2.2 等差数列(含答案)（word版含解析）

2.2 等差数列
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在等差数列 中，若 ，，则
A. B. C. D.
2. 若等差数列 满足 ，，则 的值是
A. B. C. D.
3. 等差数列 的公差为 ，则数列 ，（ 常数且 ）是
A. 公差为 的等差数列 B. 公差为 的等差数列
C. 不是等差数列 D. 以上都不对
4. 已知数列 中， ，且 ，那么 等于
A. B. C. D.
5. 如图，点列 ， 分别在某锐角的两边上，且 ，，，，，（ 表示点 与 不重合）．若 ， 为 的面积，则
A. 是等差数列 B. 是等差数列
C. 是等差数列 D. 是等差数列
6. 在数列 中，若 ，，则数列 的通项公式为
A. B. C. D.
7. 已知数列 为等差数列，且 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
8. 在数列 中，已知 ，，且数列 是等差数列，则 等于
A. B. C. D.
9. 设 是等差数列．下列结论中正确的是
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
10. 已知数列 满足 ，且 ，若 ，则正整数
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 若 ，， 成等差数列，则 ．
12. 在等差数列 中，若 ， 且 ，，则 ．
13. 《 九章算术 》“竹九节”问题：现有一根 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 节的容积共 升，下面 节的容积共 升，则第 节的容积为 升．
14. 若等差数列 满足 ，，则当 时，数列 的前 项和最大．
15. 设 是数列 的前 项和，且 ，当 时，有 ，则使得 成立的正整数 的最小值为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知等差数列 中，公差 ，，设方程 是关于 的一组方程．
（1）证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；
（2）设方程 的另一根为 ，证明 ，，， 也是等差数列．
17. 已知公差大于零的等差数列的前 项和为 ，且满足 ，．
（1）求 的通项公式．
（2）若数列 满足 ，是否存在非零实数 使得 为等差数列 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
18. 等差数列 中，， .若在数列 的每相邻两项之间插人一个数，使之仍成等差数列 ，求等差数列 的通项公式.
答案
第一部分
1. B 【解析】通解：
设公差为 ，则 ，则 ，
故 ．
优解：
由等差数列的性质得 ．
2. D 【解析】因为等差数列 满足 ，，
所以
解得 ，，
所以 ．
3. B 【解析】设 ，则 ．
4. A
5. A
【解析】由题意，过点 ，，，，，， 分别作直线 的垂线，高分别记为 ，，，，，，，根据平行线的性质，得 ，，，，，， 成等差数列，又 ， 为定值，所以 是等差数列．
6. A 【解析】因为 ，，则数列 为等差数列，
所以 ，
所以 ．
7. C 【解析】，，，所以当 时，原式取到最小值 ．
8. A
9. C 【解析】因为 为等差数列，
所以 ，
当 时，公差 ，，
所以 ．
10. C
【解析】 是等差数列，
又 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
第二部分
11. 或
12.
13.
【解析】设所构成的等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意，得
即
解得
所以 ．
14.
【解析】由等差数列的性质得 ，，所以 ，，所以当 时，数列 的前 项和最大．
15.
【解析】．
可得 ．
令 ，则 ，
所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
所以 ，
，
所以 ，
即正整数 的最小值为 ．
第三部分
16. （1） 依题意，由 是等差数列，
得 ，
则方程为 ，
即 ．故 是这些方程的公共根．
（2） 由（1）得方程一根为
，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是公差为 的等差数列．
17. （1） 由等差数列的性质，得 ，
又 ，公差大于零，所以 ，，则易知
故 ．
（2） 由（1）知 ，
所以 ．
所以 ，，．
令 ，解得 ．
当 时，，
当 时，．
故当 时，数列 为等差数列．
18. 设等差数列 公差为 ，则 ，所以 ，设 的公差为 ，则 ，又 ，所以 ．
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