课标解读 课标要求 素养要求
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念. 3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 1.数学抽象——会根据任意角的概念判断角的位置. 2.逻辑推理——能用任意角的概念求解相关问题.
自主学习·必备知识
课前预习
知识点一 正角、负角和零角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做① 正角 ，按顺时针方向旋转形成的角叫做② 负角 .如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个③ 零角 .
知识点二 任意角
任意角包括；正角，负角和零角.
设α、β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是④ α+β .
知识点三 象限角
为了方便，使角的顶点与原点重合.角的始边与x轴的⑤非负半轴 重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
知识点四 所有与角α终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|⑥β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
自主思考
1.当钟表慢了（或快了） ，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确.在调整的过程中，分针转动的角是正角还是负角
答案：提示当钟表慢了，将分针顺时针转动，此时分针转动的角为负角；当钟表快了，将分针逆时针转动，此时分针转动的角为正角.
2.“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同
答案：提示锐角是第一象限角，也是小于90°的角；第一象限角可以是锐角，也可以是大于90°的角，还可以是负角；小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角.
3.若角α与β的终边相同，则角α与β有何关系
答案：提示①三重合:α与β的顶点重合，始边重合.终边重合.
②大小关系:β-α=k·360°，k∈Z.
③以周角为周期:与角 终边相同的角只能表示为α+k·360°，k∈Z，尽管α+k·720°，k∈Z与角 终边也相同，但不能表示与角 终边相同的所有角.
名师点睛
1.任意角的概念
（1）用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角.
（2）对任意角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字，①要明确旋转的方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置.
2.象限角的表示
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
互动探究·关键能力
探究点一 任意角与象限角的概念
精讲精练
例 （1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角.其中正确的说法有 （把说法正确的序号都写上）.
（2）经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 .
答案：（1）①（2）-60°，-720°
解析：（1）锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①中说法正确；
-350°角是第一象限角，但它是负角，所以②中说法错误；
0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③中说法错误；
360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④中说法错误．
（2）钟表的时针和分针都是顺时针旋转的，因此转过的角度都是负的，而 故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°，-720° .
解题感悟
1.解与角的概念有关的问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
2.象限角的判断方法
（1）根据图形判定，在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.
（2）根据终边相同的角的概念，把角转化到0°-360°范围内，转化后的角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.
迁移应用
1.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边落在 轴的非负半轴上.请指出下列各角是第几象限角.
（1）-75°；（2）855°；（3）-510°
答案：（1）
由图①可知，-75°角是第四象限角．
（2）
由图②可知，855°角是第二象限角．
（3）
由图③可知510°角是第三象限角．
探究点二 终边相同的角
精讲精练
例 已知-1845°在与 终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）-360°~720°之间的角.
答案：（1）因为-1845°=-45°+（-5）×360°，所以-1845°角与-45°角的终边相同，
所以与角 终边相同的角的集合是 .
最小的正角为315°.
（2）最大的负角为-45° .
（3）-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°
解题感悟
（1）终边相同的角都可以表示成α+k·360°（k∈Z）的形式.
（2）终边相同的角相差360°的整数倍.
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
（4）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
迁移应用
1.写出与角终边相同的角的集合，并把集合中满足不等式 的元素 写出来.
答案： 与角 终边相同的角的集合为 .
因为
所以 .
所以 .
故 ，
时， .
时， .
时， .
探究点三 区域角的表示
精讲精练
例1 （易错题）已知角 的终边落在如图所示的阴影范围内（包括边界），求角 的集合.
答案： 当终边落在 轴上方的阴影区域内（包括边界）时，
角 的集合为
当终边落在 轴下方的阴影区域内（包括边界）时，
角 的集合为
所以终边落在阴影区域内（包括边界）的角 的集合为
易错警示 常因忽视角的终边是射线而忘记对角的位置进行讨论出错，另外，求并集没有化简也容易造成失分.
例2 写出 的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合.
答案： 当 的终边落在直线 上时，角的集合为 ；当 的终边落在直线 上时，角的集合为 ，
所以 的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合为 .
解题感悟
表示区域角的三个步骤
第一步:先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 范围内的角 和 ，所以 其中 第三步:起始、终止边界对应有 再加上 的整数倍，即得区域角的集合.
迁移应用
1.写出终边落在如图所示的阴影部分内（包括边界）的角 的集合.
（1）
（2）
答案：（1）先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则 ．
（2） ．
课堂检测
1.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.第四象限角一定是负角
C. 角与 角是终边相同的角
D.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为
答案：
解析：A错误， 角既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错误， 角是第四象限角，但它不是负角；
C错误， 不是 的整数倍，故 角与 角不是终边相同的角；
D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为 ，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为 .故选D.
2.下列与 角终边相同的角是( )
A. 角B. 角
C. 角D. 角
答案：
解析：与 角终边相同的角可表示为
当 时， .
故选B.
3.给出下列四个命题：① 是第四象限角；② 是第三象限角；③ 是第二象限角；④ 是第一象限角.其中正确的命题有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
答案：
解析：
所以四个命题都是正确的.故选D.
4.若手表时针走过4小时，则分针转过的角度为 .
答案：
解析： 由于分针是顺时针旋转的，故分针转过的角为负角，即 .
5.已知角 的终边在图中阴影表示的范围内（不包含边界），那么角 的集合是 .
答案：
解析： 观察题图可知，角 的集合是
素养演练
逻辑推理——分类讨论思想解决象限角问题
1.（2020山东枣庄高一期末）如果 是第二象限角，那么 和 都不是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
答案：
解析：审：由 是第二象限角，确定 的取值范围，再确定 和 的取值范围.
联：根据终边相同的角的表示方法，对 进行奇偶数讨论，结合角的终边的对称性确定角的终边的位置.
解：因为 是第二象限角，
所以 ，
所以 .
当 时， 是第①一象限角；
当 时， 是第②三象限角，
所以 是第一或第三象限角.
因为 是第二象限角，
所以 是第三象限角，
所以 是第③四象限角，
所以 和 都不是第二象限角.故选B.
思：1.本题由第二象限角确定角的取值范围，经过运算求得半角的取值范围，通过分类讨论和严密推理，考查逻辑推理的核心素养.
2. 所在象限的判断方法：
确定 终边所在的象限，先求出 的取值范围，再直接转化为终边相同的角即可.
3. 所在象限的判断方法：
已知角 所在的象限，要确定角 所在的象限，有两种方法：
（1）由 的范围求出 的范围，再通过分类讨论把 的范围写成 的形式，然后判断 的终边所在象限.
（2）作出各个象限的从原点出发的 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 个区域.从 轴非负半轴起，按逆时针方向把这 个区域依次循环标上1，2，3，4，标号与角 终边所在的象限一致的区域即为 的终边所在的区域.因此， 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出.
迁移应用
1.已知角 为第一象限角.
（1）求角 是第几象限角；
（2）求角 是第几象限角；
（3）求角 是第几象限角.
答案：（1） 是第一象限角，
.
故 是第一或第二象限角或终边在 轴的非负半轴上的角.
（2）由 得 .
①当 为偶数时，令 ，
得 ，则 是第一象限角.
②当 为奇数时，令 ，
得 ，则 是第三象限角.
综合①②知， 是第一或第三象限角.
（3）如图，将各象限分成3等份，再从 轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域（阴影部分）即 的终边所在的区域，故 是第一或第二或第三象限角.
基础达标练
1.已知集合 是大于 的角，那么 ， ， 的关系是( )
A. B.
C. D.
答案：
2.（2021山西永济高一期中）与 角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
答案：
解析：与 角终边相同的角的集合为 .当 时， .故选C.
3.（多选）下列选项中是第二象限角的是( )
A. B. C. D.
答案： ; ;
4.（2021陕西西安中学高一期中）下列命题正确的是( )
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边与始边都相同的两个角一定相等
C.小于 的角是锐角
D.若 ，则 是第三象限角
答案：
5.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
答案：
6.（2021河北石家庄第二中学高一期末）在 范围内，与角 终边相同的角 ( )
A. B.
C. D.
答案：
解析：与 终边相同的角为 令 可得 .
7.角 的终边关于 轴对称，若 ，则 .
答案：
解析： 因为 与 的终边关于 轴对称，所以与 角终边相同的角 .
8.若角 的终边与 角的终边相同，则与角 的终边相同的钝角为 .
答案：
解析： 依题意知 ，所以 ，
令 且 ，解得
所以与角 的终边相同的钝角为 .
9.在 到 范围内，找出与下列角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角.
（1） （2）
答案：（1）与 角终边相同的角的集合为 .
当 时，
所以在 到 范围内，与 角终边相同的角是 ，它是第三象限的角.
（2）与 角终边相同的角的集合为 .
所以在 到 范围内，与 角终边相同的角为 它是第四象限的角.
素养提升练
10.（2021广东云浮高一期末）设终边在 轴的负半轴上的角的集合为 ，则( )
A.
B.
C.
D.
答案：
11.角 的终边落在( )
A.第一象限B.第一、三象限
C.第三象限D.第二、四象限
答案：
解析：当 时， ，故 为第三象限角;当 时， ，故 为第一象限角.
综上 的终边在第一、三象限.
12.在 范围内，与 角的终边在同一条直线上的角为 .
答案：
解析： 与 角的终边在同一条直线上的角可表示为 .
因为所求角在 范围内，
所以 解得
所以 或 .当 时， 当 时， .
13.已知角 的终边在如图所示的阴影区域内，则角 的取值范围是 .
答案：
解析： 终边在 角的终边所在直线上的角的集合为 ，终边在 角的终边所在直线上的角的集合为 ，因此终边在题图中的阴影区域的角 的取值范围是 ，所以角 的取值范围是 .
创新拓展练
14.已知 都是锐角，且 的终边与 角的终边相同， 的终边与 角的终边相同，求角 的大小．
答案： 由题意可知， .
因为 都是锐角，所以 .
取 得
.
因为 都是锐角，所以 .
取 ，得
由①②，得 .课标解读 课标要求 素养要求
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念. 3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 1.数学抽象——会根据任意角的概念判断角的位置. 2.逻辑推理——能用任意角的概念求解相关问题.
自主学习·必备知识
课前预习
知识点一 正角、负角和零角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做① ，按顺时针方向旋转形成的角叫做② .如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个③ .
知识点二 任意角
任意角包括；正角，负角和零角.
设α、β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是④ .
知识点三 象限角
为了方便，使角的顶点与原点重合.角的始边与x轴的⑤ 重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
知识点四 所有与角α终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|⑥ }，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
自主思考
1.当钟表慢了（或快了） ，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确.在调整的过程中，分针转动的角是正角还是负角
2.“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同
3.若角α与β的终边相同，则角α与β有何关系
名师点睛
1.任意角的概念
（1）用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角.
（2）对任意角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字，①要明确旋转的方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置.
2.象限角的表示
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
互动探究·关键能力
探究点一 任意角与象限角的概念
精讲精练
例 （1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角.其中正确的说法有 （把说法正确的序号都写上）.
（2）经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 .
解题感悟
1.解与角的概念有关的问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
2.象限角的判断方法
（1）根据图形判定，在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.
（2）根据终边相同的角的概念，把角转化到0°-360°范围内，转化后的角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.
迁移应用
1.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边落在 轴的非负半轴上.请指出下列各角是第几象限角.
（1）-75°；（2）855°；（3）-510°
探究点二 终边相同的角
精讲精练
例 已知-1845°在与 终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）-360°~720°之间的角.
解题感悟
（1）终边相同的角都可以表示成α+k·360°（k∈Z）的形式.
（2）终边相同的角相差360°的整数倍.
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
（4）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
迁移应用
1.写出与角终边相同的角的集合，并把集合中满足不等式 的元素 写出来.
探究点三 区域角的表示
精讲精练
例1 （易错题）已知角 的终边落在如图所示的阴影范围内（包括边界），求角 的集合.
易错警示 常因忽视角的终边是射线而忘记对角的位置进行讨论出错，另外，求并集没有化简也容易造成失分.
例2 写出 的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合.
答案： 当 的终边落在直线 上时，角的集合为 ；当 的终边落在直线 上时，角的集合为 ，
所以 的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合为 .
解题感悟
表示区域角的三个步骤
第一步:先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 范围内的角 和 ，所以 其中 第三步:起始、终止边界对应有 再加上 的整数倍，即得区域角的集合.
迁移应用
1.写出终边落在如图所示的阴影部分内（包括边界）的角 的集合.
（1）
（2）
．
课堂检测
1.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.第四象限角一定是负角
C. 角与 角是终边相同的角
D.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为
2.下列与 角终边相同的角是( )
A. 角B. 角
C. 角D. 角
3.给出下列四个命题：① 是第四象限角；② 是第三象限角；③ 是第二象限角；④ 是第一象限角.其中正确的命题有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
4.若手表时针走过4小时，则分针转过的角度为 .
5.已知角 的终边在图中阴影表示的范围内（不包含边界），那么角 的集合是 .
素养演练
逻辑推理——分类讨论思想解决象限角问题
1.（2020山东枣庄高一期末）如果 是第二象限角，那么 和 都不是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
思：1.本题由第二象限角确定角的取值范围，经过运算求得半角的取值范围，通过分类讨论和严密推理，考查逻辑推理的核心素养.
2. 所在象限的判断方法：
确定 终边所在的象限，先求出 的取值范围，再直接转化为终边相同的角即可.
3. 所在象限的判断方法：
已知角 所在的象限，要确定角 所在的象限，有两种方法：
（1）由 的范围求出 的范围，再通过分类讨论把 的范围写成 的形式，然后判断 的终边所在象限.
（2）作出各个象限的从原点出发的 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 个区域.从 轴非负半轴起，按逆时针方向把这 个区域依次循环标上1，2，3，4，标号与角 终边所在的象限一致的区域即为 的终边所在的区域.因此， 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出.
迁移应用
1.已知角 为第一象限角.
（1）求角 是第几象限角；
（2）求角 是第几象限角；
（3）求角 是第几象限角.
基础达标练
1.已知集合 是大于 的角，那么 ， ， 的关系是( )
A. B.
C. D.
2.（2021山西永济高一期中）与 角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
解析：与 角终边相同的角的集合为 .当 时， .故选C.
3.（多选）下列选项中是第二象限角的是( )
A. B. C. D.
4.（2021陕西西安中学高一期中）下列命题正确的是( )
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边与始边都相同的两个角一定相等
C.小于 的角是锐角
D.若 ，则 是第三象限角
5.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
6.（2021河北石家庄第二中学高一期末）在 范围内，与角 终边相同的角 ( )
A. B.
C. D.
7.角 的终边关于 轴对称，若 ，则 .
8.若角 的终边与 角的终边相同，则与角 的终边相同的钝角为 .
.
9.在 到 范围内，找出与下列角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角.
（1） （2）
素养提升练
10.（2021广东云浮高一期末）设终边在 轴的负半轴上的角的集合为 ，则( )
A.
B.
C.
D.
11.角 的终边落在( )
A.第一象限B.第一、三象限
C.第三象限D.第二、四象限
12.在 范围内，与 角的终边在同一条直线上的角为 .
13.已知角 的终边在如图所示的阴影区域内，则角 的取值范围是 .
创新拓展练
14.已知 都是锐角，且 的终边与 角的终边相同， 的终边与 角的终边相同，求角 的大小．
