必修5第二章 数列2.4 等比数列(word版含答案)

2.4 等比数列
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列数列中，构成等比数列的是
A. B. C. D.
2. 数列 满足：（， 且 ），若数列 是等比数列，则 的值等于
A. B. C. D.
3. 公比不为 的等比数列 满足 ，若 ，则 值为
A. B. C. D.
4. 已知实数 ，，，， 依次成等比数列，则实数 的值为
A. 或 B. C. D. 不确定
5. 若一个直角三角形三边长成等比数列，则
A. 三边长之比 \（3\mathbin{：}4\mathbin{：}5\） B. 三边长之比为 \（3\mathbin{：}\sqrt 2\mathbin{：}1\）
C. 较大锐角的正弦为 D. 较小锐角的正弦为
6. 已知等比数列 满足 ，，则 等于
A. B. C. D.
7. 如果数列 满足：首项 且 ，那么下列关于数列 的说法中正确的是
A. 奇数项 ，，， 成等比数列，偶数项 ，，， 成等差数列
B. 奇数项 ，，， 成等差数列，偶数项 ，，， 成等比数列
C. 奇数项 ，，， 分别加 后构成一个公比为 的等比数列
D. 偶数项 ，，， 分别加 后构成一个公比为 的等比数列
8. 在各项均为正数的等比数列 中 ，则
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值
9. 一个等比数列的前三项的积为 ，最后三项的积为 ，且所有项的积为 ，则该数列有
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
10. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 设等比数列 满足 ，，则 ．
12. 已知等比数列 中，，，则该等比数列的公比的值是 ．
13. 已知数列 满足：对任意 均有 （ 为常数， 且 ），若 ，则 的所有可能取值的集合是 ．
14. 已知数列 满足 且 ，则 ．
15. 在等比数列 中，，，，则 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知函数 是二次函数，且 ，，， 构成正项等比数列，求证：．
17. 已知等差数列 满足 ，．
（1）求 的通项公式．
（2）设等比数列 满足 ，；问： 与数列 的第几项相等．
18. 已知数列 满足 ，，，其中 ．
（1）求 的值；
（2）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论．
答案
第一部分
1. D
2. D 【解析】由 ，得 ．
由于数列 是等比数列，
所以 ，得 ．
3. C 【解析】因为数列 等比，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
4. C 【解析】因为实数 ，，，， 依次成等比数列，所以有 ，
当 时，，显然不存在这样的实数 ，故 ，因此本题选C．
5. D
【解析】由题中条件可设三边为 ，，（），
由勾股定理：，则 ，
设较小锐角为 ，其对边为 ，则 ．
选D．
6. C 【解析】因为 ，
所以 ，
将 代入上式并整理，得 ，
解得 ，
所以 ．
7. D 【解析】先枚举 ：，，，，，，，显然选项（A）、（B）、（C）都不正确，再判断（D）正确：
因为 ，
所以偶数项 ，，， 分别加 后构成一个公比为 的等比数列．
8. A
9. B 【解析】设数列的通项公式为
则前三项分别为 ，，，
后三项分别为 ，，．
由题意得 ，，
两式相乘得 ，即 ．
又因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
10. D
第二部分
11.
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，，
所以 ，，
解得 ，．
则 ．
12.
【解析】．
13.
【解析】由题意，，记 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
①若 ，即 ，此时 ，满足条件；
②若 ，则数列 是一个以 为公比的等比数列，
当 ，，，，即 ，，， 时，．
，；
当 ，，，，即 ，，， 时，．
此时，，．
所以 的所有可能取值的集合是 ．
14.
【解析】由题意可知 ，，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ．
15.
【解析】设等比数列的首项为 ，公比为 ，则由
解得 或 （舍去），
所以 ．
第三部分
16. 略
17. （1） 设公差为 ，首项为 ，
则
解得
所以 ，．
（2） 设等比数列的公比为 ，首项为 ，
由（）知，，，
则
解得
所以 ，，
时，，得 ，
所以 与 的第 项相等．
18. （1） 因为 ，
所以，由题可得：，，
所以 ．
（2） 数列 是等比数列．
证明：，
，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
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