人教新标A版（必修4）第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算(word版含答案)

2.2 平面向量的线性运算
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在矩形 中，，，则向量 的长度等于
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，，且 ，，，则一定共线的三点是
A. 、 、 B. 、 、 C. 、 、 D. 、 、
3. 设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知当实数 变化时 的最小值为 ，则
A. 若 确定，则 唯一确定
B. 若 确定，则 唯一确定
C. 若 确定，则 唯一确定
D. 若 确定，则 唯一确定
4. 设 为平行四边形 对角线的交点， 为平行四边形 所在平面内任意一点，则 等于
A. B. C. D.
5. 已知 的外接圆圆心为 ，且 ，，则向量 在向量 上的投影向量为
A. B. C. D.
6. 如图， 、 、 分别是 的边 、 、 的中点，则
A. B.
C. D.
7. 如图，，， 是直线 上的不同的三点，且 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 设 ，，，， 是平面上给定的 个不同点，则使 成立的点 的个数为
A. B. C. D.
9. 设 ，， 分别为 的三边 ，， 的中点，则 等于
A. B. C. D.
10. 若 ，，则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 化简 ．
12. 化简： ．
13. 已知 为 内一点，，则 ．
14. 如图所示， 为 中 边的中点，设 ， ，则 ．（用 ， 表示）
15. 已知非零向量 ，， 两两不平行，且 ，，设 ，，则 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 根据下列各小题中的条件，分别判断四边形 的形状，并给出证明：
（1）；
（2）；
（3），且 ．
17. （1）如图，在矩形 中， 是对角线 与 的交点．若 ，，，
试证明：；
（2）已知 为四边形 所在平面外的一点，且向量 ，，， 满足等式 ．作图并观察四边形 的形状，并证明．
18. 在 中任取一点 ，取 ，， 分别表示 ，， 的面积，求证：．
答案
第一部分
1. B
2. A 【解析】，所以 、 、 三点共线．
3. A 【解析】如图，
记 ，，，则 ，
当 时， 取得最小值，
若 确定，则 唯一， 不确定，
若 确定， 可能有两解（图中 或 ），
若 确定，则 不确定，从而 也不确定．
4. D 【解析】由已知，得 ，，，，而 ，，所以 ．故选D．
5. A
【解析】设 为 的中点，则 ，故 外接圆圆心 为 的中点，所以 ．又 ，所以 ，因此向量 在向量 上的投影向量为 ．
6. A
7. A
8. B
9. C 【解析】如图，
10. C
【解析】因为 且 ，
所以 ，
所以 ．
第二部分
11.
【解析】．
12.
【解析】因为 ，
所以 ．
13.
【解析】如图所示，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，，
则
所以 ，
所以 ，， 三点共线，
所以 ，
又 为 的中位线，，
所以 ．
设在 和 中， 边上的高分别为 ，，则 ，
所以 ．
14. ；
【解析】由平行四边形法则可知 ，
在 中，．
故答案为 ．
15.
【解析】因为非零向量 ，， 两两不平行，且 ，，
所以 ，
，
所以
因为 ，，
所以 ，
所以 ，
故答案为：．
第三部分
16. （1） 四边形 为平行四边形，证略．
（2） 如图（），
因为 ，
所以 且 ．
因此四边形 为梯形．
（3） 如图（），
因为 ，
所以 ，且 ．
因此四边形 为平行四边形．
又 ，
所以四边形 为菱形．
17. （1）
（2） 通过作图可以发现四边形 为平行四边形．
证明如下：
，
，
，
与 平行且相等，
四边形 为平行四边形．
18. 如图所示，建立坐标系．
设 ，，，，， .
由于 ，
所以
得证．
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