(共11张PPT)
5.3.2-1
函 数 的 极 值
选择性必修 第二册 第五章 一元函数的导数及其应用
学习目标
1.了解函数极值的概念,结合函数的图象了解在某点取得极值的必要条件和充分条件;
2.会用导数求次数不超过三次的函数的极大值、极小值.
3.核心素养:直观想象、数学抽象、数学运算。
1.函数单调性与导数的关系
一、回顾旧知
二、探究新知
1.还记得高台跳水的例子吗？
(1)当t=a时运动员距水面高度最大，
h(t)在此点的导数是多少呢？
(2)当t
(3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢？
导数的符号有什么变化规律？
在t=a附近,f(x)先增后减,h, (x)先正后负，
h’(x)连续变化,于是有h,(a)=0.f(a)最大。
导数的符号有什么变化规律？
对于一般函数是否也有同样的性质吗？
？？
？？？
？？？
2.对于一般的函数y=f(x)：
函数y=f(x)在点x=a的函数值比它在点x=a附近其它点的函数值都小。
函数y=f(x)在点x=b的函数值比它在点x=b附近其它点的函数值都大。
3. 函数的极值及极值点定义
函数y=f(x)在点x=a的函数值比它在点x=a附近其它点的函数值都小，把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。
函数y=f(x)在点x=a的函数值比它在点x=a附近其它点的函数值都大，把a叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
解:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
因此,当x=-2时有极大值
三、巩固新知
1.例1.
当x=2时有极小值,
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
2.求解函数极值的一般步骤：
(1)求函数的定义域；
左正右负极大值;
左负右正极小值.
可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.
例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,
其充分条件是在这点两侧的导数异号.
3.思考:导数值为0的点一定是函数的极值点吗
x
y
O
f (x) x3
1. 函数的极值及极值点定义
函数y=f(x)在点x=a的函数值比它在点x=a附近其它点的函数值都小，把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。
函数y=f(x)在点x=a的函数值比它在点x=a附近其它点的函数值都大，把a叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
四、课堂小结
2.求解函数极值的一般步骤：
(1)求函数的定义域；
左正右负极大值;
左负右正极小值.
作业: 课本P98 习题5.2 5②④(共12张PPT)
5.3.2-2
函数的最大(小)值
选择性必修 第二册 第五章 一元函数的导数及其应用
学习目标
1.理解最值的概念, 了解函数最值与极值的区别和联系;
2.会利用导数求在给定区间上次数不超过三次的函数的最大值与最小值.
3.核心素养:直观想象、数学抽象、数学运算。
求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求函数的导数f,(x)
（3）求方程f,(x)=0的根
（4）用方程f,(x)=0的根，顺次将函数的定义
域分成若干个开区间，并列成表格
（5）由f,(x)在方程f,(x)=0的根左右的符号，
来判断f(x)在这个根处取极值的情况
一、回顾旧知
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.
函数在什么条件下一定有最大、最小值
他们与函数极值关系如何？
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
二、探究新知
1.探究:函数的最值
观察定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的极大值、极小值吗？
观察图像，发现
____________是极小值， 是极大值。
f(x1)、f(x3)、f(x5)
f(x2)、f(x4)、f(x6)
进一步，你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗？
从图中可以看出，函数y=f(x)在区间[a,b]上的函数的
最大值是______，最小值是_______。
f(a)
f(x3)
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
探究：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？
如果有，最大值和最小值分别是什么？
最大值：f(b);最小值：f(a)
最大值：f(x3);最小值：f(x4)
2.函数的最大(小)值的存在性
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值.
3. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
注意:
1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
2.最大值一定比最小值大.
解:
三、运用新知
1.例1.
我们知道，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；
那么把闭区间[a,b]换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？
函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。
有两个极值点时，函数有无最值情况不定。
2.拓展提高
3.求函数的最值时,应注意以下几点:
(1).函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.
(2).闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
(3).函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).
4.例2.
解:
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)(端点处)比较,
其中最大的一个为最大值,最小的 一个最
小值.
1.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
四、课堂小结
作业: 课本P98 习题5.3 6,12题