2.3 等差数列的前n项和(word版含答案)

2.3 等差数列的前n项和
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 记 为等差数列 的前 项和．已知 ，，则
A. B. C. D.
2. 在等差数列 中，，，当其前 项和取得最大值时， 等于
A. B. C. D.
3. 在数列 中，，，则 的前 项和为
A. B. C. D.
4. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 为
A. B. C. D.
5. 等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，若 （），则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 若等差数列 的前 项和为 ，且 ，，则 的值为
A. B. C. D.
7. 在等差数列 中，其公差 ，若 ，现有以下四个命题：
① ；
② ；
③若 ，则 有最大值；
④若 ，则 有最小值．
则关于这四个命题，正确的是
A. ①②③ B. ①②④ C. ①④ D. ②③
8. 在数列 中，如果 ，那么使这个数列的前 项和 取得最大值时， 的值等于
A. B. C. D.
9. 等差数列 的公差不为零，其前 项和为 ，若 ，则 的值为
A. B. C. D.
10. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则满足 的正整数 的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 若 是等差数列 的前 项和，且 ，则 ， ．
12. 在等差数列 中，前三项依次为 ，，，则等差数列 的前 项和 ．
13. 已知 为等差数列， 为其前 项和．若 ，，则公差 ， 的最小值为 ．
14. 已知数列 为等差数列，若 ，且其前 项和 有最大值，则使得 的 的最大值为 ．
15. 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 设等差数列 的前 项和为 ．
（1）若首项 ，公差为 ，求满足 的正整数 ．
（2）求所有等差数列 ，使对一切正整数 都有 成立．
17. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ，．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
18. 已知 为等差数列，，．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的值．
答案
第一部分
1. A 【解析】设等差数列 的公差为 ，
由 ，，得 所以
所以 ，．
2. A
3. C
4. A
5. C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ．
所以 ，，
由 ，化简得：
，，，
即 的最小值为 ．
6. B 【解析】因为 ，，
所以
解可得，，，
则 ．
故选：B．
7. B 【解析】由 和 ，可知①②④都对．
8. B 【解析】因为 ，
故 ，
故数列 为等差数列，
又当 时，；
当 时，，
故当 时， 取得最大值，
故选：B．
9. B 【解析】因为等差数列 的公差不为零，其前 项和为 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
10. C
【解析】由 得，，，，所以公差大于零．
又 ，，
．
第二部分
11. ，
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
由等差数列的通项公式可得 ，所以 ，
由等差数列前 项和公式可得 ．
12.
【解析】由题意得 ，解得 ，
所以 ，公差 ，
所以 ．
13. ，
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
所以 ．
故当 时， 取最小值 ．
14.
【解析】由 ，可得 ，
由它们的前 项和 有最大值，可得数列的公差 ，
所以 ，，，
所以 ，，
所以使得 的 的最大值为 ．
15.
【解析】因为数列 ， 为等差数列，且前 项和分别为 和 ，
则 ，且 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
第三部分
16. （1） 因为数列 是等差数列，所以 ，由 得 ，因为 为正整数，所以 ．
（2） 因为 ，令 得 ，所以 或 ．，由 得 ，
整理得 ，所以 或 所以 或 所以 或 或 ．
17. （1） 设 的公差为 ，由题意得 ，
由 得 ．
所以 的通项公式为 ．
（2） 由（）得 ，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
18. （1） 依题意，由 ， 得方程组 （， 为首项和公差），
解得 所以 的通项公式为 ．
（2） 易知 ，，，， 也为等差数列，
该数列项数为 项，首项 ，公差为 ，
所以 ．
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