人教新标A版（必修5）1.1 正弦定理和余弦定理(word版含答案)

1.1 正弦定理和余弦定理
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 设 的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 ，则 的形状为
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
2. 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．若 的面积为 ，则
A. B. C. D.
3. 已知 的面积为 ，，，则
A. B.
C. 或 D. 或
4. 在 中，内角 ，， 所对的边分别是 ，，，若 ，则 的值为
A. B. C. D.
5. 中，若 ，则 的形状是
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
6. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 \（a\mathbin{：}b\mathbin{：}c=3\mathbin{：}5\mathbin{：}7\），则此三角形中的最大角的大小为
A. B. C. D.
7. 在 中．已知 ，，面积 ，则 的长为
A. B. C. D.
8. 中，，，则 的周长为
A. B.
C. D.
9. 在四边形 中，，，，则该四边形的面积等于
A. B. C. D.
10. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 ，，则
A. B.
C. D. 与 的大小关系不能确定
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 在 中，，，，则 的面积为 ．
12. 在 中，若 ，，，则 ．
13. 对于 ，有如下命题：
① 若 ，则 一定为等腰三角形．
② 若 ，则 一定为等腰三角形．
③ 若 ，则 一定为钝角三角形．
④ 若 ，则 一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是 ．（把所有正确的命题序号都填上）
14. 已知在 中，，，，则 ； ．
15. 已知 ，则 的形状为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 半径 为 的圆内接三角形 的面积 ，角 ，， 的对边分别为 ，，，求 的值．
17. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说 除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将 连接，设 中边 所对的角为 ， 中边 所对的角为 ，经测量已知 ，．
（1）霍尔顿发现无论 多长， 为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值．
（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记 与 的面积分别为 和 ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 的最大值．
18. 在 中，已知 ，，，求 的面积．
答案
第一部分
1. B 【解析】因为 ，
由正弦定理得：，
因为 ，所以 ，，故三角形为直角三角形．
2. C 【解析】因为 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．
的面积为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
3. D 【解析】，所以 ，所以 ．因为 ，所以 或 ．
4. D 【解析】因为 ，所以由正弦定理得 ．所以 ，．
5. D
【解析】，由和差化积公式及倍角公式可得 ，而 ，所以 ，所以 ，．
6. B 【解析】设 ，，（），
由余弦定理，得 ．
因为 为 的内角，
所以此三角形中的最大角 ．
7. D 【解析】因为 ，
所以 ．
所以 ．
8. D 【解析】根据正弦定理 ，，
所以 ，，
所以 的周长为 ．
9. C 【解析】如图：
取 中点 ，连接 ，则 ，．分别过 、 作 的垂线，可求得 ，．所以四边形面积 ．
10. A
【解析】方法一：
由余弦定理，
得 ，
即 ，
即 ，
解得 （负值舍去），
又 ，
故 ．
方法二：
由余弦定理，
得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ．
方法三：
由 ，
得 ．
所以 ．
所以 ．
又 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ．
第二部分
11.
12.
【解析】根据正弦定理 ，得 ．
13. ②③④
【解析】①中 或 ，所以 可以是等腰三角形或直角三角形；
②在 中，，由正弦定理得 ，所以 一定为等腰三角形；
③等价于 ，由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，所以 为钝角三角形；
④ ．所以 为锐角三角形．
14. ，
【解析】根据余弦定理，
得 ，
解得 ．
由 ，，，
得 ，
所以 ．
15. 等腰或直角三角形
【解析】 或 ，所以 为等腰或直角三角形．
第三部分
16. 由扩充的正弦定理及三角形面积公式，得 ．所以 ．
17. （1） 在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，，
则 ，
所以 ．
（2） ，，
则 ，
由（）知：，代入上式得：
配方得：，
所以当 时， 取到最大值 ．
18. ．
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