详析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥BC，
∵BE=EC，
∴，
∵FG∥BC，
∴，
∴FG=BC=．
（2）∵
∵BE∥AD，
∴AF：AE=DF：DB=2：3，
∴．
【例7】 如图，已知等腰梯形ABCD中，AB = 2CD，点M是AB的中点．在以点A、B、C、D、M中的两点为起点和终点的向量中，www-2-1-cnjy-com
（1）写出所有与向量平行的向量；
（2）设，写出向量的长度以及所有与向量互为相反向量的向量；
（3）设，，分别将向量、、用向量、表示出来．
【标准答案】（1），，，，，，
（2）；，，；
（3），，．
【解析】（1）根据平行向量的基本定义，方向相同或相反的向量都是平行向量，由，
可知相应的向量为以上几个，注意不要遗漏本身的相反向量；
（2）由AB = 2CD，，可得，互为相反向量要求方向相反
可知为以上几个；
（3）根据向量加减的“三角形法则”，可知，
，．
【总结】考查图形中平行向量和相反向量的确定，以及三角形法则的应用．
【例8】 已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果，，那么向量______（结果用、表示）．【来源：21·世纪·教育·网】
【标准答案】．
【解析】为的一条中位线，可知．
【总结】考查向量“平行四边形法则”的应用．
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，且，，联结．下列结论不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据平行四边形的性质条件题目条件一一判断即可．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=2EB，CF=2FD，
∴AE=CF，DF=EB，
∴，，∥，故选项A，B，C正确，
∵++=++，故D错误，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是证明DF=BE，CF=AE．
2．如果是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A．＝ B． C．＝0 D．＝
【标准答案】A
【思路指引】
根据向量的性质判断即可；
【详解详析】
∵是非零向量，
∴＝；
故选A．
【名师指路】
本题主要考查了平面向量的应用，准确分析判断是解题的关键．
3．下列正确的有（ ）
①
②为单位向量，则
③平面内向量、，总存在实数使得向量
④若，，，则、就是在、方向上的分向量
A．个 B．个 C．个 D．个
【标准答案】A
【思路指引】
根据向量的有关知识，对选项逐个判断即可．
【详解详析】
解：①，错误
②为单位向量，则或，错误，
③平面内向量、，总存在实数使得向量，只有、共线时才成立，说法错误，
④、也可能是在、反方向上的分向量，说法错误
故选A
【名师指路】
此题考查了平面向量的基本知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识．
4．下列判断正确的是（ ）
A．如果||＝||，那么＝或＝﹣
B．若k＝0，则|k|＝0
C．0 ＝0
D．n表示n个相乘
【标准答案】B
【思路指引】
根据向量的模，实数与向量的简单计算，逐项分析判断即可．
【详解详析】
A. 如果||＝||，则两个向量的模相等，并不能说明两个向量共线，则＝或＝﹣不一定正确，故该选项不正确，不符合题意；21教育网
B. 若k＝0，则|k|＝0，故该选项正确，符合题意；
C. 0 ＝，故该选项不正确，不符合题意；
D. n表示n个相加，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【名师指路】
本题考查了向量的模，实数与向量的简单计算，理解向量的意义是解题的关键．
5．下列判断不正确的是
A． B．
C．如果，那么 D．如果，那么
【标准答案】D
【思路指引】
由题意根据平面向量的线性计算和平行线的性质进行分析判断即可．
【详解详析】
解：、，计算正确，不符合题意；
、，计算正确，不符合题意；
、如果，那么，推断正确，不符合题意；
、如果，只能判断两个向量的模相等，不能推断出两个向量共线，即判断不正确，符合题意．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查平面向量和平行线的性质，注意掌握两个向量的模相等，但不一定是共线向量．
6．如果向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据向量的表示方法直接解答即可
【详解详析】
解：向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为
故选D
【名师指路】
本题考查了向量的表示方法，理解是解题的关键．
7．下列关于向量的运算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由三角形法则直接求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解详析】
解：A、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：A．
【名师指路】
此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
8．三条直线，若ac，bc，则与的位置关系是（ ）
A． B．ab C．或ab D．无法确定
【标准答案】B
【思路指引】
根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”，两向量方向相同或相反称平行向量，进行分析，得出正确答案．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b．．
∵，故选项A不正确；
∵a∥b，故选项B正确；
∵，故选项C不正确；
或a∥b，故选项D不正确．
故选B．
【名师指路】
本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
二、填空题
9．计算： ＝___．
【标准答案】
【思路指引】
根据平面向量的加法法则计算即可．
【详解详析】
故答案为：
【名师指路】
本题考查向量的计算，掌握基本运算法则是解题关键.
10．如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么______．（用表示）
【标准答案】
【思路指引】
根据平面向量的定义即可解决问题．
【详解详析】
解：∵向量为单位向量，向量与单位向量的方向相反，
∴＝ ．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
11．计算：＝____．
【标准答案】
【思路指引】
根据向量的计算法则解答．
【详解详析】
解：
=
=．
故答案为：．
【名师指路】
此题考查向量的加减法计算法则，熟记法则是解题的关键．
12．如果向量与单位向量方向相反，长度为，那么向量用单位向量表示为 ___．
【标准答案】
【思路指引】
由向量 与单位向量方向相反，且长度为，根据向量的定义，即可求得答案．
【详解详析】
解：∵向量与单位向量方向相反，且长度为，
∴＝
故答案为：＝ ．
【名师指路】
此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
13．若Q是线段MN延长线上一点，已知＝，＝，则＝___．（用含、表示）
【标准答案】
【思路指引】
根据向量的线性运算法则进行计算即可．
【详解详析】
解：∵＝，
∴＝＝-，
又＝，
∴=+=
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了向量的线性运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14．如图，已知点是边上一点，设，，如果，那么________．
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【标准答案】
【思路指引】
根据三角形法则求得和，结合图形易求，然后求比值．
【详解详析】
解：，，，
，，
．
故答案是：．
【名师指路】
本题主要考查了向量的运算，熟练掌握向量的运算是解答此题的关键．
15．已知在中，设，，若、分别为、的中点，那么用、的线性组合表示为______．21*cnjy*com
【标准答案】
【思路指引】
由题意利用三角形法则求得，然后由三角形中位线定理得到，进而结合平面向量的性质进行解答．
【详解详析】
解：如图，在中，
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设，，
．
又、分别为、的中点，
．
．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查平面向量和三角形中位线定理．由三角形法则求得是解题的关键．
三、解答题
16．如图．四边形ABCD是平行四边形：点E是边AD的中点．AC、BE相交于点O．设，．
（1）试用表示；（写出必要步骤）
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用表示．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
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【标准答案】（1）；（2）图见详解，
【思路指引】
（1）首先证明，进而问题可求解；
（2）分别过点O作OM∥AD，ON∥AB，然后证明，进而问题可求解．
【详解详析】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，在、上的分向量分别为和，
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∵AE∥BC，
∴，
∴，
∴．
【名师指路】
本题主要考查向量的线性运算，熟练掌握向量的线性运算是解题的关键．
17．如图，已知平面内两个不平行的向量、，求作：2（﹣）+3；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）www.21-cn-jy.com
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【标准答案】见解析
【思路指引】
首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．
【详解详析】
，
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如图，，，
则，即即为所求．
【名师指路】
此题考查了平面向量的运算法则以及作法，注意作图时准确利用三角形法则是关键．
18．如图, 在梯形 中，AB//CD，且 , 点 是边 的中点, 联结 交对角线 于点 , 若 ．2·1·c·n·j·y
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（1）用 表示 ；
（2）求作 在 方向上的分向量．
（不要求写作法, 但要保留作图痕迹, 并指出所作图中表示结论的分向量）
【标准答案】（1）=，；（2）见详解．
【思路指引】
（1）利用向量的表示方法，表示出，再由=即可求出，利用平行线段成比例，求出AF=，即可求出；（2）利用向量中分向量的画法画图即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：（1）∵，，
∴，
∵=，，
∴=，
∵AB//CD，，DE=EC，
∴，
∴AF=
∴．
（２） 在 方向上的分向量如图所示，即为所求；
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【名师指路】
本题主要考查图形中向量的表示方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，以及分向量在平行四边形中的画法，熟练掌握向量的基本应用是解题的关键，初中的向量问题只在上海地区出现，其他地方在高中才会学到，需要注意．
19．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设＝，＝，用、的线性组合表示向量．【出处：21教育名师】
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【标准答案】．
【思路指引】
直接利用向量的线性运算即可．
【详解详析】
解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴．
∵点E、F分别是AD、AC的中点，
∴，
∴．
【名师指路】
本题考查了向量的线性运算，解题的关键是学会利用三角形法则．
20．已知：线段DE分别交△ABC的边BA、CA的延长线于点D、E，且，△ABC的周长是6cm，
（1）求△ADE的周长；
（2）如果，求作：．
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【标准答案】（1）4cm；（2）见解析
【思路指引】
（1）先证明△CAB∽△EAD，得到，则，，，再由△ABC的周长为6cm，得到AB+AC+BC=6cm，最后根据△ADE的周长=求解即可；【版权所有：21教育】
（2）先根据向量的加减计算法则化简得到结果为，即，然后作线段AC的垂直平分线，找到线段AC的中点F，则向量即为所求．21教育名师原创作品
【详解详析】
解：（1）∵∠CAB=∠EAD，，
∴△CAB∽△EAD，
∴，
∴，，，
∵△ABC的周长为6cm，
∴AB+AC+BC=6cm，
∴△ADE的周长=；
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（2）
，
∵，，
∴，
如图所示，分别以A、C为圆心，以大于AC长的一半为半径画弧，二者交于M、N，连接MN交AC于F，作向量，然后作向量，则向量即为所求．21*cnjy*com
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【名师指路】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的计算和作图，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，向量的加减计算法则．
平面向量
知识结构
模块一：向量的概念及计算
知识精讲
例题解析
模块二：向量的线性运算
知识精讲
例题解析
A
B
C
D
M
随堂检测
课后作业
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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一、平面向量的相关概念
1、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；
2、向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；
3、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；
4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；
5、互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；
6、 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
二、实数与向量相乘的运算
设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．
1、 如果，且，那么的长度；
的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向．
2、 如果k = 0或，那么．
三、实数与向量相乘的运算律
设m、n为实数，则
（1） ；（2）； （3）．
四、平行向量定理
如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．
5、 单位向量
单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．
单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．
对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．
由实数与向量的乘积可知：，．
【例1】 向量是既有______又有______的量，它的______也叫向量的长度．
【例2】 有下列说法：
①互相平行且长度相等的两个向量是相等的向量；
②方向相同且长度相等的两个向量是相等的向量；
③方向相反且长度相等的两个向量是相反的向量．
其中正确的说法的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例3】 下列关于向量的等式中，不正确的是( )
A． B． C． D．
【例4】 已知在平行四边形ABCD中，设，,那么用向量、表示向量=_____．
1、 平面向量的加减法则
1、几个向量相加的多边形法则；
2、向量减法的三角形法则；
3、向量加法的平行四边形法则．
2、 向量的线性运算
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．
如、、、等，都是向量的线性运算．
一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．21教育网
3、 向量的合成与分解
如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．21cnjy.com
平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．
【例5】 已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，．
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（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）
（2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
【例6】 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．www.21-cn-jy.com
（1）求FG的长；
（2）设，，用、的线性组合表示．
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【例7】 如图，已知等腰梯形ABCD中，AB = 2CD，点M是AB的中点．在以点A、B、C、D、M中的两点为起点和终点的向量中，2·1·c·n·j·y
（1）写出所有与向量平行的向量；
（2）设，写出向量的长度以及所有与向量互为相反向量的向量；
（3）设，，分别将向量、、用向量、表示出来．
【例8】 已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果，，那么向量______（结果用、表示）．【来源：21·世纪·教育·网】
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，且，，联结．下列结论不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
2．如果是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A．＝ B． C．＝0 D．＝
3．下列正确的有（ ）
①
②为单位向量，则
③平面内向量、，总存在实数使得向量
④若，，，则、就是在、方向上的分向量
A．个 B．个 C．个 D．个
4．下列判断正确的是（ ）
A．如果||＝||，那么＝或＝﹣
B．若k＝0，则|k|＝0
C．0 ＝0
D．n表示n个相乘
5．下列判断不正确的是
A． B．
C．如果，那么 D．如果，那么
6．如果向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于向量的运算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．三条直线，若ac，bc，则与的位置关系是（ ）
A． B．ab C．或ab D．无法确定
二、填空题
9．计算： ＝___．
10．如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么______．（用表示）
11．计算：＝____．
12．如果向量与单位向量方向相反，长度为，那么向量用单位向量表示为 ___．
13．若Q是线段MN延长线上一点，已知＝，＝，则＝___．（用含、表示）
14．如图，已知点是边上一点，设，，如果，那么________．
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15．已知在中，设，，若、分别为、的中点，那么用、的线性组合表示为______．21世纪教育网版权所有
三、解答题
16．如图．四边形ABCD是平行四边形：点E是边AD的中点．AC、BE相交于点O．设，．
（1）试用表示；（写出必要步骤）
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用表示．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
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17．如图，已知平面内两个不平行的向量、，求作：2（﹣）+3；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21·世纪*教育网
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18．如图, 在梯形 中，AB//CD，且 , 点 是边 的中点, 联结 交对角线 于点 , 若 ．www-2-1-cnjy-com
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（1）用 表示 ；
（2）求作 在 方向上的分向量．
（不要求写作法, 但要保留作图痕迹, 并指出所作图中表示结论的分向量）
19．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设＝，＝，用、的线性组合表示向量．2-1-c-n-j-y
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20．已知：线段DE分别交△ABC的边BA、CA的延长线于点D、E，且，△ABC的周长是6cm，
（1）求△ADE的周长；
（2）如果，求作：．
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平面向量
知识结构
模块一：向量的概念及计算
知识精讲
例题解析
模块二：向量的线性运算
知识精讲
例题解析
A
B
C
D
M
随堂检测
课后作业
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