3.5 不等式的恒成立及存在性问题（补充）(word版含答案)

3.5 不等式的恒成立及存在性问题（补充）
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若命题：“ 恒成立”是真命题，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
2. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
3. 不等式 有解，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
4. 设函数 ，．若存在 ，使得 与 同时成立，则实数 的取值范围为 ．
A. B. C. D.
5. 在 上定义运算 ．若不等式 对任意实数 成立，则
A. B. C. D.
6. 若不等式 在区间 上有解，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
7. 不等式 对于一切实数 都成立，则
A. B.
C. D. 或
8. 已知 ，，且满足 ，则 的最大值是
A. B. C. D.
9. 若不等式 对于一切 成立，则 的取值范围是
A. B. C. D.
10. 已知不等式 对任意的正实数 ， 恒成立，则正实数 的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知函数 ，若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
12. 若关于 的不等式 在 上有解，则 的取值范围是 ．
13. 函数 的定义域是 ，则实数 的取值范围是 ．
14. 不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是 ．
15. 若对于满足 的一切实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 当 取何值时，关于 的不等式 对于一切实数 都成立
17. 定义在 上的函数 ，，，，．
（1）求 ；
（2）是否存在常数 ，，有
18. 对任意 ，函数 的值恒大于零，求 的取值范围．
答案
第一部分
1. A 【解析】当 时，不等式恒成立；
当 时，则 即 ，综上 ．
2. A
3. C 【解析】根据题意，
由绝对值的几何意义，得
因此，．
4. D 【解析】由题意，．
①当 时，由 可得，；要存在 ，使得 与 同时成立，必有 的判别式 ，即 ，解得 或 ．又因为 ，所以 ，此时二次函数 的对称轴为 ，只要二次函数的两个零点一个大于 ，另一个小于 就存在符合题意的 ，所以 ，解得 ．
②当 时，由 可得，；要存在 ，使得 与 同时成立，必有 的判别式 ，即 ，解得 或 ，又因为 ，所以 ，这时 ，只要二次函数的两个零点一个大于 ，另一个小于 就存在符合题意的 ，所以 ，解得 ，这与 矛盾．
综上所述， 的取值范围为 ．
5. C
6. A 【解析】由 知，方程 恒有两个不等实根，又知两根之积为负，
所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间 上有解的充要条件是 ，
即 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ．
7. B
8. B 【解析】 ，，且满足 ，
，化为：，当且仅当 ， 时取等号，则 的最大值为 ．
9. C 【解析】本题等价于 对任意的 恒成立．
记 ，此函数是对勾函数，在 上单调递减，所以 在 上有 ，所以 即 ．
10. B
【解析】，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，于是 恒成立．
所以 ．
第二部分
11.
【解析】 等价于 ，即 ，
①先研究 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
因为 ，当且仅当“”时取等号，
所以 ；
②再研究 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ；
综上，实数 的取值范围是 ．
12.
【解析】由题意，得 ．
由绝对值的几何意义，得 ．
因此，．
13.
【解析】因为 的定义域为 ．
所以不等式 恒成立．
①当 时，不等式等价于 ，显然恒成立；
②当 时，
则有 ．
由①②知，．
14.
【解析】不等式 ，化为 ．
因为不等式 对任意实数 都成立，
所以 ．对任意实数 都成立，
当 时，化为 ，不满足要求，舍去；
当 时，变形满足 ，
解得：．
15. 或
【解析】原不等式化为 ，
因为 ，
所以 或 ，
所以 或 ．
第三部分
16. 时显然成立，当 时， 解得 ．
17. （1） ，
故 ．
（2） 不存在．，取 ，则 ，
当 时，，故不存在 ，使得对 ，．
18. 将看成关于 的一次函数 ，
于是由题意得
解之得 或 ．
第1页（共1 页）