人教新标A版（必修4）第二章平面向量2.4 平面向量的数量积(word版含答案)

2.4 平面向量的数量积
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 ，， 与 的夹角为 ，则 等于
A. B. C. D.
2. 设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量积”： 是一个向量，它的模 ，若 ，，则
A. B. C. D.
3. 已知向量 与 的夹角为 ，，，当 时，实数 为
A. B. C. D.
4. 向量 ，，则 等于
A. B. C. D.
5. 点 是三角形 所在平面内的一点，满足 ，则点 是 的
A. 三个内角的角平分线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点
6. 中，，，，且 ，则 的最小值等于
A. B. C. D.
7. 对任意向量 ，，下列关系式中不恒成立的是
A.
B.
C.
D.
8. 已知 是边长为 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A. B. C. D.
9. 已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，且满足 ，则实数 的值为
A. B. C. D.
10. 已知平面向量 ，，则下列关系正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知点 ，，向量 在 和 方向上的投影分别是 和 ，则点 的坐标为 ．
12. 已知 ，，坐标原点 在直线 上的射影为点 ，则 ．
13. 已知向量 ，，则向量 与向量 的夹角大小为 ．
14. 设平面向量 ，，若 ，则 ．
15. 若向量 ，， 满足 ，且 ，，，则 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知 ，， 与 的夹角是 ，计算：
（1）；
（2）．
17. 已知 ，．
（1）求 与 的夹角 ；
（2）若 与 共线，且 与 垂直，求 ．
18. 已知向量 ，， 满足 ，且 ，，．
（1）求 与 的夹角 ．
（2）是否存在实数 使 与 垂直
答案
第一部分
1. A 【解析】．
2. B 【解析】设 ， 的夹角为 ，
则 ，
所以 ，
所以 ．
3. C 【解析】向量 与 的夹角为 ，，，
由 知，，
，
，
解得 ．
故选：C．
4. C 【解析】因为 ，，
所以 ，
则 ．
5. D
【解析】由 可得 ，即 ，所以点 在 的高线上，同理可得点 在 、 的高线上，所以点 是 的三条高的交点．
6. C 【解析】由题意知，向量 ，且 ，
可得点 在边 上，，
所以 ，即 ，
所以 是以 为直角顶点的直角三角形．
如图建立平面直角坐标系，
设 ，则 ，则 ，
当 时， 最小，最小值为 ．
7. B
8. B 【解析】建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点，
则 ，，，
设 ，则 ，，，
则 ，
所以当 ， 时，取得最小值 ．
9. B 【解析】由单位向量 ， 的夹角为 ，
则 ，
由 ，
可得，，
即 ，
则 ，
解得 ．
10. C
第二部分
11.
12.
13.
14.
【解析】因为 ，，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
15.
【解析】因为 ，
所以
第三部分
16. （1） 由已知得，．
因为 ，
所以 ．
（2） 因为 ，
所以 ．
17. （1） 因为 ，，
所以 ，，，
所以 ，
所以 ．
（2） 因为 与 共线，
所以可设 ，
所以 ，
因为 与 垂直，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
18. （1） 因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
（2） 因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
所以存在 ，使得 与 垂直．
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